2017年福建省南平市高一下学期期末数学试卷与解析答案
2017年福建省漳州市高一下学期期末数学试卷与解析答案
2016-2017学年福建省漳州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（﹣2，4，﹣3）关于yOz平面对称点的坐标为（）A．（2，4，﹣3）B．（﹣2，﹣4，3） C．（2，﹣4，﹣3） D．（﹣2，4，3）2．（5分）直线（tan）•x+y+1=0的倾斜角为（）A．B． C．D．3．（5分）设a，b，c∈R，且b＜a＜0，则（）A．ac＞bc B．ac2＞bc2 C．D．＞14．（5分）若直线l1：x﹣2y+1=0与直线l2：x+ay﹣1=0平行，则l1与l2的距离为（）A．B．C．D．5．（5分）正项等比数列{a n}中，a4•a5=32，则log2a1+log2a2+…+log2a8的值为（）A．10 B．20 C．36 D．1286．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M、N分别是BB′，CD的中点，则异面直线AM与D′N所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，，且b＜c，则B=（）A．B．C．D．8．（5分）已知直线m，n与平面α，β，γ满足α⊥β，α∩β=m，n⊥α，n⊂γ，则下列判断一定正确的是（）A．m∥n，α⊥γB．n∥β，α⊥γC．β∥γ，α⊥γD．m⊥n，α⊥γ9．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最小值为（）A．﹣8 B．﹣2 C．8 D．10．（5分）如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（A．17πB．22πC．68πD．88π11．（5分）《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（+1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌满一些水（未满），现将容器底面一边BC固定在地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法：①水的部分始终呈棱柱状②水面四边形EFGH的面积为定值③棱A1D1始终与水面EFGH平行④若E∈AA1，F∈BB1，则AE+BF是定值其中正确命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3 个D．4个二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，算出A、B两点的距离为m．14．（4分）已知圆的方程是2x2+2y2﹣4x+6y=，则此圆的半径为．15．（4分）若关于x的不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1＜0的解集为∅，则m的取值范围为．16．（4分）已知数列{a n}满足a n+1=（﹣1）n（a n+n），则{a n}的前40项和为．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知△ABC的三个顶点分别是A（4，0），B（0，﹣2），C（﹣2，1）（Ⅰ）求AB边上的高CD所在的直线方程（Ⅱ）求过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，S9=81（Ⅰ）求{a n}的通项公式（Ⅱ）求+…的值．19．（12分）在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足等式bcosC=（2a+c）cos（π﹣B）（Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）若b=，且S=，求a+c．△ABC20．（12分）漳州市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内冲入保护液体，该博物馆需要支付的总费用由两部分组成；①罩内该种液体的体积比保护罩的溶积少0.5立方米，且每立方米液体费用500元；②需支付一定的保险用，且支付的保险费用与保护罩溶积成反比，当溶积为2立方米时，支付的保险费用为4000元（Ⅰ）求该博物馆支付总费用y与保护罩溶积x之间的函数关系式（Ⅱ）求该博物馆支付总费用的最小值．21．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，SA=SD=，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且=λ，SA∥平面BEF．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F﹣EBC的体积．22．（14分）已知圆C：x2+（y﹣4）2=4，直线l：（3m+1）x+（1﹣m）y﹣4=0（Ⅰ）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长（Ⅱ）已知坐标轴上点A（0，2）和点T（t，0）满足：存在圆C上的两点P和Q，使得=，求实数t的取值范围．2016-2017学年福建省漳州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（﹣2，4，﹣3）关于yOz平面对称点的坐标为（）A．（2，4，﹣3）B．（﹣2，﹣4，3） C．（2，﹣4，﹣3） D．（﹣2，4，3）【解答】解：设所求对称点为P'（x，y，z）∵关于坐标平面yOz的对称的两个点，它们的纵坐标、竖坐标相等，而横坐标互为相反数，点P（﹣2，4，﹣3）∴x=﹣2，y=4，z=﹣3，即P关于坐标平面yOz的对称点的坐标为P'（2，4，﹣3）故选：A．2．（5分）直线（tan）•x+y+1=0的倾斜角为（）A．B． C．D．【解答】解：直线（tan）•x+y+1=0即直线x+y+1=0的斜率等于﹣，设它的倾斜角等于θ，则0≤θ＜π，且tanθ=﹣，∴θ=．故选：B．3．（5分）设a，b，c∈R，且b＜a＜0，则（）A．ac＞bc B．ac2＞bc2 C．D．＞1【解答】解：分别令a=﹣1，b=﹣2，对于A、B，c=0时，不成立，将a，b的值代入C，D，C正确，D错误，故选：C．4．（5分）若直线l1：x﹣2y+1=0与直线l2：x+ay﹣1=0平行，则l1与l2的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线l1与直线l2平行，∴a=﹣2，∴l1与l2的距离为d==．故选：B．5．（5分）正项等比数列{a n}中，a4•a5=32，则log2a1+log2a2+…+log2a8的值为（）A．10 B．20 C．36 D．128【解答】解：正项等比数列{a n}中，a4•a5=32，可得a1•a8=a2•a7=a3•a6=a4•a5=32，则log2a1+log2a2+...+log2a8=log2（a1a2 (8)=log2324=log2220=20．故选：B．6．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M、N分别是BB′，CD的中点，则异面直线AM与D′N所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系不妨设AB=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），M（2，2，1），N（0，1，0），D′（0，0，2）．=（0，2，1），=（0，﹣1，2）．∴cos==0．∴=90°．故选：D．7．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，，且b＜c，则B=（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，c=2，，a＜c，可得A=，cosA=，∴sinC===，可得cocC=，即C为或，∵b＜c，B为锐角，∴当C=，B=，矛盾，舍去，故C=，∴B=π﹣A﹣C=．故选：A．8．（5分）已知直线m，n与平面α，β，γ满足α⊥β，α∩β=m，n⊥α，n⊂γ，则下列判断一定正确的是（）A．m∥n，α⊥γB．n∥β，α⊥γC．β∥γ，α⊥γD．m⊥n，α⊥γ【解答】解：∵α∩β=m，∴m⊂α，又∵n⊥α，∴n⊥m．∵n⊥α，n⊂γ，∴α⊥γ，故选：D．9．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最小值为（）A．﹣8 B．﹣2 C．8 D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为8．故选：C．10．（5分）如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（A．17πB．22πC．68πD．88π【解答】解：原因是得到几何体是长宽高分别为2，2，3的长方体，所以外接球的直径为，所以外接球表面积为：4π（）2=68π；故选：A．11．（5分）《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（+1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：因为sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（+1），所以由正弦定理得，a：b：c=（﹣1）：：（+1），又△ABC的周长为2+，则a=（﹣1）、b=、c=（+1），所以△ABC的面积S====，故选：A．12．（5分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌满一些水（未满），现将容器底面一边BC固定在地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法：①水的部分始终呈棱柱状②水面四边形EFGH的面积为定值③棱A1D1始终与水面EFGH平行④若E∈AA1，F∈BB1，则AE+BF是定值其中正确命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3 个D．4个【解答】解：对于①，水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断①正确；对于②，水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的EH不变的，所以面积是改变的，②是不正确的；对于③，棱A1D1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1∥EH，所以结论正确；对于④，当E∈AA1时，AE+BF是定值．水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，算出A、B两点的距离为50m．【解答】解：在△ABC中，AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，∴∠ABC=30°，由正弦定理=得：AB===50（m），故答案为：5014．（4分）已知圆的方程是2x2+2y2﹣4x+6y=，则此圆的半径为2．【解答】解：圆的方程是2x2+2y2﹣4x+6y=，即x2+y2﹣2x+3y=，即（x﹣1）2+（y+）2 =22，故该圆的半径为2，故答案为：2．15．（4分）若关于x的不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1＜0的解集为∅，则m的取值范围为[，+∞）．【解答】解：关于x的不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1＜0的解集为∅，∴，即，解得m≥；∴m的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．16．（4分）已知数列{a n}满足a n+1=（﹣1）n（a n+n），则{a n}的前40项和为﹣400．=（﹣1）n（a n+n），【解答】解：∵a n+1=﹣（a n+n），当n为奇数时，a n+1∴a2+a1=﹣1，a3+a4=﹣3，a5+a6=﹣5，a8+a7=﹣7，…，a40﹣a49=﹣39．从第一项开始，相邻两项的和构成以﹣1为首项，以﹣2为公差的等差数列．所以{a n}的前40项和为﹣20+×20×19×（﹣2）=﹣400，故答案为：﹣400．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知△ABC的三个顶点分别是A（4，0），B（0，﹣2），C（﹣2，1）（Ⅰ）求AB边上的高CD所在的直线方程（Ⅱ）求过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，A（4，0），B（0，﹣2），C（﹣2，1），∴直线AB的斜率为k AB==，又∵AB⊥CD，∴直线CD的斜率为k CD==﹣2，∴直线CD的方程为y﹣1=﹣2（x+2），即CD的方程为2x+y+3=0；（Ⅱ）①当两截距均为0时，设直线方程为y=kx，又直线过点C（﹣2，1），解得k=﹣，∴所求的直线方程为y=﹣x；②当两截距均不为0时，设直线方程为x+y=a，又直线过点C（﹣2，1），解得a=﹣1，∴所求的直线方程为x+y=﹣1；综上，所求的直线方程为x+2y=0或x+y+1=0．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，S9=81（Ⅰ）求{a n}的通项公式（Ⅱ）求+…的值．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，a1=1，S9=81，即为9×1+×9×8d=81，解得d=2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）前n项和为S n=n+n（n﹣1）×2=n2，则==﹣，可得+…=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．19．（12分）在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足等式bcosC=（2a+c）cos（π﹣B）（Ⅰ）求角B的大小=，求a+c．（Ⅱ）若b=，且S△ABC【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足等式bcosC=（2a+c）cos（π﹣B），∴由正弦定理得：sinBcosC=（2sinA+sinC）•（﹣cosB），∴sinBcosC+cosBsinC=﹣2sinAcosB，∴sin（B+C）=﹣2sinAcosB，∴sinA=﹣2sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB=﹣，∵0＜B＜π，∴B=．=，（Ⅱ）∵B=，b=，且S△ABC==ac=，解得ac=3，∴S△ABC由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，∴13=（a+c）2﹣6﹣6×（﹣），解得a+c=4．20．（12分）漳州市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内冲入保护液体，该博物馆需要支付的总费用由两部分组成；①罩内该种液体的体积比保护罩的溶积少0.5立方米，且每立方米液体费用500元；②需支付一定的保险用，且支付的保险费用与保护罩溶积成反比，当溶积为2立方米时，支付的保险费用为4000元（Ⅰ）求该博物馆支付总费用y与保护罩溶积x之间的函数关系式（Ⅱ）求该博物馆支付总费用的最小值．【解答】解：（Ⅰ）依据题意，当保护罩体积等于x时，保险费用为（其中k 为比例系数，k＞0）且当x=2时，=4000，∴k=8000，∴y=500（x﹣0.5）+=500x+﹣250（x＞0.5）．（单位：元）（Ⅱ）y=500x+﹣250≥2﹣250=3750当且仅当500x=，即x=4立方米时不等式取得等号．所以，博物馆支付总费用的最小值为3750元．21．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，SA=SD=，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且=λ，SA∥平面BEF．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F﹣EBC的体积．【解答】解：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BE=G，则平面SAC∩平面EFB=FG，∵SA∥平面EFB，∴SA∥FG，∴△GEA～△GBC，∴，∴，解得．（Ⅱ）∵，∴SE⊥AD，SE=2，又∵AB=AD=2，∠BAD=60°，∴，∴SE2+BE2=SB2，∴SE⊥BE，∴SE⊥平面ABCD，所以．22．（14分）已知圆C：x2+（y﹣4）2=4，直线l：（3m+1）x+（1﹣m）y﹣4=0（Ⅰ）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长（Ⅱ）已知坐标轴上点A（0，2）和点T（t，0）满足：存在圆C上的两点P和Q，使得=，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由直线l：（3m+1）x+（1﹣m）y﹣4=0，得m（3x﹣y）=﹣x ﹣y+4，由m的取值是任意的实数，得，解得，∴直线l恒过定点M（1，3）；又|CM|=＜2=r，∴点M在圆C内，且当CM⊥l时，所截得的弦长最短，由题意知圆心C（0，4），半径r=2，∴k CM==﹣1∴k l===1，由=1，解得m=﹣1；∴圆心C到直线l的距离为d=|CM|=，∴最短弦长为l0=2=2=2；（Ⅱ）【解法一】设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由+=得（﹣t，2）+（x1﹣t，y1）=（x2﹣t，y2），∴，由点P（x1，y1）在圆C上，得+=4；由点Q（x2，y2）在圆C上，得+=4；∴圆+=4与+=4有交点，则2﹣2≤≤2+2，解得﹣2≤t≤2，∴t的取值范围是[﹣2，2]．【解法二】由=，得=﹣=，则||=||，又||≤4，∴||=≤4，解得﹣2≤t≤2，对于任意t∈[﹣2，2]，欲使=，此时||≤4；只需作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于P、Q两点，此时||=||，即=；因此对于任意t∈[﹣2，2]均满足题意；综上，t的取值范围是[﹣2，2]．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
