-重积分习题课
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习题课10--二重积分部分
8求
9计算二重积分 ,其中
10计算二重积分 ，其中D是由直线 ， ， 以及曲线
所围成的平面区域。
11设函数 在区间 上连续，并设 ，
求 。
解法1：化为二重积分，然后利用二重积分的性质。
如图， ： ， ： 。
∵ ，
∴
。
解法2：更换二次积分顺序
∵
∴
。
解法3：利用定积分换元法。
。
解法3：利用分部积分
，
得所求二重积分的方程，解之得 。
宁波工程学院高等数学AI教案
习题课10--重积分
1选择填空
（1） ，其中 的大小
关系为:（ ）
(A) (B) (C) (D)无法判断
（2） ，且 在 上连续.
(A) (B) (C) (D)
（3） 区域 ,按Y型区域应为（ ）
(A) (B) (C) (D)
（4） 已知
，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
12设 连续，且 ，其中D是由 ， ，
所围成区域，则 等于（C）
（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。
解：设 （常数）。在D上对 两边积分得：
，解得 ，
故 。
（5）设 连续,且 ,其中D由 所围成,则
(A) (B) (C) (D)
2 填空
（1） 在Y型区域下的二次积分为
（2） 将 转换为极坐标形式下的二次积分
（3） 所围成，且 连续。
（4）
（5） 。
解： 。
（6） 。
解：
。
（7） 。
解：该积分不是二重积分的二次积分。
。
（8） 在极坐标系下的二次积分
为 。
（二）、客观题
1设 在 上连续,证明： .
9计算二重积分 ,其中
10计算二重积分 ，其中D是由直线 ， ， 以及曲线
所围成的平面区域。
11设函数 在区间 上连续，并设 ，
求 。
解法1：化为二重积分，然后利用二重积分的性质。
如图， ： ， ： 。
∵ ，
∴
。
解法2：更换二次积分顺序
∵
∴
。
解法3：利用定积分换元法。
。
解法3：利用分部积分
，
得所求二重积分的方程，解之得 。
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习题课10--重积分
1选择填空
（1） ，其中 的大小
关系为:（ ）
(A) (B) (C) (D)无法判断
（2） ，且 在 上连续.
(A) (B) (C) (D)
（3） 区域 ,按Y型区域应为（ ）
(A) (B) (C) (D)
（4） 已知
，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
12设 连续，且 ，其中D是由 ， ，
所围成区域，则 等于（C）
（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。
解：设 （常数）。在D上对 两边积分得：
，解得 ，
故 。
（5）设 连续,且 ,其中D由 所围成,则
(A) (B) (C) (D)
2 填空
（1） 在Y型区域下的二次积分为
（2） 将 转换为极坐标形式下的二次积分
（3） 所围成，且 连续。
（4）
（5） 。
解： 。
（6） 。
解：
。
（7） 。
解：该积分不是二重积分的二次积分。
。
（8） 在极坐标系下的二次积分
为 。
（二）、客观题
1设 在 上连续,证明： .
《重积分计算习题》课件
重积分的几何意义
平面区域上的重积分
表示被积函数对应的曲面在平面区域 上所围成的体积。
空间区域上的重积分
表示被积函数对应的立体在空间区域 上所围成的体积。
02 重积分的基本计算方法
直角坐标系下的计算方法
直角坐标系下，重积分可以通过 将积分区域划分为若干个小矩形 ，然后分别对每个小矩形进行积
分，最后求和得到结果。
计算曲面的面积
重积分可以用来计算曲面 的面积，如球面、锥面等 。
确定空间点的位置
通过重积分可以确定空间 中某点的位置，如重心、 形心等。
在物理学中的应用
计算质量分布
在力学中，重积分可以用 来计算分布质量对物体运 动的影响。
计算引力场
在万有引力定律中，重积 分可以用来计算物体之间 的引力。
计算电场
在电动力学中，重积分可 以用来计算电荷分布产生 的电场。
如何提高重积分计算的准确性和效率
多做习题
通过大量的习题练习， 提高计算准确性和效率
。
细心审题
仔细阅读题目，确保理 解题意，避免因为理解
错误导致计算错误。
掌握计算技巧
掌握一些计算技巧，如 换元法、分部积分法等 ，可以提高计算效率。
利用数学软件
对于一些复杂积分，可 以利用数学软件进行计 算，提高计算准确性。
对于多重积分，可以按照积分次 序逐层积分，从外层到内层依次
积分。
在计算过程中，需要注意积分的 上下限，以及被积函数的定义域
。
极坐标系下的计算方法
在极坐标系下，重积分可以通过将积 分区域划分为若干个小圆环，然后分 别对每个小圆环进行积分，最后求和 得到结果。
