现代设计方法---优化设计
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现代设计方法第1章 优化设计概述
重庆大学机械工程学院
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现代设计方法——第1章 优化设计概述
1.2 目标函数
• 目标函数又称评价函数，是用来评价设计方案好坏的标准。任何一项 机械设计方案的好坏，总可以用一些设计指标来衡量，而这些设计指 标可以用设计变量的函数的取值大小加以表征，该函数就称为优化设 计的目标函数。
• 目标函数是一个标量函数。目标函数取值的大小，是衡量设计质量优 劣的指标。
• 设计变量类型 : 连续、离散。 • 根据设计变量 的多少优化问题可 分为：小型、中型、大型问题。
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现代设计方法——第1章 优化设计概述
x2
x2
x (k) 2
x (k) 2
O
O
x (k) 1
x1
(a)
x (k) 3
x3
(b)
图1-1 设计空间
x (k) 1 x1
设计空间是所有设计方案的集合，用符号 X Rn 表示。任何一个设计
gu ( X ) 0 (u 1,2, , m)
或
gu ( X ) 0 (u 1,2, , m)
式中 X——设计变量； p——等式约束的数目； m——不等式约束的数目。 在上述数学表达式式中 hv (X ) 0, gu (X ) 0 为设计变量的约束方
程，它们规定了设计变量的允许取值范围。优化设计，即是在设计变量 允许范围内，找出一组最优参数 X * [x1* x2* xn*]T , 使目标函数 f (X )
达到最优值 f ( X *) 。
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现代设计方法——第1章 优化设计概述
• 约束边界和可行域
x1 规定的 x1的下限
x1
现代设计方法---优化设计
E=2×105MPa。现要求在满足使用要求的条件下，试设计一个用
料最省的方案。
优化目标
用料最省
V 1 d 2L
4
d
F M
L
强度条件
max
FL 0.1d 3
w
M
0.2d 3
条件 刚度条件
f
FL3 3EJ
64FL3
3Ed 4
f
边界条件 L Lmin 8c14m
例3 设某车间生产A和B两种产品，每种产品各有两道工序，分 别由两台机器完成这两道工序，其工时列于表中。若每台机器每 周至多工作40小时。产品A的单价为200元，产品B的单价为500 元。问每周A、B产品应各生产多少件，可使总产值为最高。 （这是生产规划的最优化问题）
F —弹簧在负荷P作用下所产生的变形量
n —弹簧的有效圈数
d —弹簧材料的直径
G —弹簧材料的切变模量
3
• 根据上式，如己知或先预定 D2、n、d、G 各参数，通过多次试算、
修改，就有可能得到压簧刚度等于或接近于 的设P计参数。
• 刚度公式也可以写成一般的多元函数表达式，即
• 式中 代表性y能指f 标(xi ) ， 是i 设 1计,2参,量,，N分别代 表 、y 、 、 ，所以P xi 。
0 x L
x b
图1－2
这一优化设计问题是具有两个设计变 量(即x和α)的非线性规划问题。
13
例2：有一圆形等截面的销轴，一端固定，一端作用着集中载荷
F=1000N和扭矩M=100N·m。由于结构需要，轴的长度L不得小于
8cm，已知销轴材料的许用弯曲应力[σW]=120MPa，许用扭转切 应力[τ]=80MPa，允许挠度[f]=0.01cm，密度ρ=7.8t/m3，弹性模量
现代设计理论与方法-优化设计
（4）遗传算法使用概率搜索技术。遗传算法的选 择、交叉、变异等运算都是以一种概率的方式来 进行的，因而遗传算法的搜索过程具有很好的灵 活性。随着进化过程的进行，遗传算法新的群体 会更多地产生出许多新的优良的个体
第二十页，共57页。
传统搜索方法
第二十一页，共57页。
遗传算法简介
遗传算法简称GA（Genetic Algorithm），最 早 由 美 国 Michigan 大 学 的 J. Holland 教 授 提 出 （于上世纪60-70年代，以1975年出版的一本著作 为代表）,模拟自然界遗传机制和生物进化论而成 的一种并行随机搜索最优化方法。
