数学七年级上册 平面图形的认识(一)专题练习(解析版)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）

1．如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为O,A、B两点同时从点O出发，点A沿直线m向左运动，点B沿直线n向上运动.

（1）若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P，在点A、B的运动过程中，∠APB的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；

（2）若△ABO的两个外角的平分线AQ、BQ相交于点Q，AP的延长线交QB的延长线于点C，在点A、B的运动过程中，∠Q和∠C的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠Q和∠C的度数；若发生变化，请说明理由.

【答案】（1）解：不变化.理由：∵AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线，∠AOB=90°，∴∠APB=180°（∠OAB+∠ABO）=180° ×90°=135°

（2）解：都不变.

理由：∵AQ和BQ分别是∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线，AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线，

∴∠CAQ=∠QBP=90°，又∠APB=135°，

∴∠Q=45°，∴∠C=45°

【解析】【分析】根据角平分线定义和三角形内角和定理得到∠APB=180° ?（∠OAB+∠ABO）；根据邻补角的平分线互相垂直，得到∠CAQ=∠QBP=90°，由∠APB的度数，求出∠Q和∠C的度数.

2．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．

（1）若，，求∠D的度数；

（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．

【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD= ∠ABC= ×75°=37.5°，

∵CD平分△ABC的外角，

∴∠DCA= (180°-∠ACB)= (180°-45°)=67.5°，

∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-37.5°-67.5°-45°=30°.

（2）解：猜想：∠ D = ( ∠ M + ∠ N ? 180 ° ).

∵∠M+∠N+∠CBM+∠NCB=360°,

∴∠D=180°- ∠CBM-∠NCB- ∠NCE.

=180°- (360°-∠NCB-∠M-∠N)- ∠NCB- ∠NCE.

=180°-180°+ ∠NCB+ ∠M+ ∠N-∠NCB- ∠NCE.

= ∠M+ ∠N- ∠NCB- ∠NCE= ,

或写成

【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠DBC=37.5°，根据邻补角定义以及角平分线定义求得∠DCA的度数为67.5°，最后根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数；

(2)由四边形内角和与角平分线性质即可求解.

3．将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°），保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒

（1）当t=________秒时，OM平分∠AOC？如图2，此时∠NOC﹣∠AOM=________°；

（2）继续旋转三角板MON，如图3，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC 与∠AOM有怎样的数量关系？并说明理由；

（3）若在三角板MON开始旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止，（自行画图分析）

①当t=________秒时，OM平分∠AOC？

（4）②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系．

【答案】（1）2.25；45

（2）解：∠NOC﹣∠AOM=45°，

∵∠AON=90°+10t，

∴∠NOC=90°+10t﹣45°

=45°+10t，

∵∠AOM=10t，

∴∠NOC﹣∠AOM=45°

（3）3

（4）解：②∠NOC﹣∠AOM=45°．

∵∠AOB=5t，∠AOM=10t，∠MON=90°，∠BOC=45°，

∵∠AON=90°+∠AOM=90°+10t，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+5t，

∴∠NOC=∠AON﹣∠AOC=90°+10t﹣45°﹣5t=45°+5t，

∴∠NOC﹣∠AOM=45°．

【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC=45°，OM平分∠AOC，

∴∠AOM= =22.5°，

∴t=2.25秒，

∵∠MON=90°，∠MOC=22.5°，

∴∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；

故答案为：2.25，45；

·（3）①∵∠AOB=5t，∠AOM=10t，

∴∠AOC=45°+5t，

∵OM平分∠AOC，

∴∠AOM= AOC，

∴10t= （45°+5t），

∴t=3秒，

故答案为：3．

【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠AOM= =22.5°，于是得到t=2.25秒，由

于∠MON=90°，∠MOC=22.5°，即可得到∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；（2）根据题意得∠AON=90°+10t，求得∠NOC=90°+10t﹣45°=45°+10t，即可得到结论；（3）①根据题意得∠AOB=5t，∠AOM=10t，求得∠AOC=45°+5t，根据角平分线的定义得到∠AOM= AOC，列方程即可得到结论；（4）②根据角的和差即可得到结论．

4．综合题

（1）如图1，若CO⊥AB，垂足为O，OE、OF分别平分∠AOC与∠BOC．求∠EOF的度数；

（2）如图2，若∠AOC=∠BOD=80°，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．求∠EOF的度数；