在极坐标系下，需要注意极角和极径 的范围，以及被积函数的定义域。
第07章-6节 三重积分习题课
: x2 y2 z2 a2 解 ( x 2 y z)2 dv
( x 2 y z )dv
2 2 2 2
z a o
x
y
( 2 2 xy 2 2 yz 2zx )dv
( x 2 y z )dv 0
当被积函数形如 f ( x 2 y 2 z 2 )时, 由圆锥面等所围时, 选用球面坐标计算 三重积分较好。
有的三重积分可能有多种选择：不同的坐标 系、不同的顺序积等。总结经验，选取简单 的方法。
7
4、三重积分中的对称性的应用。
(1)设关于平面xoy对称。
若f ( x, y, z) f ( x, y, z) 0, 2 f ( x, y, z)dV , 若f ( x, y, z) f ( x, y, z) 1
2 1
ln 2。
21
例5 把
f ( x, y, z)dxdydz化为三次积分, 其中
2
y2 (1) 是由z xy, z 0, x2 2 1所围成的在 a b 第一卦限内的闭区域;
(2)Ω由z =x2+y2，y =x2，y=1，z =0所围成的闭区 域
(3) 是由z x 2 y 2 , z x 2 y 2 所围成的 闭区域。
2
Dxy : x y 1
2
I ( x y z )2 dxdydz ( 2 x 2 z 2 )dxdydz ,
d dr 2
1 0 0 r
2 r 2
(90 2 89)。
60
r ( 2r 2 cos 2 z 2 )dz
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-重积分(圣才出品)
证明：假设 f 在 D 上可积，但在 D 上无界，那么，对 D 的任一分割
，
必在某个小区域 上无界．
当 i≠k 时，任取
令
由于 f 在 上无界，从而存在 从而
使得
另一方面，由 f 在 D 上可积知：存在
对任一 D 的分割
当
时，T 的任一积分和
都满足
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时）．即 f（x，y）在 D 上不可积．
因此
的极
7．证明：若 f（x，y）在有界闭区域 D 上连续，g（x，y）在 D 上可积且不变号，则
存在一点
使得
证明：不妨设
令 M，m 分别是 f 在 D 上的最大、最小值，从而
若
＝0，则由上式
若
则必大于 0，于是
于是任取
即可．
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为D内
证明：设 D 在 x 轴和 y 轴上的投影区间分别为[a，b]和[c，d]．
考虑
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由于
因此
所以
，同理可证
得
到
7．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中 表示有理数 x 化成既约分数后的分母．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分存在而两个
同理可证先 y 后 x 的累次积分不存在．
8．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中 意义同第 7 题．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在．
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证明：因为在正方形的任何部分内，函数 f 的振幅等于 1．所以二重积分不存在．对固
重积分习题课
［Y－型］ D : cyd, 1 (y ) x 2 (y ).
f(x ,y)ddd y 2(y)f(x ,y)d.x
D
c 1(y)
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴
的直线与区域边界相交不多于两个交点.
（２）极坐标系下
D 1: , 1 () r 2 ().
f(rcos,rsin)rdrd
证
b
a
f
x
g
x
dx
2
b
a
f
x g x dx
b
a
f
x g x dx
b
a
f
x g x dx
b
a
f
y g y dy
f x f y g x g y dxdy
D
D :a x b， a y b
b
a
f
2xdxabg2xdx
ab f2xdxabg2ydy
f2xg2ydxdyf2yg2xdxdy
奇函 有 数 xd， v0.
(xz)dvzdv 利用球面坐标
2d 4d1rco r s2si d nr .
0 00
8
例９ 计e zd 算 ， v :x 2 y 2 z 2 1 .
解 被积函数z仅 的为 函数，D截 (z)面 为圆域 x2 y2 1z2，故采用＂先二 法后 ．一＂
f(x,y)df(,).