设计常量：可以根据客观规律或具体条件预先确定 的参数，如材料的力学性能，机器的工况系数等。
设计变量：在设计过程中不断变化，需要在设计过 程中进行选择的基本参数，称为设计变量，如几何尺 寸、速度、加速度、温度等。
第二页，共57页。
优化设计实例
设计一密闭矩形容器，其容积为3m3，容器的宽度 不小于1.5m，以便于装卸车搬运，为使成本最低， 要求用料最省。
第二十八页，共57页。
若只有选择和交叉，而没有变异，则无法在初 始基因组合以外的空间进行搜索，使进化过程在 早期就陷入局部解而进入终止过程，从而影响解 的质量。为了在尽可能大的空间中获得质量较高 的优化解，必须采用变异操作。
第二十九页，共57页。
遗传算法的特点
（1）遗传算法是对参数的编码进行操作，而非对 参数本身，这就是使得我们在优化计算过程中可 以借鉴生物学中染色体和基因等概念，模仿自然 界中生物的遗传和进化等机理
第十页，共57页。
3）分类 按约束条件，又可分为性能约束和边界约束。 （1）性能约束 是针对设计对象的某种性能或指标而给出
第二十页，共57页。
传统搜索方法
第二十一页，共57页。
遗传算法简介
遗传算法简称GA（Genetic Algorithm），最 早 由 美 国 Michigan 大 学 的 J. Holland 教 授 提 出 （于上世纪60-70年代，以1975年出版的一本著作 为代表）,模拟自然界遗传机制和生物进化论而成 的一种并行随机搜索最优化方法。
设计常量：可以根据客观规律或具体条件预先确定 的参数，如材料的力学性能，机器的工况系数等。
设计变量：在设计过程中不断变化，需要在设计过 程中进行选择的基本参数，称为设计变量，如几何尺 寸、速度、加速度、温度等。
第二页，共57页。
优化设计实例
设计一密闭矩形容器，其容积为3m3，容器的宽度 不小于1.5m，以便于装卸车搬运，为使成本最低， 要求用料最省。
第二十八页，共57页。
若只有选择和交叉，而没有变异，则无法在初 始基因组合以外的空间进行搜索，使进化过程在 早期就陷入局部解而进入终止过程，从而影响解 的质量。为了在尽可能大的空间中获得质量较高 的优化解，必须采用变异操作。
第二十九页，共57页。
遗传算法的特点
（1）遗传算法是对参数的编码进行操作，而非对 参数本身，这就是使得我们在优化计算过程中可 以借鉴生物学中染色体和基因等概念，模仿自然 界中生物的遗传和进化等机理
第十页，共57页。
3）分类 按约束条件，又可分为性能约束和边界约束。 （1）性能约束 是针对设计对象的某种性能或指标而给出
现代设计方法-优化设计
x2
g(X) 0 g(X) 0
x2
h(X ) 0 h(X ) 0
g(X) 0
h(X ) 0
x1
x1
在一个优化设计问题的设计空间中，满足所有
约束条件的点构成的子空间，称为可行域。
➢ 满足所有约束条件的点称为可行点（内点和边界点） ➢ 不满足所有约束条件的点称为非可行点（外点）
约束条件：
g1( X ) x12 x22 16 0 g2 ( X ) 2 x2 0
由n个设计变量 x1, x2 ,, xn 为坐标所组成的实空间称作
设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示。
设计变量所组成的设计空间
x2
x3
X =[x1 x2]T
X=[ x1 x2 x3 ]T
x1
x2
二维设计空间
x1
三维设计空间
思考：四维空间、五维空间、……，n维空间怎么表示？
设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量越多， 则设计的自由度越大、可供选择的方案越多，设计越 灵活，但难度也越大、求解也越复杂。
规格 1080 1040
970
方案
根数
Ⅰ
0
1
2
Ⅱ
0
0
3
Ⅲ
2
0
0
每根棒料料头长度
3000－1×1040－2×970 = 20 3000－3×970 = 90
3000－2×1080 = 840
设每一种下料方案中下料根数为 x1, x2 , x3 ，则下料料
头最少的目标函数为：
min f ( X ) 20x1 90x2 840x3
约束条件
一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些 限制条件称作约束条件，简称约束。
