等价关系与集合的分类
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定义1.1.3 对a S , 令
如果～是集合 S 的一个等价关系,
a x S | x ~ a
称子集 a 为 S 的一个等价类 (equivalence class) ． S 的全体等价类的集合称为集合S 在等价关系下的商集 (quotient set), 记作 S / ~ ．
属于同一类, 所以 b ~ a . 最后, 如果 a ~ b , b ~ c ,
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即 a与 b 属于同一类, b与 c属于同一类,因而 a与 c同在
b 所在的类中, 所以 a ~ c ．因此“～”是 S
的一个等价
关系.显然, 由此等价关系得到的等价类就是原分类中 那些类．
' b b ~ a. 又对任意的 b ,则 b ' ~ b , 同样由传递性得 ' b b ~ a.于是 a , 因此 b a .同理 a b , 所以
'
证
S a
as
a b .这说明, 不同的类没有公共元素．
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2 a ,b, c, 3 b,a, c, 4 c,a, b;
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(3) 如果 S 分划为三个子集, 则有5 a ,b ,c
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因此,S 上共有五个不同的等价关系, 它们是
~1 a ~ a, b ~ b, c ~ c, a ~ b, b ~ a, a ~ c, c ~ a, b ~ c, c ~ b
所以M i | i 0,1,, n是 M 的一种分类． 例7 m a | a 0,1,2,, m 1 是整数集 的一 种分类．
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例8 对实数集 R , 令子集Ri i, i 1 , i .由 于 i Ri ,且i Ri 1 , 同一元素在两个子集中重复出现, 所以 i, i 1 | i 不是R 的一种分类．
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A B , B C ,则有A C ．
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例2 在整数集 中, 规定ab a | b ．因为 a | b 与a 的一个关系． | b有且仅有一个成立, 所以“|”是 这个关系也具有反身性和传递性． 例3 在整数集 中, 规定 ab ( 即 a 与 b 互 素)． 因为 a, b 1 与 a, b 1有且仅有一个成立, 所 以是 的一个关系．这个关系既不满足反身性也不满 足传递性, 但却满足所谓的对称性, 即对任意两个整数
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首先,设 ~ 为 S 集合的一个等价关系, 则 (1) 对任意的 a S , 由反身性知a a , 所以 (2) 如果 a b , 则 c a b 于是 有 ． c ~ b, c ~ a, 从而由对称性知 b ~ c, 再由传递性知
~ 2 a ~ a, b ~ b, c ~ c, b ~ c, c ~ b ~3 a ~ a, b ~ b, c ~ c, a ~ c, c ~ a ~ 4 a ~ a, b ~ b, c ~ c, a ~ b, b ~ a ~5 a ~ a, b ~ b, c ~ c
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例９ 关系． 解
设 S a, b, c , 试确定集合S 上的全部等价
由定理1.1.1知，只要求出的 S 全部分类,也
即求出的 S 所有可能的子集分划即可． (1) 如果 S 分划为一个子集, 则有 1 S ; (2) 如果S 分划为两个子集, 则有
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一、等价关系
定义1.1.1 设S 是一个非空集合, 是关于 S 的
元素的一个条件．如果对 S 中任意一个有序元素对
a, b ，我们总能确定a 与 b是否满足条件，就称是
S 的一个关系(relation)．如果a与b 满足条件 ，则称 a
与 b 有关系，记作a b；否则 a称b与无关系 ．关 系也称为二元关系．
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例４
易知, 三角形的全等,相似, 数域上n 阶
方阵的相等,相似等都是等价关系, 而例1,例2, 例3所述的关系都不是等价关系．
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ห้องสมุดไป่ตู้ 例５
设 m 是正整数, 在整数集 中, 规定
则 (1)对任意整数 a ,
ab m | a b, a, b
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参考文献及阅读材料
[1] 闵嗣鹤, 严士健． 初等数论（第２版）．北京: 高等教育出版社, 1990 本书的第1章有关于整数整除性的详细讨论, 第3章 则介绍了同余的概念及其性质． [2] AignerM..Combinatorial Theory:Springer-Verlag;New York:Heiderberg,1979
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例1
设 S是一个非空集合，S 的所有子集组成的
B， A B 集合记为P ( S ) ．因为对S 的任意两个子集A，
” 或A B 有且仅有一个成立，所以集合的包含关系“
是 P ( S ) 的一个关系．进一步讨论可以发，这个关系还 具有下面两条性质： (1) 反身性，即对S 的任一子集 A ，有 A A； (2) 传递性, 即对S 的任意子集 A , B , C , 如果
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三、集合的等价关系与集合的分类这两个概念之间 联系 定理1.1.1 集合 S 的任何一个等价关系都确定
了S 的一种分类,且其中每一个类都是集合 S 的一个等 价类.反之,集合S 的任何一种分类也都给出了集合 S 的一个等价关系,且相应的等价类就是原分类中的那 些类．
S 的子集族 Si | i I 构成 S 的一种分类,则记作
Si | i I
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例6 设 M 为数域 F 上全体 n 阶方阵的集合,令
M r 表示所有秩为 r 的 n 阶方阵构成的子集.