福建省南平市2018-2019学年高一下期末数学试卷含答案解析
2018-2019学年福建省南平市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．不等式（x﹣3）（x+2）＜0的解集为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．[﹣3，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）2．设向量=（1，2），=（m，m+1），∥，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣D．﹣33．已知α的终边过点（，﹣2），则sin（π+α）等于（）A．﹣B．C．﹣D．4．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，S4=14，则a4等于（）A．2 B．4 C．6 D．85．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a=3b，sinB=，则sinA等于（）A．B．C．D．6．为了得到函数y=sin2x的图象，只需把函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．如果实数x，y满足条件，则z=x+2y的最大值为（）A．3 B．C．4 D．58．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=4，c=2，cosA=sin1380°，则a等于（）A．7 B．2C．2D．29．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A．A=2 B．ω=2 C．f（0）=1 D．φ=10．在▱ABCD中，AB=2BC=4，∠BAD=，E是CD的中点，则•等于（）A．2 B．﹣3 C．4 D．611．已知x＞﹣1，y＞0，且x+y=1，则+的最小值为（）A．3 B．4 C．D．512．已知数列{a n}的前n项和为T n，a1=1且a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=2n﹣1，则T8﹣2等于（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．已知数列{a n}的前n项和为S n=n（2n+1），则a2=．14．已知向量，满足||=1，||=2，|﹣|=2，则•=．15．若2cos（θ﹣）=3cosθ，则tan2θ=．16．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2+b2﹣c2=6﹣2ab，且C=60°，则△ABC的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知向量=（x，﹣1），=（x﹣2，3），=（1﹣2x，6）．（1）若⊥（2+），求||；（2）若•＜0，求x的取值范围．18．等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．19．锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=csinC．（1）求cosC；（2）若a=6，b=8，求边c的长．20．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n=（a n﹣1）2n，求数列{b n}的前n项和T n．21．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，m），m∈R．（1）若m=，且∥，求的值；（2）已知函数f（x）=2（+）•﹣2m2﹣1，若函数f（x）在[0，]上有零点，求m 的取值范围．22．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a﹣sinC）cosB=sinBcosC，b=4．（1）求角B的大小；（2）D为BC边上一点，若AD=2，S△DAC=2，求DC的长．2018-2019学年福建省南平市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．不等式（x﹣3）（x+2）＜0的解集为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．[﹣3，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数解，直接写出不等式的解集即可．【解答】解：不等式（x﹣3）（x+2）＜0对应方程为（x﹣3）（x+2）=0，解方程得x=3或x=﹣2；所以该不等式的解集为（﹣2，3）．故选：B．2．设向量=（1，2），=（m，m+1），∥，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣D．﹣3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量平行的性质求解．【解答】解：∵=（1，2），=（m，m+1），∥，∴，解得m=1．故选：A．3．已知α的终边过点（，﹣2），则sin（π+α）等于（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据任意角的三角函数的定义求出sinα，利用诱导公式求解sin（π+α）即可．【解答】解：∵角α的终边过点（，﹣2），∴r=3，∴sinα=﹣，∴sin（π+α）=﹣sinα=，故选：D．4．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，S4=14，则a4等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}的前n项和公式求出公差，由此能求出a4．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，S4=14，∴4×（﹣1）+=14，解得d=3，∴a4=﹣1+3d=﹣1+3×3=8．故选：D．5．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a=3b，sinB=，则sinA等于（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理即可计算求值得解．【解答】解：∵a=3b，sinB=，∴由正弦定理：，可得：sinA==3×=．故选：B．6．为了得到函数y=sin2x的图象，只需把函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】把函数y=sin（2x﹣）变形为y=sin2（x﹣），可知要得函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位，取逆过程得答案．【解答】解：∵y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），∴要得函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位，反之，要得函数y=sin2x的图象，只需把函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位．故选：C．7．如果实数x，y满足条件，则z=x+2y的最大值为（）A．3 B．C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z=x+2y得z=1+2×2=5故选：D8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=4，c=2，cosA=sin1380°，则a等于（）A．7 B．2C．2D．2【考点】余弦定理；运用诱导公式化简求值．【分析】由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值可求cosA的值，利用余弦定理即可解得a的值．【解答】解：∵b=4，c=2，cosA=sin1380°=sin300°=﹣sin60°=﹣，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=16+12﹣2××（﹣）=52，∴解得：a=2．故选：B．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A ．A=2B ．ω=2C ．f （0）=1D ．φ=【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数解析式，进而可求f （0）的值，从而得解．【解答】解：根据函数的图象可知，A=2，T=+=π，∴ω==2，再根据f （）=2sin （2×+φ）=0，且0＜φ＜π，∴φ=，∴f （x ）=2sin （2x +），∴f （0）=2sin=2×=1，综上，D 选项错误．故选：D ．10．在▱ABCD 中，AB=2BC=4，∠BAD=，E 是CD 的中点，则•等于（ ）A ．2B ．﹣3C ．4D ．6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，代入各点坐标计算．【解答】解：以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A （0，0），B （4，0），C （5，），D （1，）．E （3，）．∴=（5，），=（1，﹣）．∴•=5×1﹣=2． 故选：A ．11．已知x＞﹣1，y＞0，且x+y=1，则+的最小值为（）A．3 B．4 C．D．5【考点】基本不等式．【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出+的最小值．【解答】解：∵x＞﹣1，y＞0，且x+y=1，∴+=（+）（x+1+y）= [5++]≥•（5+4）=，当且仅当=， +的最小值为．故选：C．12．已知数列{a n}的前n项和为T n，a1=1且a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=2n﹣1，则T8﹣2等于（）A．B． C．D．【考点】数列的求和．=2n﹣3，与原式相减，即可求得a n=（）【分析】构造当n≥2时，a1+2a2+4a3+…+2n﹣2a n﹣1n﹣2，当n=1时，不满足，故求得数列{an}的通项公式，求得T8﹣2的值．【解答】解：由a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=2n﹣1，=2n﹣3，当n≥2时，a1+2a2+4a3+…+2n﹣2a n﹣1两式相减得：2n﹣1a n=2，∴a n=（）n﹣2，当n=1时，a1=1，不满足满足，∴a n=∴T8=1+1+++…+=2+，T8﹣2=，故答案为：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．已知数列{a n}的前n项和为S n=n（2n+1），则a2=7．【考点】数列递推式．【分析】S n=n（2n+1），分别令n=1，2，解出即可得出．【解答】解：∵S n=n（2n+1），分别令n=1，2，可得：a1=S1=3，a1+a2=2×（2×2+1）=10．则a2=7．故答案为：7．14．已知向量，满足||=1，||=2，|﹣|=2，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件对两边平方即可得出，进行向量数量积的运算便可得出，从而便可求出的值．【解答】解：根据条件，===4；∴．故答案为：．15．若2cos（θ﹣）=3cosθ，则tan2θ=﹣4．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系，求得tanθ的值、再利用二倍角的正切公式，求得tan2θ的值．【解答】解：∵2cos（θ﹣）=3cosθ，∴2（cosθ+sinθ）=3cosθ，求得tanθ=，则tan2θ==﹣4，故答案为：﹣4．16．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2+b2﹣c2=6﹣2ab，且C=60°，则△ABC的面积为．【考点】余弦定理．【分析】由已知等式可得：c2=a2+b2﹣6+2ab，结合余弦定理可解得ab的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵a2+b2﹣c2=6﹣2ab，可得：c2=a2+b2﹣6+2ab，又∵C=60°，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴﹣ab=2ab﹣6，解得：ab=2，∴S△ABC=absinC==．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知向量=（x，﹣1），=（x﹣2，3），=（1﹣2x，6）．（1）若⊥（2+），求||；（2）若•＜0，求x的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）若⊥（2+），则转化为•（2+）=0，利用向量数量积的公式建立方程求出x即可求||；（2）若•＜0，转化为x的一元二次不等式进行求解即可求x的取值范围．【解答】解：（1）若⊥（2+），则•（2+）=0，即2•+•=0，即2x（x﹣2）﹣6+x（1﹣2x）﹣6=0，则﹣3x﹣12=0，则x=﹣4，则=（﹣6，3），||====3；（2）若•＜0，则x（x﹣2）﹣3＜0，即x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，即x的取值范围是（﹣1，3）．18．等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】（1）利用等比数列通项公式能求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式a n．（2）由等比数列通项公式求出等差数列{b n}的第4项和第16项，再由等差数列通项公式求出首项与公差，由此能求出数列{b n}的通项公式及前n项和S n．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16，∴2q3=16，解得q=2，∴．（2）∵a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，∴，，∴，解得b1=2，d=2，∴b n=2+（n﹣1）×2=2n．S n==n2+n．19．锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=csinC．（1）求cosC；（2）若a=6，b=8，求边c的长．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式化简已知的等式，由锐角的范围和平方关系求出cosC；（2）根据条件和余弦定理求出边c的长．【解答】解：（1）∵acosB+bcosA=csinC，∴由正弦定理得sinAcosB+cosAsinB=sinCsinC，则sin（A+B）=sinCsinC，由sin（A+B）=sinC＞0得，sinC=，∵C是锐角，∴cosC==；（2）∵a=6，b=8，cosC=，∴由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=36+64﹣2×6×=36，解得c=6．20．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n=（a n﹣1）2n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）根据条件可知a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），d和a1的关系，S3=3a2，即可求得a1和d，数列{a n}的通项公式；（2）求得数列{b n}的通项公式，采用乘以公比“错位相减法”，即可求得数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）等差数列{a n}公差为d，首项为a1，∵a1，a3，a7成等比数列．∴a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），化简得d=a1，或d=0（舍去）．当d=a1，由等差数列S3=3a2，∴a2=3，得a1=2，d=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即a n=n+1，数列{a n}的通项公式a n=n+1；（2）由（1）可知：a n=n+1，b n=（a n﹣1）2n=（n+1﹣1）2n=n•2n，∴b n=n•2n，数列{b n}的前n项和T n，T n=2+2×22+3×23+…+n×2n，2T n=22+2×23+3×24+…+n×2n+1，两式相减：得﹣T n=2+22+22+…+2n﹣n×2n+1，=2n+1﹣2﹣n×2n+1，∴T n=（n﹣1）2n+1+2．数列{b n}的前n项和T n，T n=（n﹣1）2n+1+2．21．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，m），m∈R．（1）若m=，且∥，求的值；（2）已知函数f（x）=2（+）•﹣2m2﹣1，若函数f（x）在[0，]上有零点，求m的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）可得出向量的坐标，根据及平行向量的坐标关系即可得出cosx=3sinx，从而便可得出的值；（2）可先求出的坐标，然后进行向量坐标的数量积运算，并由二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式即可得到，从而得出，而可以求出sin（2x+）在的范围，从而可得出m的取值范围．【解答】解：（1）时，；又；∴3sinx+cosx=0；∴cosx=﹣3sinx；∴（2）﹣2m2﹣1=2m2﹣1=根据题意，方程有解；即m=有解；∵；∴∴；∴m的取值范围为．22．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a﹣sinC）cosB=sinBcosC，b=4．（1）求角B的大小；（2）D为BC边上一点，若AD=2，S△DAC=2，求DC的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由（a﹣sinC）cosB=sinBcosC，利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式可得acosB=sinA，再利用正弦定理、同角三角函数基本关系式即可得出．（2）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．【解答】解：（1）∵（a﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴acosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，在△ABC中，由正弦定理可得：=，∴=1，∴tanB==，B∈（0，π），∴B=．（2）∵S△DAC=2=sin∠DAC，∴sin∠DAC=，∵0＜∠DAC＜，∴∠DAC=．在△DAC中，DC2=﹣2×cos=28．∴DC=2．2019年8月10日。
