1-1 线性方程组的同解变形
1-1 线性方程组的同解变形
同解的含义 方程的加法、数乘、 线性组合
问Leabharlann 题解(solution)。
其中第i个数称为解的第i个分量。
关于解的基本问题
• 方程组有解乎？如果有解， 有几个解？ • 怎样求方程组的解？ • 解的表示是神马样的？ • 解的几何结构如何？（如一 个二元一次方程表示一条平 面直线）
一、同解的含义
• 如果方程组 (I) 的解都是方程组 (II)的 解,且方程组 (II) 的解都是方程组 (I)的 解, 称这两个方程组等价。此时两个方 程组的同解。 • 解方程组的基本方法, 就是将方 程组进行适当的同解变形, 直到 最后得到的方程组的可以写出 来为止。
• 定理 方程组的以下三种变形是同解变形： (1) 交换其中任意两个方程的位置, 其余不变; (2)将任一个方程乘以一个非零的常数, 其余不变; (3)将任一方程的常数倍加到另一方程上, 其余不变。
初等变换的升华---线性组合
• 方程的线性组合: 将 m 个方程分别乘 以m 个已知常数，再将所得的m 个方程相 加, 得到的新方程称为原来那 m 个方程的 一个线性组合。 • 原来方程组的解,也是这些方程的任一 个线性组合的解。 • 注意: 线性组合的系数中可以有些是 0。
• 如果方程组 (II) 中每个方程其余都是方程组 (I) 中 的方程的线性组合, 称方程组(II) 是方程组 (I) 的线 性组合. 此时方程组 (I) 的每一组解也都是方程组 (II) 的解。 • 如果方程组 (I) 与方程组 (II) 互为线性组合, 这两个方程组一定同解。
• 解的每个分量都由方程组的系数经过加、 减、乘、除四则运算得到。如果原方程 组的系数都是实数, 由于实数集合对加、 减、乘、除四则运算封闭 (除数非 0), 方 程组的唯一解的所有分量就都是实数。
• 定义：设 F 是复数集合的子集, 至少包 含一个非零的数, 并且在加、减、乘、除 运算下封闭 (除数不为 0), 称 F是数域。 例：复数集、实数集 、有理数集。 • 如果线性方程组的系数都在某个数域 F 的范围内, 并且方程组有唯一解, 则解的 分量都在 F 的范围内。 • 没有特别指明时，本课程都讨论实数域。
• 证：只须用同解的定义。 • 说明：该定理 所说的三类同解变形, 称为线性方 程组的初等变换。这三类初等变换都是可逆的： 如果方程组(I)通过初等变换变成了方程组(II), 则 方程组(II)也可以通过初等变换变回(I)。
二、方程的加法、数乘、线性组合
• 方程的加法：等式 两边同时相加。
• 方程的数乘：方程两边同时乘以常数。
同解的含义 方程的加法、数乘、 线性组合
问Leabharlann 题解(solution)。
其中第i个数称为解的第i个分量。
关于解的基本问题
• 方程组有解乎？如果有解， 有几个解？ • 怎样求方程组的解？ • 解的表示是神马样的？ • 解的几何结构如何？（如一 个二元一次方程表示一条平 面直线）
一、同解的含义
• 如果方程组 (I) 的解都是方程组 (II)的 解,且方程组 (II) 的解都是方程组 (I)的 解, 称这两个方程组等价。此时两个方 程组的同解。 • 解方程组的基本方法, 就是将方 程组进行适当的同解变形, 直到 最后得到的方程组的可以写出 来为止。
• 定理 方程组的以下三种变形是同解变形： (1) 交换其中任意两个方程的位置, 其余不变; (2)将任一个方程乘以一个非零的常数, 其余不变; (3)将任一方程的常数倍加到另一方程上, 其余不变。
初等变换的升华---线性组合
• 方程的线性组合: 将 m 个方程分别乘 以m 个已知常数，再将所得的m 个方程相 加, 得到的新方程称为原来那 m 个方程的 一个线性组合。 • 原来方程组的解,也是这些方程的任一 个线性组合的解。 • 注意: 线性组合的系数中可以有些是 0。
• 如果方程组 (II) 中每个方程其余都是方程组 (I) 中 的方程的线性组合, 称方程组(II) 是方程组 (I) 的线 性组合. 此时方程组 (I) 的每一组解也都是方程组 (II) 的解。 • 如果方程组 (I) 与方程组 (II) 互为线性组合, 这两个方程组一定同解。
• 解的每个分量都由方程组的系数经过加、 减、乘、除四则运算得到。如果原方程 组的系数都是实数, 由于实数集合对加、 减、乘、除四则运算封闭 (除数非 0), 方 程组的唯一解的所有分量就都是实数。
• 定义：设 F 是复数集合的子集, 至少包 含一个非零的数, 并且在加、减、乘、除 运算下封闭 (除数不为 0), 称 F是数域。 例：复数集、实数集 、有理数集。 • 如果线性方程组的系数都在某个数域 F 的范围内, 并且方程组有唯一解, 则解的 分量都在 F 的范围内。 • 没有特别指明时，本课程都讨论实数域。
• 证：只须用同解的定义。 • 说明：该定理 所说的三类同解变形, 称为线性方 程组的初等变换。这三类初等变换都是可逆的： 如果方程组(I)通过初等变换变成了方程组(II), 则 方程组(II)也可以通过初等变换变回(I)。
二、方程的加法、数乘、线性组合
• 方程的加法：等式 两边同时相加。
• 方程的数乘：方程两边同时乘以常数。
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线性代数线性方程组基本概念
证明
由 r ( A) r ( A b) 知 A X = b 有解，
组
即存在 x~1, x~2 ,, x~n ，使得
x~1 A1 x~2 A2 x~n An b .