D
（二重积分中值定理）
４、二重积分的计算
（１）直角坐标系下
［X－型］ D : axb , 1 (x )y2 (x ).
f(x ,y)db d x 2(x)f(x ,y)d.y
D
a 1(x)
X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y
《重积分练习》课件
确定积分区间
计算参数方程下的积分
确定积分结果
03
重积分的性质
积分区域的可加性
添加 标题
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
积分区域的可加性是指，如果两个积分 区域A和B互不相交，那么A和B的并集上 的积分等于A和B上积分的和。
添加 标题
积分区域的可加性还可以用于证明一些 积分公式，例如格林公式、高斯公式等。
添加 标题
积分区域的可加性是重积分的一个重要 性质，它使得我们可以将复杂的积分区 域分解为若干个简单的积分区域，从而 简化积分的计算。
01
重积分的概念
定义与性质
重积分的定义：对多元函 数在某一区域内的积分
重积分的性质：线性性、 可加性、单调性等
重积分的应用：计算体积、 面积、质量等
重积分的计算方法：直角 坐标系、极坐标系等
计算方法
确定积分区域和被积函数 计算积分上限和下限 使用积分公式进行计算 检查计算结果是否正确
几何意义
积分对变量的可加性还可以用于求解一些复杂的积分问题，例如积分的换元法、积分的分 部积分法等。
积分对变量的可加性还可以用于求解一些复杂的积分问题，例如积分的换元法、积分的分 部积分法等。
04
重积分的几何应用
曲面的面积
曲面积分的定义：曲面积分是积分的一种，用于计算曲面的面积或体积
曲面积分的计算方法：使用积分公式，将曲面分割成若干个小块，然后计算每个小块的面积或体 积
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汇报人：PPT
确定积分函数： 确定积分函数 为直角坐标系 下的一个函数
确定积分变量： 确定积分变量 为直角坐标系 下的一个变量
计算积分：根 据积分公式， 计算积分区域
重积分习题课62讲PPT课件
分析重积分的物理意义及 几何应用
探讨重积分的收敛性与一 致收敛性
通过典型例题，深入剖析 重积分的计算技巧
解题技巧与方法总结
熟练掌握重积分的计算方 法和步骤
掌握不同坐标系下重积分 的计算方法及转换技巧
学会运用重积分的性质简 化计算过程
理解重积分的物理意义和 几何应用，提高解题能力
学生自测与讨论环节
学生学习成果展示
01 掌握了重积分的基本概念、性质与计算方法，能 够熟练地进行二重积分和三重积分的计算。
02 学会了根据实际问题选择合适的坐标系与积分次 序，提高了解决问题的效率与准确性。
02 通过课程学习，增强了对数学分析的理解与应用 能力，为后续课程学习打下了坚实基础。
对未来学习的建议与展望
利用极坐标计算二重积分
极坐标与直角坐标的转换
通过极坐标与直角坐标之间的转换公式，将二重积分从直角坐标系转换到极坐标系下进行计算。
投影法与截面法在极坐标系下的应用
类似于直角坐标系下的投影法和截面法，可以在极坐标系下使用相应的方法来计算二重积分。
二重积分的换元法
01 雅可比行列式
在二重积分的换元法中，需要计算雅可比行列式 来确定新变量与原变量之间的关系。
计算体积
利用三重积分可以计算三 维空间中物体的体积，通 过划分小立方体并求和的 方式得到。
曲线弧长
利用二重积分可以计算平 面曲线的弧长，通过对曲 线进行微元分割并求和的 方式得到。
重积分在物理中的应用
计算质心
利用二重或三重积分可以计算物 体的质心坐标，通过对物体各点
的质量进行加权求和得到。
计算转动惯量
02 截面法
通过截面将三重积分转化为二重积分，再进一步 转化为一重积分进行计算。
《重积分习题课》课件
三维重积分习题解析
题目：计算三维空间中的体积
解题步骤：首先确定积分区域，然后选 择合适的坐标系，最后进行积分计算
积分区域：通常为球体、圆柱体、长方 体等
坐标系：可以选择直角坐标系、柱坐标 系、球坐标系等
积分计算：根据选择的坐标系，使用相 应的积分公式进行计算
结果：得到三维空间中的体积
重积分应用题解析
课程形式：讲解、 讨论、练习、答 疑等，注重培养 学生的独立思考 和解决问题的能
力
教学目标
掌握重积分的基本概念和性质 学会求解重积分的基本方法 提高解决实际问题的能力 培养数学思维和逻辑思方法
重积分的应用实例
重积分习题的解答技巧
教学方法
讲解与练习相结合：通 过讲解重积分的基本概 念、公式和定理，引导 学生进行习题练习，加 深理解。
综合能力
学习建议
掌握基本概念 和公式，理解 重积分的定义
和性质
加强练习，通 过做题来提高 解题速度和准
确性
学会总结和归 纳，找出解题
规律和技巧
遇到问题及时 请教老师或同 学，不要害怕
提问
未来展望
重积分习题课的 重要性：提高数 学思维能力和解 决实际问题的能 力
重积分习题课的 发展趋势：更加 注重实践和应用， 与实际生活相结 合
启发式教学：通过提 出问题、引导学生思 考、讨论，激发学生 的学习兴趣和积极性。
案例教学：通过讲解重 积分在实际生活中的应 用案例，帮助学生理解 重积分的实际意义和价 值。
互动式教学：鼓励学 生积极参与课堂讨论， 提出问题和建议，提 高学生的学习效果。
重积分的概念与性质
重积分的定义：对多元函数在某一 区域内的积分
重积分习题课的 挑战：如何提高 学生的兴趣和积 极性，提高教学 质量
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利用对称性
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
10
例 证明:
a dy
y em(ax) f (x)dx
a (a x)em(ax) f (x)dx
00
0
y
提示: 左端积分区域如图, 交换积分顺序即可证得.
