最小二乘估计
简述参数最小二乘估计的基本原理
简述参数最小二乘估计的基本原理
参数最小二乘估计是一种常用的统计方法，用于确定一组参数的最优值，以便最小化模型的预测误差。
该方法的基本原理是，在给定一组有限的观测数据下，通过拟合一个数学模型，估计模型中的参数值，使得模型的预测误差最小。
具体地说，参数最小二乘估计的基本原理是通过最小化残差平方和来确定参数的最优值。
这里的残差是指观测值与模型预测值之间的差异，平方和则是所有残差平方的总和。
通过最小化残差平方和，可以得到最优的参数值，使得预测误差最小。
参数最小二乘估计的优点是简单易懂、计算方便、可解释性好，并且在实际应用中广泛使用。
但是，该方法也存在一些限制，例如它要求模型中的误差服从正态分布，且假设模型的参数是固定的，而不是随机变量。
因此，在实际应用中需要对这些限制进行考虑，并结合实际情况选择合适的方法进行参数估计。
- 1 -。
最小二乘法估计
机器学习领域应用
线性回归模型
在机器学习中，最小二乘法是线性回归模型的核心算法之一。通过最小化预测值与实际值之间的平方误差，可以 训练出预测精度较高的线性回归模型。
特征选择
最小二乘法也可以用于特征选择，通过计算特征的系数大小，可以判断哪些特征对模型的预测结果影响较大，从 而进行特征筛选和优化。
06 最小二乘法的未来发展与 研究方向
用于研究社会现象和人类行为 ，如市场调查、人口统计等。
最小二乘法的历史与发展
历史
最小二乘法最早由法国数学家勒让德 于1805年提出，并广泛应用于天文、 物理和工程领域。
发展
随着计算机技术的进步，最小二乘法 在数据处理和统计分析方面得到了广 泛应用和改进，出现了多种扩展和变 种，如加权最小二乘法、广义最小二 乘法等。
加权最小二乘法（WLS）
总结词
详细描述
加权最小二乘法是一种改进的线性回 归分析方法，通过给不同观测值赋予 不同的权重来调整误差的平方和。
加权最小二乘法（Weighted Least Squares，WLS）是对普通最小二乘法 的改进，通过给不同观测值赋予不同 的权重来调整误差的平方和。这种方 法适用于存在异方差性的数据，即误 差项的方差不恒定的情况。通过合理 地设置权重，WLS能够更好地拟合数 据并提高估计的准确性。
广泛的应用领域
最小二乘法适用于多种统计模型 和回归分析，是线性回归分析中 最常用的方法之一。
缺点
假设限制
01
最小二乘法要求数据满足线性关系和误差项独立同分布等假设，
这些假设在实际应用中可能难以满足。
对异常值敏感
02
虽然最小二乘法相对稳健，但仍然容易受到异常值的影响，可
能导致估计结果偏离真实值。
最小二乘估计理论
最小二乘估计理论（1）随机变量的统计理论加权最小二乘估计是卫星导航算法的基本工具。
本文档讨论的随机变量默认为离散随机变量，对于一个随机变量，在估计理论中常用的统计特征包括数学期望，方差，标准差等等。
数学期望/均值：随机变量取值的加权平均1(X)()ni i i E X x p x ===∑ 方差：随机变量与其均值的偏离程度22222222var(X)((()))E(X ()2X E(X))()()2E (X)E(X )()E X E X E X E X E X E X =-=+-=+-=-标准差：方差开平方根即可得到标准差σ=如果知道随机变量X 的期望x μ和方差2σ，根据中心极限定理，可认为X 近似服从正态分布2(,)x X N μσ对于二维随机变量12[,]T X X X =，除了讨论两个变量各自的期望和方差之外，还需要讨论两者之间关系的数学期望——协方差和相关系数。
1X 和2X 的协方差定义为12121122121221121212(X ,)((()(())E(X ()()()())E(X X )()()x x Cov X E X E X X E X X X E X X E X E X E X E X E X σ=--=--+=-=1X 和2X 相关系数定义为：121212x x x x x x σρσσ= 相关系数的取值范围为[-1,1]之间，其绝对值越小表明两随机变量的相关性越小。
