不等式及其基本性质(二)

教学设计

7．1 不等式及其基本性质（二）

教材内容：

九年义务教育课程标准沪科版第七章第一节第二课时

教材分析

不等式是刻画现实世界数量不等关系的重要数学模型，实际生活中的许多问题往往用不等式表示，用不等式的知识去解决，由于不等式的基本性质如等式的基本性质，在等式变形中的作用一样，是不等式变形的理论依据，所以对不等式的研究学习，离不开其基本性质，它是学好本章内容的基础，是本章的重点内容，在此之前由于掌握了有理数的大小比较，等式及其基本性质，以此为基础，展开不等式基本性质的探索，也就顺理成章了。

教学目标：

一、知识与技能

掌握不等式的基本性质，能正确灵活运用不等式的基本性质将不等式变形。

二、过程与方法

通过类比不等式的基本性质，探索不等式的基本性质，经历运用不等式的基本性质，进行不等式的变形，进一步理解掌握不等式的基本性质，感受类比的思想方法在学习中的运用。三、情感态度与价值观

经历探索不等式的基本性质的过程，提高学生观察、分析、思考、归纳的能力，体验合作交流在数学学习中的重要性，培养学生乐于探索知识的兴趣和创新意识。

教学重点：不等式的基本性质及运用

教学难点：不等式的基本性质在不等式变形中的正确运用

教学关键：了解不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，将不等式的基本性质2与3进行比较，从而加深对不等式基本性质的理解。

教法与学法

1、充分发挥老师的主导作用，着力调动学生学习的积极性、主动性。组织、引导学生活动，使学生广泛参与学习的全过程。

2、结合内容特点，在老师的操作下，引导学生，通过观察，分析思考，采用类比法探索归纳不等式的基本性质，通过运用加深理解记忆完成教学。

教具准备

天平、若干砝码、小黑板

教学过程

一、知识回顾，创设情境

师：前面我们学习了等式的基本性质，同学们还记得等式的基本性质内容是什么吗？

生：记得。

等式的基本性质：

1、等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

2、等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不等于0）所得结果仍是等式。

师：同学们回答得很好，等式表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系，等式与不等式都是刻画数量关系的重要数学模型，等式的基本性质是等式变形的依据，是解方程的基础，等式与不等式仅一字之差，那么不等式有什么样的性质呢？它与等式的基本性质又有什么异同呢？本节课我们就探索这些问题。（板书课题）

二、新知探索

（一）不等式的基本性质

1、探索不等式的基本性质1。

师：首先请同学们观察天平，并用不等式表示天平两端质量的大小关系。

教师操作，学生观察。

操作1：在天平两端的托盘内，分别加入不相等的砝码a 克与b 克。

生观察：得a ＜＞b

操作2：在天平两端的托盘内，各再加入（或减去）10克的砝码。

生观察：得a+10＞b+10，a －10＞b －10

操作3：在操作1的情况下两端托盘内各加上（或减去）c 克的砝码。

生观察：得a+c ＞b+c ，a －c ＞b －c

师：由以上观察得，若a ＞b ，则a ±10＞b ±10，a ±c ＞b ±c 类比等式的基本性质1、从不等号的方向改变与否，用语言怎样描述它呢？

学生：思考、交流、归纳小结。

小结：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

师：下面我们再来验证一下，它的正确性，请同学们完成小黑板上的第1题。（出示小黑板）

1、用“＞”“＜”填空。

①6 ＞2 6+5 2+5 6－7 2－7

②－6＜－2 －6+10 －2+10 －6－8 －2－8

小结：由填空可知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，这个结论是正确的，这个结论就是今天我们探索的不等式的基本性质1。

不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。（板书）

字母表示：如果a ＞b ，a ±c ＞b ±c

2、 探索不等式的基本性质2。

师：观察倾斜的天平，现在我们把两端的砝码的质量同时各扩大1倍或2倍，天平倾斜的方向有什么变化呢？并用不等式表示？

生观察得：方向不变，2a ＞2b ，3a ＞3b

师：如果把天平两端砝码的质量同时缩小到原来的二分之一或三分之一，天平倾斜的方向改变吗？并不用等式表示？ 生观察得：方向不变，

a 21＞

b 2

1，a 31＞b 31 由以上观察得2a ＞2b ，3a ＞3b ，a 21＞b 21，其相当于在a ＞b 的两边分别乘以2、3、2

1、31得到的，而

2、

3、21、31都是正数，请同学们类比等式的基本性质2，用语言描述这一结。

学生思考、交流、归纳小结。

小结：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

师：下面我们用小黑板上的第2题，验证这个结论。

2、用“＞”“＜”填空。

①6 ＞2 6×5 2×5 6×

31 2×3

1 ②－6＜－

2 －6×4 －2× 4 －6×41 －2×41 通过计算进一步证实了所得结论是正确的，我们把这个结论叫做不等式的基本性质2。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。（板

书）

字母表示：如果a ＞b ，c ＞0，ac ＞bc ，c a ＞c b 。 3、 探索不等式的基本性质3。

师：不等式的基本性质2是不等式的边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，若不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，请同学们猜想不等号的方向是否改变呢？ 想知道你的猜想是否正确，做一做，小黑板上的第3题就知道了。