n
(1) M M i
i 0
;
(2) M i M j , i j ．
a b mod m (读作“ a 同余于 m ”)．整数的同余关 b ,模
系及其性质是初等数论的基础
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二、集合的分类
定义1.1.4 如果非空集合 S 表成若干个两两不 相交的非空子集的并, 则称这些子集为集合 S 的一种 分类 (partition),其中每个子集称为一个类 (class).如果
a, b ,由 a, b 1 ，可推出 b, a 1 ．
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定义1.1.2 果 满足
设 是 S 非空集合的一个关系, 如
(E1) 反身性, 即对任意的a S, 有aa ； (E2)对称性, 即若ab , 则 ba ； (E3) 传递性, 即若ab ,且 bc ,则ac． 则 称是S 的一个等价关系(equivalence relation), 并且如果 ab ,则称 a 等价于 b ,记作 a ~ b ．
从而由 (P1), (P2)知, 全体等价类形成的 S 一种 分类,显然每一个类都是 S 的等价类． 其次, 如果已知集合 S 的一种分类 , 在 S 中规 定关系“～”：
a ~ b a与b属于同一类，a, b S .
对任意的 a S , 由于 a 与本身属于同一类, 所以
a ~ a.如果 a ~ b , 即 a 与 b 属于同一类, 自然 b 与 a 也
(3) 若 m | a b , 有 m | a a (2) 若m | a b , 则m | b a ；
m | b c , 则m | a c ． 所以 是Z 的一个等价关系,显然
a与b 等价当且仅当a与b 被 m除有相同的余数, 因此称
这个关系为同余关系 (congruence relation) , 并记作
§1.1 等价关系与集合的分类
一、等价关系 定义1.1.1 ---关系 例1 例2 例3 三、集合的等价 关系与分类 例4 例5 定理1.1.1 ---类
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二、集合的分类 定义1.1.4 ---集合的分类 例6
例7
例8
定义1.1.2 ---等价关系
定义1.1.3 ---等价类
例9
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定义1.1.3 对a S , 令
如果～是集合 S 的一个等价关系,
a x S | x ~ a
称子集 a 为 S 的一个等价类 (equivalence class) ． S 的全体等价类的集合称为集合S 在等价关系下的商集 (quotient set), 记作 S / ~ ．
属于同一类, 所以 b ~ a . 最后, 如果 a ~ b , b ~ c ,
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即 a与 b 属于同一类, b与 c属于同一类,因而 a与 c同在
b 所在的类中, 所以 a ~ c ．因此“～”是 S
的一个等价
关系.显然, 由此等价关系得到的等价类就是原分类中 那些类．
' b b ~ a. 又对任意的 b ,则 b ' ~ b , 同样由传递性得 ' b b ~ a.于是 a , 因此 b a .同理 a b , 所以
'
证
S a
as
a b .这说明, 不同的类没有公共元素．
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2 a ,b, c, 3 b,a, c, 4 c,a, b;
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(3) 如果 S 分划为三个子集, 则有5 a ,b ,c
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因此,S 上共有五个不同的等价关系, 它们是
~1 a ~ a, b ~ b, c ~ c, a ~ b, b ~ a, a ~ c, c ~ a, b ~ c, c ~ b
所以M i | i 0,1,, n是 M 的一种分类． 例7 m a | a 0,1,2,, m 1 是整数集 的一 种分类．
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例8 对实数集 R , 令子集Ri i, i 1 , i .由 于 i Ri ,且i Ri 1 , 同一元素在两个子集中重复出现, 所以 i, i 1 | i 不是R 的一种分类．
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A B , B C ,则有A C ．
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例2 在整数集 中, 规定ab a | b ．因为 a | b 与a 的一个关系． | b有且仅有一个成立, 所以“|”是 这个关系也具有反身性和传递性． 例3 在整数集 中, 规定 ab ( 即 a 与 b 互 素)． 因为 a, b 1 与 a, b 1有且仅有一个成立, 所 以是 的一个关系．这个关系既不满足反身性也不满 足传递性, 但却满足所谓的对称性, 即对任意两个整数
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首先,设 ~ 为 S 集合的一个等价关系, 则 (1) 对任意的 a S , 由反身性知a a , 所以 (2) 如果 a b , 则 c a b 于是 有 ． c ~ b, c ~ a, 从而由对称性知 b ~ c, 再由传递性知
