湘教版-数学-八年级上册-5.1 第1课时 二次根式的概念及性质2 教案
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二次根式的概念及性质
【教学目标】
1.了解二次根式的意义，掌握二次根式的定义；能根据定义确定被开方数中字母的取值范围.
2.理解并掌握二次根式的性质：20aaa和20aaa.
⒊经历二次根式的定义的形成过程及二次根式性质的探究过程，提高数学探究能力及归纳能
力.
【教学重点】
二次根式的概念和相关性质.
【教学难点】
运用二次根式的性质：20aaa和20aaa进行计算.
【教学过程】
一、新课引入
我们学习了平方根和算术平方根的意义，请同学们思考并回答下面3个问题：
1.5的平方根是 ，0的平方根是 ，正实数a的平方根是 .
2. a表示什么？其中a需要满足什么条件？为什么？
⒊观察下列式子有何特点：116,5,4,0.04,0aa
二、自主探究
1.二次根式的概念：
⑴我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.
⑵由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才
在实数范围内有意义.即：被开方数0a.
⑶ 判断：35,0,,0aaaaa是不是二次根式.
⑷根据已有的知识，说说你对二次根式的认识.
①表示a的算术平方根.②a可以是数，也可以是式.③从形式上看，含有二次根号.④
0,0aa
2.二次根式的性质：
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⑴对于非负实数a，由于a是a的一个平方根，因此：20aaa
⑵填空：22 ，275 ，21.2 …
结论：当0a时，2a
三、应用迁移
（一）典例精析
例1 当x是怎样的实数时，二次根式1x在实数范围内有意义？
例2 计算：⑴25; ⑵222; ⑶22; ⑷
（二）变式运用
⑴若33xx有意义，求2x的值.
⑵若330,xx求2x的值.
(三)综合运用
已知实数0,0,ab化简2222.ababab
四、归纳小结
⑴二次根式的定义：①形如 ②被开方数a
⑵二次根式的性质：①2a (0)a②2a (0)a
五、巩固提升
⒈当x 时，13x在实数范围内有意义.
⒉已知442yxx，求,xy的值.
⒊在实数范围内，把下列多项式分解因式：
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⑴213;x ⑵2312.x
八年级数学上册 第5章 二次根式 5.1 二次根式教学课件 (新版)湘教版
例1 (见教材P155，例1) 分析：因为 x 1是二次根式，所以当x-1≥0时，它在 实数范围内才有意义. 例2（见教材P156，例2） 分析：利用公式( a )2＝a（a≥0）解答. 例3（见教材P156，例3) 分析：利用公式 a2 =a(a≥0)解答.
10
1.什么叫二次根式？“ ”叫什么？“ 2 ”应
因为 a是a的一个平方根，所以 ( a ).2 a
7
问题3：在下列横线上填上适当的数：
22 =
;
32 =
;
42 =
;
52 =
.
根据上述结果，你能总结出当a≥0时， a2 等于
多少吗？
引导学生猜想： a2 =a(a≥0).
8
问题4：以上猜想对吗？即当a≥0时， a2 =a吗？ 引导学生进行推理论证：由于a的平方等于a2，因 此a是a2的一个平方根；而当a≥0时，a2的一个正的平 方根是 a2 . 因此，a和 a2 都是a2的正平方根，所 以 a2 =a(a≥0).
此基础上归纳：形如 a （a≥0)的式子叫作二次根式
，符号“ ”叫作二次根号，根号下的数字叫作被 开方数.
6
2.引导学生探讨以下问题： 问题1：被开方数可能是负数吗？为什么？ 在实数范围内，因为负数没有平方根，因此只有当被 开方数是非负数时，二次根式才在实数范围内有意义.
问题2：当a≥0时，( a )2 等于多少？
该怎样读？ 2.本节课介绍了二次根式的哪两个性质？
11
12
第五章 二次根式
5.1 二次根式
1
理解二次根式的概念，并利用 a （a≥0）的意义解
答具体题目. 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问
题.
湘教版-数学-八年级上册-5.1二次根式 第一课时
例
3：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足什么
条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0, 得 x≥2 且 x≠3。
x-2 想一想：假如把题目改为：要使 x-1 有意义，字母
x 的取值必须满足什么条件？
x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
二次根式的性质（２）
想一想
a 2 a 0 等于什么?请举例验证.