4、用“＞”“＜”填空。

①6 ＞2 6×（-5） 2×（-5） 6×（-31） 2×（-3

1） ②－6＜－2 （-6）×（-4） （-2）×（-4） （-6）×（-

41） （-2）×（-41） ③如图：

a ＞

b ， -a -b -2a -2b -3a -3b -a 21 -21b 师：由以上填空，你得到了什么结论呢？

学生思考，归纳小结不等式的基本性质3。

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。（板书）

字母表示：如果a ＞b ，c ＜0，ac ＜bc ，c a ＜c

b 。 师：如果不等式的两边都乘以零，会发生什么变化呢？

生：不等式变成了等式。

（二） 等式与不等式的基本性质异同点

1、 相同点：在等式或不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，原式中的等

号或不等号不变，两边都乘以（或除以）同一个正数，原式中的等号或不等号不变。

2、 不同点：两边都乘以（或除以）同一个负数，等式中的等号不变，而不等式中的不等号

却要改变方向，两边都乘以零，等式仍是等式，而不等式变成了等式，所以在不等式变形中两边不能同乘以零，这是等式变形与不等式变形的重要区别。

三、知识运用

1、 随堂练习，P27练习第1、

2、3题。

学生思考、完成，教师巡视、指导，并对回答鼓励小结。

小结：在不等式的变形过程中，变形的对错与不等号的方向有密切关系，所以在不等式变形中首先是要明确不等式变形依据了不等式的哪一条基本性质，以确定不等号的方向是否改变，特别是不等式基本性质3的运用更要注意。

2、 将下列不等式变形“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式。

①x+2＞5 ②－2x ＜6 ③5x ＜3x —6

分析：由于“x ＞a ”或“x ＜a ”的左边是x ，不含常数项，右边是常数项，不含x 项的形式，

所以应用不等式的基本性质，把左边的常数项化去，右边的X 项化去，且x 的系数化成1，才符合条件。

三名学生黑板演示，针对出现的问题纠正，指导，小结。

小结：由上题变形可知，应用不等式的基本性质，可以求出不等式中未知字母的取值范围，是解不等式的理论基础。

四、知识拓展 比较

52

-x 与12+x 的大小 解（52-x ）—（12+x ）=52

-x —12-x =—6＜0 所以 52-x ＜12+x 小结：利用求差法，可以比较大小，若差大于0，则被减数大于减数，若差小于0，则被减数小于减数，若差等于0，则两数相等。

五、课堂小结

1、 不等式的基本性质其内容是什么？运用哪一条基本性质时，一定要注意改变不等号的方

向。

2、 等式与不等式的基本性质异同点。

3、 本节课在探索不等式的基本性质时，运用了类比法，类比思想在学习中的作用，请同学

们体会。

六、作业

1、 课堂作业P24 习题7.1 3、4、5题

2、 课外作业P24 习题7.1 2、6题

板书设计

不等式的基本性质

（一） 不等式的基本性质

1、 字母表示

2、 字母表示

3、 字母表示

（二） 等式与不等式的基本性质异同点

2、将下列不等式变形为“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式。比较52

-x 与12+x 的大小 设计说明：

不等式的基本性质是本节的重点内容，同时也是本章的重点内容，它是不等式变形的理论依据，为了让学生掌握理解不等式的基本性质，结合本节内容特点，以及学生自己已有的知识水平，在教学设计上，以天平为背景，以学生熟练的有理数运算入手，让学生观察、分析、思考、交流、验证、探索归纳不等式的基本性质，通过运用，小结完成教学，意在创设愉悦和谐的教学氛围，借助师生互动，提高课堂教学效果，建立平等民主和谐的师生关系，营造敢说、敢想、敢答的课堂氛围，让全体学生积极参与教学活动，在学习中培养创新意识、实践能力和互助精神。

教学反思

不等式的基本性质是本章的重点内容，在教学设计上体现了对传统处理方法的继承，又有自己的想法，教学时注重了对结论的探索过程，经学生观察，运算验证总结出来不等式的基本性质这一结论，而不是把结论“无私奉献”难学生。

根据学生的年龄特征，在教学时，以他们熟悉的天平为背景，从已有的有理数运算入手，引导学生通过观察，验证归纳出结论，使学生尝试了成功的喜悦，且建立了不等式基本性质的模型，配以练习使学生掌握了知识技能，培养了学生乐于探索知识的创新意识与合作精神。教学时，注重了把课堂给学生的新理念，体现了师生的双边活动，实施了感情教学，发挥了教师的主导，学生的主体作用，通过鼓励学生动手做，动嘴说，动脑想，提高了实践能力，语言表达能力，也提高了创新意识。

教案设计上，不但讲清了知识，强调了结论的发现过程，而且也渗透了数学思想在其中，类比法、观察、探索、归纳、猜想，验证都有突出的表现，这将有利于思维素质的优化，也体现了素质教育的方向和课改精神，本节课在和谐的气氛中实现了教学目标，完成了教学任务。