(1) 若 r n , 则 A1, A2 , , An 线性无关， 故 b 只能由 A1, A2 , , An 的惟一地线性表示， 即 A X = b 的解是惟一的。
即得 念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
1. 线性方程组解的存在性
2. 线性方程组解的惟一性 P112 定理4.2 (2) 线
性 定理 设 r ( A) r ( A b) r , 则 r n A X = b 有惟一解。
方 程
P123
4
§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
四 章
1. 线性方程组的一般形式
2. 线性方程组的矩阵形式 P111 线
性
方
程
组
简记为 A X b ,
其中 A 称为系数矩阵， A~ ( A b) 称为增广矩阵。
5
§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
若 A X = b 有解，
组
则 b 可由 A1 , A2 , , An 线性表示，
故向量组 A1 , A2 , , An 与 A1 , A2 , , An , b 等价，
即得 r ( A) r ( A b).
7
§4.1 线性方程组的基本概念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
1. 线性方程组解的存在性
线 定理 线性方程组 A X = b 有解的充要条件是 r ( A) r ( A b).
第四章 线性方程组
理学院田宝玉 (第 1 页/共 14 页) 第四章 线性方程组
结论：加减消元得到一系列同解方程组的过程，就相当于对增广矩阵施以一系列 的初等行变换， 化成上阶梯形矩阵. 得到的新矩阵作为增广矩阵所对应的方程组与 原方程组等价（即为同解方程组）. 注：只施以初等行变换.
⎛ x1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎧ x1 = −1 ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 求解： ⎨ x2 = −2 → 向量形式： ⎜ x2 ⎟ = ⎜ −2 ⎟ . ⎪x = 2 ⎜x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎩ 3 ⎧ x1 + 3 x2 − 5 x3 = −1 ⎪ 引例 2： ⎨ 2 x1 + 6 x2 − 3 x3 = 5 . ⎪3 x + 9 x − 10 x = 2 2 3 ⎩ 1
− c1n x n − c2n xn − c rn x n
此时， 每赋予未知量 xr +1 , xr + 2 ,
, xn 一组值， 则可惟一的解出左端 x1 , x2 ,
, xr 的
一组值.（因为左端系数矩阵的行列式不等于零，可由克拉默法则求解.）因此，方 程组有无穷多组解. 且右端未知量 xr +1 , xr + 2 ,
解 记系数矩阵为 A ，增广矩阵为 B .
⎛1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎛ 1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎛ 1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ 行变换 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B = ⎜1 −1 −1 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯ → ⎜ 0 0 −2 2 −1 ⎟ → ⎜ 0 0 1 −1 1 2⎟ ⎜1 −1 −2 2 − 1 ⎟ ⎜ 0 0 −3 3 − 3 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 2⎠ 2⎠
⎧ x1 + 3 x2 − 5 x3 = −1 ⎪ 同解方程组为： ⎨ x3 = 1 . 显然，此方程组无解. ⎪ 0 =1 ⎩
结论：加减消元得到一系列同解方程组的过程，就相当于对增广矩阵施以一系列 的初等行变换， 化成上阶梯形矩阵. 得到的新矩阵作为增广矩阵所对应的方程组与 原方程组等价（即为同解方程组）. 注：只施以初等行变换.