则二维随机变量X 的均值和方差为：1122()()()()X E X E X E X E X ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11212211112222211112221122222,2,()((())(()))()E([()()])()((())),((()(())((()(()),((())),,T x x x x x x D X E X E X X E X X E X X E X X E X X E X E X E X E X E X X E X E X E X X E X E X E X σσσσ=---⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦⎡⎤---=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦同理对于多维随机变量123[,,......]T n X X X X X =同理有1122()()()()..()n n X E X X E X E X E X E X ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21111221121122222211((())(()))((())),((()(())...((()(())((()(()),((()))...((()(()).........((()(())...................T xx n n n n n n D E X E X X E X E X E X E X E X X E X E X E X X E X E X E X X E X E X E X E X E X X E X E X E X X E X =------------=-- 211..................................((()))E X E X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1121122212,,2,,2,,,......,,...........,..............n n nn x x x x x x x x x x x x x σσσσσσσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（实对称矩阵）现在讨论多维随机变量函数的期望和方差现在假设函数11220........n n Z k X k X k X k =++++ ,可令123[,,......]T n X X X X X =123[k ,k ,k ......k ]n K =则函数值Z 可表示为0Z K X k =+则随机变量Z 的期望和方差可表示为00()()()E Z E K X k K E X k =+=+((Z E(Z))(Z E(Z)))(K(X E(X))(K(X E(X)))((X E(X))(X E(X)))T zz T T T Txx D E E K E K K D K =--=--=--=已知随机变量的方差，可以求得随机变量函数的方差这个过程称为误差传播定律。
估计方法最小二乘法与极大似然估计
估计方法最小二乘法与极大似然估计估计方法是统计学中常用的一种工具，用于从样本数据中推断总体参数的值。
最小二乘法和极大似然估计是两种常见的估计方法，在不同的情境下被广泛应用。
本文将对这两种方法进行介绍，并比较它们的优缺点。
一、最小二乘法最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它的核心思想是使观测数据与理论模型的预测值之间的残差平方和最小化。
通过最小化残差平方和，最小二乘法能够找到最优的参数估计值。
最小二乘法可用于线性回归、非线性回归以及参数估计等多个领域。
在线性回归问题中，最小二乘法可以用于拟合一个线性模型，使该模型与观测数据之间的残差平方和最小化。
具体地，假设我们有n个观测值(x,y)，其中x为自变量，y为因变量。
线性回归的目标是找到最优的模型参数β0和β1，使得残差平方和最小化。
最小二乘法通过最小化残差平方和的方法来求解β0和β1的值。
除了线性回归问题，最小二乘法还可以用于非线性回归问题，其中模型可以是一些非线性函数。
通过将非线性模型转化为线性模型进行拟合，在最小二乘法的框架下，可以得到非线性模型的最优参数估计。
最小二乘法的优点在于易于理解和计算，具有较小的方差。
然而，最小二乘法也有一些缺点，比如对异常值非常敏感，并且对数据分布的假设要求较高。
二、极大似然估计极大似然估计是另一种常用的参数估计方法，它的核心思想是选择参数值，使得观测数据出现的概率最大化。
极大似然估计常用于统计模型的参数估计，可以用于概率分布参数的估计，以及对未知分布函数形式的参数估计。
假设我们有一组独立同分布的随机观测值x1, x2, ..., xn，我们希望通过这些观测值来对总体分布的参数进行估计。
极大似然估计的目标是选择最优的参数值，使得观测到这些数据的概率最大化。
以正态分布为例，假设我们观测到了一组随机变量x1, x2, ..., xn，我们希望通过这些观测值来估计正态分布的均值μ和方差σ^2。
使用极大似然估计，我们可以写出似然函数，然后通过最大化似然函数来求解最优的参数估计值。
最小二乘估计的基本假设
最小二乘估计的基本假设1. 引言嘿，大家好！今天咱们来聊聊一个听上去有点复杂，但其实很有趣的话题——最小二乘估计。
可能你会想：“这是什么鬼？”其实，简单来说，它就是一种统计方法，帮助我们找到一条最能贴合数据的线。
想象一下，你在玩抛沙包，想找到一个最稳的投篮角度，最小二乘估计就能帮你找出最佳的“抛沙包”策略。
不过，嘿，要想玩得开心，得有几个基本的假设在前面，不然就像打麻将没带牌一样，别扭得很。
2. 最小二乘估计的基本假设2.1 线性关系首先，最重要的一点就是，咱们得假设变量之间是线性关系。
也就是说，如果你画个图，数据点大概会在一条直线上上下波动。
举个例子，如果你觉得每天吃的冰淇淋越多，心情就越好，这俩东西之间可能就有线性关系。
但如果你发现，吃冰淇淋过多反而心情糟糕，那就不符合咱们的假设了，可能还得调整一下“吃冰淇淋”的策略呢。
2.2 随机误差接下来，咱们得假设误差是随机的。
这就像你每次去外面吃饭，总有可能遇到服务慢、菜不好之类的意外情况，这些情况是不确定的，也不是你能控制的。
最小二乘估计要求这些误差是独立的、随机的，就像你的朋友突然告诉你今晚的电影没法看，这种意外不能影响你之前的计划。
要是误差有规律，比如总是偏高或偏低，那就会让估计的结果变得不靠谱，简直像开车不看路，肯定得出事故！3. 误差的正态分布3.1 正态分布再来，误差得服从正态分布。
这就像大多数人的身高，通常都是围绕着一个平均值分布的，高矮都有，但大部分人都在平均值附近。
正态分布的好处是，我们可以用一些简单的统计方法来进行推断。
要是数据点像个“波浪”一样，波动得不规则，那估计的效果就像一杯搅拌得太猛的奶昔，难以下咽。
3.2 同方差性最后，咱们还得考虑同方差性。
这听上去有点复杂，但其实就是要求误差的波动幅度在各个地方都差不多。
想象一下，如果你在做菜，调味料的味道在每一口都差不多，那大家都能接受。
可要是有的一口特别咸，有的特别淡，那就容易让人怀疑这菜是谁做的，肯定得有人埋怨“这是什么鬼东西？”所以，保持方差一致是很重要的，只有这样才能保证模型的可靠性。
最大似然估计（MLE）与最小二乘估计（LSE）的区别
最⼤似然估计（MLE ）与最⼩⼆乘估计（LSE ）的区别最⼤似然估计与最⼩⼆乘估计的区别标签（空格分隔）： 概率论与数理统计最⼩⼆乘估计对于最⼩⼆乘估计来说，最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据，也就是估计值与观测值之差的平⽅和最⼩。
设Q 表⽰平⽅误差，Y i 表⽰估计值，ˆY i 表⽰观测值，即Q =∑n i =1(Y i −ˆY i )2最⼤似然估计对于最⼤似然估计来说，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n 组样本的观测值的概率最⼤，也就是概率分布函数或者似然函数最⼤。
显然，最⼤似然估计需要已知这个概率分布函数，⼀般假设其满⾜正态分布函数的特性，在这种情况下，最⼤似然估计与最⼩⼆乘估计是等价的，也就是估计的结果是相同的。
最⼤似然估计原理：1. 当给定样本x 1,x 2,...,x n 时，定义似然函数为L (θ)=f (x 1,x 2,...,x n ;θ);2. L (θ)看做是θ的函数，最⼤似然估计就是⽤使L (θ)达到最⼤值的ˆθ去估计θ，这时称ˆθ为θ的最⼤似然估计;MLE 的步骤：1. 由总体分布导出样本的联合概率函数（或联合密度）；2. 把样本联合概率函数的⾃变量看成是已知常数，⽽把θ看做是⾃变量，得到似然函数L (θ);3. 求似然函数的最⼤值（常常取对数，然后求驻点）；4. ⽤样本值带⼊得到参数的最⼤似然估计。
例题设⼀个有偏的硬币，抛了100次，出现1次⼈头，99次字。
问⽤最⼤似然估计（ML ）和最⼩均⽅误差（LSE ）估计出现⼈头的概率哪个⼤？LSE设使⽤LSE 估计，出现⼈头的概率为θ, 则出现字的概率为1−θ。
已知观测量为：（观测到的）出现⼈头的概率为1100, （观测到的）出现字的概率为99100,则由最⼩⼆乘估计：Q (θ)=argmin θ∑1001(θ−ˆθ)2=argmin θ{(1100−θ)2+[99100−(1−θ)]2∗99}令∂Q (θ)∂θ=0,解得θ=1100;ML设使⽤ML 估计，所以x 服从伯努利分布，x ∼B (朝上,θ),则概率密度函数为：P (x |θ)=θ,if x ⼈头朝上1−θ,if x 字朝上则连续100次试验的似然函数为：P (x 1,x 2,..x 100|θ)=C 1100θ1∗(1−θ)99=100∗θ1∗(1−θ)99最⼤化似然函数，则θ⾄少为驻点，对似然函数取对数并求偏导：ln P (x 1,x 2,..x 100|θ)=ln100+ln θ+99ln(1−θ)对θ求偏导为0，得到：∂ln P (x 1,x 2,..x 100|θ)∂θ=1θ−991−θ=0, 解得θ=1100.{两者虽然得到的估计值是⼀样的，但是原理完全不同，要对他们的推导过程⾮常清楚。
简述参数最小二乘估计的基本原理
简述参数最小二乘估计的基本原理
参数最小二乘估计是一种常见的回归分析方法，其基本原理是通过最小化残差平方和来估计模型中的所有参数。
具体地说，最小二乘估计的基本思想是，假设我们有一个线性模型y = β0 + β1x1 + β2x2 + … + βkxk + ε，其中，y表示因变量，x1、x2、…、xk表示自变量，β0、β1、β2、…、βk表示模型中的参数，ε表示误差项。
在最小二乘估计中，我们的目标是通过最小化残差平方和来确定模型中的参数，即使得∑(yi - β0 - β1x1i - β2x2i - … - βkxki)2最小。
为了实现最小二乘估计，我们通常使用矩阵代数的方法，将模型的参数估计值表示为(XX)-1Xy的形式，其中，X是自变量数据的矩阵，y是因变量数据的向量，而(XX)-1是矩阵(XX)的逆矩阵。
在实际应用中，最小二乘估计可以用于多种类型的回归分析，比如简单线性回归、多元线性回归、非线性回归等。
它的优点是简单易懂、计算方便，因此被广泛应用于统计学、经济学、工程学等领域。
- 1 -。
最小二乘估计课件(43张)
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
31
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
栏目导航
25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
栏目导航
26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
32
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
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34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
栏目导航
8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
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N
LS为： J (R(n) (a bt(n)))2 n1
求极值，对上式求导：
J
N
2 (R(n) a bt(n)) 0
a
n1
N
N
Naˆ bˆ t(n) R(n)
J 2 N (R(n) a bt(n))t(n) 0 n1
b
n1
N
N
N
n1
aˆt(n) bˆt2 (n) (R(n)t(n))
《信号检测与估计》
Signal Detection and Estimation
最小二乘估计
最小二乘估计——内容安排
引言
序贯最小二乘估计
小结
1
2
3
45
线性最小二乘估计 非线性最小二乘估计
最小二乘估计——内容安排
引言
序贯最小二乘估计
小结
1
2
3
45
线性最小二乘估计 非线性最小二乘估计
最小二乘估计——引言
aˆ 702.762 bˆ 3.4344
R 702.762 3.4344t
最小二乘估计——线性最小二乘估计
矢量最小二乘
假设矢量参量 是 p 1 维的，信号 s [s[1], s[2], , s[N ]]T
是待估计参量的线性函数，假设：
s H
x H V
观测矩阵
N p 满秩矩阵
LS为： J ( ) (x H )T (x H )
n0
若 f0 是待估计参量，A是已知的：
N 1
非线性最小二乘 J[ f0 ] (x[n] Acos(2 f0n))2 n0
最小二乘估计——内容安排
引言
序贯最小二乘估计
小结
1
2
3
45
线性最小二乘估计
非线性最小二乘估计
最小二乘估计——线性最小二乘估计