（3）若∠AOC=∠BOD=α，将∠BOD绕点O旋转，使得射线OC与射线OD的夹角为β，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．若α+β≤180°，α＞β，则∠EOC=________．（用含α与β的代数式表示）

【答案】（1）解：∵CO⊥AB，

∴∠AOC=∠BOC=90°，

∵OE平分∠AOC，

∴∠EOC= ∠AOC= ×90°=45°，

∵OF平分∠BOC，

∴∠COF= ∠BOC= ×90°=45°，

∠EOF=∠EOC+∠COF=45°+45°=90°；

（2）解：∵OE平分∠AOD，

∴∠EOD= ∠AOD= ×（80+β）=40+ β，

∵OF平分∠BOC，

∴∠COF= ∠BOC= ×（80+β）=40+ β，

∠COE=∠EOD﹣∠COD=40+ β﹣β=40﹣β；

∠EOF=∠COE+∠COF=40﹣β+40+ β=80°；

（3）

【解析】【解答】（3）如图2，∵∠AOC=∠BOD=α，∠COD=β，

∴∠AOD=α+β，

∵OE平分∠AOD，

∴∠DOE= （α+β），

∴∠COE=∠DOE﹣∠COD= ，

如图3，∵∠AOC=∠BOD=α，∠COD=β，

∴∠AOD=α+β，

∵OE平分∠AOD，

∴∠DOE= （α﹣β），

∴∠COE=∠DOE+∠COD= ．

综上所述：，

故答案为：．

【分析】（1）根据垂直的定义得到∠AOC=∠BOC=90°，根据角平分线的定义即可得到结论；

（2）根据角平分线的定义得到∠EOD=40+ β，∠COF=40+ β，根据角的和差即可得到结论；

（3）如图2由已知条件得到∠AOD=α+β，根据角平分线的定义得到∠DOE=（α+β），即可得到结论．

5．如图，已知点，且，满足 .过点分别作轴、轴，垂足分别是点A、C.

（1）求出点B的坐标；

（2）点M是边上的一个动点（不与点A重合），的角平分线交射线于点

N，在点M运动过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由. （3）在四边形的边上是否存在点，使得将四边形分成面积比为1：4的两部分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）解：由得：

,解得：

∴点的坐标为

（2）解：不变化

∵轴

∴BC∥x轴

∴

∵平分

∴

∴

∴

（3）解：点P可能在OC,OA边上，如下图所示，

由（1）可知，BC=5，AB=3，故矩形的面积为15

若点P在OC边上，可设P点坐标为，则

三角形BCP的面积为，

剩余部分面积为，

所以，解得，

P点坐标为；

若点P在OA边上，可设P点坐标为，则

三角形BAP的面积为，

剩余部分面积为，

所以，解得，

P点坐标为 .

综上,点的坐标为， .

【解析】【分析】（1）由绝对值和算术平方根的非负性可知由两个非负数的和为0，则这两个数都为0，由此可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出B点坐标；（2）根据平行线和角平分线的性质可证明，所以比值不变化；

（3）点P只能在OC,OA边上，表示出两部分的面积，依比值求解即可.

6．在直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，c），C（d，0），a是-8的立方根，方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x，y的二元一次方程，d为不等式组的最大整数解．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）如图1，若D为y轴负半轴上的一个动点，当AD∥BC时，∠ADO与∠BCA的平分线交于M点，求∠M的度数；

（3）如图2，若D为y轴负半轴上的一个动点，连BD交x轴于点E，问是否存在点D，

使S△ADE≤S△BCE？若存在，请求出D的纵坐标y D的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：-8的立方根是-2，