⎛ x1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎧ x1 = −1 ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 求解： ⎨ x2 = −2 → 向量形式： ⎜ x2 ⎟ = ⎜ −2 ⎟ . ⎪x = 2 ⎜x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎩ 3 ⎧ x1 + 3 x2 − 5 x3 = −1 ⎪ 引例 2： ⎨ 2 x1 + 6 x2 − 3 x3 = 5 . ⎪3 x + 9 x − 10 x = 2 2 3 ⎩ 1
− c1n x n − c2n xn − c rn x n
此时， 每赋予未知量 xr +1 , xr + 2 ,
, xn 一组值， 则可惟一的解出左端 x1 , x2 ,
, xr 的
一组值.（因为左端系数矩阵的行列式不等于零，可由克拉默法则求解.）因此，方 程组有无穷多组解. 且右端未知量 xr +1 , xr + 2 ,
解 记系数矩阵为 A ，增广矩阵为 B .
⎛1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎛ 1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎛ 1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ 行变换 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B = ⎜1 −1 −1 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯ → ⎜ 0 0 −2 2 −1 ⎟ → ⎜ 0 0 1 −1 1 2⎟ ⎜1 −1 −2 2 − 1 ⎟ ⎜ 0 0 −3 3 − 3 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 2⎠ 2⎠
⎧ x1 + 3 x2 − 5 x3 = −1 ⎪ 同解方程组为： ⎨ x3 = 1 . 显然，此方程组无解. ⎪ 0 =1 ⎩
第三章 线性方程组
例1 解方程组：
2x1 x2 x3 x4 2, (1)
4xx1 1x62x2
2 x3 2
x3
x4 4, 2x4
4,
( 2) ( 3)
3x1 6x2 9x3 7 x4 9, (4)
解: 将第一个方程与第二个方程交换位置，并 将第 三个方程÷2， 得
x1 x2 2x3 x4 4, (1)
第三章 线性方程组
本章将讨论一般线性方程组解的理论和求解方法。 本章基本要求： 1、理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 及非齐次线性方程组有解的充分必要条件； 2、理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念； 3、理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念； 4、掌握用行初等变换求解线性方程组的方法。
x4 3,
x2
x3
3,
x1
x3
4
x3 R 这 即 为 原 方 程 组 的 解
上述对方程组的消元变形过程中，实际上是对方 程组反复施行了下列三种运算： (1) 交换两个方程在方程组中的位置； (2) 一个方程的两端同乘以一个不等于零的数； (3) 一个方程的两端乘以同一个数后加到另一个方 程上去。
x1 x2 5 x3 x4 0
例3
解齐次线性方程组：
3
x1 x1
x2 x2
2 x3 8 x3
3x4 x4
0 0
x1 3 x2 9 x3 7 x4 0
解：对系数矩阵A进行初等行变换，把它化为阶梯
形矩阵。
1
A
1 3 1
1 1 1 3
5 2 8 9
1 L2 L1 3
L4 3L2
0 0 0
1 2 5 3
2 2 5 3
1 2 3 4
高等数学自考12.2线性方程组的相容性定理
x1 7 x 2 0 x1 解 设非零向量 同时垂直于三个已知向量.为此有 x 1 x 2 0 x2 2 x x 0 2 1
对增广矩阵(或系数矩阵)实施初等行变换如下
上一页
12
下一页
1 A= 2
所以求得
上一页
13
下一页
46 27 11
□
x 46 , x 27 , x 11 . 1 2 3
2x1 x2 x3 1 例2 当 , 为何值时,方程组 x1 3x2 2 x3 3 无解?有唯一解?有无穷多解? x 2x x 2 3 1
2???????????????8325322321321321xxxxxxxxx上一页下一页993???????????????032325322321321321xxxxxxxxx解解对各方程组的增广矩阵实施初等变换1ab??????????????411132115322??????实施初等行变换????????????400071004111因为秩ab3秩a2所以线性方程组无解
x1 19 x2 x3 11 (x2是自由未知量）
上一页
10
下一页
2 2 3 5 1 0 0 实施初等行变换 0 1 0 (3)[A┊B]= 1 1 2 3 2 3 1 0 0 0 1
因为秩[A┊B]=秩A=3(未知数个数),所以方程组有唯一解. 即
2 x1 2 x2 3x3 5 (1) x1 x2 2 x3 3 ;(2) x x x 4 2 3 1
2 x1 2 x2 3x3 5 x1 x2 2 x3 3 x x x 8 2 3 1
第1章 2)线性方程组
§2 线性方程组
在中学，我们知道一次函数的图象 是直线，因此一次函数也叫做线性 函数． 本节从二元, 三元一次方程组推出 了一般的线性方程组的概念．进而导 出了矩阵和矩阵的初等变换.通过矩 阵的初等变换来实现线性方程组的求 解 矩阵是线性代数的基本工具. 我们务 必要熟练掌握.