2016年福建省南平市高一下学期期末数学试卷与解析答案
2015-2016学年福建省南平市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）不等式（x﹣3）（x+2）＜0的解集为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．[﹣3，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）2．（5分）设向量=（1，2），=（m，m+1），∥，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣33．（5分）已知α的终边过点（，﹣2），则sin（π+α）等于（）A．﹣B．C．﹣ D．4．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，S4=14，则a4等于（）A．2 B．4 C．6 D．85．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a=3b，sinB=，则sinA等于（）A．B．C．D．6．（5分）为了得到函数y=sin2x的图象，只需把函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．（5分）如果实数x，y满足条件，则z=x+2y的最大值为（）A．3 B．C．4 D．58．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=4，c=2，cosA=sin1380°，则a等于（）A．7 B．2C．2 D．29．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A．A=2 B．ω=2 C．f（0）=1 D．φ=10．（5分）在▱ABCD中，AB=2BC=4，∠BAD=，E是CD的中点，则•等于（）A．2 B．﹣3 C．4 D．611．（5分）已知x＞﹣1，y＞0，且x+y=1，则+的最小值为（）A．3 B．4 C．D．512．（5分）已知数列{a n}的前n项和为T n，a1=1且a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=2n﹣1，则T8﹣2等于（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n=n（2n+1），则a2=．14．（5分）已知向量，满足||=1，||=2，|﹣|=2，则•=．15．（5分）若2cos（θ﹣）=3cosθ，则tan2θ=．16．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2+b2﹣c2=6﹣2ab，且C=60°，则△ABC的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知向量=（x，﹣1），=（x﹣2，3），=（1﹣2x，6）．（1）若⊥（2+），求||；（2）若•＜0，求x的取值范围．18．（12分）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．19．（12分）锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=csinC．（1）求cosC；（2）若a=6，b=8，求边c的长．20．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n=（a n﹣1）2n，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，m），m∈R．（1）若m=，且∥，求的值；（2）已知函数f（x）=2（+）•﹣2m2﹣1，若函数f（x）在[0，]上有零点，求m的取值范围．22．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a﹣sinC）cosB=sinBcosC，b=4．（1）求角B的大小；=2，求DC的长．（2）D为BC边上一点，若AD=2，S△DAC2015-2016学年福建省南平市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）不等式（x﹣3）（x+2）＜0的解集为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．[﹣3，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）【解答】解：不等式（x﹣3）（x+2）＜0对应方程为（x﹣3）（x+2）=0，解方程得x=3或x=﹣2；所以该不等式的解集为（﹣2，3）．故选：B．2．（5分）设向量=（1，2），=（m，m+1），∥，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3【解答】解：∵=（1，2），=（m，m+1），∥，∴，解得m=1．故选：A．3．（5分）已知α的终边过点（，﹣2），则sin（π+α）等于（）A．﹣B．C．﹣ D．【解答】解：∵角α的终边过点（，﹣2），∴r=3，∴sinα=﹣，∴sin（π+α）=﹣sinα=，故选：D．4．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，S4=14，则a4等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，S4=14，∴4×（﹣1）+=14，解得d=3，∴a4=﹣1+3d=﹣1+3×3=8．故选：D．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a=3b，sinB=，则sinA等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵a=3b，sinB=，∴由正弦定理：，可得：sinA==3×=．故选：B．6．（5分）为了得到函数y=sin2x的图象，只需把函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：∵y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），∴要得函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位，反之，要得函数y=sin2x的图象，只需把函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位．故选：C．7．（5分）如果实数x，y满足条件，则z=x+2y的最大值为（）A．3 B．C．4 D．5【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z=x+2y得z=1+2×2=5故选：D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=4，c=2，cosA=sin1380°，则a等于（）A．7 B．2C．2 D．2【解答】解：∵b=4，c=2，cosA=sin1380°=sin300°=﹣sin60°=﹣，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=16+12﹣2××（﹣）=52，∴解得：a=2．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A．A=2 B．ω=2 C．f（0）=1 D．φ=【解答】解：根据函数的图象可知，A=2，T=+=π，∴ω==2，再根据f（）=2sin（2×+φ）=0，且0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴f（0）=2sin=2×=1，综上，D选项错误．故选：D．10．（5分）在▱ABCD中，AB=2BC=4，∠BAD=，E是CD的中点，则•等于（）A．2 B．﹣3 C．4 D．6【解答】解：以AB所在直线为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，0），C（5，），D（1，）．E（3，）．∴=（5，），=（1，﹣）．∴•=5×1﹣=2．故选：A．11．（5分）已知x＞﹣1，y＞0，且x+y=1，则+的最小值为（）A．3 B．4 C．D．5【解答】解：∵x＞﹣1，y＞0，且x+y=1，∴+=（+）（x+1+y）=[5++]≥•（5+4）=，当且仅当=，+的最小值为．故选：C．12．（5分）已知数列{a n}的前n项和为T n，a1=1且a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=2n﹣1，则T8﹣2等于（）A．B． C．D．【解答】解：由a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=2n﹣1，当n≥2时，a1+2a2+4a3+…+2n﹣2a n﹣1=2n﹣3，两式相减得：2n﹣1a n=2，∴a n=（）n﹣2，当n=1时，a1=1，不满足满足，∴a n=∴T8=1+1+++…+=2+，T8﹣2=，故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n=n（2n+1），则a2=7．【解答】解：∵S n=n（2n+1），分别令n=1，2，可得：a1=S1=3，a1+a2=2×（2×2+1）=10．则a2=7．故答案为：7．14．（5分）已知向量，满足||=1，||=2，|﹣|=2，则•=．【解答】解：根据条件，===4；∴．故答案为：．15．（5分）若2cos（θ﹣）=3cosθ，则tan2θ=﹣4．【解答】解：∵2cos（θ﹣）=3cosθ，∴2（cosθ+sinθ）=3cosθ，求得tanθ=，则tan2θ==﹣4，故答案为：﹣4．16．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2+b2﹣c2=6﹣2ab，且C=60°，则△ABC的面积为．【解答】解：∵a2+b2﹣c2=6﹣2ab，可得：c2=a2+b2﹣6+2ab，又∵C=60°，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴﹣ab=2ab﹣6，解得：ab=2，=absinC==．∴S△ABC故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知向量=（x，﹣1），=（x﹣2，3），=（1﹣2x，6）．（1）若⊥（2+），求||；（2）若•＜0，求x的取值范围．【解答】解：（1）若⊥（2+），则•（2+）=0，即2•+•=0，即2x（x﹣2）﹣6+x（1﹣2x）﹣6=0，则﹣3x﹣12=0，则x=﹣4，则=（﹣6，3），||====3；（2）若•＜0，则x（x﹣2）﹣3＜0，即x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，即x的取值范围是（﹣1，3）．18．（12分）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16，∴2q3=16，解得q=2，∴．（2）∵a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，∴，，∴，解得b1=2，d=2，∴b n=2+（n﹣1）×2=2n．S n==n2+n．19．（12分）锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=csinC．（1）求cosC；（2）若a=6，b=8，求边c的长．【解答】解：（1）∵acosB+bcosA=csinC，∴由正弦定理得sinAcosB+cosAsinB=sinCsinC，则sin（A+B）=sinCsinC，由sin（A+B）=sinC＞0得，sinC=，∵C是锐角，∴cosC==；（2）∵a=6，b=8，cosC=，∴由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=36+64﹣2×6×=36，解得c=6．20．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n=（a n﹣1）2n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）等差数列{a n}公差为d，首项为a1，∵a1，a3，a7成等比数列．∴a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），化简得d=a1，或d=0（舍去）．当d=a1，由等差数列S3=3a2，∴a2=3，得a1=2，d=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即a n=n+1，数列{a n}的通项公式a n=n+1；（2）由（1）可知：a n=n+1，b n=（a n﹣1）2n=（n+1﹣1）2n=n•2n，∴b n=n•2n，数列{b n}的前n项和T n，T n=2+2×22+3×23+…+n×2n，2T n=22+2×23+3×24+…+n×2n+1，两式相减：得﹣T n=2+22+22+…+2n﹣n×2n+1，=2n+1﹣2﹣n×2n+1，∴T n=（n﹣1）2n+1+2．数列{b n}的前n项和T n，T n=（n﹣1）2n+1+2．21．（12分）已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，m），m∈R．（1）若m=，且∥，求的值；（2）已知函数f（x）=2（+）•﹣2m2﹣1，若函数f（x）在[0，]上有零点，求m的取值范围．【解答】解：（1）时，；又；∴3sinx+cosx=0；∴cosx=﹣3sinx；∴（2）﹣2m2﹣1=2m2﹣1=根据题意，方程有解；即m=有解；∵；∴∴；∴m的取值范围为．22．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a﹣sinC）cosB=sinBcosC，b=4．（1）求角B的大小；（2）D为BC边上一点，若AD=2，S=2，求DC的长．△DAC【解答】解：（1）∵（a﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴acosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，在△ABC中，由正弦定理可得：=，∴=1，∴tanB==，B∈（0，π），∴B=．=2=sin∠DAC，（2）∵S△DAC∴sin∠DAC=，∵0＜∠DAC＜，∴∠DAC=．在△DAC中，DC2=﹣2×cos=28．∴DC=2．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
福建省泉州市南安一中2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析