∴a=-2，

方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x，y的二元一次方程，

∴，

解得，，

不等式组的最大整数解是5，

则A（-2，0）、B（2，4）、C（5，0）

（2）解：作MH∥AD，

∵AD∥BC，

∴MH∥BC，

∵∠AOD=90°，

∴∠ADO+∠OAD=90°，

∵AD∥BC，

∴∠BCA=∠OAD，

∴∠ADO+∠BCA=90°，

∵∠ADO与∠BCA的平分线交于M点，

∴∠ADM= ∠ADO，∠BCM= ∠BCA，

∴∠ADM+∠BCM=45°，

∵MH∥AD，MH∥BC，

∴∠NMD=∠ADM，∠HMC=∠BCM，

∴∠M=∠NMD+∠HMC=∠ADM+∠BCM=45°；

（3）解：存在，

连AB交y轴于F，

设点D的纵坐标为y D，

∵S△ADE≤S△BCE，

∴S△ADE+S△ABE≤S△BCE+S△ABE，即S△ABD≤S△ABC，

∵A（-2，0），B（2，4），C（5，0），

∴S△ABC=14，点F的坐标为（0，2），

S△ABD= ×（2-y D）×2+ ×（2-y D）×2=4-2y，

由题意得，4-2y D≤14，

解得，y D≥-5，

∵D在y轴负半轴上，

∴y D＜0，

∴D的纵坐标y D的取值范围是-5≤y D＜0．

【解析】【分析】（1）根据立方根的概念、二元一次方程组的定义、一元一次不等式组的解法分别求出a、b、c、d，得到点A、B、C的坐标；（2）作MH∥AD，根据平行线的性质得到∠BCA=∠OAD，得到∠ADO+∠BCA=90°，根据角平分线的定义得到∠ADM+∠BCM=45°，根据平行线的性质计算即可；（3）连AB交y轴于F，根据题意求出点F的坐标，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可．

7．

（1）如图，已知C为线段AB上的一点，AC=60cm，M、N分别为AB、BC的中点.

①若BC=20cm，则MN=________cm；

②若BC=acm，则MN=________cm.

（2）如图，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC=60°，OM平分∠AOB，射线ON在∠BOC 内，且∠MON=30°，则ON平分∠BOC吗？并说明理由.

【答案】（1）30；30

（2）解：平分

理由：∵OM分别平分∠AOB，

∴∠BOM= ∠AOB

= （∠AOC+∠BOC）

=30°+ ∠BOC.

又∵∠BOM=∠MON+∠BON=30°+∠BON，

∴∠BON= ∠BOC.

∴ON平分∠BOC.

【解析】【解答】解：（1）①∵BC=20，N为BC中点，

∴BN= BC=10.

又∵M为AB中点，

∴MB= AB=40.

∴MN=MB-BN=40-10=30.

故答案为30；

②当BC=a时，AB=60+a，

BN= a，MB= AB=30+ a，

∴MN=MB-BN=30.

故答案为30；

【分析】（1）①由已知得到AB=80，根据线段中点求出MB和BN的值，计算MB-BN即可得结果；②分别用a表示出BN、MB，根据MN=MB-BN计算即可；（2）根据OM分别平分∠AOB，用∠BOC表示出∠BOM，再用∠BON表示出∠BOM，两个式子进行比较即可得出结论.

8．己知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间。

（1）如图①，试说明：∠AEC=∠BAE+∠ECD；

（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿射线CD平移至FG。

①如图②，若∠AEC=90°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；

②如图③，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由。

【答案】（1）解：如图①

【法1】过点E作直线EK∥AB

因为AB∥CD，所以EK∥CD

所以∠BAE=∠AEK，∠DCE=∠CEK

所以∠AEC=∠AEK+∠CEK=∠BAE+∠ECD

【法2】连接AC，则∠BAC+∠DCA=180°

则∠BAC+∠DCA=180°

即∠BAE+∠EAC+∠ECA+∠ECD=180°

所以∠BAE+∠ECD=180°-(∠EAC+∠ECA)=∠AEC

即∠AEC=∠BAE+∠ECD

（2）解：①【法1】因为AH平分∠BAE，FH平分∠DFG，所以∠BAH=∠EAH，∠DFH=∠GFH

又因为FG∥CE，所以∠GFD=∠ECD

由(1)知，∠AHF=∠BAH+∠DFH

= ∠BAE+ ∠DFG= ∠BAE+ ∠DCE

= （∠BAE+∠DCE) = ∠AEC= ×90°=45°

【法2】因为AH平分∠BAE，所以∠BAH=∠EAH

因为HE平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x

又CE∥FG，所以∠ECD=∠GFD=2x

又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°

所以∠BAH=∠EAH=45°-x

由(1) 知，易证∠AHF=∠BAH+∠DFH=45°-x+x=45°

②【法1】因为AH平分∠BAE，FH平分∠CFG，所以∠BAH=∠EAH，∠CFH=∠GFH

又因为FG∥CE，所以∠GFD=∠ECD

由(1)知，∠AHF=∠BAH+∠DFH

= ∠BAE+∠GFH+∠GFD= ∠BAE+ ∠CFG+∠GFD

= ∠BAE+ ∠(180°-∠GFD)+∠GFD=90°+ (∠BAE+∠GFD)