2.1 线性方程组
这是我们熟悉的二元、三元一次方程组 : 2 x y 3 z 13 3x 4 y 7 x 4 y z 4 2 x y 12 5 x 2 y 2z 3 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , 一般地 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 , (1.1) as1 x1 as 2 x2 asn xn bs . 称为一个（n元）线性方程组。
线性方程 的系数矩 组 a11 a12 阵 a1n a a a 2n 21 22 as1 as 2 asn
增广矩阵 a11 a12 a1n b1 a a a b 2n 2 21 22 as1 as 2 asn bs
-初等列变换 当上述三种变换中的行改为列
时，我们称为 A 的三种初等列变换．
定理1.2
线性方程组经初等变换后，得 到的线性方程组与原线性方程组同 解。
定理1.2’
线性方程组的增广矩阵，经过 行的初等变换后，相应的线性方程 组与原线性方程组同解。 (P6)
代数学的一个特点：
象 研究一般的线性方程组的解法步骤
矩阵也有用圆括号的：
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n a a a sn s1 s 2
在中学，我们知道一次函数的图象 是直线，因此一次函数也叫做线性 函数． 本节从二元, 三元一次方程组推出 了一般的线性方程组的概念．进而导 出了矩阵和矩阵的初等变换.通过矩 阵的初等变换来实现线性方程组的求 解 矩阵是线性代数的基本工具. 我们务 必要熟练掌握.
2.1 线性方程组
这是我们熟悉的二元、三元一次方程组 : 2 x y 3 z 13 3x 4 y 7 x 4 y z 4 2 x y 12 5 x 2 y 2z 3 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , 一般地 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 , (1.1) as1 x1 as 2 x2 asn xn bs . 称为一个（n元）线性方程组。
线性方程 的系数矩 组 a11 a12 阵 a1n a a a 2n 21 22 as1 as 2 asn
增广矩阵 a11 a12 a1n b1 a a a b 2n 2 21 22 as1 as 2 asn bs
-初等列变换 当上述三种变换中的行改为列
时，我们称为 A 的三种初等列变换．
定理1.2
线性方程组经初等变换后，得 到的线性方程组与原线性方程组同 解。
定理1.2’
线性方程组的增广矩阵，经过 行的初等变换后，相应的线性方程 组与原线性方程组同解。 (P6)
代数学的一个特点：
象 研究一般的线性方程组的解法步骤
矩阵也有用圆括号的：
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n a a a sn s1 s 2
第5章_线性方程组的解法
k 1
326
0
0
0
a(n) nn
bn(n
)
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
... ... ...
a(1) 1n
a(2) 2n ...
a(n) nn
x1
x2
... xn
bb12((12))
...
bn(n)
回代:
xn
b(n) n
/
a
(n nn
11
3种常用范数：
2-范数（长度）
n
1-范数
x ( 2
xi2 )1/2
i 1
∞-范数
n
x 1
xi
i 1
x
max
1 i n
xi
12
矩阵的范数： 对于给定的n阶方阵A，将比值 Ax / x 的上确界 称为矩阵A的范数
直接由定义知，对于任意向量x，有：|| A x ||≤|| A || || x || 基本性质：
det
a11
an1
a1i1
ani1
b1
bn
a1i1
a1n
ani1 ann
（1）计算n+1个n阶行列式. （计算一个n阶行列式就需要做(n-1)n!次乘法. 要计算n+1个n阶行列式,共 需做(n2-1)n!次乘法）. （2）做n次除法才能算出xi(i=1,… n). （3）用此法，需作乘除法的运算： N=(n2-1)n!+n 例如,当n=10(即求解一个含10个未知量的方程组), 次数共为32659210次； 当n＝100，1033次/秒的计算机要算10120年
a(1) 13
a(2) 23
线性代数 第三节 线性方程组
利用系数矩阵和增广矩阵的秩，可以方便地讨 利用系数矩阵和增广矩阵的秩， 论线性方程组是否相容， 论线性方程组是否相容，以及有解时解是否唯一 等问题. 等问题
3. 线性方程组解的三种情况
对线性方程组增广矩阵进行初等变换与对方程组进行初 等变换是相互对应的， 等变换是相互对应的，因此当用高斯消元法来求解线 性方程组时可以应用矩阵的初等变换进行 进行. 性方程组时可以应用矩阵的初等变换进行 3 x1 + 4 x 2 − 6 x 3 = 4 例1 解三元线性方程组 x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 = 1 − x + 2 x − 7 x = 0 1 2 3
