【备战高考·数学专题练习】数形结合思想(含解析)

高考理科数学二轮复习训练： 数形结合思想（含解析）一、选择题1.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ＋1≥02x －y ＋2≥0，若当x ＝－1，y ＝0时，z ＝ax ＋y 取得最大值，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－2] B ．(－2，－1] C.(2,4) D ．[1,2)答案 A解析 画出满足条件的可行域(如图中阴影部分所示)，由题意知直线y ＝－ax ＋z 经过点(－1,0)时，z 取得最大值，结合图形可知－a ≥2，即a ≤－2.故选A.2.已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.(1,2) D ．(2，＋∞)答案 B解析 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点A (2,1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.3.若关于x 的不等式3x 2＋2ax ＋b ≤0在区间[－1,0]上恒成立，则a 2＋b 2－1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，94C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－1，45答案 C解析 设f (x )＝3x 2＋2ax ＋b ≤0在区间[－1,0]上恒成立，得⎩⎨⎧f －1≤0f0≤0即⎩⎨⎧3－2a ＋b ≤0b ≤0，把(a ，b )看作点的坐标，则上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．根据a 2＋b 2－1的几何意义得，最小值就是坐标原点到直线3－2a ＋b ＝0的距离的平方减1，即45，所以a 2＋b 2－1≥45，故选C.4. 已知全集U ＝{x |x ≤－1或x ≥0}，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x 2>1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.{x |x >0或x <－1}B.{x |1<x ≤2}C.{x |0≤x ≤1}D.{x |0≤x ≤2}答案 C解析 解法一：依题意B ＝{x |x >1或x <－1}，图中阴影部分表示集合A ∩∁U B ，因为U ＝{x |x ≤－1或x ≥0}，所以∁U B ＝{x |x ＝－1或0≤x ≤1}，又集合A ＝{x |0≤x ≤2}，所以A ∩∁U B ＝{x |0≤x ≤1}，故选C.解法二：依题意A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x >1或x <－1}，图中阴影部分表示集合A ∩∁U B ，因为0∈A,0∉B ，故0∈A ∩∁U B ，故排除A 、B ，而2∈A,2∈B ，故2∉A ∩∁U B ，故排除D ，选择C.5．已知向量a ＝⎝ ⎛sin 12ωx cos12ωx ，⎭⎫ sin φ，b ＝ ⎝⎛2cos φ，cos 212ωx －⎭⎪⎫sin 212ωx ，函数f (x )＝a ·b ⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，⎪⎪⎪⎪φ<π2的图象如图所示，为了得到f (x )的图象，则只需将函数g (x )＝sin ωx 的图象( )A.向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C.向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 C解析 依题意，f (x )＝a ·b ＝sin 12ωx cos 12ωx ×2cos φ＋sin φ(cos 212ωx －sin 212ωx )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2.由图知14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，又T ＝2πω(ω>0)，∴ω＝2，又π3×2＋φ＝k π(k ∈Z )，φ＝k π－π3×2(k ∈Z )，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝sin2x ，∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴为了得到f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将g (x )＝sin2x 的图象向左平移π6个单位长度．故选C.6.设F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与该双曲线的左支交于A 、B 两点，且△ABF 2是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，记双曲线C 的离心率为e ，则e 2＝( )A.5－2 2B.52＋24C.5＋2 2D.52－24答案 A解析 如图，因为过点F 1的直线l 与该双曲线的左支交于A 、B 两点，且△ABF 2是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，所以可设|BF 2|＝|AB |＝x ，所以|AF 1|＝x －|BF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a .