=90°+ (∠BAE+∠ECD)=90+ ∠AEC

【法2】设∠BAH=∠EAH=x，∠CED=y，则∠GFD=y

因为HF平分∠CFG，所以∠GFH=∠CFH=90°-

由(1)知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y

∠AHF=∠BAH+∠DFH=∠BAH+∠DFG+∠GFH

=x+y+90°- =x+ +90°= (2x+y)+90°= ∠AEC+90°

所以∠AHF= ∠AEC+90°(或2∠AHF=∠AEC+180°或2∠AHF-∠AEC=180°)

【解析】【分析】（1）过点E作直线EK∥AB，根据平行线的性质即可求解；也可连接AC，根据平行线的性质和三角形内角和定理求解；

（2）①根据（1）的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH，再结合平行线的性质和角平分线的定义表示出∠AHF，即可求解；也可设∠GFH=∠DFH=x，则∠BAH=45°-x，再根据∠AHF=∠BAH+∠DFH求解；

②根据（1）的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH，结合角平分线的定义将∠AHF用∠AEC表示出来；也可设∠BAH=∠EAH=x，∠CED=∠GFD=y，则有∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y，再结合∠AHF=∠BAH+∠DFH即可求解.

9．如图1，已知∠MON=60°，A、B两点同时从点O出发，点A以每秒x个单位长度沿射线ON匀速运动，点B以每秒y个单位长度沿射线OM匀速运动.

（1）若运动1s时，点A运动的路程比点B运动路程的2倍还多1个单位长度，运动3s 时，点A、点B的运动路程之和为12个单位长度，则x=________，y=________；

（2）如图2，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC，在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB 交于点Q.

①试说明∠PBQ=∠ACQ；

②在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，请写出∠BAO的度数.

【答案】（1）3；1

（2）解：的度数不发生变化，其值求解如下：

由三角形的内角和定理得

点C为三条内角平分线交点，即AC平分，BC平分

由三角形的内角和定理得

（3）解：①由三角形的外角性质得：

点C为三条内角平分线交点，即AC平分，OC平分

又是的角平分线

；

② 是的角平分线，BC平分

由三角形的外角性质得：

则在中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么一定是

.

【解析】【解答】（1）由题意得：

化简得

解得

故答案为：3，1；

【分析】（1）根据“路程速度时间”建立一个关于x、y的二元一次方程组，求解即可得；（2）先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理即可得；（3）①先根据三角形的外角性质可得，再根据角平行线的定义即可得；②先根据角平分线的定义、平角的定义得出，再根据三角形的外角性质得出，从而得出，然后根据直角三角形的性质得出，最后根据角的和差、角平分线的定义即可得.

10．如图，直线，点E、F分别是AB、CD上的动点（点E在点F的右侧）；点M 为线段EF上的一点，点N为射线FD上的一点，连接MN；

（1）如图1，若，，则 ________；

（2）作的角平分线MQ，且，求与之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，连接EN，且EN恰好平分，；求的度数.

【答案】（1）60°

（2）解：如图，

∵，

∴∠EMQ=∠AEF，

∵，AB∥CD，

∴MQ∥CD，

∴∠NMQ=∠MNF，

∵MQ平分∠EMN，

∴∠EMQ=∠NMQ，

∴ = ；

（3）解：设∠ENM=x，则∠MNF=2x，

∴∠ENF=3x，

∵AB∥MQ，

∴∠BEN=∠ENF=3x，

∵EN平分∠BEF，

∴∠BEF=2∠BEN=6x，

∵∠AEF=∠MNF=2x，∠AEF+∠BEF=180°，

∴2x+6x=180°，

解得x=22.5°，

∴，∠EFN=∠AEF=∠MNF=45°，

∴∠EMN=∠EFN+∠MNF=90°.

【解析】【解答】解：（1）∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD=180°，

∵ ,

∴∠EFD=30°，

∵，

∴∠NMF=90°，

∴∠MNF=180°-∠NMF-∠EFD=60°，

故答案为：60°；

【分析】（1）根据AB∥CD得到∠BEF+∠EFD=180°，由求出∠EFD=30°，

根据得到∠NMF=90°，再利用三角形的内角和定理得到∠MNF=180°-∠NMF-

∠EFD=60°；（2）根据得到∠EMQ=∠AEF，由，AB∥CD推出MQ∥CD，证得∠NMQ=∠MNF，根据角平分线的性质得到∠EMQ=∠NMQ，即可得到 =

；（3）设∠ENM=x，则∠MNF=2x，根据AB∥MQ得到∠BEN=∠ENF=3x，由EN平分∠BEF，证得∠BEF=2∠BEN=6x，再根据∠AEF=∠MNF=2x，∠AEF+∠BEF=180°，列式求出x=22.5°，即可求出∠EMN=∠EFN+∠MNF=90°.