福建省泉州市南安一中2017-2018学年高一下学期期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列结论一定成立的是（）A．a＞bc B．＜C．a﹣c＞b﹣c D．a2＞b22．已知数列{a n}为等差数列，若a1+a9=24，则a5=（）A．24 B．12 C．6D．23．在△ABC中，a=4，b=7，sinB=，则sinA=（）A．B．C．D．4．在等比数列{a n}中，若a5，a6是方程x2﹣4x+1=0的两个根，则a4•a7=（）A．2B．﹣1 C．1D．±15．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A的值是（）A．B．C．D．6．设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值是（）A．﹣1 B．11 C．2D．17．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程增加2km，经过15秒火箭与飞船分离，则这15秒火箭共飞行了（）A．480km B．65534km C．120km D．240km8．不等式x2﹣2x+1≥a2﹣2a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）C． [0，2] D．[﹣2，0]9．《莱因德纸草书》（Rhind papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．该书中有一道这样的题目：100个面包分给5个人，每人一份，若按照每个人分得的面包个数从少到多排列，可得到一个等差数列，其中较多的三份和的等于较少的两份和，则最多的一份面包个数为（）A．35 B．32 C．30 D．2710．在△ABC中，a=3，b=x，cosB=，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（3，+∞）B．（，+∞）C．（，3）D．（0，）11．不等式x2﹣x﹣2≥0和x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集分别为A和B，且A⊆B，则实数a取值范围是（）A．（0，1）B．[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣1，1）12．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=30°以及∠MAC=105°；从C点测得∠MCA=45°．已知山高BC=150米，则所求山高MN为（）米．A．300B．150C．150D．300二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．在△ABC中，BC=4，AC=5，AB=，则内角C=．14．已知正数a，b满足a+b=3，则a•b的最大值为．15．已知数列{a n}满足a n=，a1=2，则数列{a n}的前6项和S6=．16．已知=（2，﹣3），=（1，5），若将满足条件的动点M所表示的平面区域记为D．则单位圆x2+y2=1落在区域D内的部分的弧长为．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，演算过程或证明步骤．17．已知函数f（x）=x2+bx+c（x∈R），且f（x）＜0的解集为（﹣2，0）．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若数列{a n}的前n项和S n=f（n），n∈N*，求数列{a n}的通项公式a n．18．已知函数f（x）=x+，定义域为D．（Ⅰ）若D=（1，+∞），求函数的f（x）最小值；（Ⅱ）若D=（﹣∞，1）∪（1，+∞）时，（x﹣1）f（x）＞mx恒成立，求实数m的取值范围．19．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若B为锐角，a﹣2bsinA=0，且a、b、c成等比数列．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）判断△ABC的形状．20．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A型或B型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100单位，工时为120单位，且A 或B型电视和产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？21．某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距5（3+）海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°，B点北偏西60°，这时，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时．（Ⅰ）求B点到D点的距离BD；（Ⅱ）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．22．已知数列{a n}的前n项和S n满足（p﹣1）S n=p2﹣a n（p＞0，p≠1），且a3=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n b n+2}的前n项和为T n，若对于任意的正整数n，都有T n＜m2﹣m﹣成立，求实数m的取值范围．福建省泉州市南安一中2017-2018学年高一下学期期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列结论一定成立的是（）A．a＞bc B．＜C．a﹣c＞b﹣c D．a2＞b2考点：不等关系与不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：举反例可知A、B、D不能恒成立，故选C．解答：解：若a=1，b=c=﹣1，故A不成立，B不成立，D不成立；∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，故C成立．故选C．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．2．已知数列{a n}为等差数列，若a1+a9=24，则a5=（）A．24 B．12 C．6D．2考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和题意易得答案．解答：解：由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，∴a5=（a1+a9）==12故选：B点评：本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题．3．在△ABC中，a=4，b=7，sinB=，则sinA=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，把a，b，sinB的值代入计算即可求出sinA的值．解答：解：∵在△ABC中，a=4，b=7，sinB=，∴由正弦定理=，得：sinA===，故选：A．点评：此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4．在等比数列{a n}中，若a5，a6是方程x2﹣4x+1=0的两个根，则a4•a7=（）A．2B．﹣1 C．1D．±1考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的性质结合根与系数之间的关系进行求解即可．解答：解：∵a5，a6是方程x2﹣4x+1=0的两个根，∴a5a6=1，则在等比数列{a n}中，a4•a7=a5a6=1，故选：C点评：本题主要考查等比数列的性质的应用，比较基础．5．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A的值是（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：直接利用余弦定理，化简求解即可．解答：解：因为在△ABC中，a2=b2+c2+bc，所以cosA===﹣，所以A=．故选：C．点评：本题考查余弦定理的应用，基本知识的考查．6．设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值是（）A．﹣1 B．11 C．2D．1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（3，﹣2）时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．将A（3，﹣2）的坐标代入目标函数z=x+2y，得z=﹣1．即z=x+2y的最小值为﹣1；故选A．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程增加2km，经过15秒火箭与飞船分离，则这15秒火箭共飞行了（）A．480km B．65534km C．120km D．240km考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得这15秒内每秒的飞行路程构成2为首项，2为公差的等差数列，由等差数列的求和公式可得．解答：解：由题意可得这15秒内每秒的飞行路程构成2为首项，2为公差的等差数列，∴这15秒火箭共飞行了15×2+×2=240（km）故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题．8．不等式x2﹣2x+1≥a2﹣2a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）C． [0，2] D．[﹣2，0]考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：问题转化为（x﹣1）2≥a2﹣2a对任意实数x恒成立，即a2﹣2a≤0，解出即可．解答：解：不等式x2﹣2x+1≥a2﹣2a对任意实数x恒成立⇔（x﹣1）2≥a2﹣2a对任意实数x恒成立⇔a2﹣2a≤0，解得：0≤a≤2，故选：C．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查不等式的解法，是一道基础题．9．《莱因德纸草书》（Rhind papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．该书中有一道这样的题目：100个面包分给5个人，每人一份，若按照每个人分得的面包个数从少到多排列，可得到一个等差数列，其中较多的三份和的等于较少的两份和，则最多的一份面包个数为（）A．35 B．32 C．30 D．27考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得首项和公差的方程组，解方程组再由通项公式可得．解答：解：由题意可得递增的等差数列{a n}共5项，设公差为d，由题意可得总和S=a1+a2+a3+a4+a5=100，又（a3+a4+a5）=（a1+a2），∴a1+a2=2a1+d=25，且a3+a4+a5=3a1+9d=75，联立解得a1=10，d=5，∴最多的一份为a5=a1+4d=30故选：C点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题．10．在△ABC中，a=3，b=x，cosB=，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（3，+∞）B．（，+∞）C．（，3）D．（0，）考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：△ABC有两解时需要：bsinA＜a＜b，代入数据，求出x的范围．解答：解：由题意得，△ABC有两解时需要：bsinA＜a＜b，则xsinA＜3＜x，解得3＜x＜，所以x的取值范围是（3，），比较各个选项可得（3，+∞），故选：A．点评：本题考查了解三角形一题多解的问题，注意理解，属于基础题．11．不等式x2﹣x﹣2≥0和x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集分别为A和B，且A⊆B，则实数a取值范围是（）A．（0，1）B．[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣1，1）考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：解不等式x2﹣x﹣2≥0与不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0，求出集合A、B；再由A⊆B，列出关于a的不等式组，求出解集即可．解答：解：解不等式x2﹣x﹣2≥0，得x≤﹣1或x≥2，∴A=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）；解不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0，得x＜a或x＞a+1，∴B=（﹣∞，a）∪（a+1，+∞）；又A⊆B，∴，解得﹣1＜a＜1，∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．故选：D．点评：本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合基本关系的应用问题，是基础题目．12．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=30°以及∠MAC=105°；从C点测得∠MCA=45°．已知山高BC=150米，则所求山高MN为（）米．A．300B．150C．150D．300考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：由题意，通过解△ABC可先求出AC的值，解△AMC，由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM=300m，∠MAN=60°，从而可求得MN的值．解答：解：在RT△ABC中，∠CAB=30°，BC=150m，所以AC=300m．在△AMC中，∠MAC=105°，∠MCA=45°，从而∠AMC=30°，由正弦定理得，，因此AM=300m．在RT△MNA中，AM=300m，∠MAN=60°，由得MN=300×=150m；故选B．点评：本题主要考察了正弦定理的应用，考察了解三角形的实际应用，属于中档题二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．在△ABC中，BC=4，AC=5，AB=，则内角C=60°．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由题意和余弦定理求出cosC的值，再由内角的范围和特殊角的余弦值求出角C的值．解答：解：由题意知，在△ABC中，BC=4，AC=5，AB=，由余弦定理得，cosC===，又0＜C＜180°，则C=60°，故答案为：60°．点评：本题考查余弦定理的应用，注意内角的范围，属于基础题．14．已知正数a，b满足a+b=3，则a•b的最大值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵正数a，b满足a+b=3，∴3，化为，当且仅当a=b=时取等号．则a•b的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．15．已知数列{a n}满足a n=，a1=2，则数列{a n}的前6项和S6=3．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过关系式a n=及首项a1=2，通过写出前几项的值找出周期，进而计算可得结论．解答：解：∵a n=，a1=2，∴a2===﹣1，a3===，a4===2，∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，且前3项和S3=﹣1++2=，∴S6=2S3==3，故答案为：3．点评：本题考查数列的前n项和，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．16．已知=（2，﹣3），=（1，5），若将满足条件的动点M所表示的平面区域记为D．则单位圆x2+y2=1落在区域D内的部分的弧长为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先求出向量的夹角，然后对满足不等式组的M的集合表示出来．解答：解：由已知，cos∠AOB==，所以∠AOB=，而满足条件的动点M所表示的平面区域是与向量，的夹角都小于等于90°的向量的集合，如图∠COD=；故答案为：．点评：本题考查了平面向量的数量积以及夹角；关键是明确满足不等式组的动点的集合．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，演算过程或证明步骤．17．已知函数f（x）=x2+bx+c（x∈R），且f（x）＜0的解集为（﹣2，0）．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若数列{a n}的前n项和S n=f（n），n∈N*，求数列{a n}的通项公式a n．考点：数列递推式；一元二次不等式的解法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）通过﹣2和0是方程x2+bx+c=0的两根，利用韦达定理计算即得结论；（Ⅱ）利用a n=S n﹣S n﹣1计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵x2+bx+c＜0的解集为（﹣2，0），∴﹣2和0是方程x2+bx+c=0的两根，∴x1+x2=﹣b=﹣2，x1x2=c=0，∴b=2，c=0；（Ⅱ）∵b=2，c=0，∴S n=f（n）=n2+2n，∴a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1（n≥2），又∵a1=S1=1+2=3满足上式，∴a n=2n+1．