现代优化设计方法的现状和发展趋势
现代优化设计方法的现状和发展趋势现代优化设计方法的现状和发展趋势1. 介绍在现代工程设计中，优化设计方法的应用越来越重要。
优化设计的目标是通过最小化成本、最大化效能或提高可靠性来优化产品或系统。
本文将探讨现代优化设计方法的现状和发展趋势。
2. 现状（1）传统优化设计方法传统的优化设计方法主要基于数学计算和经验规则。
这些方法包括设计参数调整（参数优化）、灵敏度分析和约束条件的应用。
其中，参数优化是最常用的方法之一，它通过遍历设计空间来寻找最优解。
然而，传统方法存在一些局限性，如计算量大、收敛速度慢、缺乏对设计空间的全面探索等。
（2）智能优化设计方法为了克服传统方法的局限性，智能优化设计方法逐渐兴起。
智能优化设计方法基于人工智能和机器学习的概念，结合了计算机科学、统计学和优化理论等领域的知识。
其中，遗传算法、粒子群优化算法、模拟退火算法等被广泛应用于优化设计中。
这些方法的特点是能够更快地找到全局最优解，提高设计效率和质量。
3. 发展趋势（1）多目标优化设计方法在实际工程设计中，往往需要考虑多个目标的优化。
在汽车设计中，既要提高燃油经济性，又要提高安全性能。
多目标优化设计方法变得越来越重要。
目前，多目标遗传算法、多目标粒子群优化算法等被广泛应用于多目标优化设计中。
（2）混合优化设计方法混合优化设计方法是将多个优化方法结合起来，形成一种更强大的优化设计方法。
将遗传算法与粒子群优化算法相结合，可以在全局搜索和局部搜索之间进行平衡，提高优化效果。
随着不同优化方法的发展和结合，混合优化设计方法的应用将越来越广泛。
（3）基于机器学习的优化设计方法随着机器学习技术的快速发展，基于机器学习的优化设计方法逐渐兴起。
这些方法通过从历史数据中学习，并建立模型来指导优化设计过程。
使用支持向量机、人工神经网络等方法，可以对设计参数进行预测和优化。
基于机器学习的优化设计方法将为工程设计带来更加智能和高效的解决方案。
4. 观点和理解我认为，现代优化设计方法的发展非常迅速且有前景。
现代设计理论与方法优化设计法和创造性设计法
现代设计理论与方法优化设计法和创造性设计法优化设计法是一种通过系统分析、建模和优化算法，以寻求最佳设计或最优解的方法。
它的主要思想是将设计问题转化为一个数学模型，通过对模型进行优化，找到最佳解决方案。
优化设计法以效率和效果最大化为目标，可以应用于各个领域的设计中。
优化设计法的基本步骤主要包括：定义设计目标和限制条件，建立数学模型，选择适当的优化算法，进行优化计算，评估结果并进行调整。
在现代工程设计中，优化设计法被广泛应用于各种领域，如结构设计、产品设计、系统设计等。
通过优化设计法，可以提高设计效率、降低成本、增加产品性能等。
与优化设计法相对应的是创造性设计法。
创造性设计法是一种通过创新和想象来解决设计问题的方法。
它的核心思想是鼓励设计师发散思维，跳出传统思维模式，寻找创新的解决方案。
创造性设计法的基本步骤主要包括：明确设计问题，收集相关信息，进行头脑风暴和联想，生成创意解决方案，评估和改进。
创造性设计法强调灵感、想象和创新，它可以激发设计师的创造力，帮助他们找到具有差异化和独特性的设计方案。
在现代设计中，创造性设计法被广泛应用于各种领域，如艺术设计、工业设计、交互设计等。
优化设计法和创造性设计法在实践中常常相互结合。
优化设计法通过算法和数学模型提供了一种系统化的方法来解决设计问题，而创造性设计法则提供了一种创新的思维方式来激发创造力。
综上所述，现代设计理论与方法包括了优化设计法和创造性设计法。
优化设计法强调效率和效果的最优化，创造性设计法则强调创新和想象力的发扬。
两者可以相互配合，为设计师提供全面的解决方案，提高设计效率和设计品质。
现代设计方法-优化设计-概述
约束条件（函数）
x2
g2 ( X ) = 0
X
(3)
g3 ( X ) = 0
设计点X(k)的所有起作用约束的 函数序号下标集合用Ik表示，即
X (1)
X ( 2)
g1 ( X ) = 0
g4 ( X ) = 0
I k = {a g a ( X ( k ) ) = 0， (a = 1,2, L , m)}