a D yx
例
求 z ln( x2 y2 z2 1) dv, x2 y2 z2 1
D
(1) D为圆域
(2) D由直线
围成.
解: (1) 利用对称性.
I x2dxdy x ye x2 y2 dxdy
D
D
x2dxdy 0
D
y
D o 1x
2
d
1r 2 cos2 rd r
0
0
4
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
3. 掌握确定积分限的方法 图示法 列不等式法
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
2
二重积分的对称性：
设积分区域 D 可分成二个小区域D1 、D2 ， 且D1 、 D2 关于x 轴（或y 轴）对称，则
f (x, y) 为 y （或x ）的偶函数时，
f (x, y)d 2 f (x, y)d ；
面积为:
形心坐标
5xA3 yA
[5 (1) 3 2]A 9
1
x
A
D
xdxdy
1
y
A
D
ydxdy
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
14
例 计算二重积分 I ( x2 y2 2xy 2)dxdy,
D
其中D 为圆域
在第一象限部分.
例 计算三重积分
其中是由
xoy平面上曲线
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
所围成的闭区域.
xx
z
提示: 利用柱坐标 y r cos
o
z r sin
1 2
r
2
x
5
x5
y
: 0 r 10
0 2
原式
2
d
0
10 r3 dr
0
5
r2 dx
250
x
d y00
1
1
y
yx
o D2
D1
1
x
1 y x
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
13
例 计算二重积分 线
其中D 是由曲 所围成的平面域.
解: I 5 xdxdy 3 ydxdy
D
D
积分区域 (x 1)2 ( y 2)2 32
其形心坐标为: x 1 , y 2
zx
y
f (x, y, z)dv f (x, y, z)dv （ f (x, y, z)dv ）
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
4
例 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
提示: 利用极坐标
D
:
0
2
rR
D
D1
f (x, y) 为 y （或x ）的奇函数时，
f (x, y)d 0 。
D
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
3
三重积分的对称性：
若 可分成二个小区域 、 ，且 、
xy
z
关于
yz
面对称，而
f
(x,
y,
z)
是
x
的偶（奇）函数，则
解:
y
作辅助线 y x 将D分成 D1 , D2 两部分
1
yx
D1
D2
( y x)dxdy ( x y)dxdy 2 dxdy o
1x
D1
D2
D
2 ( 2 1)
3
2
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
12
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x,将D 分为 D1, D2 ,
利用对称性,得
I ( x2 x ye x2 y2 )dxdy ,
D
x2dxdy x ye x2 y2 dxdy
D
D1
x ye x2 y2 dxdy
D2
1 x2dx
2
D1 z
o x
y
原式 =
R 2
0
dz z2dxdy
D1 z
R
R 2
dz z2dxdy
D2 z
R
2 z2 (2Rz z2)dz
Rz2 (R2 z2)dz
0
R 2
59 R5
480
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
7
D
D2
D1
4
dy
6
12 y
y2 (x y)d x
2
dy
4
4 y
y2
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
9
二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或形心公式简化计算
分块积分法 3. 消去被积函数绝对值符号
2
cos
原式
y r R cos
o D Rx
2 R3
2 (1 sin3 ) d
30
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
5
例 计算积分
其中是两个球
(R > 0)的公共部分. 提示:由于被积函数缺 x , y ,
利用“先二后一”计算方便 .
D2z z R R
3
2
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
8
例. 计算积分
，其中D 由
所围成.
提示:如图所示 D D2 D1 ,
f (x, y) x y 在D2内有定义且
y
4
y2 2x
2 o
D1D 2
D
4
x
连续,所以
6
( x y)d (x y)d ( x y)d
一、重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
1
一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分区域多为坐标面(轴)围成； 被积函数用此坐标表示较简洁.