点评：本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．18．已知函数f（x）=x+，定义域为D．（Ⅰ）若D=（1，+∞），求函数的f（x）最小值；（Ⅱ）若D=（﹣∞，1）∪（1，+∞）时，（x﹣1）f（x）＞mx恒成立，求实数m的取值范围．考点：基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）因为x＞1，对函数的f（x）变形为积为定值的情况，利用基本不等式求最值；（Ⅱ）将所求转化为二次不等式x2﹣（m+1）x+4＞0恒成立的问题解答．解答：解：（Ⅰ）当D=（1，+∞），即x＞1，∴＞0，x1＞0…∴f（x）=x+=x﹣1++1+1=5（当且仅当x=3取等号）∴函数的f（x）最小值为5．…（Ⅱ）D=（﹣∞，1）∪（1，+∞）时，（x﹣1）f（x）＞mx恒成立，化为x2﹣（m+1）x+4＞0恒成立，当△=（m+1）2﹣16＜0即﹣5＜m＜3时，x2﹣（m+1）x+4＞0恒成立…当△=（m+1）2﹣16=0即m=3或m=﹣5时，均不合题意综上所述，﹣5＜m＜3．…点评：本题考查了利用基本不等式求函数的最值以及二次函数恒成立问题；利用基本不等式时注意不等式成立的三个条件．19．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若B为锐角，a﹣2bsinA=0，且a、b、c成等比数列．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）判断△ABC的形状．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理进行求解即可求角B的大小；（Ⅱ）结合等差数列以及正弦定理进行判断即可．解答：解：（Ⅰ）由a﹣2bsinA=0可得，由正弦定理=．）解得sinB=．又∵B 为锐角，∴B=．（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴ac=b2．∴cosB===，化简得a2+c2﹣2ac=0，解得a=c．∴△ABC是等边三角形．点评：本题主要考查解三角形的应用，三角形的形状的判断，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．20．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A型或B型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100单位，工时为120单位，且A 或B型电视和产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；应用题．分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，由已知我们可设设生产A型电视机x 台，B型电视机y台，则根据已知条件，我们可以列出变量x，y的约束条件及目标函数Z 的解析式，利用线性规划的方法，易求出答案．解答：解：设生产A型电视机x台，B型电视机y台，则根据已知条件线性约束条件为，即线性目标函数为z=6x+4y．根据约束条件作出可行域如图所示，作3x+2y=0．当直线l0平移至过点A时，z取最大值，解方程组得生产两种类型电视机各20台，所获利润最大．点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．21．某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距5（3+）海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°，B点北偏西60°，这时，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时．（Ⅰ）求B点到D点的距离BD；（Ⅱ）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理，求出BD，（Ⅱ）在△DCB中，利用余弦定理求出CD，根据速度求出时间．解答：解：（Ⅰ）由题意知AB=5（3+）海里，∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，∴∠ADB=180°﹣（45°+30）°=105°，…在△DAB中，由正弦定理得=，∴DB=====10（海里）…（Ⅱ）在△DBC中，∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+（90°﹣60°）=60°，…BC=20（海里），由余弦定理得CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠DBC=300+1200﹣2×10×20×=900，…∴CD=30（海里），则需要的时间t==1（小时）．…答：救援船到达D点需要1小时．…点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，解三角形的实际问题的应用，考查计算能力．22．已知数列{a n}的前n项和S n满足（p﹣1）S n=p2﹣a n（p＞0，p≠1），且a3=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n b n+2}的前n项和为T n，若对于任意的正整数n，都有T n＜m2﹣m﹣成立，求实数m的取值范围．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）令n=1，2，3，运用条件，求得p=3，再由数列的通项和前n项和的关系，结合等比数列的定义、通项公式，可得所求通项；（Ⅱ）化简b n，再由裂项相消求和，可得T n＜，由不等式恒成立思想可得≤m2﹣m﹣，解不等式可得m的范围．解答：解：（Ⅰ）由题设知（p﹣1）a1=p2﹣a1，解得p=a1或p=0（舍去）．由条件可知（p﹣1）S2=（p﹣1）（a1+a2）=p2﹣a2，解得a2=1．再由（p﹣1）S3=（p﹣1）（a1+a2+a3）=p2﹣a3，解得a3=．由a3=可得=，故p=3=a1．则2S n=9﹣a n，当n＞1时，2S n﹣1=9﹣a n﹣1，以上两式作差得2（S n﹣S n﹣1）=a n﹣1﹣a n，即2a n=a n﹣1﹣a n，故a n=a n﹣1．故数列{a n}是首项为3，公比为的等比数列．故a n=3（）n﹣1=32﹣n．（Ⅱ）因为b n===，所以b n b n+2==（﹣），T n=b1b3+b2b4+b3b5+…+b n b n+2=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1+﹣﹣）＜．故要使T n＜m2﹣m﹣恒成立，只需≤m2﹣m﹣，即m2﹣m﹣2≥0解得m≤﹣1或m≥2．故所求实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．点评：本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查等比数列的通项公式的运用，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
优质：福建省三明市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
1．C【解析】直线的斜率，即，故倾斜角为．故选：C2．A【解析】∵，∴，∴的形状一定是等腰三角形．故选：A3．B【解析】,故选：B点睛：等差数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等差数列的性质求解．③化基本量求公差．利用等差数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等差数列的性质求解．7．B【解析】由三视图易知：直观图是正方体中的一个四棱锥，底面是正方形，侧棱与底面垂直，最长的棱就是正方体的体对角线长,所以最长为．故选：B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．8．B【解析】∵，∴，∴是以1为首项，公比为2的等比数列。
，故选B9．C【解析】因为为非零实数，且利用不等式的性质可知必然成立，选项A中，a=-1,b=0,不成立，选项B中，不一定乘以，选项D中，作差可判定不一定成立，选C10．B【解析】圆与直线相交于，两点，若，则圆心O到直线距离为．即，∴，故选：B12．D【解析】由祖暅原理可知：长方体与圆柱的体积相等，故长方体的体积为，设长方体的底面边长分别为a，b，则a+b=4,,∴，故选：D点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长．在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值．13．【解析】与的距离为，故答案为：14．4【解析】由正弦定理，易得：，故答案为：415．【解析】，故答案为：16．【解析】如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为2，所以OE为内切球的半径，设OA=OB=R，在等边三角形BCD中，BE=，AE=．由OB2=OE2+BE2，即有R2=（﹣R）2+，解得，R=．OE=AE﹣R=，则其内切球的半径是，所以四面体的内切球的表面积为4π•=．故答案为：．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段P A，PB，PC两两互相垂直，且P A＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．17．【解析】（1）设公差为，由已知得解得所以的通项公式．18．【解析】（1）联立方程组解得所以点，又所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率为-2，则所求的直线方程为，即．（2）设的坐标为，的坐标为，则，又是圆上的动点，，代入可得，化简得，所以的轨迹方程为．（2）不等式，可化为．设，则图象的对称轴为，所以在上单调递增，则，所以且．20．【解析】（1），为的中点，．又平面平面，且平面，平面，而平面，平面平面．（2）由已知得，为等腰直角三角形，，，等边的面积，，由（1）易知平面，，在中，边上的高为，，设点到平面的距离为，则有，，即点到平面的距离为．点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型．(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．21．【解析】（1）过作，垂足为，则在中，，，在中，，，将绕所在直线旋转一周所成的几何体是以为底半径，以为高的两个圆锥，所以体积为．由①②得，解得或（舍去），，，．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．22．【解析】（1）圆心，又圆在不等式组所表示的平面区域内，即当圆与直线相切时，，（2），点在圆内，设圆心到直线的距离分别为，则，，，，．当且仅当即时，等号成立，四边形面积的最大值为5．。
2017年福建省龙岩市高一下学期期末数学试卷与解析答案
2016-2017学年福建省龙岩市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）cos780°的值为（）A．﹣B．C．﹣ D．2．（5分）某大学中文系一、二、三、四年级的学生数之比为5：2：3：4，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为280的样本，则应抽取二年级的学生为（）A．40人B．60人C．80人D．20人3．（5分）广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据上表可得回归方程=x+的约等于3，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为（）A．55万元B．53万元C．57万元D．59万元4．（5分）已知一个五次多项式为f（x）=5x5﹣4x4﹣3x3+2x2+x+1，利用秦九韶算法计算f（2）的值时，可把多项式改写成f（x）=（（（（5x﹣4）x﹣3）x+2）x+l）x+l，按照从内到外的顺序，依次计算：v0=5，v1=5×2﹣4=6，v2=6×2﹣3=9，v3=9×2+2=20，则v4的值为（）A．40 B．41 C．82 D．835．（5分）已知向量=（sinθ，﹣1），=（，cosθ}，且∥，则sin2θ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣6．（5分）已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数为（）A．1 B．4 C．1 或4 D．2 或47．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）数据x1，x2，…，x8平均数为6，标准差为2，则数据2x1﹣6，2x2﹣6，…，2x8﹣6的方差为（）A．16 B．4 C．8 D．109．（5分）已知点P（﹣4，﹣3m）在角α的终边上，且sinα=，则cos（α+）的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．（5分）在R上定义运算=ad﹣bc，若f（x）=，x∈[0，π]，则f（x）的递增区间为（）A．[0，]，[，π]B．[，] C．[0，]，[，π] D．[，]11．（5分）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则下面等式一定成立的是（）A．A=B B．A=C C．B=C D．A=B=C12．（5分）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=l，OC为斜边AB的髙，点P在射线OC 上，则•的最小值为（）A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D．0二、填空题（本大題共4小题，毎小题5分，共20分）13．（5分）设tanα=3，则=．14．（5分）已知向量，的夹角为45°，||=||=2，且向量与λ﹣垂直，则实数λ=．15．（5分）长度为5的木棒AB上任选一处截成两段，这两段木棒能够与另一根长度为2的木首棒首尾相连，组成一个三角形的概率为．16．（5分）若f（x）=Asin（ωx+φ）+3（ω＞0，|φ|＜π）对任意实数t，都有f （t+）=f（﹣t+）．记g（x）=Acos（ωx+φ）﹣2，则g（）=．三、解答题（本大题共6小題，共7〇分.解答应写出文字说明，证明过程或•演»步_）.17．（10分）已知α∈[0，]，且sin（α﹣）=．（1）求cos（α﹣）及α的值；（2）求sin2α的值．18．（12分）已知=（﹣3，4），=（1，﹣1）并与向量的关系为=+2．（1）求向量、+、﹣的坐标；（2）求+与﹣夹角的余弦值．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向右平移个单位长度，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．20．（12分）如图，某校高一（1）班全体男生的一次数学测试的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图甲所示，据此解答如下问题：（1）求该班全体男生的人数及分数在[80，90）之间的男生人数；（2）根据频率分布直方图，估计该班全体男生的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．（3）从分数在[80，100]中抽取两个男生，求抽取的两男生分别来自[80，90）、[90，100]的概率．21．（12分）某车间为了制作某个零件，需从一块扇形的钢板余料（如图1）中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板ABCD，其中顶点B、C在半径ON上，顶点A在半径OM上，顶点D在上，∠MON=，ON=OM=．设∠DON=θ，矩形ABCD的面积为S．（1）用含θ的式子表示DC、OB的长；（2）试将S表示为θ的函数（3）求S的最大值．22．（12分）若对于定义在R上的连续函数f（x），存在常数a（a∈R），使得f （x+a）+af（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数，且阶数为a．（1）试判断函数f（x）=sinπx是否是一个阶数为1的回旋函数，并说明理由；（2）已知f（x）=sinωx是回旋函数，求实数ω的值；（3）若回旋函数f（x）=si nωx﹣1（ω＞0）在[0，1]恰有100个零点，求实数ω的值．2016-2017学年福建省龙岩市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）cos780°的值为（）A．﹣B．C．﹣ D．【解答】解：cos780°=cos（720°+60°）=cos60°=．故选：D．2．（5分）某大学中文系一、二、三、四年级的学生数之比为5：2：3：4，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为280的样本，则应抽取二年级的学生为（）A．40人B．60人C．80人D．20人【解答】解：某大学中文系一、二、三、四年级的学生数之比为5：2：3：4，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为280的样本，∴应抽取二年级的学生为：280×=40人．