因为∠ABF 2＝90°，所以2x 2＝16a 2，解得|BF 2|＝|AB |＝22a ，所以|BF 1|＝22a－2a ＝(22－2)a ，所以[(22－2)a ]2＋(22a )2＝(2c )2，即(22－2)2·a 2＋8a 2＝4c 2，所以e 2＝c 2a2＝5－22.二、填空题7.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x ≤0，sin πx ，x >0，若f (x )－ax ≥－1，则实数a的取值范围是________．答案 [－6,0]解析 依题意得f (x )≥ax －1.在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝f (x )与y ＝ax －1(该直线过定点(0，－1)、斜率为a )的图象，如图所示．设直线y ＝ax －1与曲线y ＝x 2－4x (x ≤0)相切于点(x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧a ＝2x 0－4x 0≤0x 20－4x 0＝ax 0－1，解得x 0＝－1，a ＝－6.结合图形可知，实数a 的取值范围是[－6,0].8.已知平面向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝a ·b ＝2，(c －a )·(c －b )＝0，则c ·a 的最大值是________．答案 5解析 依题意得|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2，即cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝π3.作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则由(c －a )·(c －b )＝0得(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝AC →·BC →＝0，点C 位于以线段AB 为直径的圆上，易知△AOB 为等边三角形，如图所示．因为c ·a ＝|c||a|cos 〈c ，a 〉＝2|c|·cos 〈c ，a 〉，所以c ·a 的最大值即是向量OC →在向量OA →方向上的投影的最大值．设圆心为M ，过点M 作MD ⊥OA ，垂足为D ，则当圆M 在点C 处的切线平行于MD 时，向量OC →在向量OA →方向上的投影最大，设此时点C 处的切线与OA 的延长线交于点E .由△AOB 为等边三角形可知，∠BAO ＝π3，所以|AD |＝12，故|OD |＝2－12＝32，所以投影的最大值为|OE |＝32＋1＝52，故c ·a 的最大值为52×2＝5.9.若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a＝2，则k ＝________.答案2解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.整合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝2.三、解答题10.[2015·陕西高考改编]设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率是多少？解复数|z |≤1对应的区域是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y ≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足y ≥x 的概率为14－12π.11.[2015·课标全国卷Ⅱ改编]已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为多少？解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M的坐标代入双曲线方程x2a2－y2b2＝1，得a＝b，所以e＝ 2.【来源：21cnj*y.co*m】12．设函数f(x)＝x2＋a ln (x＋2)，且f(x)存在两个极值点x1、x2，其中x1<x2.(1)求实数a的取值范围；(2)若f(x1)>mx2恒成立，求m的最小值．解(1)由题可得f′(x)＝2x＋ax＋2(x>－2)．∵函数f(x)存在两个极值点x1、x2，且x1<x2，∴关于x的方程2x＋ax＋2＝0，即2x2＋4x＋a＝0在(－2，＋∞)内有两个不等实根．令S (x )＝2x 2＋4x (x >－2)、T (x )＝－a ，则结合图象可得－2<－a <0，即0<a <2，∴实数a 的取值范围是(0,2)．(2)由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 1x 2x 1＝－2－x2－1<x 2<0，问题转化为f x 1x 2<m 恒成立，f x 1x 2＝x 21＋a lnx 1＋2x 2＝x 2＋4x 2－2(x 2＋2)ln (－x 2)＋4.令－x 2＝x ， 则0<x <1且f x 1x 2＝－x －4x＋2(x －2)ln x ＋4，令F (x )＝－x －4x＋2(x －2)ln x ＋4(0<x <1)，则F ′(x )＝－1＋4x2＋2ln x ＋2x －2x＝4x2－4x＋2ln x ＋1(0<x <1)，令g (x )＝F ′(x )，则g ′(x )＝－8x3＋4x2＋2x＝2x 2＋2x －4x3＝2[x ＋12－5]x3，∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即F ′(x )在(0,1)上是减函数， ∴F ′(x )>F ′(1)＝1>0，∴F (x )在(0,1)上是增函数， ∴F (x )<F (1)＝－1，即f x 1x 2<－1，要使f x 1x 2<m 恒成立，则m ≥－1，∴m 的最小值为－1.。