⎧ x1 ⎫ ⎪x ⎪ ⎪ ⎪ T X = ⎨ 2 ⎬ = {x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n } ⎪⋅ ⋅ ⋅⎪ ⎪ ⎩ xn ⎪ ⎭
X ∈ Rn
其中，最优设计方案用 X * 表示，称为最优点或优化点。
设计变量
x2 x3
X =[x1 x2]T
X=[ x1 x2 x3 ]T
x1 x1
x2
二维设计空间
¾ 在约束边界上的点称为边界点 ¾ 两个以上约束边界的交点称为角点
约束条件（函数）
例1：作出下列约束条件构成的可行域
⎧ g1 ( x1 , x2 ) = 9 x1 + 4 x2 ≤ 360 ⎪ g ( x , x ) = 3 x + 10 x ≤ 300 2 1 2 1 2 ⎪ ⎪ ⎨ g 3 ( x1 , x2 ) = 4 x1 + 5 x2 ≤ 200 ⎪g ( x , x ) = − x ≤ 0 1 ⎪ 4 1 2 ⎪ ⎩ g 5 ( x1 , x2 ) = − x2 ≤ 0
目标函数表征的是设计的某项或某些最重要的特征。 优化设计就是要通过优选设计变量使目标函数达到最优值。 目标函数总可以转化成求最小值的统一形式。
目标函数
等值曲线（面）: 目标函数值相等的所有设计点的集合称为目标 函数的等值曲面。二维：等值线；三维：等值面；三维以上：等 超越面。 等高线 z
现代设计方法
绿色设计
在产品整个生命周期内，着重考虑产品环境属性（可 拆卸性，可回收性、可维护性、可重复利用性等）并将其 作为设计目标，在满足环境目标要求的同时，保证产品应 有的功能、使用寿命、质量等要求。
并行设计
并行设计是一种对产品及其相关过程(包括设计制造过 程和相关的支持过程)进行并行和集成设计的系统化工作模 式。 Nhomakorabea 虚拟设计
虚拟设计技术是由多学科先进知识形成的综合系统技 术，其本质是以计算机支持的仿真技术为前提，在产品设 计阶段，实时地并行地模拟出产品开发全过程及其对产品 设计的影响，预测产品性能、产品制造成本、产品的可制 造性、产品的可维护性和可拆卸性等，从而提高产品设计 的一次成功率。
相似性设计
人们在长期探索自然规律的过程中，逐渐形成了研究 自然界和工程中各种相似现象的“相似方法”、“模化设 计方法”和相应的相似理论、模拟理论。相似方法就是把 个别现象的研究结果推广到所有相似现象上去的方法。
模块化设计
模块化设计（Block-based design）就是将产品的某些 要素组合在一起，构成一个具有特定功能的子系统，将这 个子系统作为通用性的模块与其他产品要素进行多种组合， 构成新的系统，产生多种不同功能或相同功能、不同性能 的系列产品。
三次设计
三次设计即三阶段设计，所谓三阶段设计，是建立在 试验设计技术基础之上的一种在新产品开发设计过程中进 行三阶段设计的设计方法。
优化设计
优化设计（Optimal Design）是把最优化数学原理应 用于工程设计问题，在所有可行方案中寻求最佳设计方案 的一种现代设计方法。
可靠性设计
可靠性设计（Reliability Design）是以概率论和数理统 计为理论基础，是以失效分析、失效预测及各种可靠性试 验为依据，以保证产品的可靠性为目标的现代设计方法。
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S 200x1 500x2 max f ( x1 , x2 )
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二、术语
• 1．设计变量
概念：设计变量是设计模型的基本成分，是设计最后所需确 定的参数。设计变量的个数，即是所需求解问题的维数。 确定原则：在满足设计基本要求的前提下，应恰当确定设计 变量的数目，尽可能把影响不大的参数定为设计常量，只把 对目标函数影响较大的独立参数选为设计变量。 设计变量的分类：
C D2 d
2.5~6 4~10
7 8 1.18
7~16 4~8
9 1.16
18~24 4~6
10 1.14
7~14
4 1.40
5~12
5 1.31 6
5~10
表1-2 弹簧旋绕比与曲度系数对照表
C K
1.25
1.21
4C 1 0.615 制订上表的根据是曲度系数计算式 ： K 4C 4 C 在选定C后，依上表即可查得K值。如表列数值不理想，尚须 5 插值求解。
• 这种方法始于20世纪40年代末，目的在于获得理论上的最优 设计性能，是优化设计的萌芽。 • 如某一设计的性能指标为 函数关系
y ，诸设计参量为 x i ，并保持一定
y f ( xi )
i 1,2,, n
• •
y 的极大值或极小值，表征了设计的最优性能 必要条件： y( x* ) 0
概念：对设计变量的取值加以某些限制的条件称为约束条件。
分类：包括常量约束与约束方程两类。常量约束亦称边界约束， 它表明设计变量的允许取值范围。约束方程亦称性能约束，它 是以所选定的设计变量为自变量，利用几何关系、设计规 范，……建立起来的函数式，它常用来限制某些设计性能。约 束方程又分不等式约束和等式约束。
可以利用一定方法，将约束形式相互转变。如 g ( xi ) 0，可转 变为 g ( xi ) 0 ；亦可转变为 g ( xi ) xi 0 。
在所需求解的问题中，有时并无约束，有时则有约束。
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• 4.设计空间及设计可行域
为便于分析、研究，应用矩阵向量的知识，可将设计模型转化 为设计空间，并在此空间内，讨论择优过程。
工 时 工序 产品 A B 1.5 小时 5 小时 2 小时 4 小时 第一道 第二道
解： 设该车间每周应生产产品A、B分别为 x1、x2 件。则有约束 条件为： 1.5 x1 5 x2 40 而且 x1 0 , x2 0 2 x1 4 x2 40 该车间每周的总产值为最大就是目标函数，即：
4
FHale Waihona Puke 强度条件MFL w 3 0.1d M 3 0.2d
d
max
L
条件 刚度条件
FL3 64 FL3 f f 4 3EJ 3Ed
14 L Lmin 8cm
边界条件
例3 设某车间生产A和B两种产品，每种产品各有两道工序，分 别由两台机器完成这两道工序，其工时列于表中。若每台机器每 周至多工作40小时。产品A的单价为200元，产品B的单价为500 元。问每周A、B产品应各生产多少件，可使总产值为最高。 （这是生产规划的最优化问题）
2
优化设计的改进历史：
•
1．试算法
这种方法始于20世纪20代末。试算法以一定的理论公式为 根据，利用已知或假定的技术条件，通过多次试算、修改， 最终获得适用的设计参数。 例如，设计一个刚度P 一定的圆柱形螺旋压簧，可以根据 下列刚度公式进行试算： P Gd 4
3 F 8nD2 式中 d 3 0 P —弹簧所受的轴向负荷， P 8KD2 D —弹簧的平均直径，简称中径
• 式中 代表性能指标 ， 是设计参量，分别代 y 、 、 ，所以 表 、 P xi 。 •
y f ( xi )
i 1,2,, N
N 4 G d n D2 对于一个多元函数，如要求函数值一定，固然可以通过适当选 定各 值来满足要求。但在 既有一定数值范围限制又包括部 分离散量的情况下，即使经过多次试算，修改，也难获得理想 xi xi 结果。计算量也会随着试算次数的增多而加大。
31.75 19.05 15.9 11.0 9.53 6.35 4.76 3.18 304 152 50.8 41 38.7 25.4 19 9.5 3.2 1.05 1.1 1.15 1.2 1.28 1.3 1.4 1.5 1.8 2.0
d
D2
K
图1-1 曲度系数K值线图
6
• 4．利用一元函数极值理论的设计方法
4
• 2．表格法
这种方法始于20世纪30年代。它仍以一定的理论计算公式 为根据，参照常用离散数列及规范，预制出系统的表格，供 设计者直接查阅。目的在于简化设计过程、减少重复试算量。 如螺旋状拉、压弹簧设计中所用曲度系数表格。
表1-1 弹簧旋绕比的选择
d (mm) 0.2~0.4 0.45~1 1.1~2.2
8
优化设计的基本思想
优化算法各种各样，但大 多数方法都是采用数值法，其 基本思想是搜索、迭代和逼近。 就是说，在求解时，从某一初 始点x0出发，利用函数在某一 局部区域的性质和信息，确定 下一步迭代的搜索方向和步长， 去寻找新的迭代点x1。然后用 x1取代x0，(对于极小化问题) d0 x1点的目标函数值应比x0点的 x0 值为小。
现代设计方法
第二部分 优化设计 （ Optimal design ）
1
第一章 优化设计的基本知识
§1-1 概论