故选：A．3．（5分）广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据上表可得回归方程=x+的约等于3，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为（）A．55万元B．53万元C．57万元D．59万元【解答】解：根据题意，由所给的数据可得：==3，==30，即样本中心点的坐标为（3，30）又由回归方程=x+的约等于3，即=x+3，则30=×3+3，解可得=9，则回归方程为=9x+3，当x=6时，=57；故选：C．4．（5分）已知一个五次多项式为f（x）=5x5﹣4x4﹣3x3+2x2+x+1，利用秦九韶算法计算f（2）的值时，可把多项式改写成f（x）=（（（（5x﹣4）x﹣3）x+2）x+l）x+l，按照从内到外的顺序，依次计算：v0=5，v1=5×2﹣4=6，v2=6×2﹣3=9，v3=9×2+2=20，则v4的值为（）A．40 B．41 C．82 D．83【解答】解：利用秦九韶算法计算f（2）的值时，多项式为f（x）=（（（（5x﹣4）x﹣3）x+2）x+l）x+l，按照从内到外的顺序，依次计算：v0=5，v1=5×2﹣4=6，v2=6×2﹣3=9，v3=9×2+2=20，则v4=20×2+1=41．故选：B．5．（5分）已知向量=（sinθ，﹣1），=（，cosθ}，且∥，则sin2θ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：向量=（sinθ，﹣1），=（，cosθ}，且∥，可得sinθcosθ=﹣，则sin2θ=．故选：D．6．（5分）已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数为（）A．1 B．4 C．1 或4 D．2 或4【解答】解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则，解得α=1或α=4．故选：C．7．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选：B．8．（5分）数据x1，x2，…，x8平均数为6，标准差为2，则数据2x1﹣6，2x2﹣6，…，2x8﹣6的方差为（）A．16 B．4 C．8 D．10【解答】解：数据x1，x2，…，x8平均数为6，标准差为2，则数据2x1﹣6，2x2﹣6，…，2x8﹣6的平均数为2×6﹣6=6，方差为22×22=16．故选：A．9．（5分）已知点P（﹣4，﹣3m）在角α的终边上，且sinα=，则cos（α+）的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由题意可得x=﹣4，y=﹣3m，r=，可得：sinα===，y＞0，解得：m=﹣1，或1（舍去），可得：x=﹣4，=3，r=5，cosα==﹣，可得：cos（α+）=cosαcos﹣sinαsin=（﹣）×﹣×=﹣．故选：A．10．（5分）在R上定义运算=ad﹣bc，若f（x）=，x∈[0，π]，则f（x）的递增区间为（）A．[0，]，[，π]B．[，] C．[0，]，[，π] D．[，]【解答】解：f（x）==2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x﹣2•=2（sin2x+cos2x）﹣=2sin（2x+）﹣，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．再结合x∈[0，π]，可得函数的增区间为[0 ]、[π]，故选：C．11．（5分）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则下面等式一定成立的是（）A．A=B B．A=C C．B=C D．A=B=C【解答】解：在△ABC中，∵sinBsinC=cos2=，∴2sinBsinC=﹣cosBcosC+sinBsinC+1，∴cosBcosC+sinBsinC=cos（B﹣C）=1，∵﹣π＜B﹣C＜π，∴B﹣C=0，B=C．故选：C．12．（5分）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=l，OC为斜边AB的髙，点P在射线OC 上，则•的最小值为（）A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D．0【解答】解：由=﹣，设||=t，t≥0，则•=2﹣•=t2﹣1×t×cos=t2﹣t=（t﹣）2﹣；所以，当t=时，•取得最小值为﹣．故选：C．二、填空题（本大題共4小题，毎小题5分，共20分）13．（5分）设tanα=3，则=﹣2．【解答】解：∵tanα=3，∴====﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）已知向量，的夹角为45°，||=||=2，且向量与λ﹣垂直，则实数λ=．【解答】解：由题意可得=||•||•cos45°=2×2×=2，再根据向量与λ﹣垂直，可得•（λ﹣）=λ﹣=2λ﹣4=0，求得λ=，故答案为．15．（5分）长度为5的木棒AB上任选一处截成两段，这两段木棒能够与另一根长度为2的木首棒首尾相连，组成一个三角形的概率为．【解答】解：设长度为5的木棒AB上任选一处截成两段，这两段的长度分别为，x，y则x+y=5，得到0＜x＜5，这两段木棒能够与另一根长度为2的木首棒首尾相连，则x+y＞2，|x﹣y|＜2，解得1.5＜x＜3.5，由几何概型得到所求概率为：；故答案为：16．（5分）若f（x）=Asin（ωx+φ）+3（ω＞0，|φ|＜π）对任意实数t，都有f （t+）=f（﹣t+）．记g（x）=Acos（ωx+φ）﹣2，则g（）=﹣2．【解答】解：∵f（x）=Asin（ωx+φ）+3（ω＞0，|φ|＜π）对任意实数t，都有f （t+）=f（﹣t+），∴函数f（x）的图象关于直线x=对称，故有f（）=Asin（ω•+φ）+3为最大值或最小值，即Asin（ω•+φ）=±1，∴Acos（ω•+φ）=0，故有g（）=Acos（ω•+φ）﹣2=﹣2，故答案为：﹣2．三、解答题（本大题共6小題，共7〇分.解答应写出文字说明，证明过程或•演»步_）.17．（10分）已知α∈[0，]，且sin（α﹣）=．（1）求cos（α﹣）及α的值；（2）求sin2α的值．【解答】解：（1）∵已知α∈[0，]，且sin（α﹣）=，∴α﹣=，∴α=，cos（α﹣）==．（2）sin2α=cos（2α﹣）=2﹣1=2•﹣1=．18．（12分）已知=（﹣3，4），=（1，﹣1）并与向量的关系为=+2．（1）求向量、+、﹣的坐标；（2）求+与﹣夹角的余弦值．【解答】解：（1）∵已知=（﹣3，4），=（1，﹣1）并与向量的关系为=+2，∴=+2=（﹣3，4）+（2，﹣2）=（﹣1，2）；=（﹣1，2）+（1，﹣1）=（0，1）；﹣=（﹣1，2）﹣（1，﹣1）=（﹣2，3）．（2）设+与﹣夹角为θ，∵（+）•（﹣）=（0，1）•（﹣2，3）=0+3=3，|+|=1，|﹣|==，∴cosθ===．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向右平移个单位长度，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．【解答】解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=1，==﹣，∴ω=2．再根据2•+φ=，∴φ=，故函数f（x）=sin（2x+）．（2）将y=f（x）图象上所有点向右平移个单位长度，得到y=g（x）=sin（2x ﹣+）=sin（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ，求得x=+，k∈Z，故当k=0时，得到g（x）的图象离原点O最近的对称中心为（，0）．20．（12分）如图，某校高一（1）班全体男生的一次数学测试的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图甲所示，据此解答如下问题：（1）求该班全体男生的人数及分数在[80，90）之间的男生人数；（2）根据频率分布直方图，估计该班全体男生的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．（3）从分数在[80，100]中抽取两个男生，求抽取的两男生分别来自[80，90）、[90，100]的概率．【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为2，由频率分布直方图知，分数在[50，60）之间的频率为0.008×10=0.08，所以该班全体男生人数为=25（人）由茎叶图可见部分共有21人，所以[80，90）之间的男生人数为25﹣21=4（人），所以，分数在[80，90）之间的频率为 =0.16，频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为=0.016．（2）由频率分布直方图可知，所求该班全体男生的数学平均成绩约为：=（0.008×55+0.028×65+0.04×75+0.016×85+0.008×95）×10=73.8； （3）由题意[80，90）有4人，[90，100）有2人，满足条件的概率p==．21．（12分）某车间为了制作某个零件，需从一块扇形的钢板余料（如图1）中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板ABCD ，其中顶点B 、C 在半径ON 上，顶点A在半径OM 上，顶点D 在上，∠MON=，ON=OM=．设∠DON=θ，矩形ABCD 的面积为S ．（1）用含θ的式子表示DC 、OB 的长； （2）试将S 表示为θ的函数 （3）求S 的最大值．【解答】解：（1）DC=ODsin ∠DOC=sinθ，∵tan ∠MON===，∴OB==sinθ，（2）OC=ODcosθ=cosθ，∴BC=OC ﹣OB=cosθ﹣sinθ，∴S=BC•DC=sinθ（cosθ﹣sinθ）=3sinθcosθ﹣sin 2θ=sin2θ+cos2θ﹣=sin （2θ+）﹣．（3）∵0，∴＜2θ+＜．∴当2θ+=即时，S 取得最大值=．22．（12分）若对于定义在R上的连续函数f（x），存在常数a（a∈R），使得f （x+a）+af（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数，且阶数为a．（1）试判断函数f（x）=sinπx是否是一个阶数为1的回旋函数，并说明理由；（2）已知f（x）=sinωx是回旋函数，求实数ω的值；（3）若回旋函数f（x）=sinωx﹣1（ω＞0）在[0，1]恰有100个零点，求实数ω的值．【解答】解：（1）f（x）=sinπx，f（x+1）=sin[π（x+1）]=﹣sinπx=﹣f（x），∴f（x+1）+f（x）=0对任意的实数x成立，∴f（x）是一个阶数为1的回旋函数．（2）由于f（x）=sinωx是回旋函数，故有：sin[ω（x+a）]+asinωx=0对任意实数x成立，∴sinωx（a+cosωa）+cosωxsinaω=0恒成立．令x=0，可得sinωa=0，∴cosωa=﹣a，∴a=±1，ω=kπ（k∈Z）．（3）令f（x）=sinωx﹣1=0得sinωx=1，即ωx=2kπ+，k∈Z，∴x=+．∵f（x）在[0，1]恰有100个零点，∴，解得：≤ω＜．由于f（x）=sinωx﹣1是回旋函数，故有：sin[ω（x+a）]﹣1+asinωx﹣a=0对任意实数x成立，由（2）可知a=﹣1．令x=0，可得sinωa=sin（﹣ω）=1+a=0，∴cos（﹣ω）=1，∴﹣ω=2kπ，即ω=﹣2kπ，k∈Z．又≤ω＜，∴ω=200π．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2022-2023学年福建省南平市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年福建省南平市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知z （1+2i ）＝2﹣i ，则复数z ＝（ ） A ．﹣1B ．﹣iC ．iD ．2+i2．甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 据此估计甲获得冠军的概率为（ ） A ．0.5B ．0.6C ．0.65D ．0.683．在△OAB 中，BP →=2PA →，则（ ） A ．OP →=34AB →−14AO →B ．OP →=13AB →−23AO →C ．OP →=14AB →−AO →D ．OP →=13AB →−AO →4．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距θ(0＜θ＜π2)的对应数表，这是世界数学史上最早的正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l ＝h tan θ．对同一“表高”进行两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的2.5倍，且tan(α−β)=12，则第二次“晷影长”是“表高”的（ ） A ．89倍B ．1倍C ．43倍D ．53倍5．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A ＝“第一枚出现奇数点”，事件B ＝“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系是（ ） A ．互斥B ．互为对立C ．相互独立D ．相等6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，b cos C +c cos B ＝2a cos A ，b ＝2，c ＝3，则a ＝（ ） A ．1B ．√7C ．√13D ．√197．已知点A （2，﹣1），B （4，2），点P 在x 轴上，当PA →•PB →取最小值时，P 点的坐标是（ ） A ．（2，0）B ．（4，0）C ．（103，0） D ．（3，0）8．如图是一座山的示意图，山体大致呈圆锥形，且圆锥底面半径为2km，山高为2√15km，B是母线SA上一点，且AB＝2km．为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡．当公路长度最短时，下坡路段长为（）A．√6km B．3km C．3.6km D．√15km二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
福建省南平市高一下期末考试数学试卷及答案解析
第 1 页 共 22 页2020-2021学年福建省南平市高一下期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．复数5i−2的共轭复数是（ ）A ．i +2B ．i ﹣2C ．﹣2﹣iD ．2﹣i 2．已知a →=（sin15°，cos15°），b →=（cos30°，sin30°），则a →•b →=（ ）A ．√22B ．−√22C ．12D ．−123．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面向上”，设事件B ＝“第二枚硬币正面向上”，则（ ）A ．事件A 与B 互为对立事件B ．事件A 与B 为互斥事件C ．事件A 与事件B 相等D ．事件A 与B 相互独立4．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（ ）A ．4B ．43C ．23D ．35．人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作B ，隐性基因记作b ；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是BB ，bB 或Bb ”），人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的，分别用D ，d 表示显性基因、隐形基因，基因对中只要出现了显性基因D ，就一定是卷舌的．生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是BbDd ，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为（ ）A ．116B ．316C ．716D ．9166．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请100名同学每人。
2016-2017年福建省莆田市高一下学期期末数学试卷及答案
2016-2017学年福建省莆田市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）圆的半径为1，该圆上长为的弧所对应的圆心角是（）A．B．C． D．2．（5分）在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，那么P（A）与的关系是（）A．P（A）≈B．P（A）C．P（A）D．P（A）=3．（5分）已知点A（1，﹣2），若向量与=（2，3）同向，||=2，则点B的坐标为（）A．（4，6） B．（﹣4，﹣6）C．（5，4） D．（﹣5，﹣4）4．（5分）①某校为了调查该校高中学生每天的睡眠时间，决定从3200名高中学生中任意抽取10%进行调查；②某班在一次数学月考中，成绩在三个分数段[0，90），[90，120），[120，150]内的学生分别有6人、30人和18人，现从这54人中任意抽取9人了解有关情况；③从某班10名班干部中任意抽取3名参加校学生会的座谈会，完成以上三件事，最恰当的抽取方法分别是（）A．系统抽样、简单随机抽样、分层抽样B．系统抽样、分层抽样、简单随机抽样C．分层抽样、简单随机抽样、系统抽样D．分层抽样、系统抽样、简单随机抽样5．（5分）已知MOD函数是一个求余函数，MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2，如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为6，则输出i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．（5分）下列说法中正确的是（）A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件7．（5分）甲乙两人在一次射击测试中各射靶10次，如图是这两人命中环数的统计图，若甲乙的成绩平均数分别为和，成绩的标准差分别为s 1和s2，则（）＞s2B．=，s1＜s2A．=，sC．＜，s 1＞s2D．＜，s1＜s28．（5分）远古时代，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A．510 B．2178 C．3570 D．152469．（5分）若cos（﹣α）=，则cos（+2α）的值为（）A．﹣ B．C．﹣D．10．（5分）在△ABC中，AB=，BC=2AC=2，满足|﹣t|≥||的实数t的取值范围是（）A．[，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）11．（5分）函数f（x）=tan（x+1）+tan（x+2）+tan（x+3）+…+tan（x+2017）图象的对称中心是（）A．（﹣1009，0）B．（﹣1008，0）C．（1008，0）D．（1009，0）12．（5分）如图，△AB1C1，△C1B2C2，△C2B3C3都是边长为2的正三角形，顶点A，C1，C2，C3共线，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…，P10，记m i=•（i=1，2，…，10），则m1+m2+…+m10的值为（）A．15B．45 C．60D．180二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）如图是根据某校高一10位女生的身高（单位：cm）画出的茎叶图，则这10位女生身高的中位数是cm．14．（5分）已知tanα=，π＜α＜，则cosα﹣sinα=．15．（5分）在平面内，||=||=，•=0，动点P，M满足||=1.=，则•的最大值是．16．（5分）甲乙两人约定在同一天的上午7：00到7：30之间到同一车站乘1路公共汽车，且到站后见车就乘（假定甲乙两人到达车站的时刻互不关联，且两人在7：00到7：30的任何时刻到达车站是等可能的），在这段时间内1路公共汽车在该站的发车时间分别是7：10，7：20，7：30，则甲乙两人乘同一班车的概率是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）平面内的两个向量，，=（1，0），⊥（﹣），||=（1）求的坐标（x，y）（2）若y＞0，且与+t的夹角为锐角，求实数t的取值范围．18．（12分）函数f（x）=2sin（2x+）+a+1（a∈R，a为常数），f（x）在[﹣，]上的最大值与最小值之和为3．（1）求f（x）的最小正周期及a的值（2）求不等式f（x）≥2的解集．19．（12分）有7名“厦门金砖会议”志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓英语，B1，B2通晓俄语，C1，C2通晓葡萄牙语，从这7名志愿者中任意选出通晓英语、俄语和葡萄牙语的志愿者各1名，组成一个小组（1）求A1被选中的概率（2）求B1和C1不全被选中的概率．20．（12分）某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下五组对应数据：（1）求y关于x的线性回归方程=x+（2）根据（1）中的线性回归方程，回答下列问题：（i）当广告费支出为10万元时，预测销售额是多少？（ii）从已知的五组数据中任意抽取两组数据，求这两组数据中至少有一组数据其销售额的实际值y与预测值之差的绝对值不超过3万元的概率参考数据：x i2=145，y i2=14004，x i y i=1420附：回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣x．21．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小值为﹣3，且f（x）图象上两个相邻对称中心的距离为2π，又f（x）的图象经过点（0，），将函数y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象（1）求函数g（x）的解析式（2）关于x的方程g（x）﹣k=0在区间[0，]上有且仅有两个实数解x1，x2，求实数k的取值范围，并求出x1+x2的值．22．（12分）在直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P，且α∈（﹣，），过点P作x轴的垂线l，垂足为M，垂线l与射线y=x（x≥0）交于点Q（1）若sinα=，求cos∠POQ（2）求△OPQ面积的最大值．2016-2017学年福建省莆田市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）圆的半径为1，该圆上长为的弧所对应的圆心角是（）A．B．C． D．【解答】解：∵圆的半径为1，弧长为，∴圆心角是=．故选：B．2．（5分）在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，那么P（A）与的关系是（）A．P（A）≈B．P（A）C．P（A）D．P（A）=【解答】解：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，越来越接近P（A），因此我们可以用近似的代替P（A）．故选：A．3．（5分）已知点A（1，﹣2），若向量与=（2，3）同向，||=2，则点B的坐标为（）A．（4，6） B．（﹣4，﹣6）C．（5，4） D．（﹣5，﹣4）【解答】解：点B的坐标设为（m，n），=（m﹣1，n+2），向量与=（2，3）同向，||=2，即有（m﹣1）2+（n+2）2=52，3（m﹣1）=2（n+2），解得m=5，n=4，（m=﹣3，n=﹣8舍去），即有B（5，4），故选：C．4．（5分）①某校为了调查该校高中学生每天的睡眠时间，决定从3200名高中学生中任意抽取10%进行调查；②某班在一次数学月考中，成绩在三个分数段[0，90），[90，120），[120，150]内的学生分别有6人、30人和18人，现从这54人中任意抽取9人了解有关情况；③从某班10名班干部中任意抽取3名参加校学生会的座谈会，完成以上三件事，最恰当的抽取方法分别是（）A．系统抽样、简单随机抽样、分层抽样B．系统抽样、分层抽样、简单随机抽样C．分层抽样、简单随机抽样、系统抽样D．分层抽样、系统抽样、简单随机抽样【解答】解：在①中，从3200名高中学生中任意抽取10%进行调查，应该选用系统抽样；在②中，成绩在三个分数段[0，90），[90，120），[120，150]内的学生分别有6人、30人和18人，现从这54人中任意抽取9人了解有关情况，应该选项用分层抽样；在③中，从某班10名班干部中任意抽取3名参加校学生会的座谈会，应该选简单随机抽样．故选：B．5．（5分）已知MOD函数是一个求余函数，MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2，如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为6，则输出i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=1，i=0，m=6，满足条件n≤6，满足条件MOD（48，2）=0，i=1，n=2，满足条件n≤6，满足条件MOD（48，3）=0，i=2，n=3，满足条件n≤6，满足条件MOD（48，4）=0，i=3，n=4，满足条件n≤6，满足条件MOD（48，5）=3，i=3，n=5，满足条件n≤6，满足条件MOD（48，6）=0，i=4，n=6，满足条件n≤6，满足条件MOD（48，7）=6，i=4，n=7，不满足条件，输出i=4，故选：C．6．（5分）下列说法中正确的是（）A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件【解答】解：由互斥事件和对立事件的概念知互斥事件是不可能同时发生的事件对立事件是A不发生B就一定发生的事件，故选：D．7．（5分）甲乙两人在一次射击测试中各射靶10次，如图是这两人命中环数的统计图，若甲乙的成绩平均数分别为和，成绩的标准差分别为s 1和s2，则（）＞s2B．=，s1＜s2A．=，sC．＜，s 1＞s2D．＜，s1＜s2【解答】解：由频率分布直方图，得：=4×0.2+5×0.1+7×0.3+8×0.1+9×0.2+10×0.1=7．=5×0.1+6×0.2+7×0.4+8×0.2+9×0.1=7．s1==2，s2==1．∴=，s＞s2．故选：A．8．（5分）远古时代，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A．510 B．2178 C．3570 D．15246【解答】解：由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73+3×72+2×7+6=510．故选：A．9．（5分）若cos（﹣α）=，则cos（+2α）的值为（）A．﹣ B．C．﹣D．【解答】解：∵cos（﹣α）=sin[﹣（﹣α）]=sin（+α）=，∴cos（+2α）=1﹣2sin2（+α）=1﹣2×=．故选：D．10．（5分）在△ABC中，AB=，BC=2AC=2，满足|﹣t|≥||的实数t的取值范围是（）A．[，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．由已知可得：A（0，0），C（1，0），B（0，）．∴﹣t=（﹣t，﹣+t）．∵|﹣t|≥||，∴≥1，化为：2t2﹣3t+1≥0，解得t≥1，或t．∴实数t的取值范围是∪[1，+∞）．故选：C．11．（5分）函数f（x）=tan（x+1）+tan（x+2）+tan（x+3）+…+tan（x+2017）图象的对称中心是（）A．（﹣1009，0）B．（﹣1008，0）C．（1008，0）D．（1009，0）【解答】解：设u=x+1009，则f（x）=g（u）=tan（u﹣1008）+tan（u﹣1007）+…+tan（u+1007）+tan（u+1008），则有g（﹣u）=﹣g（u），故g（u）为奇函数，g（0）=0，∴（0，0）是y=g（u）的对称中心，即f（﹣1009）=0，即点（﹣1009，0）是y=f（x）的对称中心，故选：A．12．（5分）如图，△AB1C1，△C1B2C2，△C2B3C3都是边长为2的正三角形，顶点A，C1，C2，C3共线，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…，P10，记m i=•（i=1，2，…，10），则m1+m2+…+m10的值为（）A．15B．45 C．60D．180【解答】解：以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B2（3，），B3（5，），C3（6，0），直线B3C3的方程为y=﹣（x﹣6），可设P i（x i，y i），可得x i+y i=6，即有m i=•=3x i+y i=（x i+y i）=18，则m1+m2+…+m10=18×10=180．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）如图是根据某校高一10位女生的身高（单位：cm）画出的茎叶图，则这10位女生身高的中位数是162cm．【解答】解：由茎叶图，得：这10位女生身高的中位数是：（cm）．故答案为：162．14．（5分）已知tanα=，π＜α＜，则cosα﹣sinα=．【解答】解：tanα==，sin2α+cos2α=1，π＜α＜，∴cosα=﹣，sinα=﹣，则cosα﹣sinα==，故答案为：．15．（5分）在平面内，||=||=，•=0，动点P，M满足||=1.=，则•的最大值是9．【解答】解：∵•=0，∴⊥，以A为原点，所在的展现为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，∵||=1．即||=1，∴点P在以坐标原点为圆心，1为半径的圆上，故可设P（cosθ，sinθ），（θ∈R），∵||=||=，∴B（，0），C（0，），∵=，∴M是线段PC的中点，∴M（cosθ，），∴=（cosθ﹣，），=（﹣，），∴•=（sinθ﹣cosθ）+9=sin（θ﹣）+9，∴当sin（θ﹣）=1，即θ=+2kπ，k∈Z时，取得最大值，即•的最大值是9+，故答案为：9+．16．（5分）甲乙两人约定在同一天的上午7：00到7：30之间到同一车站乘1路公共汽车，且到站后见车就乘（假定甲乙两人到达车站的时刻互不关联，且两人在7：00到7：30的任何时刻到达车站是等可能的），在这段时间内1路公共汽车在该站的发车时间分别是7：10，7：20，7：30，则甲乙两人乘同一班车的概率是．【解答】解：如图，设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达汽车站的时刻为y，则7≤x≤7：30，7≤y≤7：30，甲、乙两人到达汽车站的时刻（x，y）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形．将3班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一班车，必须满足{（x，y）|或或}，即（x，y）必须落在图形中的3个带阴影的小正方形内，所以由几何概型的计算公式得P==．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）平面内的两个向量，，=（1，0），⊥（﹣），||=（1）求的坐标（x，y）（2）若y＞0，且与+t的夹角为锐角，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）因为=（1，0），⊥（﹣），||=的坐标（x，y），所以•（﹣）==0，所以=1，又||=，所以，解得，或，所以=（1，2）或（1，﹣2）；（2）因为y＞0，所以=（1，﹣2），又与+t的夹角为锐角，所以，且与+t不平行；所以即1+t＞0，解得t＞﹣1，又与+t不平行，+t=（1+t，2t），所以2t≠0，即t≠0；所以t 的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．18．（12分）函数f（x）=2sin（2x+）+a+1（a∈R，a为常数），f（x）在[﹣，]上的最大值与最小值之和为3．（1）求f（x）的最小正周期及a的值（2）求不等式f（x）≥2的解集．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由题意可得：f（x）=2sin（2x+）+a+1的最小正周期T=，因为，x∈[﹣，]，所以，2x+∈[﹣，π]，可得：sin（2x+）∈[﹣，1]，当sin（2x+）=﹣，即x=﹣时，f（x）取最小值为a．当sin（2x+）=1，即x=时，f（x）取最大值为a+3．所以，a+3+a=3，解得a=0．（2）由（1）可得，f（x）=2sin（2x+）+1，由f（x）≥2，化简可得：sin（2x+）≥，即2kπ+≤2x+≤2kπ+，k ∈Z，解得：kπ≤x≤kπ+，k∈Z，所以不等式f（x）≥2的解集为：{x|kπ≤x≤kπ+，k∈Z}．19．（12分）有7名“厦门金砖会议”志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓英语，B1，B2通晓俄语，C1，C2通晓葡萄牙语，从这7名志愿者中任意选出通晓英语、俄语和葡萄牙语的志愿者各1名，组成一个小组（1）求A1被选中的概率（2）求B1和C1不全被选中的概率．【解答】解：（1）从这7名志愿者中任意选出通晓英语、俄语和葡萄牙语的志愿者各1名，组成一个小组，基本事件有12个，分别为：（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），用事件M表示“A1被选中”，则事件M包含的基本事件有4个，分别为：（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），∴A1被选中的概率p=．（2）用N表示事件“B1和C1不全被选中”，则表示事件“B1和C1全被选中”，则包含听基本事件有3个，分别为：（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1），∴由对立事件概率计算公式得B1和C1不全被选中的概率：P（N）=1﹣P（）=1﹣=．20．（12分）某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下五组对应数据：（1）求y关于x的线性回归方程=x+（2）根据（1）中的线性回归方程，回答下列问题：（i）当广告费支出为10万元时，预测销售额是多少？（ii）从已知的五组数据中任意抽取两组数据，求这两组数据中至少有一组数据其销售额的实际值y与预测值之差的绝对值不超过3万元的概率参考数据：x i2=145，y i2=14004，x i y i=1420附：回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣x．