性质２：
2
a a, (a 0)
试一试 计算:
2
3
=
3
5 2
2
=
5 2
2 0.04 =
0.04
二次根式的性质（３）
算一算： 02 = 0 ； 22 = 2 ; （-2）2 = 2 ； 32 = 3 ； （-3）2 = 3 。
想一想： a2 等于什么呢？ 当 a>0 时， a2 = 当 a=0 时， a2 = 当 a＜0 时， a2 = 也就是说： a2 =
a ;
0； -a 。 |a| 。
二次根式的性质（３）
性质3：
a2
a
a a
(a 0) (a 0)
a 0 算一算
(1) （-9）2 (3) 64
(2)
(
1 3
)2
(4) (x2+1)2
课堂小结
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式有哪两个形式上的特点？
（1）根指数为2； （2）被开方数必须是非负数。
3、二次根式具有哪些性质？
性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
湘教版数学八年级上册《5.1二次根式》 课件
怎样化去分母中的根号？
在二次根式的运算中，最后结 果一般要 求分母中不含二次根式.
通常的方法
（1）将式子的分子、分母同时乘以一个“适当” 的因式，就可以化去分母中的根号.如何选择这个 因式呢？一般来说这个因式就是原式分母中的那 个二次根式. （2）采用约分的办法有时也可以起到化去分母中
花一样美丽，感谢你的阅读。 5、一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。Sunday, July 5, 2020July 20Sunday, July 5, 20207/5/2020 6、路遥知马力日久见人心。2时47分2时47分5-Jul-207.5.2020 7、山不在高，有仙则灵。20.7.520.7.520.7.5。2020年7月5日星期日二〇二〇年七月五日 8、有花堪折直须折，莫待无花空折枝。14:4714:47:527.5.2020Sunday, July 5, 2020
(其中是 R 地球半径).现有两座高 分别为 h1 = 400m, h2 = 450m 的电视
塔,请聪明的你计算它们的传播半 径之比等于多少?
解： 设两座电视塔的传播半径分别 为 r1, r2 .
因为r 2Rh,400m 0.4km,450m 0.45km
所以 r1 = r2
2Rh1 = 2Rh2
5.2 二次根式的乘法和除法
二次根式的除法
旧知回顾
1.二次根式的乘法法则：
a b ab(a 0,b 0)
积的算术平方根性质：
b a
=
b a
(a>0 ,b≥0).
利用这个公式可以进行二次根式的化简。
1.被开方数不含分母
2.被开方数不含开得尽方的因数或因 式
66
3
最新 公开课课件 新湘教版数学八年级上册5.1《二次根式》课件(共15张PPT)
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
想一想： 10 、 -5 、 8
2
3
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a +0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10,
5,
定义：式子
0..04 04,, 0
a a ,,
3
aa ,
2
2
,
8.
叫做二次根式.
a (a 0)
其中a叫做被开方式。
不要忽略
掌握二次根式有意义的条件
ａ ≥０ 二次根式 a 有意义的条件: ____________ 例1.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
(1) x 1
(2) x 2 2
正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
掌握二次根式的概念
定义:
0 形如 a a 的式子 叫做二次根式，其 中 根号下的数 a叫做被开方数。
注意 在实数范围内，a< 0时，
意义，只有当 a 0 时，
a
没有
a 有意义。
凭着你已有的知识,
说说对二次根式 a 的认识,好吗?
?
二次根式
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
a
2
先平方,后开方
2.从取值范围来看 , 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a
a
2
2
=a
= ∣ a∣ =
a (a≥ 0)
-a (a＜0)
湘教版数学八年级上册《5.1二次根式》教案
5.1 二次根式5.1.1二次根式的概念及性质（第1课时）教学内容：二次根式的概念及其运用教学目标：理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键： 1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：由方差的概念得S=.二、探索新知很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，有意义吗？老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y•≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥当x≥时，在实数范围内有意义．三、巩固练习 P157 练习1、四、应用拓展例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．解：依题意，得由①得：x≥-由②得：x≠-1当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2)(2)若+=0，求a2004+b2004的值．(答案:)。
2022秋八年级数学上册 第5章 二次根式5.1 二次根式1二次根式及其性质授课课件湘教版
感悟新知
要点精析：
知2－讲
(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件
是：各个二次根式中根式又含有分式，那么它有意
义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负散，分式
的分母不等于0.