1 −1 0 3 1 1 −1 − 2 1 3 r r 1 1 −1 1 +2r2 →0 0 1 1 −1 3 −r2 →0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
： 方程组的同解方程组为
x1 − x2 + 3x4 = 1 x3 + x4 = −1
解 3 x1 + 4 x 2 − 6 x3 = 4 x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 1 − x + 2 x − 7 x = 0 2 3 1 r1 ↔ r2 → x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 1 3 x1 + 4 x 2 − 6 x3 = 4 − x + 2 x − 7 x = 0 2 3 1
b1 b2 ⋮ bm
b1 b b= 2 ⋮ b m
a 11 a 21 ⋮ a m 1
称为线性方程组的增广阵
2. 线性方程组的相容性
方程组同解的结论
方程组同解指的是两个或多个方程组有完全相同的解集。
以下是方程组同解的结论：
1. 方程组同解的充分条件是它们的增广矩阵经过一系列初等变换后可以化为行简化阶梯形矩阵，并且最后一行形如[0, 0, ..., 0 | b]，其中b 不为零。
2. 如果两个方程组同解，则它们的系数矩阵、增广矩阵和未知量个数必须完全相同。
3. 如果一个方程组存在自由未知量，则不同的自由未知量可以得到不同的解，因此该方程组与任意一个同解方程组的解集都不完全相同。
4. 如果一个方程组无解，则它与任意一个同解方程组的解集也必然不同。
5. 如果两个方程组同解，则它们所代表的线性方程组的几何意义也完全相同，即它们所表示的线性子空间相同。
总之，方程组同解的关键是它们的解集完全相同，而不是每个方程的形式。
因此，判断方程组是否同解需要比较它们的解集，而不是逐个比较方程。
线性方程组的同解变换
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 ——
下页
1 -2 01 00
43 23 12
结束
1.2 消元法与矩阵的初等行变换
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广 矩阵施以初等行变换的过程. 行阶梯形矩阵
—r3—-2r2
x1 -2x2+4x3 = 3
x2+2xx33
= =
3 2
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
x1 -2x2+4x3 = 3 x2+2x3 = 3 x3 = 2
返回
3 -5 14 12
(Ab)= 1 -2 4 3 -1 4 1 5
—r1 —r2
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r—3+r1
即若c1, c2, …, cn是方程组(1)的一个解，则有：
a11c1 + a12c2 + + a1ncn = b1 a21c1 + a22c2 + + a2ncn = b2
+ + - = am1c1 + am2c2 + + amncn = bm
《线性代数》
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结束
1.2 消元法与矩阵的初等行变换
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广 矩阵施以初等行变换的过程.
例1.
r1r2 —— —rr2—3-+3rr11 —r3—-2r2
《线性代数》
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
4.2 高斯(Gauss)消元法
18
§4.2 高斯(Gauss)消元法 第 三、线性方程组求解结果的一般性讨论 四 3. 第三种情况 若 d r 1= 0 且 r < n，方程组具有形式 章 线 性 方 程 组
c11 x1 c12 x 2 c1r x r c1n x n d 1 c22 x 2 c2 r x r c2 n x n d 2 crr x r crn x n d r
(1) 对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形,
(2) 通过回代求出相应的解。
2. 高斯-若当消元法
(1) 对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形, (2) 再进一步化为行标准形， (3) 直接写出相应的解。
7
§4.2 高斯(Gauss)消元法 第 四 章 线 性 方 程 组
2 x1 2 x 2 3 x 3 1 2 例 求解线性方程组 x1 x 2 x 2 x x斯(Gauss)消元法 第 三、线性方程组求解结果的一般性讨论 四 1. 第一种情况 若 d r 1 0 , 方程组中出现矛盾方程 章 线 性 方 程 组
c11 x1 c12 x 2 c1r x r c1n x n d 1 c22 x 2 c2 r x r c2 n x n d 2 crr x r crn x n d r 0 d r 1 0 0 0 0
①② ③ 0.5
x1 x2 2 x3 1 ① 2 x1 x2 x3 2 ② x1 4 x2 3 x3 3 ③ x1 x2 2 x3 1 3 x2 3 x3 0 2 x3 2
③①
“回代”求解得：