2. 选择易计算的积分次序 积分区域分块要少，累次积分易算为好.
o
其中是
x
由球面 x2 y2 z2 1 所围成的闭区域.
提示:被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数,利用 对称性可知原式为 0.
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
11
例 计算二重积分 I ( x2 x ye x2 y2 )dxdy , 其中:
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
10
例 证明:
a dy
y em(ax) f (x)dx
a (a x)em(ax) f (x)dx
00
0
y
提示: 左端积分区域如图, 交换积分顺序即可证得.
a D yx
例
求 z ln( x2 y2 z2 1) dv, x2 y2 z2 1
D
(1) D为圆域
(2) D由直线
围成.
解: (1) 利用对称性.
I x2dxdy x ye x2 y2 dxdy
D
D
x2dxdy 0
D
y
D o 1x
2
d
1r 2 cos2 rd r
0
0
4
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
3. 掌握确定积分限的方法 图示法 列不等式法
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
2
二重积分的对称性：
设积分区域 D 可分成二个小区域D1 、D2 ， 且D1 、 D2 关于x 轴（或y 轴）对称，则
f (x, y) 为 y （或x ）的偶函数时，
f (x, y)d 2 f (x, y)d ；
面积为:
形心坐标
5xA3 yA
[5 (1) 3 2]A 9
1
x
A
D
xdxdy
1
y
A
D
ydxdy
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
14
例 计算二重积分 I ( x2 y2 2xy 2)dxdy,
D
其中D 为圆域
在第一象限部分.
例 计算三重积分
其中是由
xoy平面上曲线
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
所围成的闭区域.
xx
z
提示: 利用柱坐标 y r cos
o
z r sin
1 2
r
2
x
5
x5
y
: 0 r 10
0 2
原式
2
d
0
10 r3 dr
0
5
r2 dx
250
x
d y00
1
1
y
yx
o D2
D1
1
x
1 y x
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
13
例 计算二重积分 线
其中D 是由曲 所围成的平面域.
解: I 5 xdxdy 3 ydxdy
D
D
积分区域 (x 1)2 ( y 2)2 32
其形心坐标为: x 1 , y 2
zx
y
f (x, y, z)dv f (x, y, z)dv （ f (x, y, z)dv ）
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
4
例 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
提示: 利用极坐标
D
:
0
2
rR
D
D1
f (x, y) 为 y （或x ）的奇函数时，
f (x, y)d 0 。
D
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
3
三重积分的对称性：
若 可分成二个小区域 、 ，且 、
xy
z
关于
yz
面对称，而
f
(x,
y,
z)
是
x
的偶（奇）函数，则
解:
y
作辅助线 y x 将D分成 D1 , D2 两部分
1
yx
D1
D2
( y x)dxdy ( x y)dxdy 2 dxdy o
1x
D1
D2
D
2 ( 2 1)
3
2
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12
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x,将D 分为 D1, D2 ,
利用对称性,得
I ( x2 x ye x2 y2 )dxdy ,
D
x2dxdy x ye x2 y2 dxdy
D
D1
x ye x2 y2 dxdy
D2
1 x2dx
2
D1 z
o x
y
原式 =
R 2
0
dz z2dxdy
D1 z
R
R 2
dz z2dxdy
D2 z
R
2 z2 (2Rz z2)dz
Rz2 (R2 z2)dz
0
R 2
59 R5
480
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7
D
D2
D1
4
dy
6
12 y
y2 (x y)d x
2
dy
4
4 y
y2
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二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或形心公式简化计算
分块积分法 3. 消去被积函数绝对值符号
2
cos
原式
y r R cos
o D Rx
2 R3
2 (1 sin3 ) d
30
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5
例 计算积分
其中是两个球
(R > 0)的公共部分. 提示:由于被积函数缺 x , y ,
利用“先二后一”计算方便 .
D2z z R R
3
2
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例. 计算积分
，其中D 由
所围成.
提示:如图所示 D D2 D1 ,
f (x, y) x y 在D2内有定义且
y
4
y2 2x
2 o
D1D 2
D
4
x
连续,所以
6
( x y)d (x y)d ( x y)d
一、重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用
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1
一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分区域多为坐标面(轴)围成； 被积函数用此坐标表示较简洁.
2. 选择易计算的积分次序 积分区域分块要少，累次积分易算为好.
o
其中是
x
由球面 x2 y2 z2 1 所围成的闭区域.
提示:被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数,利用 对称性可知原式为 0.
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例 计算二重积分 I ( x2 x ye x2 y2 )dxdy , 其中: