[精品]2015年四川省成都市石室外语学校自主招生考试数学试卷与参考答案

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2018年四川省成都市青羊区石室中学自主招生数学试卷

2018年四川省成都市青羊区石室中学自主招生数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）石室中学正筹划建校2160周年校庆系列庆典活动，若准备搭建体积为2160的正方体“水立方”展览馆，则此展览馆的棱长在（）A．11.5到12.5之间B．12.5到13.5之间C．13.5到14.5之间D．14.5到15.5之间2．（5分）将正多边形ABCDEF放入直角坐标系中，顶点B，D，E的坐标分别为（n，m），（﹣n，m），（a，b），则点A的坐标可以为（）A．（﹣m，﹣n）B．（m，﹣n）C．（﹣a，b）D．（﹣b，﹣a）3．（5分）有的含二次根式的式子可以运用完全平方公式写成另外一个二次根式的平方，如3+2＝12+（）2+2＝（1+）2，则式子（）A．被开方数小于0，无意义B．有意义，化简后为﹣2C．有意义，但这个式子不能类比题目中的例子化简D．有意义，化简后为2﹣4．（5分）如图，求边长AB＝2，BC＝1的矩形ABCD沿CD折叠后与圆心角为90°的扇形DCE重合部分的面积为（）A．+B．1+C．D．+15．（5分）将以B为圆心，a为半径，圆心角为的扇形ABC的弧AC保持长度不变，拉直后与AB，BC构成等腰三角形ABC，则△ABC的面积与扇形ABC面积比较（）A．不发生改变，S△ABC＝πa2B．发生改变，S△ABC＝a2C．不发生改变，S△ABC＝πa2D．发生改变，S△ABC＝a26．（5分）已知关于x，y的方程组有无数多组解，则在待定系数b，k，n，m表示的4个数中任意取两数相乘，其乘积的最小值为（）A．12B．16C．20D．247．（5分）大小完全相同的两等腰直角三角形如图放置，其中∠ABC＝∠E＝90°，AB＝BC ＝DE＝EF，DE与AC交于AC中点N，DF过点C，S△DEF＝98，BD⊥DF且BD＝6，则点D到直线BC的距离为（）A．B．C．3D．8．（5分）如图所示，已知关于x的二次函数y＝ax2﹣bx+c图象经过（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③4ac﹣b2＞﹣4a；④﹣＜a＜﹣；⑤c+2b＞0．其中正确的结论有（）A．①②④B．①②⑤C．①③④D．③④⑤9．（5分）如图，直线y1＝ax+2与y2＝bx+4交于点N（1，a+2），将直线y1＝ax+2向下平移后得到y3＝ax﹣5，则能使得y3＜y2＜y1的x的所有整数值分别为（）A．1，2，3B．2，3C．2，3，4D．3，4，510．（5分）如图，已知⊙O上的两条弦AC和BC互相垂直于点C，点D在弦BC上，点E 在弦AC上，且BD＝AE，连接AD和BE，点P为BE中点，点Q为AD中点，射线QP 与线段BC交于点N，若∠A＝30°，NQ＝3，则DQ的长为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共7小题，每小题6分，共48分）11．（6分）方程4x3﹣9x＝0的解为．12．（6分）在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC边上的高BD＝4，E，F分别为线段AB，BC 中点，连接EF，则EF的长为．13．（6分）如图，A，B，C为在同一条直线上的顺次三点，DA⊥AC于点A，EC⊥AC于点C，DB⊥BE于点B，EC+EB＝AC＝10．若BC＝x，则△ABD的周长为．14．（6分）已知（x+y）n展开，按x降幂排列后的多项式各项系数可以如图对应，如：（x+y）3＝x3+3x2y+3xy2+y3，各项系数分别为1，3，3，1，则（x﹣）2021展开后x2018的系数为．15．（6分）矩形ABCD的相邻两边长AB＝7，BC＝10．在同一平面内，以顶点A为圆心，以5为半径作圆A，在AB边上取一点E，使得BE＝2，以点E为圆心，r为半径作圆E，求使⊙E与⊙A有公共点，且点B在⊙E内，点D在⊙E外的r的取值范围是．16．（6分）要研究使x，y满足x+1﹣y≥0的范围问题时，我们可以借助观察y＝x+1的图象解决．如图，阴影部分为满足x+1﹣y≥0的区域，若x，y满足条件，令M ＝2x﹣5y，则M的取值范围为．17．（6分）（1）如图1，Rt△ABC中，点C为直角顶点，∠CAB＝30°，BC＝3，将△ABC 沿直角边AC翻折后得到△ADC，将△ADC绕点C进行任意角度旋转得到△A′D′C（旋转后两三角形不重合），直线DD′与直线AA′交于点P，连接BP．求在旋转过程中线段BP的最大值为，最小值为．（2）由上一题的思考，如图2，边长都为6的两正方形ABCD和正方形A′B′C′D′．在同一平面内，BC与B′C′的中点同时重合于点O，将正方形A′B′C′D′绕点O旋转任意角度，在旋转过程中直线AA′和直线C′C交于点P，在旋转过程中线段BP的最大值与最小值之和为．三、解答题（共52分）18．（10分）学完正弦、余弦、正切的定义后，同学们对有一个锐角为60°的三角形的边角关系进行了进一步研究．若三角形三个内角分别为a＝60°，β和γ，将a所对的边与β所对的边之比定义为Rzcβ，将a所对的边与γ所对的边之比定义为Rymβ，称Rzcβ与Rymβ互为β的“姐弟”函数，已知△ABC中，∠C＝60°．（1）若∠A＝75°，分别求RzcA和RymA的值；（2）若RzcA＝，求∠A的度数；（3）若AC2+BC2＝4AB2﹣2AC•BC，探究RzcA与RymA的数量关系．19．（10分）地震是人类一直在研究并试图战胜的自然灾害，四川是地震频发区，为更好的研究地震的破坏性，石创中学创新基地同学做了如下模拟监测实验．如图为地面（AB）以下至地震波反射面（MN）的横截面示意图，其中，O为震源，A为震中，B为观测站，OA⊥AB，AB∥MN．从O会同时发出两种震波：直达波（路径为OB）和反射波（路径为OCB），它们的传播速度相同．已知震源深度h＝14km，震中至观测站距离AB＝48km．（1）求直达波传播的距离OB；（2）已知反射波（路径OCB）满足∠OCM＝∠BCN，地震波的传播速度为5km/s，观测站收到两种地震波的时间差为2s，求地面与反射面的距离H．20．（10分）如图，过点A作AD∥BC交∠ABC的平分线于点D，连接AC，BD，AC⊥BD 于点O；若BC＝5，＝，在∠ABC边BC上任取异于点B的一点N，连接AN与BD 交于点M，连接MC．（1）当N在线段BC上时，设BN＝x，S△MNC＝y，试用含x的代数式表示y；（2）若△MNC为直角三角形，求BN的长．21．（10分）（1）如图1，M，N分别为△ABC中AB，AC边的中点，连接BN，CM，BN⊥CM于点O．求证：AB2+AC2＝5BC2．（2）如图2，AB∥CD，AD与BC互相垂直平分于点G，AB＝CD＝2，分别取线段AG，BG的中点M、N，交于点O的射线CM和射线DN分别与AB交于点E、F，求OE2+OF2的值．22．（12分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线l，顶点为M，点P为直线l上一动点．（1）抛物线上的一点N为点C关于直线l的对称点，直线BN交y轴于点E，交直线l 于点K，试在x轴上找一点Q，使得C，E，Q，P四点围成的四边形周长最小，求出点P，Q的坐标以及这个周长的最小值；（2）通过初中的学习，我们把点到直线上所有点的连线段中最短的垂线段的长度称为点到直线的距离．一般而言，我们通常把点到一个图形上所有点的连线段中最短的一条的长度定义为这个点到这个图形的距离．①求顶点M到直线BN的距离h；②请找出直线l上所有到直线BN的距离等于h的点坐标；③动点P到此抛物线的距离为3，求出符合条件的所有点P的坐标．2018年四川省成都市青羊区石室中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）石室中学正筹划建校2160周年校庆系列庆典活动，若准备搭建体积为2160的正方体“水立方”展览馆，则此展览馆的棱长在（）A．11.5到12.5之间B．12.5到13.5之间C．13.5到14.5之间D．14.5到15.5之间【解答】解：此展览馆的棱长为，∵12.53＝1953.125，13.53＝2460.375，且1953.125＜2160＜2460.375，∴展览馆的棱长在12.5到13.5之间，故选：B．2．（5分）将正多边形ABCDEF放入直角坐标系中，顶点B，D，E的坐标分别为（n，m），（﹣n，m），（a，b），则点A的坐标可以为（）A．（﹣m，﹣n）B．（m，﹣n）C．（﹣a，b）D．（﹣b，﹣a）【解答】解：∵正多边形ABCDEF中，AB∥DE，AB＝DE，∵B，D，E的坐标分别为（n，m），（﹣n，m），（a，b），∴B，D关于x轴对称，∴A，E关于x轴对称，∴A（﹣a，b），故选：C．3．（5分）有的含二次根式的式子可以运用完全平方公式写成另外一个二次根式的平方，如3+2＝12+（）2+2＝（1+）2，则式子（）A．被开方数小于0，无意义B．有意义，化简后为﹣2C．有意义，但这个式子不能类比题目中的例子化简D．有意义，化简后为2﹣【解答】解：原式＝＝﹣2，故选：B．4．（5分）如图，求边长AB＝2，BC＝1的矩形ABCD沿CD折叠后与圆心角为90°的扇形DCE重合部分的面积为（）A．+B．1+C．D．+1【解答】解：连接CF，由折叠的性质可知，B′C＝BC＝1，在Rt△FCB′中，B′C＝1，CF＝2，∴∠CFB′＝30°，B′F＝＝，∴∠DCF＝30°，则折叠后与圆心角为90°的扇形DCE重合部分的面积＝+×1×＝+，故选：A．5．（5分）将以B为圆心，a为半径，圆心角为的扇形ABC的弧AC保持长度不变，拉直后与AB，BC构成等腰三角形ABC，则△ABC的面积与扇形ABC面积比较（）A．不发生改变，S△ABC＝πa2B．发生改变，S△ABC＝a2C．不发生改变，S△ABC＝πa2D．发生改变，S△ABC＝a2【解答】解：扇形ABC的弧长＝＝a，扇形ABC的面积＝＝a2，∵圆B的半径为a，扇形ABC的弧长为a，∴扇形ABC的弧AC保持长度不变，拉直后与AB，BC构成的△ABC是等边三角形，过点B作BD⊥AC于D，则BD＝AB•sin A＝a，∴△ABC的面积＝×a×a＝a2，∴△ABC的面积与扇形ABC面积比较发生改变，△ABC的面积＝a2，故选：D．6．（5分）已知关于x，y的方程组有无数多组解，则在待定系数b，k，n，m表示的4个数中任意取两数相乘，其乘积的最小值为（）A．12B．16C．20D．24【解答】解：∵关于x，y的方程组有无数多组解，∴，∴n＝﹣6，b＝﹣17，m＝﹣4，k＝﹣9∴任意取两数相乘，其乘积的最小值＝（﹣4）×（﹣6）＝24故选：D．7．（5分）大小完全相同的两等腰直角三角形如图放置，其中∠ABC＝∠E＝90°，AB＝BC＝DE＝EF，DE与AC交于AC中点N，DF过点C，S△DEF＝98，BD⊥DF且BD＝6，则点D到直线BC的距离为（）A．B．C．3D．【解答】解：∵∠ABC＝∠E＝90°，S△DEF＝98，∴AB＝BC＝DE＝EF＝14，∵BD⊥DF，∴∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，根据勾股定理，得CD＝＝＝4，设点D到直线BC的距离为h，∴S△BCD＝BC•h＝BD•CD，即14h＝6×4，解得h＝．则点D到直线BC的距离为．故选：B．8．（5分）如图所示，已知关于x的二次函数y＝ax2﹣bx+c图象经过（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③4ac﹣b2＞﹣4a；④﹣＜a＜﹣；⑤c+2b＞0．其中正确的结论有（）A．①②④B．①②⑤C．①③④D．③④⑤【解答】解：二次函数y＝ax2﹣bx+c图象经过（﹣1，0），则a+b+c＝0，函数的对称轴为x＝2，则b＝4a，故a+4a+c＝0，解得：c＝﹣5a，①函数对称轴在y轴的右侧，则a（﹣b）＜0，c＞0，故abc＞0，故①正确，符合题意；②当x＝﹣3时，y＝ax2﹣bx+c＝9a+3b+c＜0，故②正确，符合题意；③抛物线与x轴有两个交点，则（﹣b）2﹣4ac＞0，而a＜0，故4a＜0，故4ac﹣b2＞﹣4a错误，不符合题意；④c＝﹣5a，而1＜c＜2，故﹣＜a＜﹣，故④正确，符合题意；⑤c+2b＝﹣5a+8a＝3a＜0，故⑤错误，不符合题意；故选：A．9．（5分）如图，直线y1＝ax+2与y2＝bx+4交于点N（1，a+2），将直线y1＝ax+2向下平移后得到y3＝ax﹣5，则能使得y3＜y2＜y1的x的所有整数值分别为（）A．1，2，3B．2，3C．2，3，4D．3，4，5【解答】解：把N（1，a+2）代入y2＝bx+4得b+4＝a+2，b＝a﹣2，解不等式ax﹣5＜bx+4，即ax﹣5＜（a﹣2）x+4得x＜，因为当x＞1时，y2＜y1，所以满足y3＜y2＜y1的x的范围为1＜x＜，所以能使得y3＜y2＜y1的x的所有整数值分别为2、3、4．故选：C．10．（5分）如图，已知⊙O上的两条弦AC和BC互相垂直于点C，点D在弦BC上，点E 在弦AC上，且BD＝AE，连接AD和BE，点P为BE中点，点Q为AD中点，射线QP 与线段BC交于点N，若∠A＝30°，NQ＝3，则DQ的长为（）A．B．C．D．【解答】解：连接OP，OQ，AB，如图，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°．∴AB为⊙O的直径，∴OA＝OB．∵点P为BE中点，点Q为AD中点，∴OP是△BEA的中位线，OQ是△ABD的中位线．∴OP∥AC，OP＝AE，，OQ∥BC，OQ＝BD．∵AC⊥BC，∴OP⊥OQ．∵BD＝AE，∴OP＝OQ．∴△OPQ为等腰直角三角形．∴∠OPQ＝∠OQP＝45°．∵∠CAD＝30°，∠ACB＝90°，∴∠CDA＝60°．∴∠BDA＝120°．∵OQ∥BD，∴∠OQA＝∠BDA＝120°．∴∠NQD＝180°﹣∠OQA﹣∠OQP＝180°﹣120°﹣45°＝15°．∵∠ADC＝∠DNQ+∠DQN，∴∠DNQ＝∠CDA﹣∠NQD＝45°．过点Q作QM⊥CD于点M，则△QMN为等腰直角三角形，∴MQ＝NQ＝．在Rt△QDM中，∵sin∠MDQ＝，∴DQ＝＝×＝．故选：C．二、填空题（本题共7小题，每小题6分，共48分）11．（6分）方程4x3﹣9x＝0的解为x1＝0，x2＝﹣，x3＝．【解答】解：4x3﹣9x＝0，x（4x2﹣9）＝0，x（2x+3）（2x﹣3）＝0．∴x＝0或2x+3＝0或2x﹣3＝0．所以原方程的解为：x1＝0，x2＝﹣，x3＝．故答案为：x1＝0，x2＝﹣，x3＝．12．（6分）在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC边上的高BD＝4，E，F分别为线段AB，BC 中点，连接EF，则EF的长为2+或2﹣．【解答】解：在直角△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝8，BD＝4，则AD＝＝＝4．在直角△BCD中，∠BDC＝90°，BC＝6，BD＝4，则CD＝＝＝2．如图1，AC＝AD+CD＝4+2．∵E，F分别为线段AB，BC中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC＝×（4+2）＝2+．如图2，AC＝AD﹣CD＝4﹣2．∵E，F分别为线段AB，BC中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC＝×（4﹣2）＝2﹣．综上所述，EF的长度是2+或2﹣．故答案是：2+或2﹣．13．（6分）如图，A，B，C为在同一条直线上的顺次三点，DA⊥AC于点A，EC⊥AC于点C，DB⊥BE于点B，EC+EB＝AC＝10．若BC＝x，则△ABD的周长为20．【解答】解：∵DA⊥AC于点A，EC⊥AC于点C，DB⊥BE于点B，∴∠A＝∠C＝90°，∠D+∠DBA＝90°，∠DBA+∠EBC＝90°，∴∠D＝∠EBC，∴△DAB∽△BCE，∴，由题AB＝10﹣x，∵EC＝EB＝AC，∴EB＝10﹣EC，∴，∴，，在Rt△BEC中，BC2+CE2＝BE2，∴EC2+x2＝（10﹣EC）2，∴，∴C△ABD＝DA+DB+AB＝＝，∴△ABD的周长为20，故答案为：20．14．（6分）已知（x+y）n展开，按x降幂排列后的多项式各项系数可以如图对应，如：（x+y）3＝x3+3x2y+3xy2+y3，各项系数分别为1，3，3，1，则（x﹣）2021展开后x2018的系数为﹣6063．【解答】解：∵（x﹣）2021展开后的第二项x的指数为2018，∴（x﹣）2021展开后的第二项为2021x2020×（﹣）＝﹣6063，故答案为：﹣6063．15．（6分）矩形ABCD的相邻两边长AB＝7，BC＝10．在同一平面内，以顶点A为圆心，以5为半径作圆A，在AB边上取一点E，使得BE＝2，以点E为圆心，r为半径作圆E，求使⊙E与⊙A有公共点，且点B在⊙E内，点D在⊙E外的r的取值范围是2＜r≤10．【解答】解：如图，∵点B在⊙E内，∴r＞2，∵⊙E与⊙A有公共点，∴r≤5×2＝10，∴点D在⊙E外的r的取值范围是2＜r≤10．故答案为：2＜r≤10．16．（6分）要研究使x，y满足x+1﹣y≥0的范围问题时，我们可以借助观察y＝x+1的图象解决．如图，阴影部分为满足x+1﹣y≥0的区域，若x，y满足条件，令M ＝2x﹣5y，则M的取值范围为﹣3≤M≤4．【解答】解：由题意得，下图阴影部分（△OAB所在的区域）为x，y满足题设条件的区域，联立，解得，即点B（1，1），对于x+y﹣2＝0，令y＝0，则x＝2，故点A（2，0），由M＝2x﹣5y得：y＝x﹣M，则M为直线y＝x﹣M与y轴交点的纵坐标，如图，当直线：y＝x﹣M过点A时，此时﹣M最小，即M最大，将点A坐标代入上式得：0＝×2﹣M，解得：M＝4，同理当直线：y＝x﹣M过点B时，此时﹣M最大，即M最小，即1＝×1﹣M，解得：M＝﹣3，故﹣3≤M≤4．故答案为：﹣3≤M≤4．17．（6分）（1）如图1，Rt△ABC中，点C为直角顶点，∠CAB＝30°，BC＝3，将△ABC 沿直角边AC翻折后得到△ADC，将△ADC绕点C进行任意角度旋转得到△A′D′C（旋转后两三角形不重合），直线DD′与直线AA′交于点P，连接BP．求在旋转过程中线段BP的最大值为3+3，最小值为3﹣3．（2）由上一题的思考，如图2，边长都为6的两正方形ABCD和正方形A′B′C′D′．在同一平面内，BC与B′C′的中点同时重合于点O，将正方形A′B′C′D′绕点O旋转任意角度，在旋转过程中直线AA′和直线C′C交于点P，在旋转过程中线段BP的最大值与最小值之和为9．【解答】解：（1）∵∠CAB＝30°，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝6，AC＝BC＝3，∵将△ABC沿直角边AC翻折后得到△ADC，∴AD＝AB＝6，CD＝BC＝3，∴AD＝AB＝BD＝6，∴△ABD是等边三角形，如图，设A'C与PD'交于点N，∵将△ADC绕点C进行任意角度旋转得到△A′D′C′，∴CD＝CD'，AC＝A'C，∠ACA'＝∠DCD'，∴∠AA'C＝∠CAA'＝∠CDD'＝CD'D，∵∠CD'N+∠CND'＝90°，∴∠AA'C+∠CND'＝∠AA'C+∠ANP＝90°，∴∠APD＝90°，∴点P在以AD为直径的圆上，取AD中点O，连接BO，∵△ABD是等边三角形，AO＝DO＝3，∴BO⊥AD，∠ABO＝30°，∴BO＝3，当点P在线段BO上时，BP最小值为3﹣3，当点P在线段BO的延长线上时，BP最大值为3+3，故答案为：3+3，3﹣3，（2）如图2中，连接AC，BD，OA，OA′由旋转的性质可知，∠AOA′＝∠COC′，OA＝OA′，OC＝OC′，∴∠OAA′＝∠OCC′，∵∠OCC′+∠OCP＝180°，∴∠OAA′+∠OCP＝180°，∴∠AOC+∠APC＝180°，∵∠AOC是定值，∴∠APC是定值，∴点P在△AOC的外接圆⊙J上运动，点J在对角线BD上，过点J作JH⊥OC于H，连接JO，则OH＝HC＝，BH＝JH＝，JP＝JO＝＝，∴BJ＝BH＝，∵BJ﹣PJ≤PB≤JB+JP，∴﹣≤BP≤+，∴PB的最小值为﹣，最大值为+，∴线段BP的最大值与最小值之和为9，故答案为：9．三、解答题（共52分）18．（10分）学完正弦、余弦、正切的定义后，同学们对有一个锐角为60°的三角形的边角关系进行了进一步研究．若三角形三个内角分别为a＝60°，β和γ，将a所对的边与β所对的边之比定义为Rzcβ，将a所对的边与γ所对的边之比定义为Rymβ，称Rzcβ与Rymβ互为β的“姐弟”函数，已知△ABC中，∠C＝60°．（1）若∠A＝75°，分别求RzcA和RymA的值；（2）若RzcA＝，求∠A的度数；（3）若AC2+BC2＝4AB2﹣2AC•BC，探究RzcA与RymA的数量关系．【解答】解：（1）过A作AD⊥BC于D，设CD＝x，Rt△ADC中，∠C＝60°，∴∠DAC＝30°，∴AC＝2x，AD＝x，∵∠BAC＝75°，∴∠BAD＝∠B＝45°，∴AD＝BD＝x，∴AB＝BD＝x，∴RzcA＝＝＝，RymA＝＝＝；（2）如图2，过B作BD⊥AC于D，设CD＝x，Rt△BDC中，∠C＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BC＝2x，BD＝x，∵RzcA＝＝，AB＝2x，∴AB＝2BD，由（1）同理得∠A＝30°；（3）＝2，理由是：∵AC2+BC2＝4AB2﹣2AC•BC，AC2+BC2+2AC•BC＝4AB2，（AC+BC）2＝4AB2，AC+BC＝2AB，∵RzcA＝，RymA＝，∴＝＝＝＝2．19．（10分）地震是人类一直在研究并试图战胜的自然灾害，四川是地震频发区，为更好的研究地震的破坏性，石创中学创新基地同学做了如下模拟监测实验．如图为地面（AB）以下至地震波反射面（MN）的横截面示意图，其中，O为震源，A为震中，B为观测站，OA⊥AB，AB∥MN．从O会同时发出两种震波：直达波（路径为OB）和反射波（路径为OCB），它们的传播速度相同．已知震源深度h＝14km，震中至观测站距离AB＝48km．（1）求直达波传播的距离OB；（2）已知反射波（路径OCB）满足∠OCM＝∠BCN，地震波的传播速度为5km/s，观测站收到两种地震波的时间差为2s，求地面与反射面的距离H．【解答】解：（1）∵OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，又∵OA＝h＝14km，AB＝48km，∴OB＝＝＝50（km）；（2）延长AO交MN于P，延长BC交AO的延长线于Q，∵直达波和反射波传播速度相同，地震波速度＝5km/s，观测站收到两种地震波的时间差为2s，∴﹣＝2，∵OB＝50km，∴OC+BC＝60km，∵∠OCM＝∠BCN，∠BCN＝∠PCQ，∴∠OCM＝∠PCQ，又∵CP⊥OQ，∴OC＝QC，∴OP＝PQ，∴QB＝QC+CB＝OC+CB＝60km，在Rt△AQB中，AQ2+AB2＝QB2，∵AB＝48km，QB＝60km，解得：AQ＝36（km），∴OQ＝AQ﹣OA＝22（km），∴OP＝11km，∴H＝AP＝AO+OP＝14+11＝25（km）．20．（10分）如图，过点A作AD∥BC交∠ABC的平分线于点D，连接AC，BD，AC⊥BD 于点O；若BC＝5，＝，在∠ABC边BC上任取异于点B的一点N，连接AN与BD 交于点M，连接MC．（1）当N在线段BC上时，设BN＝x，S△MNC＝y，试用含x的代数式表示y；（2）若△MNC为直角三角形，求BN的长．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，又∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，又∵AC⊥BD于O，∴BO＝OD，在△ADO和△CBO中，，∴△ADO≌△CBO（ASA），∴OC＝OA，BC＝AD，∵＝，∴＝，又∵BC＝5，∠BOC＝90°，∴OC＝，OB＝2，∵AD∥BC，∴△BNM∽△DAM，∴＝，∴＝，又∵BM+DM＝4，∴BM＝，如图，过点M作MH⊥BC于H，∵∠MBH＝∠OBC，∠MHB＝∠BOC＝90°，∴△BMH∽△BCO，∴＝＝，∴MH＝，∴S△MNC＝×NC×MH，∴y＝（5﹣x）•，∴y＝；（2）①若∠MNC＝90°，则△BNM∽△BOC，∴＝＝＝2，∴NM＝x，∴BM＝x，∴＝x，∴x＝BN＝3．②若∠NMC＝90°，则∠AMC＝90°，由（1）知△ANC为等腰三角形，AB＝BC，又∵AC⊥BO，∴MA＝MC，∴△AMC为等腰直角三角形，∵AO＝，∴MO＝，∵BO＝2，∴BM＝，∴＝，∴x＝，综上所述，BN＝3或x＝．21．（10分）（1）如图1，M，N分别为△ABC中AB，AC边的中点，连接BN，CM，BN⊥CM于点O．求证：AB2+AC2＝5BC2．（2）如图2，AB∥CD，AD与BC互相垂直平分于点G，AB＝CD＝2，分别取线段AG，BG的中点M、N，交于点O的射线CM和射线DN分别与AB交于点E、F，求OE2+OF2的值．【解答】解：（1）∵M，N分别为△ABC中AB，AC边的中点，∴MN∥BC且MN＝BC，BM＝AB，CN＝AC，∴△MON∽△COB，∴＝＝＝，∴OC2＝4OM2，BO2＝4NO2，∵BN⊥CM，∴Rt△NOC和Rt△BOM中，根据勾股定理，得OC2+ON2＝NC2，BO2+OM2＝BM2，∴4OM2+ON2＝AC2①，4NO2+OM2＝BA2②，在Rt△BOC中，BO2+OC2＝BC2，∴4NO2+4OM2＝BC2③，①×4得，16OM2+4ON2＝AC2，②×4得，16ON2+4OM2＝BA2，③×5得，20ON2+20OM2＝5BC2，∴AB2+AC2＝5BC2；（2）如图2，连接MN，∵AB∥CD，AB＝CD，又由（1）MN∥CD，且MN＝CD，∴MN∥AB，且MN＝AB，由（1）知，OC2+OD2＝5CD2，∵EF∥CD，∴△OEF∽△OCD，∴＝＝，∵OC2+OD2＝5CD2，∴OE2+OF2＝5EF2，∵AD与BC互相垂直平分于点G，∴AG＝DG，BG＝CG，∵M、N为线段AG，BG的中点，∴AM＝MG，BN＝NG，∴＝＝，∵EF∥MN，∴△AEM∽△DMC，△BFN∽△CDN，∴＝，＝，∴＝，＝，∵CD＝2，∴AE＝BF＝，∴EF＝2﹣﹣＝，∴OE2+OF2＝5EF2＝5×（）2＝．22．（12分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线l，顶点为M，点P为直线l上一动点．（1）抛物线上的一点N为点C关于直线l的对称点，直线BN交y轴于点E，交直线l 于点K，试在x轴上找一点Q，使得C，E，Q，P四点围成的四边形周长最小，求出点P，Q的坐标以及这个周长的最小值；（2）通过初中的学习，我们把点到直线上所有点的连线段中最短的垂线段的长度称为点到直线的距离．一般而言，我们通常把点到一个图形上所有点的连线段中最短的一条的长度定义为这个点到这个图形的距离．①求顶点M到直线BN的距离h；②请找出直线l上所有到直线BN的距离等于h的点坐标；③动点P到此抛物线的距离为3，求出符合条件的所有点P的坐标．【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴对称轴l为x＝﹣1，M（﹣1，﹣4），当x＝0时，y＝﹣3，得：C（0，﹣3），当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，得：A（﹣3，0），B（1，0），∴点C关于直线l的对称点N为（﹣2，﹣3），由B（1，0），N（﹣2，﹣3），得：直线BN的解析式为：y＝x﹣1，∴E（0，﹣1），∴CE＝2，作点E关于x轴的对称点F（0，1），连接NF，交x轴于点Q，交直线l于点P，即为所求P、Q两点．由点N（﹣2，﹣3），F（0，1），得：直线NF的解析式为：y＝2x+1，NF＝2．当y＝0时，x＝，得点Q（，0），当x＝﹣1时，y＝﹣1，得点P（﹣1，﹣1），∴C四边形PQEC＝PQ+QE+EC+CF＝PQ+QF+NP+EC＝NF+CE＝2+2．（2）①对直线BN：y＝x﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣2，∴K（﹣1，﹣2），∵M（﹣1，﹣4），N（﹣2，﹣3），∴MK＝2，MN＝，NK＝．∴MN2+NK2＝MK2，∴MN⊥NK，∴点M到直线BN的距离h＝MN＝．②由①得：∠NKM＝45°，设到直线BN的距离为的点为I，则：∠IKN＝45°或∠IKB＝45°，∴IK＝2，∵K（﹣1，﹣2），∴点I的坐标为（﹣1，﹣4），（﹣1，0）．③根据题意可以理解为：以点P为圆心，半径为3的动圆与抛物线相切时，点P即为所求．当动圆P在点M下方时，P（﹣1，﹣7），当动圆P在点M上方时，设P（﹣1，m），切点M（n，（n+1）2﹣4），∴PM2＝（n+1）2+[（n+1）2﹣4﹣m]2令y＝（n+1）2，则：PM2＝y+（y﹣4﹣m）2＝y2+（﹣2m﹣7）y+（m+4）2，∵相切时，PM最小，为3，∴PM2的最小值为9，∴，解得：m＝，∴P（﹣1，），综上所述：P（﹣1，﹣7），（﹣1，）．。

2015年成都市成都外国语学校自主招生考试数学试卷(含解析)

2015年成都市成都外国语学校自主招生考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共45分）一、选择题：每小题3分，共45分．1．﹣|﹣|的负倒数是（）A．B．C．D．2．计算：（a2b）3的结果是（）A．a6b B．a6b3C．a5b3D．a2b33．在式子，，，中，x可以取1和2的是（）A．B．C．D．4．如图，H7N9病毒直径为30纳米（1纳米＝10﹣9米），用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（）A．30×10﹣9米B．3.0×10﹣8米C．3.0×10﹣10米D．0.3×10﹣9米5．的平方根是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．±26．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，则∠B的度数为（）A．68°B．32°C．22°D．16°7．已知a2﹣5a+1＝0，则a+﹣3的值为（）A．4 B．3 C．2 D．18．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，a）与点Q（b，3）关于原点对称，则a+b的值为（）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣19．下列命题中真命题是（）A．有理数都能表示成两个整数之比B．各边相等的多边形是正多边形C．等式两边同时乘以（或除以）同一个实数，所得结果仍是等式D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等10．已知|a|＝2，|b|＝3，则|a﹣b|＝5的概率为（）A．0 B．C．D．11．某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．2πC．πD．1212．某校九年级共有1100名学生参加“二诊”考试，随机抽取50名学生进行总成绩统计，其中有20名学生总成绩达到优秀，估计这次“二诊”考试总成绩达到优秀的人数大约为（）A．400 B．420 C．440 D．46013．若x1，x2是方程x2+2x﹣k＝0的两个不相等的实数根，则x12+x22﹣2是（）A．正数B．零C．负数D．不大于零的数14．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，面积为s；△A′B′C′的三边长分别为a′，b′，c′，面积为s′，且a＞a′，b＞b′，c＞c′，则s与s′的大小关系一定是（）A．s＞s′B．s＜s′C．s＝s′D．不确定15．b＞a，将一次函数y＝ax+b与y＝bx+a的图象画在同一个直角坐标系内，则能有一组a、b的取值，使得如下四个图中为正确的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．16．函数有意义，则x 的取值范围是． 17．已知一组数据24、27、19、13、x 、12的中位数是21，那么x 的值等于．18．已知x 2﹣x ﹣1＝0，那么代数式x 3﹣2x+1的值是．19．如图，E 、F 是平行四边形ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ．若S △APD ＝15cm 2，S △BQC ＝25cm 2，则阴影部分的面积为 cm 2．20．已知直线l 经过正方形ABCD 的顶点A ，过点B 和点D 分别作直线l 的垂线BM 和DN ，垂足分别为点M 、点N ，如果BM ＝5，DN ＝3，那么MN ＝．21．已知x 、y 、z 是三个非负实数，满足3x+2y+z ＝5，x+y ﹣z ＝2，若S ＝2x+y ﹣z ，则S 的最小值为．三、解答题：本大题共7小题，计69分，写出必要的推算或演算步骤．22．（7分）根据题意回答下列问题：（1）如果（a ﹣2）+b+3＝0，其中a 、b 为有理数，那么a ＝，b ＝．（2）如果（2+）a ﹣（1﹣）b ＝5，其中a 、b 为有理数，求a+2b 的值．23．（8分）逸夫楼前石室水景广场园林及道路改造项目是我校2012年校园文化﹣﹣环境文化建设的重点项目之一，该项目2012年2月11日正式动工，经过四个多月的紧张施工，于2012年6月5日竣工，若该工程拆除旧设施每平方米需要80元，建造新设施每平方米需要800元，计划拆除旧设施与建造新设施共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建设施只完成了计划的90%而拆除旧设施则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？24．（8分）已知y＝m2+m+4，若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数）（1）求a、b、c的值；（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以，同时求其差再除以，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数，再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2012？证明你的结论．25．（9分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的长．26．（12分）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，∠A＝60°，CD是边AB上的中线，直线BM∥AC，E 是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将△EDC沿CD翻折得△E′DC，射线DE′交直线BM于点G．（1）如图1，当CD⊥EF时，求BF的值；（2）如图2，当点G在点F的右侧时；①求证：△BDF∽△BGD；②设AE＝x，△DFG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）如果△DFG的面积为，求AE的长．27．（12分）如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN+PQ＝2PN．28．（13分）如图，已知抛物线y＝x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．【解答】解：﹣|﹣|＝﹣，﹣的负倒数是．故选：B．2．【解答】解：（a2b）3＝a6b3，故选：B．3．【解答】解：有意义的条件是x≠1，有意义的条件是x≠2，有意义的条件是x≥1，有意义的条件是x≥2，故选：C．4．【解答】解：30纳米＝30×10﹣9米＝3×10﹣8米．故选：B．5．【解答】解：∵＝4，∴4的平方根为±2，故选：D．6．【解答】解：∵CD＝CE，∴∠D＝∠DEC，∵∠D＝74°，∴∠C＝180°﹣74°×2＝32°，∵AB∥CD，∴∠B＝∠C＝32°．故选：B．7．【解答】解：∵a2﹣5a+1＝0，∴a2+1＝5a，∴a+＝5，a+﹣3＝5﹣3＝2，故选：C．8．【解答】解：∵点P（﹣2，a）与Q（b，3）关于原点对称，∴b＝2，a＝﹣3，则a+b的值为：2﹣3＝﹣1．故选：D．9．【解答】解：A、有理数包括整数和分数，整数可以表示为整数：1的形式，分数本身就是分子：分母的形式，故本选项正确；B、各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，故本选项错误；C、等式两边同时乘以（或除以）同一个实数（除数不为0），所得结果仍是等式，故本选项正确；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，故本选项错误；故选：A．10．【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，∴a＝±2，b＝±3，∴有|a﹣b|＝1，|a﹣b|＝5，|a﹣b|＝1，|a﹣b|＝5四种情况，∵|a﹣b|＝5的概率为＝．故选：B．11．【解答】解：根据三视图可以判断该几何体为圆柱，圆柱的底面半径为1，高为3，故体积为：πr2h＝π×1×3＝3π，故选：A．12．【解答】解：随机抽取了50名学生的成绩进行统计，共有20名学生成绩达到优秀，∴样本优秀率为：20÷50＝40%，又∵某校九年级共1100名学生参加“二诊”考试，∴该校这次“二诊”考试总成绩达到优秀的人数大约为：1100×40%＝440人．故选：C．13．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣k＝0的两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＞0，即4﹣4×1×（﹣k）＞0，∴4+4k＞0，∴2+2k＞0，又∵x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣k，∴x12+x22﹣2＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2＝2+2k，∵2+2k＞0，∴x12+x22﹣2＞0，故选：A．14．【解答】解：已知a＞a′，b＞b′，c＞c′，分三种情况讨论：①△ABC∽△A′B′C′，此时＝＞1，∴s＞s'；②设a＝b＝，c＝20，则＝10，由勾股定理得：h c＝＝1，∴s＝×20×1＝10，取a′＝b′＝c′＝10，则h c'＝10×sin60°＝5，∴s'＝×10×5＝25＞10，即s＜s'；③设a＝b＝，c＝20，则同②h c＝1，s＝10，取a′＝b′＝，c′＝10，则由勾股定理得h c'＝＝2，∴s'＝×10×2＝10，即s＝s'．∴s与s′的大小关系不确定．故选：D．15．【解答】解：A、假设y＝ax+b正确，则a＞0，b＞0，则函数y＝bx+a的图象应经过一、二、三象限，故本选项错误；B、假设y＝ax+b正确，则a＞0，b＞0，因为b＞a，所以函数y＝bx+a与y轴的交点在y＝ax+b与y轴交点的下方，故本选项正确；C、假设y＝ax+b正确，则a＜0，b＞0，则函数y＝bx+a的图象过一、三、四象限，因为函数y＝ax+b与y ＝bx+a的交点坐标为（1，a+b），由图象可知a≠﹣b和b＞a，两结论矛盾，故本选项错误；D、假设y＝ax+b正确，则a＜0，b＞0，则函数y＝bx+a的图象过一、三、四象限，故本选项错误．故选：B．16．【解答】解：由题意，得，解得x≥2且x≠3．故答案为x≥2且x≠3．17．【解答】解：根据题意，x的位置按从小到大排列只可能是：12，13，19，x，24，27．根据中位数是21得（19+x）÷2＝21．解得x＝23．故答案为：23．18．【解答】解：根据题意，x2﹣x＝1，∴x3﹣x2＝x，即x3﹣x＝x2，∴x3﹣2x+1＝x2﹣x+1＝1+1＝2，故答案为：2．19．【解答】解：如图，连接EF∵△ADF与△DEF同底等高，∴S△ADF＝S△DEF，即S△ADF﹣S△DPF＝S△DEF﹣S△DPF，即S△APD＝S△EPF＝15cm2，同理可得S△BQC＝S△EFQ＝25cm2，∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ＝15+25＝40cm2．故答案为40．20．【解答】解：如图1，在正方形ABCD中，∵∠NAD+∠BAM＝90°，∠ABM+∠BAM＝90°，∴∠NAD＝∠MBA，在△ABM和△ADN中，∵，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM＝DN＝3，AN＝BM＝5，∴MN＝AM+AN＝8，如图2，在正方形ABCD中，∵∠DAN+∠BAM＝90°，∠ABM+∠BAM＝90°，∴∠NAD＝∠MBA，在△ABM和△ADN中，∵，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM＝DN＝3，AN＝BM＝5，∴MN＝AN﹣AM＝2，综上所述：MN的值为2或8，故答案为：2或8．21．【解答】解：要使S取最小值，联立得到方程组，（1）+（2）得：4x+3y＝7，y＝，（1）﹣（2）×2得：x+3z＝1，z＝，把y＝，z＝代入S＝2x+y﹣z，整理得：S＝x+2，当x取最小值时，S有最小值，∵x、y、z是三个非负实数，∴x的最小值是0，∴S的最小值为2．故答案为：2．22．【解答】解：（1）由（a﹣2）+b+3＝0，得到a＝2，b＝﹣3；故答案为：2；﹣3；（2）由（2+）a﹣（1﹣）b＝5整理得：（a+b）+（2a﹣b﹣5）＝0，∵a、b为有理数，∴，解得：a＝，b＝﹣，则a+2b＝﹣．23．【解答】解：（1）由题意可设拆旧舍x平方米，建新舍y平方米，则答：原计划拆建各4500平方米．（2）计划资金y1＝4500×80+4500×800＝3960000元实用资金y2＝1.1×4500×80+0.9×4500×800＝4950×80+4050×800＝396000+3240000＝3636000∴节余资金：3960000﹣3636000＝324000∴可建绿化面积＝平方米答：可绿化面积1620平方米．24．【解答】解：（1）设m2+m+4＝k2（k为非负整数），则有m2+m+4﹣k2＝0，由m为整数知其△为完全平方数，即1﹣4（4﹣k2）＝p2（p为非负整数），（2k+p）（2k﹣p）＝15，显然2k+p ＞2k﹣p，∴或，解得：p＝7或p＝1，∴m＝，∴m1＝3，m2＝﹣4，m3＝0，m4＝﹣1，∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1．（2）三个数，任意两个求其和，再除以，同求其差，再除以，剩下的一个数不变，经过两次这样的操作就又变成原来的三个数了，即（）2+（）2+p2＝m2+n2+p2，∵32+（﹣4）2+（﹣1）2≠2012．∴对a、b、c进行若干次操作后，不能使所得三个数的平方和等于2012．25．【解答】证明：（1）连接OC，∵OD⊥BC，∴∠COE＝∠BOE，在△OCE和△OBE中，∵，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE＝∠OCE＝90°，即OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE与⊙O相切．（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，∵∠DOH＝∠BOD，∠DHO＝∠BDO＝90°，∴△ODH∽△OBD，∴＝＝又∵sin∠ABC＝，OB＝9，∴OD＝6，易得∠ABC＝∠ODH，∴sin∠ODH＝，即＝，∴OH＝4，∴DH＝＝2，又∵△ADH∽△AFB，∴＝，＝，∴FB＝．26．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AD＝BD，∴CD＝AD＝BD，∵∠BAC＝60°，∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∠ABC＝30°，AD＝BD＝AC，∵AC＝4，∴AD＝BD＝AC＝4，∵BM∥AC，∴∠MBC＝∠ACB＝90°，又∵CD⊥EF，∴∠CDF＝90°，∴∠BDF＝30°，∴∠BFD＝30°，∴∠BDF＝∠BFD，∴BF＝BD＝4；（2）①证明：由翻折，得∠E′CD＝∠ACD＝60°，∴∠ADC＝∠E′CD，∴CE′∥AB，∴∠CE′D＝∠BDG，∵BM∥AC，∴∠CED＝∠BFD，又∵∠CE′D＝∠CED，∴∠BDG＝∠BFD，∵∠DBF＝∠GBD，∴△BDF∽△BGD；②由△BDF∽△BGD，得＝，∵D为AB的中点，∴BD＝AD，又∵BM∥AC，∴∠DBF＝∠DAE，∠BFD＝∠DEA，在△BFD和△AED中，∵，∴△BFD≌△AED（AAS），∴BF＝AE＝x，∴＝，∴BG＝，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝4，根据勾股定理得：BC＝＝4，∵点D到直线BM的距离d＝BC＝2，∴S△DFG＝FG•d＝（BG﹣BF）•d，即y＝×（﹣x）×2＝﹣x（0＜x＜4）；（3）（i）当点G在点F的右侧时，由题意，得6＝﹣x，整理，得x2+6x﹣16＝0，解得x1＝2，x2＝﹣8（不合题意，舍去）；（ii）当点G在点F的左侧时，如图3所示：同理得到S△DFG＝FG•d＝（BF﹣BG）•d，即y＝x﹣（x＞4），由题意，得6＝x﹣，整理，得x2﹣6x﹣16＝0，解得x3＝8，x4＝﹣2（不合题意，舍去），综上所述，AE的值为2或8．27．【解答】证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，∵F是AC的中点，∴DF的延长线必过O点，且．∵AB∥CD，∴．∵AD∥CE，∴．∴＝＝．又∵＝，∴OQ＝3DN．∴CQ＝OQ﹣OC＝3DN﹣OC＝3DN﹣AD，AN＝AD﹣DN．∴AN+CQ＝2DN．∴＝＝2．即MN+PQ＝2PN．28．【解答】解：（1）令y＝0，即y＝x2﹣（b+1）x+＝0，解得：x＝1或b，∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，∴点B的坐标为（b，0），令x＝0，解得：y＝，∴点C的坐标为（0，），故答案为：（b，0），（0，）；（2）存在，假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP．则S四边形PCOB＝S△PCO+S△POB＝••x+•b•y＝2b，∴x+4y＝16．过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，∴∠PEO＝∠EOD＝∠ODP＝90°．∴四边形PEOD是矩形．∴∠EPD＝90°．∴∠EPC＝∠DPB．∴△PEC≌△PDB，∴PE＝PD，即x＝y．由解得由△PEC≌△PDB得EC＝DB，即﹣＝b﹣，解得b＝＞2符合题意．∴P的坐标为（，）；（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．∵∠QAB＝∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO＝∠BAQ＝90°，即QA⊥x轴．∵b＞2，∴AB＞OA，∴∠Q0A＞∠ABQ．∴只能∠AOQ＝∠AQB．此时∠OQB＝90°，由QA⊥x轴知QA∥y轴．∴∠COQ＝∠OQA．∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO＝90°或∠OQC＝90°．（I）当∠OCQ＝90°时，△CQO≌△QOA．∴AQ＝CO＝．由AQ2＝OA•AB得：（）2＝b﹣1．解得：b＝8±4．∵b＞2，∴b＝8+4．∴点Q的坐标是（1，2+）．（II）当∠OQC＝90°时，△OCQ∽△QOA，∴＝，即OQ2＝OC•AQ．又OQ2＝OA•OB，∴OC•AQ＝OA•OB．即•AQ＝1×b．解得：AQ＝4，此时b＝17＞2符合题意，∴点Q的坐标是（1，4）．∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．。

石室佳兴外国语学校2015级九上数学入学考试题

成都石室佳兴外国语学校2014--2015学年度九年级数学上期入学考试题A 卷（100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下面四个汽车标志图案中是中心对称图形的是（）2. 下列因式分解正确的是（） A.)63(632-=-x x x xB.))((22a b a b b a -+=+- C.)4)(4(422y x y x y x -+=-D.222)2(24y x y xy x -=+-3. 如果不等式组⎩⎨⎧><+mx x 61有解，那么m 的取值范围是（）A. 5>mB. 5≥mC. 5<mD. 5≤m 4. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A.12B.15C.12或15D.185. 如果把分式yx xy+2中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（） A.扩大5倍B.缩小5倍C.扩大25倍D.不变6. 若22y mxy x ++是一个完全平方式，则=m （）A.2B.1C.±1D.±27. 如图，一次函数b kx y +=（k 、b 为常数，且0≠k ）与正比例函数ax y =（a 为常数，且0≠a ）相交于点P ，则不等式ax b kx >+的解集是（） A.1>x B. 1<x C.2>x D. 2<x8. 矩形具有而一般平行四边形不具有的特征是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平行9. 下列命题错误的是（）A.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边行B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方式C.对角线相等的平行四边形是矩形D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形10. 如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60º，则它们重叠部分的面积为（） A.1B.2C.3D.332二、填空题（每小题4分，共16分）11. 分式112--x x 值为零，则=x 。

四川省成都市石室中学高考数学模拟试卷(二)文(含解析)

2015年四川省成都市石室中学高考数学模拟试卷（文科）（二）一、选择题（每小题5分，共10小题）1．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2） B． [0，2] C． {0，1，2} D． {0，2}2．已知f（x）=x3﹣1，设i是虚数单位，则复数的虚部为（）A．﹣1 B． 1 C． i D． 03．在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，，则的值为（）A． B． C． D．4．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则等于（）A． 2015 B．﹣2015 C． 1 D．﹣15．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A． 2 B． C． D． 36．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“|AB|=”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s，k的值依次为（）A． 32，63 B． 64，63 C． 63，32 D． 63，648．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A． [1，] B． [，] C． [，] D． [，]9．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为（）A． B． C． D．10．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣2x]=3，则f（3）=（）A． 1 B． 3 C． 6 D． 9二、填空题（每小题5分，共5小题）11．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，若在平行四边形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率是．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为A（x0，），则sin（2α﹣）= ．（用数值表示）13．如图，为测量坡高MN，选择A和另一个山坡的坡顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知坡高BC=50米，则坡高MN= 米．14．设F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足（）=0（O为坐标原点），且3||=4||，则双曲线的离心率为．15．如果y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．给出下列命题：①函数y=sinx具有“P（a）性质”；②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f（2015）=1；③若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；④若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，且函数y=g（x）对，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥2成立，则∀x1，x2∈R，都有|f （x1）﹣f（x2）|≥2成立．其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题16．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B=．（1）若b=3，，求A和a，c；（2）若sinAsinC=，且△ABC的面积为2，求b的大小．17．已知等差数列{a n}满足a1=1，且a2、a7﹣3、a8成等比数列，数列{b n}的前n项和T n=a n ﹣1（其中a为正常数）．（1）求{a n}的前项和S n；（2）已知a2∈N*，I n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求I n．18．已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴上，且抛物线上横坐标为1的点到F的距离为2，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若=2，求直线AB的斜率；（Ⅲ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．19．已知函数，g（x）=lnx．（注：）（1）a=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）已知f（x）在[e，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；（3）已知m，n，ξ满足n＞ξ＞m＞0，且，试比较ξ与的大小．2015年四川省成都市石室中学高考数学模拟试卷（文科）（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共10小题）1．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2） B． [0，2] C． {0，1，2} D． {0，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．解答：解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A=[﹣2，2]，由B中不等式解得：0≤x≤16，x∈Z，即B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，则A∩B={0，1，2}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知f（x）=x3﹣1，设i是虚数单位，则复数的虚部为（）A．﹣1 B． 1 C． i D． 0考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数===﹣1+i的虚部为1．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．3．在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，，则的值为（）A． B． C． D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将所求利用三角形法则表示为AB，AC对应的向量表示，然后利用向量的乘法运算求值．解答：解：由已知得到=（）（）=2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，所以上式==；故选：A．点评：本题考查了向量的三角形法则以及向量的数量积公式的运用，用到了向量垂直的数量积为0的性质．4．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则等于（）A． 2015 B．﹣2015 C． 1 D．﹣1考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和求和公式可得q的方程，解方程可得q，可得S2015，进而可得比值．解答：解：由题意可得等比数列{a n}的公比q≠1，∵，∴S4a2=S2a4，∴•a1q=•a1q3，化简并解方程可得q=﹣1，∴S2015==a1，∴==1故选：C．点评：本题考查等比数列的性质和求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A． 2 B． C． D． 3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．据此可求出原几何体的体积．解答：解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C．点评：本题考查了三视图，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．6．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“|AB|=”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合直线和圆相交的弦长公式进行判断即可．解答：解：∵直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离d=，则|AB|=2=2，当k=1时，|AB|=，即充分性成立，若|AB|=，则，即k2=1，解得k=1或k=﹣1，即必要性不成立，故“k=1”是“|AB|=”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断以及直线和圆相交的弦长的计算，根据弦长公式是解决本题的关键．7．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s，k的值依次为（）A． 32，63 B． 64，63 C． 63，32 D． 63，64考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，当s=63时，不满足条件s＜50，退出循环，输出s，k的值分别为：63，64．解答：解：模拟执行程序框图，可得s=0，k=1满足条件s＜50，s=1，k=2满足条件s＜50，s=3，k=4满足条件s＜50，s=7，k=8满足条件s＜50，s=15，k=16满足条件s＜50，s=31，k=32满足条件s＜50，s=63，k=64不满足条件s＜50，退出循环，输出s，k的值分别为：63，64．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的s，k的值是解题的关键，属于基础题．8．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A． [1，] B． [，] C． [，] D． [，]考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P 必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．解答：解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，=，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，==，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[，]．故选B．点评：本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．9．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为（）A． B． C． D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使α最小，则P到圆心的距离最大即可，由图象可知当P位于点D时，∠APB=α最小，由，解得，即D（﹣4，﹣2），此时|OD|=，|OA|=1，则，即sin=，此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2（）2=1﹣=，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．10．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣2x]=3，则f（3）=（）A． 1 B． 3 C． 6 D． 9考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法将函数转化为f（t）=3，求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．解答：解：设f（x）﹣2x=t，则f（x）=t+2x，则条件转化为f（t）=3，令x=t，则f（t）=t+2t=3，易得t=1．∴f（x）=2x+1，∴f（3）=23+1=9．点评：本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键．二、填空题（每小题5分，共5小题）11．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，若在平行四边形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率是．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．解答：解：由题意△ABE的面积是平行四边形ABCD的一半，由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=，故答案为：．点评：本题主要考查了几何概型，解决此类问题的关键是弄清几何测度，属于基础题．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为A（x0，），则sin（2α﹣）= ．（用数值表示）考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据已知可得sinα=，进而利用诱导公式和二倍角公式，可得sin（2α﹣）的值．解答：解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为A（x0，），∴sinα=，∴sin（2α﹣）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=2×=，故答案为：点评：本题考查的知识点是任意角三角函数的定义，诱导公式和二倍角公式，难度不大，属于基础题．13．如图，为测量坡高MN，选择A和另一个山坡的坡顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知坡高BC=50米，则坡高MN= 75 米．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM=50m，∠MAN=60°，从而可求得MN的值．解答：解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=150m，所以AC=50m．在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，由正弦定理得，，因此AM=50m．在RT△MNA中，AM=50m，∠MAN=60°，由得MN=50×=75m．故答案为：75．点评：本题主要考查正弦定理的应用，考查解三角形的实际应用，属于中档题．14．设F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足（）=0（O为坐标原点），且3||=4||，则双曲线的离心率为 5 ．考点：双曲线的简单性质．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用双曲线的定义，结合条件可得|PF1|=8a，|PF2|=6a，再由（）=0，可得|OP|=|OF2|，得到∠F1PF2=90°，由勾股定理及离心率公式，计算即可得到．解答：解：由于点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=|PF2|，解得|PF1|=8a，|PF2|=6a，由（）=0，即为（）•（﹣）=0，即有2=2，则△PF1F2中，|OP|=|OF2|=|OF1|，则∠F1PF2=90°，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即有64a2+36a2=4c2，即有c=5a，即e==5．故答案为：5点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查双曲线的离心率的求法，同时考查向量垂直的条件和勾股定理的运用，考查运算能力，属于中档题．15．如果y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．给出下列命题：①函数y=sinx具有“P（a）性质”；②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f（2015）=1；③若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；④若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，且函数y=g（x）对，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥2成立，则∀x1，x2∈R，都有|f （x1）﹣f（x2）|≥2成立．其中正确的是①③④（写出所有正确命题的编号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：新定义；简易逻辑．分析：①运用诱导公式证明sin（x+π）=﹣sin（x）=sin（﹣x）；②根据奇函数，周期性定义得出f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），f（x+4）=f（x）；③根据解析式得出f（x+4）=f（﹣x），f（x）关于x=2对称，即f（2﹣x）=f（2+x），f（x）为偶函数，根题意得出图象也关于点（﹣1，0）成中心对称，且在（﹣2，﹣1）上单调递减，利用偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增；④利用定义式对称f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x），推论得出f（x）为偶函数，且周期为3；解答：解：①∵sin（x+π）=﹣sin（x）=sin（﹣x），∴函数y=sinx具有“P（a）性质”；∴①正确②∵若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），周期为4，∵f（1）=1，f（2015）=f（3）=﹣f（1）=﹣1，∴②不正确，③∵若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，∴f（x+4）=f（﹣x），∴f（x）关于x=2对称，即f（2﹣x）=f（2+x），∵图象关于点（1，0）成中心对称，∴f（2﹣x）=﹣f（x），即f（2+x）=﹣f（﹣x），∴得出：f（x）=f（﹣x），f（x）为偶函数，∵图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，∴图象也关于点（﹣1，0）成中心对称，且在（﹣2，﹣1）上单调递减，根据偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增；故③正确．④∵“P（0）性质”和“P（3）性质”，∴f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数，且周期为3，所以对，为一个周期，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥2成立，则则∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥2成立，故④正确．故答案为：①③④点评：本题考查了新概念的题目，函数的对称周期性，主要运用抽象函数性质判断，难度较大，特别是第3个选项，仔细推证．三、解答题16．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B=．（1）若b=3，，求A和a，c；（2）若sinAsinC=，且△ABC的面积为2，求b的大小．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由三角函数恒等变换化简已知等式可得，结合0＜A＜π，可求A，C，由勾股定理即可求得a，c的值．（2）由正弦定理可得，从而可得，结合，可得ac的值，从而可求b的大小．解答：解：（1）∵∴…（1分）∴∴…（2分）∵0＜A＜π∴∴…（3分）∵∴…（4分）∵b=3∴在直角△ABC中，，…（6分）（2）由正弦定理：∴∴∴…（8分）∵∴∴ac=8…（11分）∴b2=×8=12∴b=2…（13分）点评：本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，属于基本知识的考查．17．已知等差数列{a n}满足a1=1，且a2、a7﹣3、a8成等比数列，数列{b n}的前n项和T n=a n ﹣1（其中a为正常数）．（1）求{a n}的前项和S n；（2）已知a2∈N*，I n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求I n．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过a2、a7﹣3、a8成等比数列，计算可得d=1或，进而可得结论；（2）通过a2∈N*及a1=1可得a n=n，进而可得b n=a n﹣1（a﹣1）（n∈N*），分a=1、a≠1两种情况讨论即可．解答：解：（1）设{a n}的公差是d，∵a2、a7﹣3、a8成等比数列，∴a2•a8=，∴（1+d）（1+7d）=（1+6d﹣3）2，∴d=1或，当d=1时，；当时，；（2）∵a2∈N*，a1=1，∴{a n}的公差是d=1，即a n=n，当n=1时，b1=a﹣1，当n≥2时，，∵b1=a﹣1=a1﹣1（a﹣1）满足上式，∴b n=a n﹣1（a﹣1）（n∈N*），当a=1时，b n=0，∴I n=0；当a≠1时，，∴aI n=a（a﹣1）+2a2（a﹣1）+…+（n﹣1）a n﹣1（a﹣1）+na n（a﹣1），∴=a n﹣1﹣na n（a﹣1），∴I n=na n﹣，∴I n=．点评：本题考查求数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18．已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴上，且抛物线上横坐标为1的点到F的距离为2，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若=2，求直线AB的斜率；（Ⅲ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设抛物线方程为C：y2=2px（p＞0），运用抛物线的定义可得1+=2，即可解得p，进而得到抛物线方程；（Ⅱ）依题意F（1，0），设直线AB的方程为x=my+1，联立抛物线方程，消去x，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，即可求得m，进而得到直线AB的斜率；（Ⅲ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB，再由三角形的面积公式计算即可得到最小值．解答：解：（Ⅰ）设抛物线方程为C：y2=2px（p＞0），由其定义知|AF|=1+，又|AF|=2，所以p=2，即有抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）依题意F（1，0），设直线AB的方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4 …①因为=2，所以y1=﹣2y2…②联立①、②，消去y1，y2得m=±．所以直线AB的斜率是±2．（Ⅲ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB，而2S△AOB=2×•|OF|•|y1﹣y2|==4．所以当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线方程和直线方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，以及三角形面积的求法，注意运用对称性和转化思想，属于中档题．19．已知函数，g（x）=lnx．（注：）（1）a=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）已知f（x）在[e，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；（3）已知m，n，ξ满足n＞ξ＞m＞0，且，试比较ξ与的大小．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）对f（x）求导，利用导数求得f（x）的单调区间（2）对f（x）求导，分离参数a，利用导数的性质求得a的取值范围（3）构造新函数，利用新函数的导数证明命题成立．解答：解：（1）a=0，f（x）=lnx+，f'（x）=，f'（x）=0，x=2．∵x＞0，∴f（x）的单调增区间为（2，+∞），减区间为（0，2）．且x=2时f（x）取得极小值f（2）=ln2+1（2）∵∴，∵f（x）在[e，+∞）上单调∴或∴或∵当x≥e时，∴…8分（2）∵∴设，则∴h（x）＜h（1）=0，∴当x＞1时，令，得∴⇒∴即…14分．点评：本题主要考查导数在求得参数的取值范围的应用，属于中档题，在高考中常作压轴题出现．。

四川省石室中学2015届高三一诊模拟数学文试题 Word版

石室中学高2015届“一诊”模拟考试数学试题（文科）考试时间：120分钟总分 150分【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数的图像与性质、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数、充分、必要条件、集合、复数、圆锥曲线、抽样方法、概率、程序框图等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题（每题5分，共50分）【题文】1.已知集合{}24B x x =≤，则集合R B =ð（）A.()2∞，+B.[)2∞，+C.()()2-∞⋃∞，-2，+D.(][)22-∞⋃∞，-，+ 【知识点】集合的运算A1 【答案】【解析】C解析：因为{}{}2422B x x x x =≤=-≤≤，所以()(),22,R B =-∞-+∞ð，则选C.【思路点拨】遇到不等式的解构成的集合，一般先对不等式求解，再进行解答.2．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。

为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n =（） A ．9 B ．10 C ．12 D ．13 【知识点】分层抽样I1 【答案】【解析】 D 解析：因为603131208060n =÷=++，所以选D.【思路点拨】因为分层抽样是按比例抽样，所以样本和总体中各层所占的比例相等.【题文】3.已知a b ，均为单位向量，且它们的夹角为60，那么a b -=（）A.1 D.12【知识点】向量的数量积F3【答案】【解析】 A 解析：因为()2112221a b a ba b -=-=+-∙=-⨯，所以选A.【思路点拨】一般遇到求向量的模时，通常利用向量模的性质：向量的平方等于其模的平方进行解答.【题文】4．若某程序框图如图所示，则执行该程序输出P 的值是（） A ．21 B ．26 C ．30 D ．55【知识点】程序框图L1 【答案】【解析】C解析：该程序框图为循环结构，依次执行循环体得：第一次执行：n=2,p=5, 第二次执行：n=3,p=14, 第三次执行：n=4,p=30,此时30＞20,所以输出p=30，则选C.【思路点拨】遇到循环结构的程序框图，可依次执行循环体，直到跳出循环体，再判断选项即可.【题文】5．()()12221910log log 24⎛⎫-- ⎪⎝+⎭的值等于（） A ．2- B ．0 C ．8 D ．10【知识点】指数运算性质对数运算性质B6 B7 【答案】【解析】A 解析：因为()()()012221910log log 2312224⎛⎫--=-+-∙=- ⎪⎝⎭+所以选A. 【思路点拨】熟记指数的运算性质及对数的运算性质是解题的关键. 【题文】6．已知α是平面，,m n 是直线，则下列命题正确的是（）A ．若,,m n m α∥∥则n α∥ B ．若,,m n αα⊥∥则m n ⊥ C ．若m m n α⊥⊥，，则n α⊥ D ．若m n αα，∥∥，则m n ∥【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5 【答案】【解析】 B解析：选项A ，直线n 还可能在平面α内，所以错误；选项B ，因为n ∥α,所以在α一定存在直线a ∥n ，而m ⊥α,所以m ⊥a,得m ⊥n ，所以B 正确，因为只有一个正确选项，则答案只能为B..【思路点拨】判断空间线面位置关系时，可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.【题文】7．如果实数x y ，满足等式()2232x y +=-，那么yx的最大值是（）A ．12 B C D 【知识点】圆的方程H3 【答案】【解析】D解析：因为(x,y)为()2232x y +=-圆上的点，yx为圆上的点与原点连线的斜率，显然其最大值为过原点与圆相切的切点在第一象限的切线斜率，设倾斜角为α，显然s i n ,602αα==︒ D. 【思路点拨】本题可抓住代数式的几何意义，利用数形结合进行解答.【题文】8．关于x 的方程2160mx x -+=在[]110x ∈，上有实根，则实数m 的取值范围是（）A ．[]8，17B ．(]1，8 C ．(][)88-∞-⋃+∞，， D ．5885⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【知识点】函数与方程B9【答案】【解析】A 解析：由已知得()()22441616,'1x x m x m x x x +-=+=-=，由导数的符号可得函数16m x x=+在[1,4]上单调递减，在[4,10]上单调递增，又当x=1,4,10时函数值分别为17,8，585,所以函数的值域为[]8，17，则选A. 【思路点拨】对于方程有解求参数范围问题，可通过分离参数转化为求函数的值域问题进行解答.【题文】9．点12F F ，为椭圆()222210b x y a ba +>>=的左右焦点，若椭圆上存在点A 使12AF F 为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A B ．12 C ．14 D 1【知识点】椭圆的几何性质H5【答案】【解析】B解析：由椭圆的对称性可知，若若椭圆上存在点A 使12AF F 为正三角形，则点A 必在短轴端点，此时1sin 302c a =︒=，所以选B. 【思路点拨】抓住椭圆的对称性，可得到点A 的位置，再利用短轴端点到焦点的距离等于a直接求离心率即可.【题文】10．已知函数()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-<⎪⎩，，≤≤，设方程()()2xb x b f R -+∈=的四个实根从小到大依次为1234x x x x ，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（） A ．122x x +=B ．1219x x <<C ．()()340661x x <--<D ．34925x x <<【知识点】函数与方程B9【答案】【解析】D解析：不妨令b=0,函数f(x)图象与函数2x y -=的图象如图，则方程()()2xb x R f -∈=的根即为两个函数图象交点的横坐标，由图象可知123401,12,35,56x x x x <<<<<<<<，2x 可能大于2，所以A 错误,又()122112122lg ,2lg ,22lg 0x x x x x x x x ----=-=-=<，所以1201x x <<，所以B 错误；()()()()334434342lg 6,2lg 6,22lg 660x x x x x x x x ----=-=---=-->⎡⎤⎣⎦，所以()()34661x x -->，则C 错误，综上可知选D..【思路点拨】可先结合图象判断4个根的位置及由那段函数产生，再结合指数函数与对数函数的运算及性质进行判断即可.第II 卷（非选择题，共100分）【题文】二、填空题（每题5分，共25分）【题文】11．已知i 是虚数单位，则复数31ii+-的共轭复数是_________. 【知识点】复数的运算L4 【答案】【解析】1－2i解析：因为()()3131212i i i i i +++==+-.所以其共轭复数是1-i. 【思路点拨】先对复数进行计算，再求共轭复数即可. 【题文】12．若4cos 5α=-，且α为第三象限角，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 【知识点】三角函数求值C7【答案】【解析】10-解析：因为4c o s 5α=-，且α为第三象限角，所以3s i n 5α=-，则2272s i n s i nc o s 422101010πααα⎛⎫+=+=--=- ⎪⎝⎭.【思路点拨】直接利用两角和的正弦公式解答即可. 【题文】13．若0+2=1m n m n >，，且，则11m n+的最小值为________. 【知识点】基本不等式E6【答案】【解析】3+解析：因为0+2=1m n m n >，，且，所以()11112233n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭【思路点拨】可利用1的代换，把所求的式子转化成基本不等式特征，利用基本不等式求最值.【题文】14．直线21ax by +=与圆221x y +=相交于A B ，两点（其中a b ，是实数），且AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），则点()P a b ，与点()00Q ，之间距离的最大值为。

成都市石室外语学校数学高二下期末(含答案解析)

一、选择题1．如图，,,,A B C D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A ．AB CD BC DA +=+ B ．AC BD BC AD +=+ C ．AC DB DC BA +=+D ．AB DA AC DB +=+2．直线l ：210mx y m +--=与圆C ：22(2)4x y +-=交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为 A ．2430x y -+= B ．430x y -+= C ．2430x y ++= D ．2410x y ++=3．将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()cos2g x x =的图象，则ϕ的最小值为（）A ．3π B ．6π C ．12πD ．24π4．已知1sin()62πθ-=，且02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos()3πθ-=( ) A ．0B ．12C ．1D ．325．将函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图象上所有的点向左平移π4个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为（） A ．sin(2)4y x π=+B ．sin()24x y π=+C ．cos 2x y =D ．cos 2y x =6．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 56π，cos56π)，则角x 的最小正值为( ) A ．56π B ．53πC ．116πD ．23π 7．已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形8．在给出的下列命题中，是假命题的是（） A ．设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈，则点、、A B C 必共线B ．若向量,a b 是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的C ．已知平面向量OA OB OC 、、满足|(0)OA OB OC r r ===，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形D ．在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直 9．设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（）A ．20B ．15C ．9D ．610．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（）A B ．C D ．-11．已知是12,e e ，夹角为60︒的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角是( ) A ．60︒B ．120︒C ．30D ．90︒12．已知()()f x sin x ωθ=+（其中()()12120,0,,''0,2f x f x x x πωθ⎛⎫>∈==- ⎪⎝⎭，的最小值为(),23f x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移6π个单位得()g x ，则()g x 的单调递减区间是（）A ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ B ．()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦ZC ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦13．已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωφπ=+>><的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭或32sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．32sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．32sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭14．已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（） A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的最小值为1-D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称15．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(22)CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（）．A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题16．已知(,)2πθπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4πθ+=_________________. 17．已知sin76m ︒=，则cos7︒=________.（用含m 的式子表示）18．在ABC 中，已知1tan 2tan tan A B A-=，则cos(2)A B -的值为________. 19．设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA FB FC 0++=，则FA FB FC ++=______．20．已知平面向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，|a ﹣b 3a 在b 方向上的投影是__________．21．在平行四边形ABCD 中，E 为线段BC 的中点，若AB AE AD λμ=+，则λμ+=__________．22．已知(,)P x y 是椭圆22143x y +=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．23．已知向量()()121a b m =-=，，，，若向量a b +与a 垂直，则m =______． 24．设G 是ABC ∆的重心（即三条中线的交点），AB a =，AC b =，试用a 、b 表示AG =________.25．若x 2+y 2=4,则x −y 的最大值是三、解答题26．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222230a c b ac +-+=. （1）求cos B 的值；（2）求sin 24B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 27．已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x B A ωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示：（I ）求()f x 的解析式及对称中心坐标；（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移6π个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数()g x 的图象,求函数()y g x =在7π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调区间及最值．28．设函数()sin 3cos 1f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域和函数的的单调递增区间；（2）当()135f α=，且263ππα<<时，求2sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.29．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：（1）1AC ∥平面1B CD ；（2）平面1APC 平面1B CD ．30．已知函数()232232f x sin xcos x cos x =+ （Ⅰ）求函数y ＝f （x ）图象的对称轴和对称中心；（Ⅱ）若函数()()14g x f x =+，52412x ππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，的零点为x 1，x 2，求cos （x 1﹣x 2）的值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．B 7．B 8．D9．C10．C11．B12．A13．C14．A15．D二、填空题16．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件17．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力18．0【解析】【分析】通过展开然后利用已知可得于是整理化简即可得到答案【详解】由于因此所以即所以则故答案为0【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用意在考查学生的基础知识难度中等19．6【解析】【分析】由题意可得焦点F（02）准线为y＝﹣2由条件可得F是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p＝4焦点F（02）准线为y＝﹣2由于故F是三角形ABC的重心设AB20．【解析】分析：根据向量的模求出•=1再根据投影的定义即可求出详解：∵||=1||=2|﹣|=∴||2+||2﹣2•=3解得•=1∴在方向上的投影是=故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影21．【解析】分析：先根据三角形法则化为再根据分解唯一性求即得详解：因为所以因为不共线所以点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若为不共线向量则22．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为23．【解析】利用平面向量的加法公式可得：由平面向量垂直的充要条件可得：解方程可得：24．【解析】【分析】延长交于点利用重心的性质得出以及中线向量可求出的表达式【详解】延长交于点则点为线段的中点由平面向量加法的平行四边形法则可知则为的重心因此故答案为【点睛】本题考查向量的基底分解解题的关25．22【解析】【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题然后结合辅助角公式即可确定x-y的最大值【详解】由题意可知xy表示坐标原点为圆心2为半径的圆上的点设点的坐标为2cosθ2sinθ则x-y=2c三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．【详解】=-，=-，DC AC ADDC BC BD∴AC AD BC BD-=-，∴AC BD BC AD+=+．【点睛】本题主要考查了平面向量的加减法及其几何意义，属于容易题．2．A解析：A 【解析】【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB 最短时直线l 的方程. 【详解】由题得1210(21)(1)0,,2101x x m x y y y ⎧-==⎧⎪-+-=∴∴⎨⎨-=⎩⎪=⎩，所以直线l 过定点P112（，）. 当CP ⊥l 时，弦AB 最短. 由题得2112,1202CP l k k -==-∴=-, 所以112,24m m -=∴=-. 所以直线l 的方程为2430x y -+=.故选：A 【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．C解析：C 【解析】【分析】根据题意得到变换后的函数解析式，利用诱导公式求得结果【详解】由题，向左平移(0)ϕϕ>不改变周期，故2ω=，∴平移得到()sin 2sin 22cos 233x x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫++=++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 2+=+232k ππϕπ∴，12k πϕπ∴=+0ϕ>，∴当0k =时，min 12πϕ=，故选C本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，利用诱导公式完成正、余弦型函数的转化4．C解析：C 【解析】【分析】解法一：由题意求出θ的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果【详解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得，πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ．【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础5．D解析：D 【解析】【分析】由正弦函数的周期变换以及平移变换即可得出正确答案. 【详解】函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）得到sin 2y x =，再将所得图象上所有的点向左平移π4个单位长度，得到sin 2sin 2cos 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D 【点睛】本题主要考查了正弦函数的周期变换以及平移变换，属于中档题.6．B解析：B【分析】先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值．【详解】因为5sin06π>，5cos 06π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知5sin cos62x π==-，故角x 的最小正值为5233x πππ=-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．7．B解析：B 【解析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B ，即可确定出三角形形状．详解：设已知方程的两根分别为x 1，x 2，根据韦达定理得：x 1+x 2=cosAcosB ，x 1x 2=2sin 22C=1﹣cosC ， ∵x 1+x 2=12x 1x 2， ∴2cosAcosB=1﹣cosC ， ∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosAcosB+sinAsinB ， ∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos （A ﹣B ）=1， ∴A ﹣B=0，即A=B ， ∴△ABC 为等腰三角形．故选B ．点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．8．D解析：D 【解析】【分析】【详解】由()()1OA m OB m OC OA OC m OB OC CA mCB =⋅+-⋅⇒-=⋅-⇒=⋅ 则点、、A B C 必共线，故A 正确；由平面向量基本定理可知B 正确；由 (0)OA OB OC r r ===>可知O 为ABC ∆的外心，由0OA OB OC ++=可知O 为ABC ∆的重心，故O 为ABC ∆的中心，即ABC ∆是等边三角形，故C 正确；存在四个向量（1，0），（0，1），（2，0），（0，-2）其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直,D 错误故选D.9．C解析：C【解析】【分析】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可. 【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==, ∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+, 2233AN AD DC AD AB =+=+, NM AM AN ∴=-, 2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+, 22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅, 6,4AB AD ==，22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=，故选C.本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.考点：向量运算.10．C解析：C【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值．【详解】02πα<<，3444πππα∴<+<，则sin 43πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，02πβ-<<，则4422ππβπ<-<，所以，sin 42πβ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos cos sin sin 44244233ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负；②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．11．B解析：B【解析】【分析】求出||,||,a b a b ⋅，根据向量夹角公式，即可求解.【详解】22222121122||()2a a e e e e e e ==+=+⋅+022cos 603,||3a =+⨯=∴= 22222121122||(2)44b b e e e e e e ==-=-⋅+054cos 603,||3b =-⨯==， 1212()(2)a b e e e e ⋅=+⋅-2201122321cos602e e e e =-⋅-=--=-，设,a b 的夹角为1,cos 2||||a b a b θθ⋅==-， 20,3πθπθ≤≤∴=. 故选:B,【点睛】本题考查向量的夹角、向量的模长、向量的数量积，考查计算能力，属于中档题. 12．A解析：A【解析】【分析】利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得f （x ）的解析式，利用函数y ＝A sin（ωx +φ）的图象变换规律求得G （x ）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则G （x ）的单调递减区间．【详解】∵f （x ）＝sin （ωx +θ），其中ω＞0，θ∈（0，2π），f '（x 1）＝f '（x 2）＝0，|x 2﹣x 1|min 2π=， ∴12•T 2ππω==， ∴ω＝2，∴f （x ）＝sin （2x +θ）．又f （x ）＝f （3π-x ）， ∴f （x ）的图象的对称轴为x 6π=， ∴2•6π+θ＝k π2π+，k ∈Z ，又02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， ∴θ6π=，f （x ）＝sin （2x 6π+）．将f （x ）的图象向左平移6π个单位得G （x ）＝sin （2x 36ππ++）＝cos2x 的图象，令2k π≤2x ≤2k π+π，求得k π≤x ≤k π2π+，则G （x ）＝cos2x 的单调递减区间是[k π，k π2π+]，故选A ．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．13．C解析：C【解析】【分析】由图观察出A 和T 后代入最高点，利用φπ<可得ϕ，进而得到解析式．【详解】由图象可知2A =，因为884πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以T π=，2ω=. 当8x π=-时，2sin 228πφ⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，即sin 14πφ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又φπ<，解得34πφ=.故函数的解析式为32sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选C.【点睛】本题考查由()y sin A x ωϕ=+的部分图象确定函数表达式，属基础题．14．A解析：A【解析】【分析】利用三角函数恒等变换的公式，化简求得函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．【详解】由题意，函数2111()cos cos 2cos 2sin(2)2262f x x x x x x x π=+=++=++，当6x π=时，113()sin(2)sin 6662222f ππππ=⨯++=+=，所以6x π=函数()f x 的对称轴，故A 正确；由sin(2)[1,1]6x π+∈-，所以函数()f x 的最大值为32，最小值为12-，所以B 、C 不正确；又由12x π=时，131()sin(2)6126222f πππ=⨯++=+，所以(,0)12π-不是函数()f x 的对称中心，故D 不正确，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的公式的应用，以及函数sin()y A wx b ϕ=++的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．D解析：D【解析】不妨设(0,0)O∵(2,2)OC =，(2cos ,2sin )CA αα=．∴(2,2)C 、(22,22sin )A cos αα++．∴点A 在以(2,2)为圆心半径为2的圆上．∴OA 与OB 的夹角为直线OA 的倾斜角．设:OA l y kx =∴22121k d r k -=≤=+．即2410k k -+≤，则[23,23]k ∈-+．又∵π23tan 12-=，523tan π12+=． ∴OA 、OB 夹角[23,23]θ∈-+．故选D ．二、填空题16．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件解析：34- 【解析】试题分析：因为(,)2πθπ∈，所以3(,)424πππθ-∈，所以4sin()45πθ-=，所以4tan()43πθ-=，即tan tan 4431tan tan 4πθπθ-=+，解得tan 7θ=-，所以tan()4πθ+＝tan tan 71341741tan tan 4πθπθ+-+==-+-．考点：1、同角三角形函数间的基本关系；2、两角和与差的正切公式．【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式可求解． 17．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力【解析】【分析】通过寻找76︒，7︒与特殊角90︒的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可．【详解】因为sin76m ︒=，即()sin 9014m ︒-︒=，所以cos14m ︒=，所以22cos 71m ︒-=，所以21cos141cos 722m +︒+︒==，又cos 7ο== 【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力． 18．0【解析】【分析】通过展开然后利用已知可得于是整理化简即可得到答案【详解】由于因此所以即所以则故答案为0【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用意在考查学生的基础知识难度中等解析：0【解析】【分析】通过展开cos(2)A B -，然后利用已知可得2tan 12tan tan A B A -=，于是整理化简即可得到答案.【详解】由于1tan 2tan tan A B A-=，因此2tan 12tan tan A B A -=，所以22tan 1tan 2=1tan tan A A A B=--，即tan 2tan 1A B ⋅=-，所以 sin 2sin cos2cos A B A B ⋅=-⋅,则cos(2)cos 2cos sin 2sin =0A B A B A B -=+，故答案为0.【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用，意在考查学生的基础知识，难度中等.19．6【解析】【分析】由题意可得焦点F （02）准线为y ＝﹣2由条件可得F 是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p ＝4焦点F （02）准线为y ＝﹣2由于故F 是三角形ABC 的重心设AB解析：6【解析】【分析】由题意可得焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由条件可得F 是三角形ABC 的重心，可得 21233y y y ++=，由抛物线的定义可得结果．【详解】由题意可得 p ＝4，焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由于 0FA FB FC ++=，故F 是三角形ABC 的重心，设 A 、B 、C 的纵坐标分别为 y 1，y 2，y 3，∴21233y y y ++=，∴y 1+y 2+y 3＝6．由抛物线的定义可得 FA FB FC ++=（y 1+2）+（y 2+2）+（y 3+2）＝12．故答案为12．【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到 y 1+y 2+y 3＝6，是解题的关键．20．【解析】分析：根据向量的模求出•=1再根据投影的定义即可求出详解：∵||=1||=2|﹣|=∴||2+||2﹣2•=3解得•=1∴在方向上的投影是=故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影解析：12【解析】分析：根据向量的模求出a •b =1，再根据投影的定义即可求出．详解：∵|a |=1，|b |=2，|a ﹣b∴|a |2+|b |2﹣2a •b =3，解得a •b =1，∴a 在b 方向上的投影是a b b ⋅=12，故答案为12点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．21．【解析】分析：先根据三角形法则化为再根据分解唯一性求即得详解：因为所以因为不共线所以点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若为不共线向量则解析：12. 【解析】分析：先根据三角形法则化AE 为12AB AD +，再根据分解唯一性求λμ，，即得.λμ+ 详解：因为1 2AE AB AD =+，所以2AB AB AD λλμ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 因为,AB AD 不共线，所以111=1+=0=-,+=.222λλμμλμ∴，点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若,a b 为不共线向量，1122+y +y c x a b x a b ==，则1212y =y .x x =，22．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为【解析】P x y （，）是椭圆22143x y +=＝1上的一个动点，设 2x cos y ，，θθ== 2x y cos θθθϕ∴+=+=+（），23．【解析】利用平面向量的加法公式可得：由平面向量垂直的充要条件可得：解方程可得：解析：7【解析】利用平面向量的加法公式可得：()1,3a b m +=-+，由平面向量垂直的充要条件可得：()()()()1,31,2160a b a m m +⋅=-+⋅-=--++=，解方程可得：7m =. 24．【解析】【分析】延长交于点利用重心的性质得出以及中线向量可求出的表达式【详解】延长交于点则点为线段的中点由平面向量加法的平行四边形法则可知则为的重心因此故答案为【点睛】本题考查向量的基底分解解题的关解析：1133a b +. 【解析】【分析】延长AG 交BC 于点D ，利用重心的性质得出23AG AD =以及中线向量 ()12AD AB AC =+可求出AG 的表达式. 【详解】延长AG 交BC 于点D ，则点D 为线段BC 的中点，由平面向量加法的平行四边形法则可知2AD AB AC a b =+=+，则1122AD a b =+， G 为ABC ∆的重心，因此，221111332233AG AD a b a b ⎛⎫==⨯+=+ ⎪⎝⎭，故答案为1133a b +. 【点睛】本题考查向量的基底分解，解题的关键就是三角形重心的性质和中线向量的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.25．22【解析】【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题然后结合辅助角公式即可确定x-y 的最大值【详解】由题意可知xy 表示坐标原点为圆心2为半径的圆上的点设点的坐标为2cosθ2sinθ则x-y=2c解析：2√2【解析】【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题，然后结合辅助角公式即可确定x −y 的最大值.【详解】由题意可知(x,y )表示坐标原点为圆心，2为半径的圆上的点，设点的坐标为(2cosθ,2sinθ)，则x −y =2cosθ−2sinθ=−2√2sin (θ−π4)，当sin (θ−π4)=−1时，x −y 取得最大值2√2.【点睛】本题主要考查三角函数最值的求解，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题26．（1）34-（2）16【解析】试题分析：（1）利用余弦定理表示出cosB ，将已知等式代入即可求出cosB 的值；（2）由cosB 可求出sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果.试题解析：（1）由22222230a c b ac +-+=，得22232a cb ac +-=-，根据余弦定理得222332cos 224ac a c b B ac ac -+-===-；（2）由3cos 4B =-，得sin B =∴sin22sin cos B B B ==21cos22cos 18B B =-=，∴1sin 2sin2cos cos2sin 44428816B B B πππ⎫⎛⎫+=+=-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 27． (Ⅰ) ()2sin(2)13f x x π=+-；对称中心的坐标为,126k ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(k Z ∈) (Ⅱ)见解析【解析】【分析】（I ）先根据图像得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得,A B 的值，根据周期求得ω的值，根据图像上()112f π=求得ϕ的值，由此求得()f x 的解析式，进而求得()f x 的对称中心.（II ）求得图像变换之后的解析式()2sing x x =，通过求出()g x 的单调区间求得()g x 在区间7π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【详解】解：（I ）由图像可知：13A B A B +=⎧⎨-+=-⎩,可得：2,1A B ==- 又由于721212T ππ=-,可得：T π=,所以22T πω==由图像知()112f π=,sin(2)112πϕ⨯+=,又因为2363πππϕ-<+<所以2122ππϕ⨯+=,3πϕ=.所以()2sin(2)13f x x π=+-令23x k ππ+=(k Z ∈),得：26k x ππ=-(k Z ∈) 所以()f x 的对称中心的坐标为,126k ππ⎛⎫--⎪⎝⎭(k Z ∈) （II ）由已知的图像变换过程可得：()2sin g x x = 由()2sin g x x =的图像知函数在7π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 单调减区间7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦当2x π=时,()g x 取得最大值2；当76x π=时,()g x 取得最小值1-．【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数对称中心的求法，考查三角函数图像变换，考查三角函数的单调性和最值的求法，属于中档题.28．（1）值域是[]1,3-，单调递增区间为52+266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，；（2）2425-.【解析】【分析】（1）根据三角函数的关系式，即可求求函数f （x ）的值域和函数的单调递增区间．（2）根据三角函数的诱导公式即可得到结论．【详解】（1）依题意()sin 1f x x x =+ 2sin 13x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为22sin 23x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则12sin 133x π⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭. 即函数()f x 的值域是[]1,3-. 令32222k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，解得52+266k x k ππππ-+≤≤，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为52+266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈.（2）由()132sin 135f παα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为263ππα<<，所以23ππαπ<+<时，得3cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以2sin 2sin233ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭432425525-⨯⨯=-. 【点睛】三角函数求值的类型如下：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.29．（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，证明1OD AC ，再由线面平行的判定可得1AC ∥平面1B CD ；（2）由P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，证得四边形1ADB P 为平行四边形，得到1APDB ，进一步得到AP ∥平面1B CD ．再由1AC ∥平面1B CD ，结合面面平行的判定可得平面1APC 平面1B CD ．【详解】证明：（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ， ∵四边形11BCC B 为平行四边形，∴O 为1B C 中点，又D 是AB 的中点，∴OD 是三角形1ABC 的中位线，则1OD AC ，又∵1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ， ∴1AC ∥平面1B CD ；（2）∵P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点， ∴1AD B P 且1AD B P =，则四边形1ADB P 为平行四边形， ∴1APDB ，又∵AP ⊄平面1B CD ，1DB ⊂平面1B CD ， ∴AP ∥平面1B CD ．又1AC ∥平面1B CD ，1AC AP P =，且1AC ⊂平面1APC ，AP ⊂平面1APC ，∴平面1APC 平面1B CD ．【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．30．（Ⅰ）对称轴方程为x 1424k ππ=+，k ∈Z ，对称中心为（1412k ππ-，0），k ∈Z ；（Ⅱ）±104．【解析】【分析】（Ⅰ）先利用三角恒等变换化简目标函数，然后求解对称轴和对称中心；（Ⅱ）先求出()g x 的零点，然后求解cos （x 1﹣x 2）的值．【详解】函数()23122322f x sin xcos x cos x ==sin4x 3+cos4x ＝sin （4x 3π+），（Ⅰ）由4x 32k πππ+=+，k ∈Z ，可得f （x ）的对称轴方程为x 1424k ππ=+，k ∈Z ，令4x 3π+=k π，k ∈Z ，则x 1412k ππ=-，k ∈Z ，∴f （x ）的对称中心为（1412k ππ-，0），k ∈Z ；（Ⅱ）根据函数()()14g x f x =+，可得g （x ）＝sin （4x 3π+）14+，52412x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，的零点为x 1，x 2， ∴sin （4x 13π+）14+=0，即sin （4x 13π+）14=-，∴2sin （2x 16π+）cos （2x 16π+）14=-，∴21115[22]16644sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫+-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1152266sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由（Ⅰ）知，f （x ）在52412ππ⎛⎫⎪⎝⎭，内的对称轴为x 724π=，则x 1+x 2712π=，∴x 2712π=-x 1， ∴cos （x 1﹣x 2）＝cos （x 1﹣（712π-x 1）＝cos （2x 1712π-）＝sin （2π+2x 1712π-）＝sin （2x 112π-）＝sin （2x 164ππ+-）112266sin x cos x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝±4．【点睛】本题主要考查三角函数的性质及恒等变换，把目标函数化为标准型函数是求解的关键，零点的转化有一定的技巧，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.。

【精选试卷】成都市石室外语学校中考数学专项练习(含答案解析) (2)

一、选择题1．将直线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（） A ．24y x =-B ．24y x =+C ．22y x =+D ．22y x =-2．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（） A ．606030(125%)x x-=+ B ．606030(125%)x x-=+C ．60(125%)6030x x⨯+-=D ．6060(125%)30x x⨯+-= 3．下列各曲线中表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．4．如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q5．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：y=kx+43与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB=30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是（）A ．6B ．8C ．10D ．126．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（） A ．12 B ．15 C ．12或15 D ．18 7．下列计算错误的是（） A ．a 2÷a 0•a 2=a 4 B ．a 2÷（a 0•a 2）=1 C ．（﹣1.5）8÷（﹣1.5）7=﹣1.5 D ．﹣1.58÷（﹣1.5）7=﹣1.5 8．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x +3=0有实数根，则k 的非负整数值是（）A ．1B ．0，1C ．1，2D ．1，2，39．如图，已知a ∥b ，l 与a 、b 相交，若∠1=70°，则∠2的度数等于（）A ．120°B ．110°C ．100°D ．70°10．下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：分数/分 70 80 90100 人数/人13x1已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则测验成绩的众数是（） A ．80分 B ．85分 C ．90分 D ．80分和90分 11．下列二次根式中的最简二次根式是（）A ．30B ．12C ．8D ．0.512．三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（） A ．19B ．16C ．13D ．2313．如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E （A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内）．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A ．21.7米B ．22.4米C ．27.4米D ．28.8米14．有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（） A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．方差15．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为( )A．B．C．D．16．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+917．预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学计数法表示为（）A．94.610⨯D．9⨯C．84.610⨯B．74610⨯0.461018．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．19．如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图是()A．B．C．D．20．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为()A．4B．5C．6D．721．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行,最新统计数据显示,中国每年浪费食物总量折合粮食大约是230000000人一年的口粮,将230000000用科学记数法表示为( ) A．2.3×109 B．0.23×109 C．2.3×108 D．23×10722．若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1或﹣1D．2或023．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24B．18C．12D．924．2-的相反数是（）A．2-B．2C．12D．12-25．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个26．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα27．如图，点A ，B 在反比例函数y ＝1x（x ＞0）的图象上，点C ，D 在反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象上，AC ∥BD ∥y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1；2，△OAC 与△CBD 的面积之和为94，则k 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．28．下列由阴影构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．29．8×200=x+40 解得：x=120答：商品进价为120元．故选：B ．【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润=售价-进价，建立方程是关键．30．下列分解因式正确的是（） A ．24(4)x x x x -+=-+ B ．2()x xy x x x y ++=+ C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-二、填空题31．不等式组3241112x x x x ≤-⎧⎪⎨--<+⎪⎩的整数解是x= ．32．分解因式：2x 2﹣18＝_____．33．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为 .34．一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物分别用2, a a 次；甲、丙两车合运相同次数，运完这批货物，甲车共运180吨；乙、丙两车合运相同次数，运完这批货物乙车共运270吨，现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完，货主应付甲车主的运费为___________ 元.(按每吨运费20元计算)35．正六边形的边长为8cm ，则它的面积为____cm 2． 36．当m =____________时,解分式方程533x mx x-=--会出现增根． 37．如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，且BD ＝CD ，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，且DN ＝32，在DB 的延长线上取一点P ，满足∠ABD ＝∠MAP ＋∠PAB ，则AP ＝_____.38．九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得如图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角∠CBD ＝60°；（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米；（3）量出测倾器的高度AB＝1.5米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE约为_____米．（精确到0.1米，3≈1.73）．39．已知扇形AOB的半径为4cm，圆心角∠AOB的度数为90°,若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面半径为________cm40．用一个圆心角为180°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为_______．41．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是_____．42．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数kyx 在第一象限的图象经过点D，交BC于E，若点E是BC的中点，则OD的长为_____．43．如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是．44．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为________.45．色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：抽取的体检表数n501002004005008001000120015002000色盲患者的频37132937556985105138数m色盲患者的频0.0600.0700.0650.0730.0740.0690.0690.0710.0700.069率m/n根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为______（结果精确到0.01）．46．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，则cos∠OCB的值是________.47．如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2； P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是________．48．如图，矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为____________．49．如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）50．如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是_____．51．计算：2cos45°﹣（π+1）0+111()42-+=______． 52．已知圆锥的底面圆半径为3cm ，高为4cm ，则圆锥的侧面积是________cm 2. 53．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC 与△A′B′C′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动上面的三角尺ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C′间的距离是_____．54．已知10a b b -+-=，则1a +=__．55．在函数3y x=-的图象上有三个点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（12，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系为_____．56．如图所示，过正五边形ABCDE 的顶点B 作一条射线与其内角EAB ∠的角平分线相交于点P ，且60ABP ∠=︒，则APB ∠=_____度．57．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是_____．58．如图，一张三角形纸片ABC ，∠C=90°，AC=8cm ，BC=6cm ．现将纸片折叠：使点A 与点B重合，那么折痕长等于 cm．59．如图①，在矩形 MNPQ 中，动点 R 从点 N 出发，沿N→P→Q→M 方向运动至点 M 处停止，设点 R 运动的路程为 x，△MNR 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图②所示，则矩形 MNPQ 的面积是________．60．分式方程32xx2--+22x-=1的解为________.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．C3．D4．C5．A6．B7．D8．A9．B10．D11．A12．C13．A14．A15．D16．D17．C18．B19．B20．C21．C22．A23．A24．B25．A26．B27．C28．B29．无30．C二、填空题31．﹣4【解析】【分析】先求出不等式组的解集再得出不等式组的整数解即可【详解】解：∵解不等式①得：x≤﹣4解不等式②得：x＞﹣5∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4∴不等式组的整数解为x=﹣4故答案为﹣4【32．2（x+3）（x﹣3）【解析】【分析】原式提取2再利用平方差公式分解即可【详解】原式＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3）故答案为：2（x+3）（x﹣3）【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合33．3或32【解析】【分析】当△CEB′为直角三角形时有两种情况：①当点B′落在矩形内部时如答图1所示连结AC先利用勾股定理计算出AC=5根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°而当△CEB′为直角三角34．【解析】【分析】根据甲乙两车单独运这批货物分别用2a次a次能运完甲的效率应该为乙的效率应该为那么可知乙车每次货运量是甲车的2倍根据若甲丙两车合运相同次数运完这批货物时甲车共运了180吨；若乙丙两车合35．【解析】【分析】【详解】如图所示正六边形ABCD中连接OCOD过O作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形∴∠COD=60°；∵OC=OD∴△COD是等边三角形∴OE=CE•tan60°=cm∴S△OCD36．2【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根且使分式方程的分母为0的未知数的值详解：分式方程可化为：x-5=-m由分母可知分式方程的增根是3当x=3时3-5=-m解得m=2故答案为：237．6【解析】分析：根据BD=CDAB=CD可得BD=BA再根据AM⊥BDDN⊥AB即可得到DN=AM= 3依据∠ABD=∠MAP+∠PAB∠ABD=∠P+∠BAP即可得到△APM是等腰直角三角形进而得到38．1【解析】试题分析：在Rt△CBD中知道了斜边求60°角的对边可以用正弦值进行解答试题解析：在Rt△CBD中DC=BC•sin60°=70×≈6055（米）∵AB=15∴CE=6055+15≈62139．1【解析】试题分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式可设圆锥的底面圆的半径为rcm根据题意得2πr=解得r=1故答案为：1点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面40．2【解析】【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为R根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长列出方程即可解决问题【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R由题意：2πR=解得R=2故答案为241．【解析】【分析】列表得出所有等可能结果从中找到积为大于-4小于2的结果数根据概率公式计算可得【详解】列表如下：-2-112-22-2-4-12-1-21-2-42．【解析】【分析】设D（x2）则E（x+21）由反比例函数经过点DE列出关于x的方程求得x的值即可得出答案【详解】解：设D（x2）则E（x+21）∵反比例函数在第一象限的图象经过点D点E∴2x＝x+243．【解析】【分析】连接BD交AC于点O由勾股定理可得BO=3根据菱形的性质求出BD再计算面积【详解】连接BD交AC于点O根据菱形的性质可得AC⊥BDAO=CO=4由勾股定理可得BO =3所以BD=6即可44．-6【解析】因为四边形OABC是菱形所以对角线互相垂直平分则点A和点C关于y轴对称点C在反比例函数上设点C的坐标为(x)则点A的坐标为(－x)点B的坐标为(0)因此AC=－2xOB=根据菱形的面积等45．07【解析】【分析】随着实验次数的增多频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率【详解】解：观察表格发现随着实验人数的增多男性患色盲的频率逐渐稳定在常数0 07左右故男性中男性患色盲的概率为007故46．【解析】【分析】根据圆周角定理可得∠BOC=90°易求BC=OC从而可得cos∠OCB的值【详解】∵∠A=45°∴∠BOC=90°∵OB=OC由勾股定理得BC=OC∴cos∠OCB=故答案为【点睛】47．3【解析】【分析】分别延长AEBF交于点H易证四边形EPFH为平行四边形得出G为PH中点则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN再求出CD的长运用中位线的性质求出MN的长度即可【详解】如图分别延长A48．【解析】试题解析：∵四边形ABCD是矩形∴OB=ODOA=OCAC=BD∴OA=OB∵AE垂直平分OB∴AB=AO∴OA=AB=OB=3∴BD=2OB=6∴AD=【点睛】此题考查了矩形的性质等边三角49．∠ADE=∠ACB（答案不唯一）【解析】【分析】【详解】相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；50．18【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5AC∥DE根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD根据三角形的周长公式计算即可【详解】∵DE分别是A51．【解析】解：原式==故答案为：52．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l根据勾股定理求出母线长再根据圆锥侧面积公式即可得出答案【详解】设圆锥母线长为l∵r=3h=4∴母线l=∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π故答案为15π53．5【解析】【分析】连接CC1根据M是ACA1C1的中点AC=A1C1得出CM=A1M=C1M=AC=5再根据∠A1=∠A1CM=30°得出∠CMC1=60°△MCC1为等边三角形从而证出CC1=CM 54．【解析】【分析】利用非负数的性质结合绝对值与二次根式的性质即可求出ab的值进而即可得出答案【详解】∵+|b﹣1|=0又∵∴a﹣b=0且b﹣1=0解得：a=b=1∴a+1=2故答案为2【点睛】本题主要55．y2＞y1＞y3【解析】【分析】根据图象上的点（xy）的横纵坐标的积是定值k可得xy=k 据此解答即可【详解】解：∵函数y=-的图象上有三个点（-2y1）（-1y2）（y3）∴-2y1=-y2=y3=56．66【解析】【分析】首先根据正五边形的性质得到度然后根据角平分线的定义得到度再利用三角形内角和定理得到的度数【详解】解：∵五边形为正五边形∴度∵是的角平分线∴度∵∴故答案为：66【点睛】本题考查了多57．【解析】【分析】根据概率的求法找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率【详解】共个数大于的数有个（大于）；故答案为【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可58．cm【解析】试题解析：如图折痕为GH由勾股定理得：AB==10cm由折叠得：AG=BG=AB =×10=5cmGH⊥AB∴∠AGH=90°∵∠A=∠A∠AGH=∠C=90°∴△ACB∽△AGH∴∴∴G59．20【解析】【分析】根据图象横坐标的变化问题可解【详解】由图象可知x=4时点R到达Px=9时点R到Q点则PN=4QP=5∴矩形MNPQ的面积是20【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题考查了动点到达60．【解析】【分析】根据解分式方程的步骤即可解答【详解】方程两边都乘以得：解得：检验：当时所以分式方程的解为故答案为【点睛】考查了解分式方程解分式方程的基本思想是转化思想把分式方程转化为整式方程求解解分2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知，将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7，由“上加下减”原则可知，将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为y=2x-7+3=2x-4，故选A.【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．2．C解析：C【解析】分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x +万平方米，依题意得：606030125%x x -=+，即()60125%6030x x ⨯+-=．故选C ．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．3．D解析：D【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确．故选D．4．C解析：C【解析】试题分析：∵点M，N表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在O点，∴绝对值最小的数的点是P点，故选C．考点：有理数大小比较．5．A解析：A【解析】试题解析：∵直线l：y=kx+43与x轴、y轴分别交于A、B，∴B（0，43），∴OB=43，在RT△AOB中，∠OAB=30°，∴OA=3OB=3×43=12，∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，∴PM=12 PA，设P（x，0），∴PA=12-x，∴⊙P的半径PM=12PA=6-12x，∵x为整数，PM为整数，∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．故选A．考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征．6．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B．考点：等腰三角形的性质．7．D解析：D【解析】分析：根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，逐项判定即可．详解：∵a2÷a0•a2=a4，∴选项A不符合题意；∵a2÷（a0•a2）=1，∴选项B不符合题意；∵（-1.5）8÷（-1.5）7=-1.5，∴选项C不符合题意；∵-1.58÷（-1.5）7=1.5，∴选项D符合题意．故选D．点睛：此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．8．A解析：A【解析】【分析】【详解】由题意得，根的判别式为△=(-4)2-4×3k，由方程有实数根，得(-4)2-4×3k≥0，解得k≤43，由于一元二次方程的二次项系数不为零，所以k≠0，所以k的取值范围为k≤43且k≠0，即k的非负整数值为1，故选A．9．B解析：B【解析】【分析】先求出∠1的邻补角的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求出∠2的度数．【详解】如图，∵∠1=70°，∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°，∵a∥b，∴∠2=∠3=110°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.10．D解析：D【解析】【分析】先通过加权平均数求出x的值，再根据众数的定义就可以求解．【详解】解：根据题意得：70+80×3+90x+100=85（1+3+x+1），x=3∴该组数据的众数是80分或90分．故选D．【点睛】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．通过列方程求出x是解答问题的关键．11．A解析：A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】A、30是最简二次根式；B、12=23，不是最简二次根式；C、8=22，不是最简二次根式；D、20.5=2，不是最简二次根式；故选：A．【点睛】此题考查最简二次根式的概念，解题关键在于掌握（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．12．C解析：C【解析】【分析】画出树状图即可求解.【详解】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率＝13；故选：C．【点睛】本题考查的是概率，熟练掌握树状图是解题的关键.13．A解析：A【解析】【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=AMEM，构建方程即可解决问题.【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵140.753CNDN==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=AM EM，∴0.45=866AB +，∴AB=21.7（米），故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．14．A解析：A【解析】【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选A．【点睛】考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义.15．D解析：D【解析】【分析】根据二次函数图象开口向上得到a>0，再根据对称轴确定出b ，根据二次函数图形与x 轴的交点个数，判断24b ac -的符号，根据图象发现当x=1时y=a+b+c<0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．【详解】∵二次函数图象开口方向向上，∴a >0， ∵对称轴为直线02b x a=->， ∴b <0，二次函数图形与x 轴有两个交点，则24b ac ->0，∵当x =1时y =a +b +c <0，∴24y bx b ac =+-的图象经过第二四象限，且与y 轴的正半轴相交，反比例函数a b c y x++=图象在第二、四象限，只有D 选项图象符合.故选：D.【点睛】考查反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键.16．D解析：D【解析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项解析判断后利用排除法求解：A 、x 2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；B 、x 2+2x ﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；C 、x 2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；D 、x 2﹣6x+9=（x ﹣3）2，故选项正确．故选D ．17．C解析：C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【详解】460 000 000=4.6×108．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．18．B解析：B【解析】【分析】①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．【详解】①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；②点P在BC上时，3＜x≤5，∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴ABDE=APADAB APDE AD=，即34xy=，∴y=12x，纵观各选项，只有B选项图形符合，故选B．19．B解析：B【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】从上边看第一列是一个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是两个小正方形，故选：B．本题考查了简单几何体的三视图，从上边看上边看得到的图形是俯视图．20．C解析：C【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．【详解】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解得n=6.故选C.【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键. 21．C解析：C【解析】230000000=2.3×108 ,故选C.22．A解析：A【解析】【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．【详解】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．23．A解析：A【解析】【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故选A．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.解析：B【解析】【分析】根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，故选B．【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .25．A解析：A【解析】【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②证△OMB≌△OEB得△EOB≌△CMB；③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF；④由②可知△BCM≌△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出BE=2OE=2AE，得出结论S△AOE：S△BOE=AE：BE=1：2．【详解】试题分析：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵FB垂直平分OC，∴△CMB≌△OMB，∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，∴△FOC≌△EOA，∴FO=EO，易得OB⊥EF，∴△OMB≌△OEB，∴△EOB≌△CMB，故②正确；③由△OMB≌△OEB≌△CMB得∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE，∴△BEF是等边三角形，∴BF=EF，∵DF∥BE且DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE=BF，∴DE=EF，故③正确；④在直角△BOE中∵∠3=30°，∴BE=2OE，∵∠OAE=∠AOE=30°，∴AE=OE，∴BE=2AE，∴S△AOE：S△BOE=1：2，又∵FM:BM=1:3,∴S△BCM =34S△BCF=34S△BOE∴S△AOE：S△BCM=2:3故④正确；所以其中正确结论的个数为4个考点：（1）矩形的性质；（2）等腰三角形的性质；（3）全等三角形的性质和判定；（4）线段垂直平分线的性质26．B解析：B【解析】【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB 、AD 即可解决问题；【详解】在Rt △ABC 中，AB=AC sin α，在Rt △ACD 中，AD=AC sin β， ∴AB ：AD=AC sin α：AC sin β=sin sin βα，故选B ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 27．C解析：C【解析】【分析】由题意，可得A （1，1），C （1，k ），B （2，12），D （2，12k ），则△OAC 面积＝12(k-1)，△CBD 的面积＝12×(2-1)×(12k-12)=14(k-1)，根据△OAC 与△CBD 的面积之和为94，即可得出k 的值．【详解】∵AC ∥BD ∥y 轴，点A ，B 的横坐标分别为1、2，∴A （1，1），C （1，k ），B （2，12），D （2，12k ）， ∴△OAC 面积＝12×1×(k-1)，△CBD 的面积＝12×(2-1)×(12k-12)=14(k-1)， ∵△OAC 与△CBD 的面积之和为94， ∴12(k-1)+ 14(k-1)=94， ∴k ＝4．故选C ．【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，三角形面积的计算，解题的关键是用k 表示出△OAC 与△CBD 的面积．28．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意，B 、是中心对称图形，也是轴对称图形，故该选项符合题意，C 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意，D 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合． 29．30．C解析：C【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()21x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确；D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．二、填空题31．﹣4【解析】【分析】先求出不等式组的解集再得出不等式组的整数解即可【详解】解：∵解不等式①得：x≤﹣4解不等式②得：x ＞﹣5∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4∴不等式组的整数解为x=﹣4故答案为﹣4【解析：﹣4．【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再得出不等式组的整数解即可．【详解】。

2015年四川省成都市石室外语学校自主招生考试数学试卷(含解析)word版

2015年四川省成都市石室外语学校自主招生考试数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在括号内．1．（3分）cos30°的值是（）A．B．1 C．D．2．（3分）方程（x﹣1）（x+2）=2（x+2）的根是（）A．1，﹣2 B．3，﹣2 C．0，﹣2 D．1，23．（3分）剪纸是中国的民间艺术．剪纸方法很多，如图是一种剪纸方法的图示（先将纸折叠，然后再剪，展开后即得到图案）：如图所示的四副图案，不能用上述方法剪出的是（）A． B．C．D．4．（3分）关于x的方程ax2﹣（a+2）x+2=0只有一解（相同解算一解），则a的值为（）A．a=0 B．a=2 C．a=1 D．a=0或a=25．（3分）如图，AP为圆O的切线，P为切点，OA交圆O于点B，若∠A=40°，则∠APB等于（）A．25°B．20°C．40°D．35°6．（3分）已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．7．（3分）据调查，我市2013年的房屋均价为9680元/m2，到2015年下降到8000元/m2，求这两年的年平均下降率，设年平均下降率为x，根据题意，所列方程为（）A．9680（1﹣x）=8000 B．9680（1+x2）=8000C．9680（1﹣2x）=4000 D．9680（1﹣x）2=80008．（3分）如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1，若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）A．点B到AO的距离为sin54°B．点A到OC的距离为sin36°sin54°C．点B到AO的距离为tan36°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°9．（3分）已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；②若a=b，则a2=b2；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④矩形的对角线相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP=x，CQ=y，那么y与x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．11．（4分）因式分解：x2y﹣9y=．12．（4分）若点P（x，y）在函数y=+的图象上，那么点P在平面直角坐标系中第象限．13．（4分）直线y=k1x+b与双曲线y=交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜﹣b的解集是．14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）．三、解答题：本大题共8小题，共44分．15．（12分）（1）计算：（﹣）0+（）﹣1×﹣|tan45°﹣|（2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．16．（6分）解分式方程：．17．（8分）实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，张老师一共调查了名同学，其中C类女生有名，D类男生有名；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，则所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率是．18．（8分）已知：在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣4k与双曲线y=在第一象限的交点为A（a，b），且OA=4．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）将直线y=x﹣4k向上平移10个单位后与双曲线y=相交于点D，求点D 的坐标．19．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，D是线段BC 上一点，以AD为边，在AD的右侧作正方形ADEF．直线AE与直线BC交于点G，连接CF．（1）猜想线段CF与线段BD的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）连接FG，当△CFG是等腰三角形时，①当BD＜1时求BD的长．②当BD＞1时，BD的长度是否改变，若改变，请直接写出BD的长度．20．（8分）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B，C为⊙O1上一点，CA交⊙O2于D，BD交⊙O1于F，直线CF交⊙O2于E、G．（1）求证：DE2=DF•DB；（2）求证：DO2⊥EG；（3）若DA=3，CA=5，CE=4，试求AE的长．22．（12分）如图，已知二次函数y=﹣x2+x+4的图象与y轴交于点A，与x 轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．（1）点A的坐标为，点C的坐标为；（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有两个，并求出此时点P的坐标．2015年四川省成都市石室外语学校自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在括号内．1．（3分）cos30°的值是（）A．B．1 C．D．【解答】解：cos30°=，故选：C．2．（3分）方程（x﹣1）（x+2）=2（x+2）的根是（）A．1，﹣2 B．3，﹣2 C．0，﹣2 D．1，2【解答】解：∵（x﹣1）（x+2）=2（x+2），∴（x﹣1）（x+2）﹣2（x+2）=0，∴（x+2）（x﹣1﹣2）=0，∴x+2=0或x﹣3=0，∴x1=﹣2，x2=3．故选：B．3．（3分）剪纸是中国的民间艺术．剪纸方法很多，如图是一种剪纸方法的图示（先将纸折叠，然后再剪，展开后即得到图案）：如图所示的四副图案，不能用上述方法剪出的是（）A． B．C．D．【解答】解：由题意知，剪出的图形一定是轴对称图形，四个选项中，只有C 不是轴对称图形，所以C不能用上述方法剪出．故选：C．4．（3分）关于x的方程ax2﹣（a+2）x+2=0只有一解（相同解算一解），则a的值为（）A．a=0 B．a=2 C．a=1 D．a=0或a=2【解答】解：当a≠0时，方程ax2﹣（a+2）x+2=0为一元二次方程，若方程有相等的两解，则△=[﹣（a+2）]2﹣4×a×2=0，整理得a2﹣4a+4=0，即△=（a﹣2）2=0，解得a=2；当a=0时，方程ax2﹣（a+2）x+2=0为一元一次方程，原方程转化为：﹣2x+2=0，此时方程只有一个解x=1．所以当a=0或a=2关于x的方程ax2﹣（a+2）x+2=0只有一解．故选：D．5．（3分）如图，AP为圆O的切线，P为切点，OA交圆O于点B，若∠A=40°，则∠APB等于（）A．25°B．20°C．40°D．35°【解答】解：如图，连接OP，∵AP为圆O的切线，P为切点，∴∠OPA=90°，∴∠O=90°﹣∠A=50°，∵OB=OP，∴∠OPB=∠OBP=（180°﹣∠O）÷2=65°，∴∠APB=90°﹣∠OPB=25°．故选：A．6．（3分）已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．【解答】解：设一次函数解析式为y=kx+b，将x=﹣1，y=1；x=1，y=﹣5代入得：，解得：k=﹣3，b=﹣2，∴一次函数解析式为y=﹣3x﹣2，令x=0，得到y=2，则m=﹣2，故选：C．7．（3分）据调查，我市2013年的房屋均价为9680元/m2，到2015年下降到8000元/m2，求这两年的年平均下降率，设年平均下降率为x，根据题意，所列方程为（）A．9680（1﹣x）=8000 B．9680（1+x2）=8000C．9680（1﹣2x）=4000 D．9680（1﹣x）2=8000【解答】解：设这两年房价的年平均下降率为x，则2014年的房价为9680（1﹣x）元，2015年的房价为9680（1﹣x）（1﹣x）=9680（1﹣x）2元，由题意可列方程：9680（1﹣x）2=8000故选：D．8．（3分）如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1，若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）A．点B到AO的距离为sin54°B．点A到OC的距离为sin36°sin54°C．点B到AO的距离为tan36°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°【解答】解：B到AO的距离是指BO的长，∵AB∥OC，∴∠BAO=∠AOC=36°，∵在Rt△BOA中，∠BOA=90°，AB=1，∴sin36°=，∴BO=ABsin36°=sin36°，故A、C选项错误；过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，∵∠BAO=36°，∠AOB=90°，∴∠ABO=54°，∵sin36°=，∴AD=AO•sin36°，∵sin54°=，∴AO=AB•sin54°，∵AB=1，∴AD=AB•sin54°•sin36°=1×sin54°•sin36°=sin54°•sin36°，故B选项正确，D选项错误；故选：B．9．（3分）已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；②若a=b，则a2=b2；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④矩形的对角线相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0，原命题正确，逆命题：如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0不一定正确，故不合题意；②若a=b，则a2=b2，原命题正确，逆命题：如果a2=b2，那么a=b不一定正确，故不合题意；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等，原命题正确，逆命题也正确，符合题意；④矩形的对角线相等，原命题正确，逆命题不正确，故不合题意．其中原命题与逆命题均为真命题的个数有1个．故选：A．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP=x，CQ=y，那么y与x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：设BP=x，CQ=y，则AP2=42+x2，PQ2=（6﹣x）2+y2，AQ2=（4﹣y）2+62；∵△APQ为直角三角形，∴AP2+PQ2=AQ2，即42+x2+（6﹣x）2+y2=（4﹣y）2+62，化简得：y=整理得：y=根据函数关系式可看出D中的函数图象与之对应．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．11．（4分）因式分解：x2y﹣9y=y（x+3）（x﹣3）．【解答】解：x2y﹣9y，=y（x2﹣9），=y（x+3）（x﹣3）．12．（4分）若点P（x，y）在函数y=+的图象上，那么点P在平面直角坐标系中第二象限．【解答】解：∵，∴x＜0，又∵x＜0，∴＞0，即y＞0，∴P应在平面直角坐标系中的第二象限．故答案为：二．13．（4分）直线y=k1x+b与双曲线y=交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜﹣b的解集是k2＞0时，0＜x＜1或x＞5；k2＜0时，1＜x＜5或x＜0．【解答】解：若k2＞0，如图1，当0＜x＜1或x＞5时，k1x+b＜，即不等式k1x＜﹣b的解集为0＜x＜1或x＞5；若k2＜0，如图2，当1＜x＜5或x＜0时，k1x+b＜，即不等式k1x＜﹣b的解集为1＜x＜5或x＜0．故答案为k2＞0时，0＜x＜1或x＞5；k2＜0时，1＜x＜5或x＜0．14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）．【解答】解：∵AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，∴+=CD，在矩形ABCD中，AB=CD=a，∴DM+CN=acos45°=a．故答案为：．三、解答题：本大题共8小题，共44分．15．（12分）（1）计算：（﹣）0+（）﹣1×﹣|tan45°﹣|（2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．【解答】解：（1）原式=1+3×﹣（﹣1）=1+﹣+1=+2；（2），由不等式①得：x＜﹣；由不等式②得：x≥﹣1，则原不等式组的解集为﹣1≤x＜﹣．16．（6分）解分式方程：．【解答】解：去分母，得x（x+2）+6（x﹣2）=（x﹣2）（x+2）．化简得：8x=8，解得x=1．经检验，x=1是原方程的解．∴原方程的解是x=1．17．（8分）实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，张老师一共调查了20名同学，其中C类女生有2名，D类男生有1名；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，则所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率是．【解答】解：（1）根据题意得：张老师一共调查的学生数为：（1+2）÷15%=20（名）；C类女生有：20×25%﹣3=2（名），D类男生有：20×（1﹣15%﹣25%﹣50%）﹣1=1（名）；故答案为：20；2；1；（2）补全统计图得：（3）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的有3种情况，∴所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率是：=．故答案为：．18．（8分）已知：在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣4k与双曲线y=在第一象限的交点为A（a，b），且OA=4．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）将直线y=x﹣4k向上平移10个单位后与双曲线y=相交于点D，求点D 的坐标．【解答】解：（1）∵点A（a，b）是直线y=x﹣4k与双曲线y=在第一象限的交点，∴，∴，∴a2+b2=（a﹣b）2+2ab=16k2+32k，∵OA=4，∴OA2=a2+b2=48，∴16k2+32k=48，即k2+2k﹣3=0解得k1=﹣3（舍去），k2=1，∴k=1，∴直线的解析式为y=x﹣4，双曲线的解析式为y=；（2）直线y=x﹣4向上平移10个单位后的直线解析式为y=x+6，解方程组得或，故D点坐标为（2，8）或（﹣8，﹣2）．19．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，D是线段BC 上一点，以AD为边，在AD的右侧作正方形ADEF．直线AE与直线BC交于点G，连接CF．（1）猜想线段CF与线段BD的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）连接FG，当△CFG是等腰三角形时，①当BD＜1时求BD的长．②当BD＞1时，BD的长度是否改变，若改变，请直接写出BD的长度．【解答】解：（1）猜想：CF=BD，CF⊥BD，∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°∴∠BAD=∠CAF，在△ABD与△ACF中，，∴△ABD≌△ACF （SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B=∠ACB=45°，∴∠BCF=90°，∴CF⊥BD；（2）∵AE是正方形ADEF的对角线，∴∠FAE=∠DAE=45°在△AFG与△ADG中，，∴△AFG≌△ADG（SAS），∴FG=DG，由（1）知，∠GCF=90°，若Rt△FCG是等腰三角形，则CG=CF，设CF=x，得CG=CF=BD=x①当BD＜1时，如图1，FG=DG=2﹣2x在Rt△CFG中，FG2=CF2+CG2∴（2﹣2x）2=2x2，解得：x1=2+＞1（舍去），x2=2﹣∴BD=2﹣，②当BD＞1时，如图2∵CG=CF=BD，∴FG=DG=BC=2在Rt△CFG中，FG2=CF2+CG2，∴22=2x2，解得x1=﹣（舍去），x2=．20．（8分）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？【解答】解：（1）设搭配A种造型x个，则B种造型为（50﹣x）个，依题意得解这个不等式组得，∴31≤x≤33∵x是整数，∴x可取31，32，33∴可设计三种搭配方案①A种园艺造型31个B种园艺造型19个②A种园艺造型32个B种园艺造型18个③A种园艺造型33个B种园艺造型17个．（2）方法一：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为33×800+17×960=42720（元）方法二：方案①需成本31×800+19×960=43040（元）方案②需成本32×800+18×960=42880（元）方案③需成本33×800+17×960=42720（元）∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元．21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B，C为⊙O1上一点，CA交⊙O2于D，BD交⊙O1于F，直线CF交⊙O2于E、G．（1）求证：DE2=DF•DB；（2）求证：DO2⊥EG；（3）若DA=3，CA=5，CE=4，试求AE的长．【解答】证明：（1）如图1，连接BE、AB，∵∠ADE=∠ABE，∠C=∠ABF，∵∠DEF=∠C+∠ADE，∠EBD=∠ABE+∠ABF，∴∠DEF=∠EBD，∵∠EDF=∠BDE，∴△EDF∽△BDE，∴，∴DE2=DF•DB；（2）如图2，连接O2D，∵∠DGE=∠EBD，∠DEF=∠EBD，∴∠DGE=∠DEF，∴=，∴DO2⊥EG；（3）如图3，由割线定理得：DF•DB=AD•DC=3×8=24，∵DE2=DF•DB，∴DE==2，∵DG=DE=2，∵∠CAE=∠G，∠C=∠C，∴△CAE∽△CGD，∴，∴，∴AE=．22．（12分）如图，已知二次函数y=﹣x2+x+4的图象与y轴交于点A，与x 轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．（1）点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（8，0）；（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有两个，并求出此时点P的坐标．【解答】解：（1）在二次函数中，令x=0得y=4，∴点A的坐标为（0，4），令y=0得，﹣x2+x+4=0即：x2﹣6x﹣16=0，∴x=﹣2和x=8，∴点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0）．故答案为：（0，4）；（8，0）．（2）∵点D是二次函数y=﹣x2+x+4的对称轴与x轴的交点，∴D（3，0），CD=5，设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：，解得；∴y=﹣x+4；①当DE=DC时，∵OA=4，OD=3，∴DA=5，∴E1（0，4）；②如图1，过E点作EG⊥x轴于G点，当DE=EC时，由DG==，把x=OD+DG=3+=代入到y=﹣x+4，求出y=，可得E2（，）；③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD，则△CEG∽△CAO，∴，又OA=4，OC=8，则AC=4，DC=EC=5，∴EG=，CG=2，∴E3（8﹣2，）；综上所述，符合条件的E点共有三个：E1（0，4）、E2（，）、E3（8﹣2，）．（3）如图2，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q；设P（m，﹣m2+m+4），则Q（m，﹣m+4）．如图3，①当0＜m＜8时，PQ=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，S=S△APQ+S△CPQ=×8×（﹣m2+2m）=﹣（m﹣4）2+16，∴0＜S≤16；②当﹣2≤m＜0时，PQ=（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）=m2﹣2m，S=S△CPQ﹣S△APQ=×8×（m2﹣2m）=（m﹣4）2﹣16，∴0＜S＜20；∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，﹣2＜m＜0中m有一个值，此时有三个；当16＜S＜20时，﹣2＜m＜0中m只有一个值；当S=16时，m=4或m=4﹣4或m=4+4（舍），∴S=16时，相应的点P有且仅有两个，当m=4时，S=16，∴y=﹣m2+m+4=6，∴P（4，6），当m=4﹣4时，y=﹣m2+m+4=2﹣2，∴P（4﹣2，2﹣2），即：P（4，6）或（4﹣2，2﹣2）．。

四川省成都市石室中学2015届高考数学三诊试卷文(含解析)

四川省成都市石室中学2015 届高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知集合A={1，2，}，集合B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．{} B．{2} C．{1} D．∅2．（5分）已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i3．（5分）命题“∀x∈R，sin2x＞1”的否定是（）A．∀x∈R，sin2x≤1B．∀x∉R，sin2x＞1C．∃x0∈R，sin2x≤1D．∃x0∉R，sin2x＞14．（5分）已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β．其中正确的命题的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③5．（5分）已知平面向量=（1，），|﹣|=1．则||的取值范围是（）A．[0，1] B．[1，3] C．[2，4] D．[3，4]6．（5分）将函数y=cos（x﹣）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．7．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosC+ccosB，则角B的大小为（）A．B．C．D．8．（5分）设函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）（0≤x≤2015π），则函数f（x）的各极小值之和为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣9．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[﹣1，3] D．（﹣∞，3]10．（5分）已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．+1 D．﹣1二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最小值是．12．（5分）阅读下面的程序框图．若使输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值为．13．（5分）2014年足球世界杯赛上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和45°，若旗杆的高度为30米，则且座位A、B的距离为米．14．（5分）直线l的方程为y=x+2，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2﹣4y2=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为．15．（5分）若函数f（x）在定义域的某子区间上满足f（x）=（λ为正实数），则称其为λ﹣局部倍缩函数．若函数f（x）在x∈[0，2]时，f（x）=sinπx，且x∈（2，+∞）时，f（x）为λ=2的局部倍缩函数．现有下列4个命题：①任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立；②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；③函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有5个零点；④对任意x＞0，若不等式f（x）≤恒成立，则k的最小值是．则其中所有真命题的序号是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+，，当x=α时，f（x）有最大值．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求△ABC的面积．17．（12分）如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况．乙组某个数据的个位数模糊，记为x，已知甲、乙两组的平均成绩相同．（1）求x的值，并判断哪组学生成绩更稳定；（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率．18．（12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2的五棱锥P﹣ABFED．（1）求证：BD⊥PA；（2）当 PA=时，求三棱锥A﹣PBD的体积．19．（12分）已知数列{a n}满足：a1=，a2=，2a n=a n+1+a n﹣1（n≥2，n∈N•），数列{b n}满足：b1＜0，3b n﹣b n﹣1=n（n≥2，n∈R），数列{b n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求证：数列{b n﹣a n}为等比数列；（Ⅱ）求证：数列{b n}为递增数列；（Ⅲ）若当且仅当n=3时，S n取得最小值，求b1的取值范围．20．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为4，定点A（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C标准方程；（Ⅱ）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）是椭圆C上的两点，向量，且．设B（x0，y0），且（θ∈R），求x02+3y02的值；（Ⅲ）如图所示，直线MN经过椭圆C右焦点F．当M、N两点在椭圆C运动时，试判断×tan∠MAN是否有最大值，若存在求出最大值，并求出这时M、N两点所在直线方程，若不存在，给出理由．21．（14分）已知函数f（x）=的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为5x+y+3=0．（I）求实数a，b的值及函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值；（Ⅱ）曲线y=f（x）上存在两点M、N，使得△MON是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边MN的中点在y轴上，求实数c的取值范围．四川省成都市石室中学2015届高考数学三诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知集合A={1，2，}，集合B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．{} B．{2} C．{1} D．∅考点：交集及其运算．专题：集合．分析：将A中的元素代入集合B中的等式中求出y的值，确定出B，求出A与B的交集即可．解答：解：当x=1时，y=1；当x=2时，y=4；当x=时，y=，∴B={1，4，}，∴A∩B={1}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：设出复数z，代入，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．解答：解：由题意得z=ai．（a∈R且a≠0）．∴==，则a+2=0，∴a=﹣2．有z=﹣2i，故选D点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．3．（5分）命题“∀x∈R，sin2x＞1”的否定是（）A．∀x∈R，sin2x≤1B．∀x∉R，sin2x＞1C．∃x0∈R，sin2x≤1D．∃x0∉R，sin2x＞1考点：特称命题；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：命题的否定，将量词与结论同时否定，按照这个规则，我们可以得出结论．解答：解：命题的否定，将量词与结论同时否定命题“∀x∈R，sin2x＞1”的否定是“∃x0∈R，sin2x0≤1”故选：C．点评：命题的否定是有规律的，一般来说要将量词与结论同时否定，全称命题变为特称性命题，特称性命题变为全称命题．4．（5分）已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β．其中正确的命题的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：在正方体中，找出有关的直线与平面，判断选项的正误即可．解答：解：对于①，在正方体中，α∥β，m⊥α则l⊥m，①正确；对于②，在正方体中，若α⊥β，m⊥α则l∥m，显然在②图值，②不正确；对于③，在正方体中，若l⊥m，m⊥α则α⊥β，如图④，显然③正确；对于④，在正方体中，若l∥m，m⊥α，则α∥β，如图③，∴④不正确．故选：D点评：本题考查空间中直线与平面、直线与直线的位置关系，考查空间想象能力，属于简单题5．（5分）已知平面向量=（1，），|﹣|=1．则||的取值范围是（）A．[0，1] B．[1，3] C．[2，4] D．[3，4]考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由模长公式和圆的知识，可把问题转化为点（x，y）与原点的距离的取值范围，由距离公式和圆的知识易得答案．解答：解：设=（x，y），则由题意可得﹣=（1﹣x，﹣y），由|﹣|=1可得（x﹣1）2+（y﹣）2=1，即点（x，y）在以（1，）为圆心1为半径的圆上，而||=表示点（x，y）与原点的距离，又圆心（1，）与原点的距离d=2，∴最小值为2﹣1=1，最大值为2+1=3故选：B点评：本题考查平面向量的数量积，涉及圆的知识及数形结合思想，属中档题．6．（5分）将函数y=cos（x﹣）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．解答：解：将函数y=cos（x﹣）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=cos（2x﹣）的图象；再向右平移个单位，可得函数数y=cos[2（x﹣）﹣]=cos（2x﹣）图象，故所得图象的对称中心的横坐标满足2x﹣=kπ，k∈z，即x=+，k∈z，故所得图象的对称中心为（x=+，0）k∈z．结合所给的选项，故选：B．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosC+ccosB，则角B的大小为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式、正弦定理，求得cosB的值，可得B的值．解答：解：在△ABC中，由acosB=bcosC+ccosB利用正弦定理可得sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC，即sinAcosB=sin（B+C），求得cosB=，∴B=，故选：B．点评：本题主要考查诱导公式、正弦定理的应用，属于基础题．8．（5分）设函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）（0≤x≤2015π），则函数f（x）的各极小值之和为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极小值f（2kπ+2π）=e2kπ+2π，再利用数列的求和方法来求函数f（x）的各极小值之和即可．解答：解：∵函数f（x）=e x（sinx﹣cosx），∴f′（x）=（e x）′（sinx﹣cosx）+e x（sinx﹣cosx）′=2e x sinx，∵x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，x∈（2kπ+2π，2kπ+3π）时，f′（x）＞0，∴x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时原函数递减，x∈（2kπ+2π，2kπ+3π）时，函数f（x）=e x （sinx﹣cosx）递增，故当x=2kπ+2π时，f（x）取极小值，其极小值为f（2kπ+2π）=e2kπ+2π[sin（2kπ+2π）﹣cos（2kπ+2π）]=e2kπ+2π×（0﹣1）=﹣e2kπ+2π，又0≤x≤2015π，∴e2014π函数f（x）的各极小值之和S=﹣e2π﹣e4π﹣e6π﹣…﹣e2012π﹣e2014π=故选：D点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和．利用导数求得当x=2kπ+2π时，f（x）取极小值是解题的关键，利用导数研究函数的单调性与最值是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握，属于难题．9．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[﹣1，3] D．（﹣∞，3]考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的图象，得出值域为[﹣2，6]，利用存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，得出2g（a）的值域满足﹣2≤2a2﹣4a≤6，即可．解答：解：∵g（x）=x2﹣2x，设a为实数，∴2g（a）=2a2﹣4a，a∈R，∵y=2a2﹣4a，a∈R，∴当a=1时，y最小值=﹣2，∵函数f（x）=，f（﹣7）=6，f（e﹣2）=﹣2，∴值域为[﹣2，6]∵存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，∴﹣2≤2a2﹣4a≤6，即﹣1≤a≤3，故选；C点评：本题综合考查了函数的性质，图象，对数学问题的阅读分析转化能力，数形结合的能力，属于中档题．10．（5分）已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．+1 D．﹣1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得=，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P 的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．解答：解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴=设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，2），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）∴双曲线的离心率为=+1．故选C．点评：本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最小值是1．考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，利用的几何意义结合两点连线的斜率得答案．解答：解：由约束条件件作出可行域如图，联立，解得A（3，2），的几何意义为可行域内的动点与定点P（1，0）连线的斜率，则其最小值为．故答案为：1．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．12．（5分）阅读下面的程序框图．若使输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值为5．考点：程序框图．专题：常规题型．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，据题目对输出s的要求，求出n的最大值，据判断框中n与i的关系求出i的最大值．解答：解：经过第一次循环得到s=2，n=1，经过第二次循环得到s=5，n=2，经过第三次循环得到s=10，n=3，经过第四次循环得到s=19，n=4，经过第五次循环得到s=36，n=5，经过第六次循环得到s=69，n=6，∵输出的结果不大于37∴n的最大值为4∴i的最大值为5故答案为：5点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．13．（5分）2014年足球世界杯赛上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和45°，若旗杆的高度为30米，则且座位A、B的距离为10（﹣）米．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：过B作BD∥AM交MN与D，由三角形的边角关系可得AN，进而在△ABN中由正弦定理可得．解答：解：如图过B作BD∥AM交MN与D，则由题意可得∠NAM=60°，∠NBD=45°，∠ABD=∠CAB=15°，MN=30，∴∠ABN=45°+15°=60°，∠ANB=45°﹣30°，在△AMN中可得AN==，在△ABN中=，∴AB=×sin（45°﹣30°）÷=10（﹣）故答案为：10（﹣）点评：本题考查解三角形的实际应用，涉及正弦定理的应用和三角形的边角关系，属中档题．14．（5分）直线l的方程为y=x+2，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2﹣4y2=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出椭圆方程，P的坐标，使椭圆与直线相切．由此入手能够求出具有最短长轴的椭圆方程解答：解：设椭圆方程为：（a＞b＞0）c=1，a2﹣b2=c2=1设P的坐标为：﹙m，m+2﹚P在椭圆上∴=1，∴﹙a2﹣1﹚m2+a2﹙m2+4m+4﹚=a2﹙a2﹣1﹚=﹙a2﹚2﹣a2﹙2a2﹣1﹚m2+4a2m+5a2﹣﹙a2﹚2=0△=﹙4a2﹚2﹣﹙8a2﹣4﹚﹙5a2﹣a4﹚≥0∴2a4﹣11a2+5≥0∴﹙2a2﹣1﹚﹙a2﹣5﹚≥0∴a2≤或a2≥5∵c2=1，a2＞c2∴a2≥5，长轴最短，即a2=5b2=a2﹣1=4所以：所求椭圆方程为．故答案为：．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．15．（5分）若函数f（x）在定义域的某子区间上满足f（x）=（λ为正实数），则称其为λ﹣局部倍缩函数．若函数f（x）在x∈[0，2]时，f（x）=sinπx，且x∈（2，+∞）时，f（x）为λ=2的局部倍缩函数．现有下列4个命题：①任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立；②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；③函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有5个零点；④对任意x＞0，若不等式f（x）≤恒成立，则k的最小值是．则其中所有真命题的序号是①③．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：作出f（x）=的图象，利用图象可得结论．解答：解：f（x）=的图象如图所示：①f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，∴任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立，正确；②f（）=2f（+2）=4f（+4）=8f（+6）≠8f（+8），故不正确；③如图所示，函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；④把（，）代入，可得k＞．故答案为：①③．点评：本题考查分段函数的应用，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．属于中档题三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+，，当x=α时，f（x）有最大值．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求△ABC的面积．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为f（x）=1+2sin（2x﹣），z再利用正弦函数的增区间求得f（x）的增区间．（2）由题意可得，当2α﹣=时，f（x）有最大值，求得α的值，可得A的值；在△ABC 中，由于a=2，A=α﹣=，且sinBsinC=sin2A，由正弦定理可得bc=a2=4，从而求得△ABC 的面积bc•sinA 的值．解答：解：（1）函数f（x）=（sinx+cosx）2+=1+sin2x﹣cos2x=1+2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，（2）∵，可得2x﹣∈[，]，再根据当x=α时，f（x）有最大值，可得2α﹣=，故α=．在△ABC中，由于a=2，A=α﹣=，且sinBsinC=sin2A=，∴由正弦定理可得bc=a2=4，∴△ABC的面积为bc•sinA=×4×=．点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的增区间和最值，正弦定理，属于中档题．17．（12分）如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况．乙组某个数据的个位数模糊，记为x，已知甲、乙两组的平均成绩相同．（1）求x的值，并判断哪组学生成绩更稳定；（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率．考点：极差、方差与标准差；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（1）根据两组数据的平均数相等，可得x的值，进而求出两组数据的方差，比较可得哪组学生成绩更稳定；（2）分别计算在甲、乙两组中各抽出一名同学及成绩和低于20分的取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案．解答：解：（1）=（9+9+11+11）=10，=（8+9+10+x+12）=10，解得：x=1 …（2分），又=[（9﹣10）2+（9﹣10）2+（11﹣10）2+（11﹣10）2]=1；=[（8﹣10）2+（9﹣10）2+（11﹣10）2+（12﹣10）2]=，…（4分）∴＜，∴甲组成绩比乙组稳定．…（6分）（2）记甲组4名同学为：A1，A2，A3，A4；乙组4名同学为：B1，B2，B3，B4；分别从甲乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4）（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），共16个基本事件，其中得分之和低于的共6个基本事件，…（10分）∴得分之和低于的概率是：P==．…（12分）点评：本题考查了古典概型概率计算公式，茎叶图，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．18．（12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2的五棱锥P﹣ABFED．（1）求证：BD⊥PA；（2）当 PA=时，求三棱锥A﹣PBD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用线面垂直的判定证明BD⊥平面POA，证明BD⊥AO，PO⊥BD即可；然后证明BD⊥PA．（2）求出底面面积与高，利用体积公式，可得结论．解答：（1）证明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO．∵EF⊥AC，∴PO⊥EF，∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面ABFED，∵BD⊂平面QBFED，∴PO⊥BD．∵AO∩PO=O，所以BD⊥平面POA．∵PA⊂平面POA，∴BD⊥PA．（2）解：由题意可得：AO=3，PO⊥平面ABFED，PA=，∴PO==．底面ABD的面积为：=4．三棱锥A﹣PBD的体积：=4．点评：本题考查线面垂直，考查棱锥体积的计算，掌握线面垂直的判定方法，正确求体积是关键．19．（12分）已知数列{a n}满足：a1=，a2=，2a n=a n+1+a n﹣1（n≥2，n∈N•），数列{b n}满足：b1＜0，3b n﹣b n﹣1=n（n≥2，n∈R），数列{b n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求证：数列{b n﹣a n}为等比数列；（Ⅱ）求证：数列{b n}为递增数列；（Ⅲ）若当且仅当n=3时，S n取得最小值，求b1的取值范围．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知得{a n}是等差数列，，b n+1﹣a n+1==．由此能证明{b n﹣a n}是以为首项，以为公比的等比数列．（Ⅱ）由．得当n≥2时，b n﹣b n﹣1=．由此能证明{b n}是单调递增数列．（Ⅲ）由已知得，由此能求出b1的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵2a n=a n+1+a n﹣1（n≥2，n∈N•），∴{a n}是等差数列．又∵a1=，a2=，∴，∵，（n≥2，n∈N*），∴b n+1﹣a n+1====．又∵，∴{b n﹣a n}是以为首项，以为公比的等比数列．（Ⅱ）∵b n﹣a n=（b1﹣）•（）n﹣1，．∴．当n≥2时，b n﹣b n﹣1=．又b1＜0，∴b n﹣b n﹣1＞0．∴{b n}是单调递增数列．（Ⅲ）∵当且仅当n=3时，S n取最小值．∴，即，∴b1∈（﹣47，﹣11）．点评：本题考查等比数列的证明，考查增数列的证明，考查数列的首项的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．20．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为4，定点A（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C标准方程；（Ⅱ）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）是椭圆C上的两点，向量，且．设B（x0，y0），且（θ∈R），求x02+3y02的值；（Ⅲ）如图所示，直线MN经过椭圆C右焦点F．当M、N两点在椭圆C运动时，试判断×tan∠MAN是否有最大值，若存在求出最大值，并求出这时M、N两点所在直线方程，若不存在，给出理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：函数思想；方程思想；向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）根据椭圆的标准方程与几何性质，求出c、a与b的值即可；（Ⅱ）根据，以及点M满足的条件，求出+3的表达式并化简即可；（Ⅲ）由•×tan∠MAN=2S△AMN=|AF||y M﹣y N|，利用直线MN的方程y=k（x﹣2）与椭圆方程联立，求出|y M﹣y N|的表达式与最大值，以及对应的直线MN的方程．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0），且离心率e==，焦距2c=4，∴c=2，a=；∴b2=a2﹣c2=6﹣4=2，椭圆C的标准方程为+=1；（Ⅱ）∵，，∴•=x1x2+3y1y2=0；又+3=6，+3=6，点M（x0，y0），∴（x0，y0）=（x1cosθ，y1cosθ）+（x2sinθ，y2sinθ）=（x1cosθ+x2sinθ，y1cosθ+y2sinθ），∴+3=+3=（+3）cos2θ+（+3）sin2θ+2sinθcosθ（x1x2+3y1y2）=6（sin2θ+cos2θ）=6；（Ⅲ）∵•×tan∠MAN=2S△AMN=|AF||y M﹣y N|，设直线MN的方程为y=k（x﹣2），（k≠0）；联立，消去x得（1+3k2）y2+4ky﹣2k2=0，∴|y M﹣y N|=，设t=，s=1+3k2，则t==•∴t≤，当s=4，即k=±1时取等号．并且，当k=0时•×tan∠MAN=0，当k不存在时|y M﹣y N|=＜，综上，•×tan∠MAN有最大值，最大值为6，此时，直线MN方程为x﹣y﹣2=0，或x+y﹣2=0．点评：本题考查了直线与椭圆的综合应用问题，也考查了平面向量的应用问题，考查了构造函数以及求函数的最值问题，是综合性题目．21．（14分）已知函数f（x）=的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为5x+y+3=0．（I）求实数a，b的值及函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值；（Ⅱ）曲线y=f（x）上存在两点M、N，使得△MON是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边MN的中点在y轴上，求实数c的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；分段函数的应用．专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（I）求出当x＜1时的f（x）的导数，由切线方程可得斜率和切点，即有f（﹣1）=2，且f′（﹣1）=﹣5，解方程即可得到a，b；再由导数，求得单调区间，对c讨论，即可得到最大值；（Ⅱ）根据条件可得，M，N的横坐标互为相反数，不妨设M（﹣t，t3+t2），N（t，f（t）），（t ＞0）．讨论t，运用向量垂直的条件：数量积为0，即可求得c的范围．解答：解：（I）当x＜1时，f（x）的导数f′（x）=﹣3x2+2ax+b，由f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为5x+y+3=0，可得f（﹣1）=2，且f′（﹣1）=﹣5，即有1+a﹣b=2，且﹣3﹣2a+b=﹣5，解得a=1，b=0；当x＜1时，f（x）=﹣x3+x2，令f′（x）=﹣3x2+2x=0可得x=0或x=，f（x）在（﹣1，0）和（，1）上单调递减，在（0，）上单调递减，此时f（x）在[﹣1，1）上的最大值为f（﹣1）=2；当c＜0时，在[1，2]上单调递增，且．令，则，所以当时，f（x）在[﹣1，2]上的最大值为；当时，f（x）在[﹣1，2]上的最大值为f（﹣1）=2．当c≥0时，在[1，2]上单调递减，且f（1）=0，所以f（x）在[﹣1，2]上的最大值为f（﹣1）=2．综上可知，当时，f（x）在[﹣1，2]上的最大值为2；当时，f（x）在[﹣1，2]上的最大值为．（Ⅱ）函数f（x）=，根据条件可得，M，N的横坐标互为相反数，不妨设M（﹣t，t3+t2），N（t，f（t）），（t＞0）．若t＜1，则f（t）=﹣t3+t2，由∠MON是直角得，=0，即﹣t2+（t3+t2）（﹣t3+t2）=0，即t4﹣t2+1=0．此时无解；若t≥1，则．由于MN的中点在y轴上，且∠MON=90°，所以N点不可能在x轴上，即t≠0．同理有=0，即，．由于函数（t＞1）的值域是（﹣∞，0），实数c的取值范围是（﹣∞，0）即为所求．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值、最值，考查分类讨论的思想方法，运用向量垂直的条件即数量积为0是解题的关键．。