寻找最优的决策以获得最好的经济效果，就促使最优化技术 迅速发展。评价一种设计方法优劣的主要根据，是设计质量及 设计速度。设计质量取决于所用的基本理论是否正确及设计方 法恰当与否，设计速度则取决于设计方法及运算辅助工具。为 提高设计质量与设计速度，采用最佳的优化设计方法是极其重 要的。 优化设计是现代设计方法的一个重要领域，已经广泛应用到 各个领域，如在生产中，如何使成本最低？如何合理地分配资 源获得最大经济效益？如何使设计的机械在满足各项功能的前 提下，使其重量最低、造价最低等。优化设计技术的应用，成 为促进国民经济多、快、好、省地发展的有效方法。
起源：始于上世纪50年代末，而普及应用于70年代 概念：是以数学规划理论为基础，以电子数学计算为辅助工具的 一种设计方法 原理：将优化技术应用于设计过程之中，最终获得较理想的设计 参数，由于这种设计一般多在完成初始设计之后进行，最终获 得优化参数及结果，故称之为优化设计。 分类：一为直接法（数值法）：直接计算函数值、比较函数值， 并以之作为迭代，收敛根据的方法。 二为间接法（解析法）： 以多变量函数极值理论为依据，利用函数性态、以之作为迭代， 收敛根据的方法。两种方法的择优、运算过程，皆按预编程序 在计算机上进行。故在有的技术领域中，亦将此过程称之为自 动设计。
１)连续变量：可以在实数范围内连续取值的变量。
２)离散变量：只能在给定数列或集合中取值的变量。
16
• 2．目标函数
概念：以所选定的设计变量为自变量，以所要求的性能指标 为因变量，并按一定关系所建立起来的函数式。
它反映了设计性能要求与设计参数之间的关系。由于目标函 数的函数值大小可以评价设计质量的优劣，也称为评价函数。 设计变量的个数，确定了目标函数的维数。设计变量的幂及 函数的性态，确定了目标函数的性质。
11
匈牙利法 线性规划 整数规划 隐枚举法 割平面法
标准单纯形法
单纯形法 修正单纯形法 对偶单纯形法 牛顿法 分数法
0.618法
一维搜索法 平分法
抛物线法
常 用 优 化 方 法 的 分 类
三次插值法 有理插值法
坐标轮换法
无约束非 线性规划 优 化 方 法 不使用导数 非线性规划
一阶梯度法
使用导数 牛顿法
• 充分条件：在x*点存在二阶连续偏导数。当 y( x* ) 0 时为 极大；当 y( x* ) 0 时为极小。 • 所确定的设计参量，即为获得最优性能所应选用的具体值。 • 实际上，绝大多数设计都非一元问题。
• 这种设计方法虽有理论意义，但较少具有实用价值。
7
• 5．优化设计法 (最优化设计Optimal Design)
x2 d1 x1
d2
x3
d3
xk dk
xk+1
xk+1 = xk + akdk
9
机械优化设计的优点
1. 使传统机械设计中，求解可行解上升为求解最优解成为可能 2. 使传统机械设计中，性能指标的校核可以不再进行 3. 使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可能 4. 使零缺陷（废品）设计成为可能 5. 大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的质量 6. 大大提高了生产效率，降低了产品开发周期 1、美国BELL公司利用优化方法解决450个设计变量的大型结构 优化问题。一个机翼质量减轻了35% 2、波音公司，在747的机身设计中收到了减轻质量、缩短生产 周期、降低成本的效果。 3、武汉钢铁公司从德国引进的1700薄板轧机，经该公司自主优 10 化之后，就多盈利几百万欧元。
x
1 (24 2 x) (24 2 x 2 x cos ) x sin 2 f ( x, ) * 0 xL
这一优化设计问题是具有两个设计变 量(即x和α)的非线性规划问题。
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图1－2
b
例2：有一圆形等截面的销轴，一端固定，一端作用着集中载荷 F=1000N和扭矩M=100N· m。由于结构需要，轴的长度L不得小于 8cm，已知销轴材料的许用弯曲应力[σW]=120MPa，许用扭转切 应力[τ]=80MPa，允许挠度[f]=0.01cm，密度ρ=7.8t/m3，弹性模量 E=2×105MPa。现要求在满足使用要求的条件下，试设计一个用 料最省的方案。 1 2 优化目标 用料最省 V d L