(3)如果一个式子含有零指数幂或负整散指数幂，那么它有
谢谢观赏
You made my day!
之间存在如下关系：v2=gR，其中重力加速度常数 g=9.8 m/s2.若已知地球半径R，则第一宇宙速度 是多少？
感悟新知
知1－导
我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方
根，一个记作 a ，称为a的算术平方根；另一个是 a－ .
感悟新知
结论
知1－讲
我们把形如 a 的式子叫作二次根式，根号下的
①
13；②
－3；③－
3
x2＋1；④ 8；⑤
132；⑥ x2－2.
A．2 B．3 C．4 D．5
感悟新知
知识点 2 二次根式的“双重”非负性(a≥0， a 0 )
(1)式子 a 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 a 知2－导
为二次根式的前提条件.式子 就 2不是二次根式，但式 子 ( 2却) 2 又是二次根式．
数叫作被开方数.
感悟新知
1.定义：形如 a (a≥0)的式子叫作二次根式；
知1－讲
其中“ ”称为二次根号，a称为被开方数(式).
要点精析：(1)二次根式的定义是从代数式的结构形式上界
定的，必须含有二次根号“ ”；
“ ”的根指数为2，即 2 ，“2”一般省略不写.
(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式
湘教八年级数学上册《 5.1 二次根式》课件
a， (a 0） a 2＝ a ＝0， (a 0)
a，(a 0)
说一说
式子 a2与a2是一样的
主要区别： 1.运 算 顺 序 不 同 ； 2.a的 取 值 范 围 不 同.
例5 化简：
(1 ) 3 2； (2 ) ( 6 ) 2； （ 3） ( 3 ) 2 ； ( 4 ) a 2 b ( a 0 ).
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二次根式
知识回顾
1. 4的平方 __根 _， _8是 _的 1 算术平 __方 .__ 25
2.当x___时 _ ， 3x2的值是 . 零
3. 若 x26， 4 3则 x___.__
探索新知
上一节我 们学习根 了和 平算 方术 平方根的 意义，一 引个 进新 了的 记a.号
问题：
（1） a表示什么？ （2）a需要满足什么条件什 ？么 为？
知识点概括
1.二次根式的概念： 形如 a（a 0）的式子叫做二次.根式
2.二次根式的特征： （1）从形式上看，根带号二“次 ”； （2）从被开方数a来 0看 . ，
知识点概括
3 .二次根式的基本性质： （ 1）a0（a0）；
（ 2 ） a2a(a0 ). 逆 a 用 a2 (a 0 ).
例6 化简：
(1) x 2 4 x 4 ( x 2)；
(2)当2 x 3时，化简： x2 4x 4 x2 6x 9.
例7 化简：
实 数a、b在 数 轴 上 的 位 置 如示图，所
化 简a2 ab.
a
0b
课堂小结
• 1、二次根式的概念； • 2、二次根式的性质； • 3、二次根式的 化简.