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2015年四川省成都市石室外语学校自主招生考试数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在括号内．1．（3分）cos30°的值是（）A．B．1 C．D．2．（3分）方程（x﹣1）（x+2）=2（x+2）的根是（）A．1，﹣2 B．3，﹣2 C．0，﹣2 D．1，23．（3分）剪纸是中国的民间艺术．剪纸方法很多，如图是一种剪纸方法的图示（先将纸折叠，然后再剪，展开后即得到图案）：如图所示的四副图案，不能用上述方法剪出的是（）A． B．C．D．4．（3分）关于x的方程ax2﹣（a+2）x+2=0只有一解（相同解算一解），则a的值为（）A．a=0 B．a=2 C．a=1 D．a=0或a=25．（3分）如图，AP为圆O的切线，P为切点，OA交圆O于点B，若∠A=40°，则∠APB等于（）A．25°B．20°C．40°D．35°6．（3分）已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于（）7．（3分）据调查，我市2013年的房屋均价为9680元/m2，到2015年下降到8000元/m2，求这两年的年平均下降率，设年平均下降率为x，根据题意，所列方程为（）A．9680（1﹣x）=8000 B．9680（1+x2）=8000C．9680（1﹣2x）=4000 D．9680（1﹣x）2=80008．（3分）如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1，若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）A．点B到AO的距离为sin54°B．点A到OC的距离为sin36°sin54°C．点B到AO的距离为tan36°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°9．（3分）已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；②若a=b，则a2=b2；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④矩形的对角线相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP=x，CQ=y，那么y与x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．11．（4分）因式分解：x2y﹣9y=．12．（4分）若点P（x，y）在函数y=+的图象上，那么点P在平面直角坐标系中第象限．13．（4分）直线y=k1x+b与双曲线y=交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜﹣b的解集是．14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）．三、解答题：本大题共8小题，共44分．15．（12分）（1）计算：（﹣）0+（）﹣1×﹣|tan45°﹣|（2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．16．（6分）解分式方程：．17．（8分）实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，张老师一共调查了名同学，其中C类女生有名，D类男生有名；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，则所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率是．18．（8分）已知：在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣4k与双曲线y=在第一象限的交点为A（a，b），且OA=4．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）将直线y=x﹣4k向上平移10个单位后与双曲线y=相交于点D，求点D 的坐标．19．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，D是线段BC 上一点，以AD为边，在AD的右侧作正方形ADEF．直线AE与直线BC交于点G，连接CF．（1）猜想线段CF与线段BD的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）连接FG，当△CFG是等腰三角形时，①当BD＜1时求BD的长．②当BD＞1时，BD的长度是否改变，若改变，请直接写出BD的长度．20．（8分）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B，C为⊙O1上一点，CA交⊙O2于D，BD交⊙O1于F，直线CF交⊙O2于E、G．（1）求证：DE2=DF•DB；（2）求证：DO2⊥EG；（3）若DA=3，CA=5，CE=4，试求AE的长．22．（12分）如图，已知二次函数y=﹣x2+x+4的图象与y轴交于点A，与x 轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．（1）点A的坐标为，点C的坐标为；（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有两个，并求出此时点P的坐标．2015年四川省成都市石室外语学校自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在括号内．1．（3分）cos30°的值是（）A．B．1 C．D．【解答】解：cos30°=，故选：C．2．（3分）方程（x﹣1）（x+2）=2（x+2）的根是（）A．1，﹣2 B．3，﹣2 C．0，﹣2 D．1，2【解答】解：∵（x﹣1）（x+2）=2（x+2），∴（x﹣1）（x+2）﹣2（x+2）=0，∴（x+2）（x﹣1﹣2）=0，∴x+2=0或x﹣3=0，∴x1=﹣2，x2=3．故选B．3．（3分）剪纸是中国的民间艺术．剪纸方法很多，如图是一种剪纸方法的图示（先将纸折叠，然后再剪，展开后即得到图案）：如图所示的四副图案，不能用上述方法剪出的是（）A． B．C．D．【解答】解：由题意知，剪出的图形一定是轴对称图形，四个选项中，只有C 不是轴对称图形，所以C不能用上述方法剪出．故选C．4．（3分）关于x的方程ax2﹣（a+2）x+2=0只有一解（相同解算一解），则a的值为（）A．a=0 B．a=2 C．a=1 D．a=0或a=2【解答】解：当a≠0时，方程ax2﹣（a+2）x+2=0为一元二次方程，若方程有相等的两解，则△=[﹣（a+2）]2﹣4×a×2=0，整理得a2﹣4a+4=0，即△=（a﹣2）2=0，解得a=2；当a=0时，方程ax2﹣（a+2）x+2=0为一元一次方程，原方程转化为：﹣2x+2=0，此时方程只有一个解x=1．所以当a=0或a=2关于x的方程ax2﹣（a+2）x+2=0只有一解．故选D．5．（3分）如图，AP为圆O的切线，P为切点，OA交圆O于点B，若∠A=40°，则∠APB等于（）A．25°B．20°C．40°D．35°【解答】解：如图，连接OP，∵AP为圆O的切线，P为切点，∴∠OPA=90°，∴∠O=90°﹣∠A=50°，∵OB=OP，∴∠OPB=∠OBP=（180°﹣∠O）÷2=65°，∴∠APB=90°﹣∠OPB=25°．故选A．6．（3分）已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．【解答】解：设一次函数解析式为y=kx+b，将x=﹣1，y=1；x=1，y=﹣5代入得：，解得：k=﹣3，b=﹣2，∴一次函数解析式为y=﹣3x﹣2，令x=0，得到y=2，则m=﹣2，故选C7．（3分）据调查，我市2013年的房屋均价为9680元/m2，到2015年下降到8000元/m2，求这两年的年平均下降率，设年平均下降率为x，根据题意，所列方程为（）A．9680（1﹣x）=8000 B．9680（1+x2）=8000C．9680（1﹣2x）=4000 D．9680（1﹣x）2=8000【解答】解：设这两年房价的年平均下降率为x，则2014年的房价为9680（1﹣x）元，2015年的房价为9680（1﹣x）（1﹣x）=9680（1﹣x）2元，由题意可列方程：9680（1﹣x）2=8000故选：D8．（3分）如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1，若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）A．点B到AO的距离为sin54°B．点A到OC的距离为sin36°sin54°C．点B到AO的距离为tan36°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°【解答】解：B到AO的距离是指BO的长，∵AB∥OC，∴∠BAO=∠AOC=36°，∵在Rt△BOA中，∠BOA=90°，AB=1，∴sin36°=，∴BO=ABsin36°=sin36°，故A、C选项错误；过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，∵∠BAO=36°，∠AOB=90°，∴∠ABO=54°，∵sin36°=，∴AD=AO•sin36°，∵sin54°=，∴AO=AB•sin54°，∵AB=1，∴AD=AB•sin54°•sin36°=1×sin54°•sin36°=sin54°•sin36°，故B选项正确，D选项错误；故选：B．9．（3分）已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；②若a=b，则a2=b2；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④矩形的对角线相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0，原命题正确，逆命题：如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0不一定正确，故不合题意；②若a=b，则a2=b2，原命题正确，逆命题：如果a2=b2，那么a=b不一定正确，故不合题意；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等，原命题正确，逆命题也正确，符合题意；④矩形的对角线相等，原命题正确，逆命题不正确，故不合题意．其中原命题与逆命题均为真命题的个数有1个．故选：A．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP=x，CQ=y，那么y与x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：设BP=x，CQ=y，则AP2=42+x2，PQ2=（6﹣x）2+y2，AQ2=（4﹣y）2+62；∵△APQ为直角三角形，∴AP2+PQ2=AQ2，即42+x2+（6﹣x）2+y2=（4﹣y）2+62，化简得：y=整理得：y=根据函数关系式可看出D中的函数图象与之对应．故选D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．11．（4分）因式分解：x2y﹣9y=y（x+3）（x﹣3）．【解答】解：x2y﹣9y，=y（x2﹣9），=y（x+3）（x﹣3）．12．（4分）若点P（x，y）在函数y=+的图象上，那么点P在平面直角坐标系中第二象限．【解答】解：∵，∴x＜0，又∵x＜0，∴＞0，即y＞0，∴P应在平面直角坐标系中的第二象限．故答案为：二．13．（4分）直线y=k1x+b与双曲线y=交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜﹣b的解集是k2＞0时，0＜x＜1或x＞5；k2＜0时，1＜x＜5或x＜0．【解答】解：若k2＞0，如图1，当0＜x＜1或x＞5时，k1x+b＜，即不等式k1x＜﹣b的解集为0＜x＜1或x＞5；若k2＜0，如图2，当1＜x＜5或x＜0时，k1x+b＜，即不等式k1x＜﹣b的解集为1＜x＜5或x＜0．故答案为k2＞0时，0＜x＜1或x＞5；k2＜0时，1＜x＜5或x＜0．14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）．【解答】解：∵AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，∴+=CD，在矩形ABCD中，AB=CD=a，∴DM+CN=acos45°=a．故答案为：．三、解答题：本大题共8小题，共44分．15．（12分）（1）计算：（﹣）0+（）﹣1×﹣|tan45°﹣|（2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．【解答】解：（1）原式=1+3×﹣（﹣1）=1+﹣+1=+2；（2），由不等式①得：x＜﹣；由不等式②得：x≥﹣1，则原不等式组的解集为﹣1≤x＜﹣．16．（6分）解分式方程：．【解答】解：去分母，得x（x+2）+6（x﹣2）=（x﹣2）（x+2）．化简得：8x=8，解得x=1．经检验，x=1是原方程的解．∴原方程的解是x=1．17．（8分）实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，张老师一共调查了20名同学，其中C类女生有2名，D类男生有1名；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，则所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率是．【解答】解：（1）根据题意得：张老师一共调查的学生数为：（1+2）÷15%=20（名）；C类女生有：20×25%﹣3=2（名），D类男生有：20×（1﹣15%﹣25%﹣50%）﹣1=1（名）；故答案为：20；2；1；（2）补全统计图得：（3）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的有3种情况，∴所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率是：=．故答案为：．18．（8分）已知：在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣4k与双曲线y=在第一象限的交点为A（a，b），且OA=4．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）将直线y=x﹣4k向上平移10个单位后与双曲线y=相交于点D，求点D 的坐标．【解答】解：（1）∵点A（a，b）是直线y=x﹣4k与双曲线y=在第一象限的交点，∴，∴，∴a2+b2=（a﹣b）2+2ab=16k2+32k，∵OA=4，∴OA2=a2+b2=48，∴16k2+32k=48，即k2+2k﹣3=0解得k1=﹣3（舍去），k2=1，∴k=1，∴直线的解析式为y=x﹣4，双曲线的解析式为y=；（2）直线y=x﹣4向上平移10个单位后的直线解析式为y=x+6，解方程组得或，故D点坐标为（2，8）或（﹣8，﹣2）．19．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，D是线段BC 上一点，以AD为边，在AD的右侧作正方形ADEF．直线AE与直线BC交于点G，连接CF．（1）猜想线段CF与线段BD的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）连接FG，当△CFG是等腰三角形时，①当BD＜1时求BD的长．②当BD＞1时，BD的长度是否改变，若改变，请直接写出BD的长度．【解答】解：（1）猜想：CF=BD，CF⊥BD，∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°∴∠BAD=∠CAF，在△ABD与△ACF中，，∴△ABD≌△ACF （SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B=∠ACB=45°，∴∠BCF=90°，∴CF⊥BD；（2）∵AE是正方形ADEF的对角线，∴∠FAE=∠DAE=45°在△AFG与△ADG中，，∴△AFG≌△ADG（SAS），∴FG=DG，由（1）知，∠GCF=90°，若Rt△FCG是等腰三角形，则CG=CF，设CF=x，得CG=CF=BD=x①当BD＜1时，如图1，FG=DG=2﹣2x在Rt△CFG中，FG2=CF2+CG2∴（2﹣2x）2=2x2，解得：x1=2+＞1（舍去），x2=2﹣∴BD=2﹣，②当BD＞1时，如图2∵CG=CF=BD，∴FG=DG=BC=2在Rt△CFG中，FG2=CF2+CG2，∴22=2x2，解得x1=﹣（舍去），x2=．20．（8分）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？【解答】解：（1）设搭配A种造型x个，则B种造型为（50﹣x）个，依题意得解这个不等式组得，∴31≤x≤33∵x是整数，∴x可取31，32，33∴可设计三种搭配方案①A种园艺造型31个B种园艺造型19个②A种园艺造型32个B种园艺造型18个③A种园艺造型33个B种园艺造型17个．（2）方法一：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为33×800+17×960=42720（元）方法二：方案①需成本31×800+19×960=43040（元）方案②需成本32×800+18×960=42880（元）方案③需成本33×800+17×960=42720（元）∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元．21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B，C为⊙O1上一点，CA交⊙O2于D，BD交⊙O1于F，直线CF交⊙O2于E、G．（1）求证：DE2=DF•DB；（2）求证：DO2⊥EG；（3）若DA=3，CA=5，CE=4，试求AE的长．【解答】证明：（1）如图1，连接BE、AB，∵∠ADE=∠ABE，∠C=∠ABF，∵∠DEF=∠C+∠ADE，∠EBD=∠ABE+∠ABF，∴∠DEF=∠EBD，∵∠EDF=∠BDE，∴△EDF∽△BDE，∴，∴DE2=DF•DB；（2）如图2，连接O2D，∵∠DGE=∠EBD，∠DEF=∠EBD，∴∠DGE=∠DEF，∴=，∴DO2⊥EG；（3）如图3，由割线定理得：DF•DB=AD•DC=3×8=24，∵DE2=DF•DB，∴DE==2，∵DG=DE=2，∵∠CAE=∠G，∠C=∠C，∴△CAE∽△CGD，∴，∴，∴AE=．22．（12分）如图，已知二次函数y=﹣x2+x+4的图象与y轴交于点A，与x 轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．（1）点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（8，0）；（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有两个，并求出此时点P的坐标．【解答】解：（1）在二次函数中，令x=0得y=4，∴点A的坐标为（0，4），令y=0得，﹣x2+x+4=0即：x2﹣6x﹣16=0，∴x=﹣2和x=8，∴点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0）．故答案为：（0，4）；（8，0）．（2）∵点D是二次函数y=﹣x2+x+4的对称轴与x轴的交点，∴D（3，0），CD=5，设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：，解得；∴y=﹣x+4；①当DE=DC时，∵OA=4，OD=3，∴DA=5，∴E1（0，4）；②如图1，过E点作EG⊥x轴于G点，当DE=EC时，由DG==，把x=OD+DG=3+=代入到y=﹣x+4，求出y=，可得E2（，）；③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD，则△CEG∽△CAO，∴，又OA=4，OC=8，则AC=4，DC=EC=5，∴EG=，CG=2，∴E3（8﹣2，）；综上所述，符合条件的E点共有三个：E1（0，4）、E2（，）、E3（8﹣2，）．（3）如图2，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q；设P（m，﹣m2+m+4），则Q（m，﹣m+4）．如图3，①当0＜m＜8时，PQ=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，S=S△APQ+S△CPQ=×8×（﹣m2+2m）=﹣（m﹣4）2+16，∴0＜S≤16；②当﹣2≤m＜0时，PQ=（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）=m2﹣2m，S=S△CPQ﹣S△APQ=×8×（m2﹣2m）=（m﹣4）2﹣16，∴0＜S＜20；∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，﹣2＜m＜0中m有一个值，此时有三个；当16＜S＜20时，﹣2＜m＜0中m只有一个值；当S=16时，m=4或m=4﹣4或m=4+4（舍），∴S=16时，相应的点P有且仅有两个，当m=4时，S=16，∴y=﹣m2+m+4=6，∴P（4，6），当m=4﹣4时，y=﹣m2+m+4=2﹣2，∴P（4﹣2，2﹣2），即：P（4，6）或（4﹣2，2﹣2）．。