~ 2 a ~ a, b ~ b, c ~ c, b ~ c, c ~ b ~3 a ~ a, b ~ b, c ~ c, a ~ c, c ~ a ~ 4 a ~ a, b ~ b, c ~ c, a ~ b, b ~ a ~5 a ~ a, b ~ b, c ~ c
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例９ 关系． 解
设 S a, b, c , 试确定集合S 上的全部等价
由定理1.1.1知，只要求出的 S 全部分类,也
即求出的 S 所有可能的子集分划即可． (1) 如果 S 分划为一个子集, 则有 1 S ; (2) 如果S 分划为两个子集, 则有
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一、等价关系
定义1.1.1 设S 是一个非空集合, 是关于 S 的
元素的一个条件．如果对 S 中任意一个有序元素对
a, b ，我们总能确定a 与 b是否满足条件，就称是
S 的一个关系(relation)．如果a与b 满足条件 ，则称 a
与 b 有关系，记作a b；否则 a称b与无关系 ．关 系也称为二元关系．
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易知, 三角形的全等,相似, 数域上n 阶
方阵的相等,相似等都是等价关系, 而例1,例2, 例3所述的关系都不是等价关系．
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ห้องสมุดไป่ตู้ 例５
设 m 是正整数, 在整数集 中, 规定
则 (1)对任意整数 a ,
ab m | a b, a, b
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参考文献及阅读材料
[1] 闵嗣鹤, 严士健． 初等数论（第２版）．北京: 高等教育出版社, 1990 本书的第1章有关于整数整除性的详细讨论, 第3章 则介绍了同余的概念及其性质． [2] AignerM..Combinatorial Theory:Springer-Verlag;New York:Heiderberg,1979
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例1
设 S是一个非空集合，S 的所有子集组成的
B， A B 集合记为P ( S ) ．因为对S 的任意两个子集A，
” 或A B 有且仅有一个成立，所以集合的包含关系“
是 P ( S ) 的一个关系．进一步讨论可以发，这个关系还 具有下面两条性质： (1) 反身性，即对S 的任一子集 A ，有 A A； (2) 传递性, 即对S 的任意子集 A , B , C , 如果
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三、集合的等价关系与集合的分类这两个概念之间 联系 定理1.1.1 集合 S 的任何一个等价关系都确定
了S 的一种分类,且其中每一个类都是集合 S 的一个等 价类.反之,集合S 的任何一种分类也都给出了集合 S 的一个等价关系,且相应的等价类就是原分类中的那 些类．
S 的子集族 Si | i I 构成 S 的一种分类,则记作
Si | i I
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例6 设 M 为数域 F 上全体 n 阶方阵的集合,令
M r 表示所有秩为 r 的 n 阶方阵构成的子集.
n
(1) M M i
i 0
;
(2) M i M j , i j ．
a b mod m (读作“ a 同余于 m ”)．整数的同余关 b ,模
系及其性质是初等数论的基础
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二、集合的分类
定义1.1.4 如果非空集合 S 表成若干个两两不 相交的非空子集的并, 则称这些子集为集合 S 的一种 分类 (partition),其中每个子集称为一个类 (class).如果
a, b ,由 a, b 1 ，可推出 b, a 1 ．
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定义1.1.2 果 满足
设 是 S 非空集合的一个关系, 如
(E1) 反身性, 即对任意的a S, 有aa ； (E2)对称性, 即若ab , 则 ba ； (E3) 传递性, 即若ab ,且 bc ,则ac． 则 称是S 的一个等价关系(equivalence relation), 并且如果 ab ,则称 a 等价于 b ,记作 a ~ b ．
从而由 (P1), (P2)知, 全体等价类形成的 S 一种 分类,显然每一个类都是 S 的等价类． 其次, 如果已知集合 S 的一种分类 , 在 S 中规 定关系“～”：
a ~ b a与b属于同一类，a, b S .
对任意的 a S , 由于 a 与本身属于同一类, 所以
a ~ a.如果 a ~ b , 即 a 与 b 属于同一类, 自然 b 与 a 也
(3) 若 m | a b , 有 m | a a (2) 若m | a b , 则m | b a ；
m | b c , 则m | a c ． 所以 是Z 的一个等价关系,显然
a与b 等价当且仅当a与b 被 m除有相同的余数, 因此称
这个关系为同余关系 (congruence relation) , 并记作
§1.1 等价关系与集合的分类
一、等价关系 定义1.1.1 ---关系 例1 例2 例3 三、集合的等价 关系与分类 例4 例5 定理1.1.1 ---类
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定义1.1.2 ---等价关系
定义1.1.3 ---等价类
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