a 0（a 0）性质的应用
• 例1 当x取什么值时，下列各式在实数 范围内有意义？
湘教版-数学-八年级上册-5.1二次根式 同步教案
பைடு நூலகம்二次根式
教学目的
1、了解二次根式的概念及二次根式性质。即① （a≥0）是一个非负数，②
2、能根据二次根式的意义，求出二次根号下的字母的取值范围。
3、会用性质 进行计算。
重点
二次根式的概念及二次根式性质。
难点
理解二次根式的概念。
教学过程
一、自学导航：
1、9的平方根是算术平方根是；10的平方根是算术平方根是；
； ；
；
3、计算：
4、计算：
5、计算下列各式
（1） （2） （3） （4）
思考：
1、若x＜0,y＞0,则 的值是（）
A、x-y B、-x-y C、x+y D、-x+y
2、在实数范围内分解因式：
教学后记
；因为 是a的算术平方根，所以 (a≥0),为什么要规定a≥0？
归纳： (这是二次根式的性质2)
3、类比：4的算术平方根是2即
9的算术平方根是3即
16的算术平方根是4即
25的算术平方根是5即
1.21的算术平方根是1.1即
……
归纳: (这是二次根式的性质3)
四、巩固练习:
1、下列哪些是二次根式？
2、当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
0的平方根是算术平方根是；对于一个非负实数a，a的平方根记作算术平方根记作；负数没有平方根。
2、形如（）的式子叫二次根式，符号 叫简称，根号下的数叫
3、式子 在实数范围内有意义，则被开方数a0， 是非负数，即 0（这是二次根式的性质1）
三、自主探究、合作学习
1、类比：因为2是4的算术平方根，所以22=； 是3的算术平方根，所以
湘教版数学八年级上册5.1 二次根式1 第1课时 二次根式的概念及性质
5．1二次根式第1课时二次根式的概念及性质1．了解二次根式的定义；2．理解二次根式在实数范围内有意义的条件；(重点)3．掌握二次根式的两条重要性质．(重点，难点)一、情境导入前面我们学习了平方根和算术平方根，我们把a的算术平方根记作a，那么形如a的式子有哪些性质？对于a中a的取值有什么要求？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中：①3，②33，③a4，④a2＋1，⑤－15，⑥a2－1，一定是二次根式的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：根据二次根式的定义判断.33的根指数是3，不是二次根式；－15的被开方数为负数，不是二次根式；a2－1的被开方数可能是负数，可能不是二次根式．一定是二次根式的有①③④，共3个，故选C.方法总结：根据二次根式的定义，必须满足两个条件：①根指数是2，即形如a；②被开方数为非负数．探究点二：二次根式在实数范围内有意义的条件x取何值时，下列各式在实数范围内有意义．(1)x＋2；(2)x－1x－2；(3)x2＋1；(4)－x2.解析：(1)要使x＋2有意义，必须使x＋2≥0；(2)要使x－1x－2有意义，必须使x－1≥0，且x－2≠0；(3)要使x2＋1有意义，必须使x2＋1≥0，显然x为任何实数；(4)要使－x2有意义，必须使－x2≥0，这时x＝0.解：(1)x＋2≥0，所以x≥－2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x－1≥0，x－2≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x≠2，所以x≥1且x≠2；(3)x2＋1≥0，所以x为全体实数；(4)－x2≥0，所以x＝0.方法总结：要使代数式有意义，应考虑如下情况：①有二次根式的，被开方数应大于或等于零，有多个二次根式的，应使所有被开方数大于或等于零；②有分式的，分母不等于零；③零次幂、负整数指数幂的底数不等于零．探究点三：二次根式的性质【类型一】利用(a)2＝a(a≥0)进行计算计算：(1)(12)2；(2)(23)2；(3)(－323)2.解析：利用(a)2＝a(a≥0)及(ab)n＝a nb n进行计算．解：(1)(12)2＝12；(2)(23)2＝4×(3)2＝4×3＝12；(3)(－323)2＝(－3)2×(23)2＝9×23＝6.方法总结：利用(a)2＝a(a≥0)计算时，幂的运算法则仍然适用．【类型二】二次根式a中隐含条件a≥0的应用已知y＝x－2－2－x＋5，则xy＝________．解析：由已知条件y＝x－2－2－x＋5可知x－2与2－x都有意义，所以存在隐含条件⎩⎪⎨⎪⎧x－2≥0，2－x≥0，故x＝2.把x＝2代入y＝x－2－2－x＋5，求得y＝5，所以xy＝25.