11．（探索新知）

如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．

（1）若AC＝3，则AB＝________；

（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），则AC________DB；

（3）（深入研究）如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．

若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度．

（4）图2中，若点D在射线OC上，且线段CD与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数．

【答案】（1）3π+3

（2）=

（3）解：由题意可知，C点表示的数是π+1，

M、N均为线段OC的圆周率点，不妨设M点离O点近，且OM=x，

x+πx=π+1，解得x=1，

∴MN=π+1-1-1=π-1

（4）解：设点D表示的数为x，

如图3，若CD=πOD，则π+1-x=πx，解得x=1；

如图4，若OD=πCD，则x=π（π+1-x），解得x=π；

如图5，若OC=πCD，则π+1=π（x-π-1），解得x=π+ +2；

如图6，若CD=πOC，则x-（π+1）=π（π+1），解得x=π2+2π+1；

综上，D点所表示的数是1、π、π+ +2、π2+2π+1

【解析】【解答】（1）解：∵AC=3，BC=πAC，

∴BC=3π，

∴AB=AC+BC=3π+3

（ 2 ）解：∵点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，

∴BC=πAC，AD=πBD，

∴设AC=x，BD=y，则BC=πx，AD=πy，

∵AB=AC+BC=AD+BD，

∴x+πx=y+πy，

∴x=y

∴AC=BD

【分析】（1）根据线段之间的关系代入解答即可；（2）根据线段的大小比较即可；（3）

由题意可知，C点表示的数是π+1，设M点离O点近，且OM=x，根据长度的等量关系列出方程求得x，进一步得到线段MN的长度.

12．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC=50°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方。

（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．此时∠BON=________度；

（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第t秒时，OA，OC，ON三条射线恰好构成相等的角，则t的值为________（直接写出结果）

【答案】（1）25

（2）解：∠AOM与∠NOC之间满足等量关系为：∠AOM-∠NOC=40°，

理由如下：∵∠MON=90°，∠AOC=50°，

∴∠AOM+∠NOA=90°

∠AON+∠NOC=50°

∴∠AOM-∠NOC=40°

（3）13秒，34秒，49秒或64秒。

【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC=50°，

∴∠BOC=180°-∠AOC=130°，

∵OM平分∠BOC，

∴∠BOM=∠BOC÷2=130°÷2=65°，

∴∠BON=90°-∠BOM=90°-65°=25°；

故答案为：25.

（3）如图，有四种情况：

1）当∠AON1=∠CON1，

∵∠AOC=50°，

∴∠AON1=∠CON1=（360°-∠AOC）÷2=155°，

∴∠NON1=155°-90°=65°，

∴t=65°÷5=13（秒）；

2）当∠AOC=∠CON2，

∴∠NON2=360°-∠AON-2∠AOC=360°-90°-2×50°=170°，

∴t=170°÷5=34（秒）；

3）当∠AON3=∠CON3，

∵∠NON3=∠NOB+∠AOB-∠AON3=90°+180°-50°÷2=245°，

∴t=245°÷5=49（秒）；

4）当∠COA=∠AON4，

∠NON4=∠NOB+∠AOB+∠AON4=90°+180°+50°=320°，

∴t=320°÷5=64（秒）.

故答案为：13秒，34秒，49秒或64秒.

【分析】（1）已知∠AOC的度数，根据补角的性质可求∠BOC的度数，结合OM平分∠BOC，则∠BOM的角度可求，于是根据余角的性质即可确定∠BON的大小；

（2）∠AOM和∠NOA互余，∠AON与∠NOC之和等于50°，两式联立消去∠AON，可得∠AOM和∠NOC的数量关系；

（3）因为OA，OC，ON三条射线恰好构成相等的角，分四种情况讨论，依次为当∠AON1=

∠CON1，当∠AON3=∠CON3，当∠COA=∠AON4，当∠AOC=∠CON2，根据已知角的大小，结合角的关系分别求出∠NON1，∠NON2 ，∠NON3，∠NON4的大小，则t可求.