表1中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根据测量值 确定该电阻的数学模型，并求出当温度在70摄氏度时的电阻值。
的最小二乘估计，并计算估计的均方误差。
x H V
x
z1
z
2
H
1 1
r 0
R 0
4r
因此：ˆ 1
111 11
1
z1 z2
1 2
( z1
z2
)
最小二乘估计——线性最小二乘估计
估计的均方误差为：
(H T H )1 H T RH (H T H )1
1
1
r 1
111 1
10r
0 4r
A
1
N 1
x[n]
x
N n0
最小二乘估计——引言 x[n] A w[n], w[n] 是高斯白噪声
最小二乘估计
最小方差无偏估计
最小二乘估计——引言
考虑正弦信号，信号模型为：
s[n] Acos(2 f0n)
若A是待估计参量，f0 是已知的：
线性最小二乘
N 1
J[ A] (x[n] Acos(2 f0n))2
当系统测量噪声V是均值为0，方差为R时
性质1. 最小二乘估计即是无偏估计，有：E(ˆ)
E( ˆ) E[ (H T H )1 H T x] E[(H T H )1(H T H ) (H T H )1 H T x] (H T H )1 H T E(H x)
(H T H )1 H T E(V ) 0
最小二乘估计——线性最小二乘估计
J ( ) xT x 2xT H T H T H
对 求导，并令其值为0，有：
所以：
2H T x 2H T Hˆ 0 ˆ (H T H )1 H T x
定理4.1 若观测数据可表示为
则MVU估计量
: N (0, 2I)
最小二乘估计——线性最小二乘估计
38
摄氏度
前后观测五次 温度值如下：
第一次观测：38.0 第二次观测：37.9 第三次观测：38.1 第四次观测：38.1 第五次观测：37.9
最小二乘估计——引言
假设信号是 s[n] A ，经过N次观测，观测数据为： x[n](n 0,1, 2,L , N 1)
如何得到A？
取个平均！
A
通常用于数据的准确统计特性未知，或不能找出最优估计的场合
最小二乘估计——引言
假设信号是 s[n] A ，经过N次观测，观测数据为： x[n](n 0,1, 2,L , N 1)
使得
J
(
A)
N 1
(
x[n]
A)
2
最小,
n0
上式对A求导，并令结果为0，可得：
N 1
(Ax[n]) 0
n0
N 1
N * A x[n] 0 n0
n1
n1
n1
最小二乘估计——线性最小二乘估计
N
N
N
N
R(n)t2(n) (R(n)t(n))t(n)
aˆ n1
n1
n1
n1
N
N
t
2
(n)
N
t
(n)
2
n1
n1
N
N
N
N (R(n)t(n)) R(n)t(n)
bˆ
n1
n1
n1
N
N
t
2
(n)
N
t
(n)
2
n1
n1
最小二乘估计——线性最小二乘估计
表 1 热敏电阻的测量值 t (C) 20.5 26 32.7 40 51 61 73 80 88 95.7 R () 765 790 826 850 873 910 942 980 1010 1032
最小二乘估计——线性最小二乘估计
R 数学模型：
R a bt
t
最小二乘估计——线性最小二乘估计
最小二乘估计——线性最小二乘估计
当系统测量噪声V是均值为0，方差为R时 性质2. 最小二乘估计的均方误差为：
(H T H )1 H T RH (H T H )1
最小二乘估计——线性最直接测量一次，量测量分别为 z1
和 z 2 ，仪器的测量误差均值为 0，方差分别为 r 和 4r 的随机量，求
11 1
111
5r 4
缺点：对所有测量数据 同等看待
最小二乘估计——线性最小二乘估计
最小二乘估计（Least Square Estimate，LSE）
估计的目的是使得所有观测数据和 假设信号之间的平方误差最小
J ( )
N 1
(
x[n]
s[n])
2
,
n
0,1, 2,L
,N
1
n0
均方误差准则
mse(ˆ)
E
ˆ
2
最小二乘估计——引言
假设取决于未知参量 的信号s[n] ，由于噪声或模型不准确， 观测信号是受干扰的信号，用观测数据 x[n]表示， 的最小 二乘估计就是选择使得 J ( ) 最小的 值
1
N 1
x[n]
x
N n0
最小二乘估计——引言
A
1
N 1
x[n]
x
N n0
样本均值估计即是一种特殊的最小二乘估计
最小二乘估计——引言
无偏估计的类型 确定最小方差 观测数据的概率描述 各种限制。。。
对观测数据不做 任何概率或统计描述 仅仅假设一个数学模型
之前学过的估计方法 最小二乘估计
最小二乘估计——引言