方法总结：解决此类问题时应充分挖掘“二次根式有意义的条件被开方数(式)的非负性”，它往往是解答问题的突破口．【类型三】利用a2＝|a|计算计算：(1)22；(2)（－23）2；(3)－（－π）2.解析：利用a2＝|a|进行计算．解：(1)22＝2；(2)（－23）2＝|－23|＝23；(3)－（－π）2＝－|－π|＝－π.方法总结：a2＝|a|的实质是求a2的算术平方根，其结果一定是非负数．【类型四】利用a2＝|a|化简如图所示为a，b在数轴上的位置，化简2a2－（a－b）2＋（a＋b）2.解析：由a，b在数轴上的位置确定a＜0，a－b＜0，a＋b＜0.再根据a2＝|a|进行化简．解：由数轴可知－2＜a＜－1，0＜b＜1，则a－b＜0，a＋b＜0.原式＝2|a|－|a－b|＋|a＋b|＝－2a＋a－b－(a＋b)＝－2a－2b.方法总结：利用a2＝|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．三、板书设计二次根式⎩⎪⎨⎪⎧概念有意义的条件：被开方数大于或等于零性质⎩⎨⎧（a）2＝a（a≥0）a2＝a（a≥0）本节课内容是在我们已学过的平方根、算术平方根的知识基础上，进一步引入二次根式的概念与性质．教学过程中，把学生当作主体，鼓励学生积极参与，并让学生探究二次根式在实数范围内有意义的条件．引导学生总结、归纳，得出二次根式的两条重要性质．。
近年八年级数学上册第5章二次根式5.1二次根式第1课时二次根式的概念及性质教案1湘教版(最新整理)
5．1 二次根式第1课时二次根式的概念及性质1．了解二次根式的定义；2．理解二次根式在实数范围内有意义的条件；（重点)3．掌握二次根式的两条重要性质．(重点，难点)一、情境导入前面我们学习了平方根和算术平方根,我们把a的算术平方根记作错误!，那么形如错误!的式子有哪些性质？对于错误!中a的取值有什么要求？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中：①错误!,②错误!，③错误!，④错误!,⑤错误!，⑥错误!，一定是二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：根据二次根式的定义判断.33的根指数是3，不是二次根式；错误!的被开方数为负数，不是二次根式；错误!的被开方数可能是负数，可能不是二次根式．一定是二次根式的有①③④，共3个，故选C.方法总结：根据二次根式的定义，必须满足两个条件：①根指数是2，即形如错误!;②被开方数为非负数．探究点二：二次根式在实数范围内有意义的条件x取何值时，下列各式在实数范围内有意义．（1）错误!；(2)错误!；（3）错误!；（4)错误!.解析:（1）要使错误!有意义,必须使x＋2≥0；（2)要使错误!有意义，必须使x－1≥0,且x －2≠0；（3)要使错误!有意义,必须使x2＋1≥0,显然x为任何实数；(4）要使错误!有意义，必须使－x2≥0,这时x＝0。
解：（1)x＋2≥0，所以x≥－2;（2）错误!所以错误!所以x≥1且x≠2；(3)x2＋1≥0,所以x为全体实数；(4)－x2≥0，所以x＝0。
方法总结:要使代数式有意义，应考虑如下情况：①有二次根式的，被开方数应大于或等于零，有多个二次根式的,应使所有被开方数大于或等于零；②有分式的,分母不等于零;③零次幂、负整数指数幂的底数不等于零．探究点三:二次根式的性质【类型一】利用（a)2＝a（a≥0)进行计算计算:(1）（错误!）2；(2）（2错误!）2;(3)(－3错误!)2.解析：利用(错误!)2＝a(a≥0）及（ab)n＝a n b n进行计算．解：(1）(错误!)2＝错误!;(2）（23）2＝4×(错误!)2＝4×3＝12;（3）(－3错误!）2＝（－3）2×（错误!）2＝9×错误!＝6.方法总结：利用(a）2＝a（a≥0）计算时，幂的运算法则仍然适用．【类型二】二次根式错误!中隐含条件a≥0的应用已知y＝错误!－错误!＋5，则错误!＝________．解析：由已知条件y＝错误!－错误!＋5可知错误!与错误!都有意义,所以存在隐含条件错误!故x＝2.把x＝2代入y＝x－2－错误!＋5,求得y＝5，所以错误!＝错误!.方法总结：解决此类问题时应充分挖掘“二次根式有意义的条件被开方数(式）的非负性”,它往往是解答问题的突破口．【类型三】利用错误!＝｜a|计算计算:(1）错误!；（2）错误!；（3）－错误!.解析：利用错误!＝｜a｜进行计算．解:(1）错误!＝2；(2）错误!＝|－错误!|＝错误!;（3)－错误!＝－|－π｜＝－π.方法总结:错误!＝|a｜的实质是求a2的算术平方根,其结果一定是非负数．【类型四】利用错误!＝|a|化简如图所示为a,b在数轴上的位置,化简2错误!－错误!＋错误!。