【解答】解：（1）根据表中数据，计算=×（2+4+5+6+8）=5，=×（28+36+52+56+78）=50，=145x i y i=1420，∴===8.5，=﹣=50﹣8.5×5=7.5，∴y关于x的线性回归方程为=8.5x+7.5；（2）根据（1）中的线性回归方程知，（i）计算x=10时，=8.5×10+7.5=92.5，∴当广告费支出为10万元时，预测销售额是92.5万元；（ii）根据题意，列表如下；这五组数据中有两组数据|y﹣|超过3万元，记为A、B，三组不超过3万元，记为c、d、e；则从中抽取两组，基本事件数为AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10种不同取法，这两组数据中至少有一组数据不超过3万元的基本事件数是Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共9种不同取法，故所求的概率为P=．21．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小值为﹣3，且f（x）图象上两个相邻对称中心的距离为2π，又f（x）的图象经过点（0，），将函数y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象（1）求函数g（x）的解析式（2）关于x的方程g（x）﹣k=0在区间[0，]上有且仅有两个实数解x1，x2，求实数k的取值范围，并求出x1+x2的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小值为﹣3，∴A=3，∵f（x）图象上两个相邻对称中心的距离为2π，∴T=4π=，∴ω=．又f（x）的图象经过点（0，），∴3sinφ=，∴sinφ=，∴φ=，∴f（x）=3sin （x+）．将函数y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），可得y=3sin（2x+）的图象；再向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）=3sin（2x++）=3sin（2x+）的图象．（2）∵关于x的方程g（x）﹣k=0在区间[0，]上有且仅有两个实数解x1，x2，∴g（x）的图象和直线y=k在区间[0，]上有且仅有两个交点．区间[0，]上，2x+∈[，2π]，如图所示，故实数k的取值范围为（﹣3，0]∪[，3），当k∈（﹣3，0]时，x1+x2 =，当k∈[，3）时，x1+x2 =．22．（12分）在直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P，且α∈（﹣，），过点P作x轴的垂线l，垂足为M，垂线l与射线y=x（x≥0）交于点Q（1）若sinα=，求cos∠POQ（2）求△OPQ面积的最大值．【解答】解：（1）∵sinα=，且α∈（﹣，），∴α∈（0，），且cosα=．由射线y=x（x≥0），得．∴cos=；（2）由任意角的三角函数的定义得：P（cosα，sinα）．从而M（cosα，0），Q（cosα，），∴==．∵α∈（﹣，），∴∈（），则sin（）∈[﹣1，1]．因此，当sin（）=1，即时，S取最大值为．△OPQ。
福建省南平市高一下学期期末数学试卷
福建省南平市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2016高一下·沙市期中) 若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为．则直线l的倾斜角的取值范围是________．2. （1分） (2016高二上·临泉期中) 若关于x的不等式（m﹣1）x2﹣mx+m﹣1＞0的解集为空集，则实数m 的取值为________．3. （1分） (2017高一下·西安期末) △ABC中，a•cosA=b•cosB，则该三角形的形状为________．4. （1分） (2017高二上·常熟期中) 已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面说法正确的有________．①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n；④若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．5. （1分）(2018·南充模拟) 已知斜率为2的直线过抛物线的焦点，且与轴相交于点 ,若( 为坐标原点)的面积为4，则 ________．6. （1分）若等比数列的首项为1，公比为q，则它的前n项和可以用n，q表示成 =________．7. （1分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600 m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m．8. （1分） (2020高三上·闵行期末) 如图，在三棱锥中，分别是的中点，分别是的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，则 ________9. （1分）(2018·攀枝花模拟) 设变量满足约束条件 ,则的最大值为________．10. （1分）(2018·上海) 已知实数x₁、x₂、y₁、y₂满足：，，，则 + 的最大值为________11. （1分）如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1 ， DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．12. （1分）(2016·上海理) 设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为________．13. （1分）一条光线经点A（1，2）处射向x轴上一点B，又从B反射到直线l：x﹣y+3=0上的一点C，后又从C点反射回A点，求直线BC的方程________．14. （2分）已知数列{an}满足a1=2，a2=5，a3=23，且an+1=αan+β，则α、β的值分别为________、________．二、解答题 (共6题；共65分)15. （10分） (2016高二上·清城期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足向量 =（cosA，cosB）， =（a，2c﹣b），∥ ．（1）求角A的大小；（2）若a=2 ，求△ABC面积的最大值．16. （10分）如图，四棱P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AC、PB的中点．（1）求证：EF∥平面PCD；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．17. （10分） (2015高三上·和平期末) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，且S4=4S2 ， a2+a4=10．（1）求数列{an}通项公式；（2）若数列{bn}满足 + +…+ =1﹣，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn．18. （10分） (2017高一下·启东期末) 已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．19. （10分） (2017高一上·山西期末) 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益与投资成正比，其关系如图1所示；投资股票等风险型产品B的收益与投资的算术平方根成正比，其关系如图2所示（收益与投资单位：万元）．（1）分别将A、B两种产品的收益表示为投资的函数关系式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？20. （15分） (2017高一下·淮安期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足Sn=n2﹣4n，数列{bn}中，b1= 对任意正整数．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{3n•bn+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共65分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。
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2016-2017学年福建省南平市高一（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）若角α的终边经过点（1，﹣5），则tanα等于（ ） A．﹣5 B．5 C．﹣ D． 2．（5分）在公差为3的等差数列{an}中，a5+a6=7，则a6+a8的值为（ ） A．13 B．16 C．19 D．22 3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，c=1，sinC=，则sinA等于（ ） A． B． C． D． 4．（5分）某公司每个月的利润y（单位：万元）关于月份n的关系式为y=n2﹣9n+114，则该公司12个月中利润大于100万的月份共有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 5．（5分）已知向量=（x，x+2）与向量=（1，3x）是共线向量，则x等于（ ） A．或﹣1 B．﹣或1 C．或﹣1 D．﹣或1 6．（5分）将函数y=2cos（4x+）向左平移个单位后，得到的图象的一个中心对称中心为（ ） A．（﹣，0） B．（﹣，0） C．（，0） D．（，0） 7．（5分）在等比数列{an}中，a1=4，且a1，a2，a3﹣1成等差数列，公比q＞1，则an等于（ ） A．4•3n﹣1 B．4•（）n﹣1 C．4n D．4•（）n﹣1
8．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（ ） A．12 B． C． D．2
9．（5分）若tan（π﹣a）=﹣，则的值为（ ） A．﹣ B．﹣15 C． D．15 10．（5分）若sinα+cosα=，则cos（2α+）等于（ ） A．﹣ B． C．﹣ D．
11．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且an=，a1=a（a∈R）给出下列3个结论：①数列{an+5}一定是等比数列；②若S5＜100，则a＜18；③若a3，a6，a9成等比数列，则a=﹣．其中，所有正确结论的序号为（ ） A．② B．②③ C．①③ D．①②③ 12．（5分）函数f（x）=﹣sin（2x+）的零点的个数为（ ） A．16 B．18 C．19 D．20
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上） 13．（5分）已知向量=（1，﹣4），=（2，1），=（m，n），则m+n= ． 14．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC中最大边所对角的余弦值为 ． 15．（5分）已知正数x，y满足x+4y=m，且+的最小值为1，则m= ． 16．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=3n+1，则数列{an2}的前n项和Tn= ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知函数f（x）=（x﹣4a）（x﹣2），其中a＞0 （1）若a=，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）求f（1）+的最小值． 18．（12分）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点． （1）试用，表示，； （2）若AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求，． 19．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知2acosA=﹣（ccosB+bcosC）． （1）求角A； （2）若b=2，且△ABC的面积为，求a的值．
20．（12分）已知向量=（sinx，1），=（cosx，2），x∈R，函数f（x）=a•b， （1）当x∈[﹣，]时，求|a+b|的最大值与最小值； （2）设f（α）=，α∈（，），求tan（2α+）． 21．（12分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a5=2，a6+a7+a8=24． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn（2Sn+26n）=1，求证b1+b2+…+bn=； （3）求数列{（an﹣n+12）•3n}的前n项和Tn． 22．（12分）函数f（x）=Asin（）+1（A＞0，ω＞0）与g（x）=cosωx的部分图象如图所示． （1）求A，a，b的值及函数f（x）的递增区间； 2）若函数y=g（x﹣m）（m＞π）与y=f（x）+f（x﹣）的图象的对称轴完全相同，求m的最小值． 2016-2017学年福建省南平市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）若角α的终边经过点（1，﹣5），则tanα等于（ ） A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
【解答】解：∵角α的终边经过点（1，﹣5），∴x=1，y=﹣5，则tanα==﹣5， 故选：A．
2．（5分）在公差为3的等差数列{an}中，a5+a6=7，则a6+a8的值为（ ） A．13 B．16 C．19 D．22 【解答】解：等差数列{an}中，公差为d=3，且a5+a6=7， ∴a6+a8=a5+d+a6+2d=a5+a6+3d=7+3×3=16． 故选：B．
3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，c=1，sinC=，则sinA等于（ ） A． B． C． D．
【解答】解：∵a=3，c=1，sinC=，
∴由正弦定理可得：sinA===． 故选：D．
4．（5分）某公司每个月的利润y（单位：万元）关于月份n的关系式为y=n2﹣9n+114，则该公司12个月中利润大于100万的月份共有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【解答】解：由题意得： n2﹣9n+114＞100， 解得：n＞7或n＜2， 故n=1，8，9，10，11，12， 故选：C．
5．（5分）已知向量=（x，x+2）与向量=（1，3x）是共线向量，则x等于（ ） A．或﹣1 B．﹣或1 C．或﹣1 D．﹣或1 【解答】解：根据题意，向量=（x，x+2）与向量=（1，3x）是共线向量， 则有3x2=x+2， 解可得x=1或﹣； 故选：B．
6．（5分）将函数y=2cos（4x+）向左平移个单位后，得到的图象的一个中心对称中心为（ ） A．（﹣，0） B．（﹣，0） C．（，0） D．（，0）
【解答】解：将函数y=2cos（4x+）向左平移个单位后， 得到的y=2cos（4x++）=﹣2sin4x的图象， 令4x=kπ，求得x=，k∈Z，令k=﹣1， 可得可得该函数的图象的一个中心对称中心为（﹣，0）， 故选：A．
7．（5分）在等比数列{an}中，a1=4，且a1，a2，a3﹣1成等差数列，公比q＞1，则an等于（ ） A．4•3n﹣1 B．4•（）n﹣1 C．4n D．4•（）n﹣1
【解答】解：在等比数列{an}中，a1=4，且a1，a2，a3﹣1成等差数列， 则2a2=a1+a3﹣1， 即2qa1=a1+q2a1﹣1， 即8q=4+4q2﹣1， 即4q2﹣8q+3=0， 得（2q﹣1）（2q﹣3）=0， 得q=或q=， ∵q＞1 ∴q=，
则an=4×（）n﹣1， 故选：B．
8．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（ ） A．12 B． C． D．2
【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；
目标函数z=x+y化为y=﹣x+z， 由，解得A（6，6）； 所以目标函数z过点A时取得最大值， 为zmax=6+6=12． 故选：A．
9．（5分）若tan（π﹣a）=﹣，则的值为（ ） A．﹣ B．﹣15 C． D．15 【解答】解：∵tan（π﹣α）=﹣， ∴tanα=，
∴=． 故选：D． 10．（5分）若sinα+cosα=，则cos（2α+）等于（ ） A．﹣ B． C．﹣ D． 【解答】解：∵sinα+cosα=， ∴． ∴cos（2α+）=， ∴cos（2α+）=． 故选：C．
11．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且an=，a1=a（a∈R）给出下列3个结论：①数列{an+5}一定是等比数列；②若S5＜100，则a＜18；③若a3，a6，a9成等比数列，则a=﹣．其中，所有正确结论的序号为（ ） A．② B．②③ C．①③ D．①②③ 【解答】解：根据题意，数列{an}满足an=，且a1=a， 则a2=a1+1=a+1，a3=a2+1=a+2，a4=a3+1=a+3，a5=a4+1=a+4， a6=2a5=2a+8，a7=2a6，…； 对于①、当a=﹣4时，a6=2a+8=0，此时数列{an+5}不是等比数列，故①错误； 对于②、若S5＜100，则有S5=（a1+a2+…+a5）=5（a+2）＜100，则有a＜18；②正确； 对于③、根据题意，a3=a+2，a6=2a+8，a9=8×（2a+8）， 若a3，a6，a9成等比数列，则有（2a+8）2=（a+2）×8×（2a+8），且a6=2a+8≠