数字信号处理第七章2011-2
d
复习
WR ( )
H ( ) / H (0)
1
c 2 N
0.5
0
c
1 H ( ) 2
2 c N
H d ( )W R ( )d
H d ( )
复习
WR ( )
H ( ) / H (0)
1
c 2 N
0
c
1 hd (n) 2
c
e j e jn d
c
sin(c (n )) (n )
h(n) 可表达为hd(n)和一个“窗函数”的乘积， 即 h(n)=w(n) hd(n) w(n)=RN(n)
为了保证数字滤波器的线性相位，h(n)应该
对(N-1)/2对称.
h(n) hd (n) RN (n)
如果对截取后的信号进行傅里叶变换，假设采用矩形窗截取， 对截取后信号进行傅里叶变换得：
H (e
j
1 ) 2
j
H d (e j )RN (e j ( ) )d
j
H (e ) H ( )e
1 H ( Βιβλιοθήκη 23 几种常用的窗函数： (1) 矩形窗
主瓣宽度 4π/N 第一副瓣比主瓣低13dB
矩形窗的幅 度特性
滤波器过渡带宽1.8 π/N
阻带衰减 21dB
理想低通滤 波器加矩形 窗后的幅度 特性
( 2) 三角形窗（Bartlett Window）
1 2n , 0 n ( N 1) N 1 2 w Br ( n) 1 2 2n , ( N 1) n N 1 N 1 2
j j j
H d (e j )WR [e j ( ) ]d
j ( )
1 2
e
H d ( )e
j
W R ( )e
d
j
1 2 H d ( )W R ( )d
j
其频率响应为：
N sin( ) j N 1 2 j 2 4 WB (e ) e N sin( / 2)
2
主瓣宽度为
，第一旁瓣比主瓣低25dB,
滤波器过渡带宽为 6.1 / N ,阻带衰减为25dB
主瓣宽度 8π/N 第一副瓣比主瓣 低25dB
0
2 N
2 N H ( ) / H (0)
0
1 H ( ) 2
H d ( )W R ( )d
H d ( )
复习
c
WR ( )
H ( ) / H (0)
1
0.5
0
c
1 H ( ) 2
2 c N
H d ( )W R (() )d H
数字信号处理 Digital Signal Processing
§7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器（时域方法）
假设希望得到的滤波器的理想频率响应为 FIR滤波器的设计就在于寻找一个频率响应
N 1 n 0
,
H (e
去逼近
j
)
h(n)e
j n
窗函数设计法是从单位脉冲响应序列着手，使h(n)
H d ( )RN ( )d
则滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性与窗函数 的幅度特性的卷积
2 设计思想及加窗的影响
设
Hd (e ) hd (n)
j
j
Hd (e ) hd ( n) hd (n)w(n)
H (e ) h( n)
j
以一个截止频率为 c 的线性相位低通滤波器为例, 讨 论FIR的设计问题。 (1) 对于给定的理想低通滤波器H d (e j ) ，计算
c c
理想特性的hd(n)和Hd(ω)
hd(n)是一个以为
中心的偶对称的无限长非因果序列，如 应为h(n)长度N的一半,即
果截取一段n=0～N-1的hd(n)作为h(n)，则为保证所得到的是
线性相位FIR滤波器，延时
N 1 2
(2) 计算 h(n)
hd (n) o n N 1 h(n) hd (n)w R (n) n为其它值 0
n
RN ( n)e j n
N 1 n 0
e j n
1 e j N 1 e j
N 1 ) 2
sin( N / 2) sin( / 2)
WR ( )e
j
幅度函数为
sin N / 2 WR sin / 2
主瓣
旁瓣
矩形窗函数及其幅度函数
把理想频响写成幅度函数和相位函数的表示形式
其中幅度函数为
H d (e ) H d ()e
| | c
j
j
1 H d ( ) 0
c | |
两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有
1 H (e ) Hd (e )*WR (e ) 2
为什么要加窗
e j , c j H d (e ) c | | 0,
sin(c (n )) hd (n) (n )
h(n) 可表达为hd(n)和一个“窗函数”的乘积， h(n)=w(n) hd(n)
h(n)应该对(N-1)/2对称.
其中
(3)计算 H (e
j
)
H (e
j
)
n
h(n)e
j n
(4) 加窗后的截断效应 用有限长序列代替无限长的hd(n), 会引起幅度特性的波动
H (e j ) H d (e j ) WR (e j )
窗口函数的频谱
W R (e j ) e
j (
H (e
j
) H ( )e
则实际FIR滤波器的幅度函数H(ω)为
1 H ( ) 2
H d ( )W R ( )d
正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。
1 H ( ) 2
H d ( )W R ( )d
WR ( )
H ( ) / H (0)
1
c 2 N
0
c
H ( ) / H (0)
WR ( ) RN ( )
从4个特殊频率点看卷积结果： （1）ω=0时, H(0)等于 WR ( ) 在[-ωc, ωc]内的积分面积 c 2 N 故H(0)近似为 WR ( ) 在[-π, π]内 因一般 的积分面积；
复习
加窗后的截断效应
实际FIR滤波器的幅度函数H(ω)为
1 H ( ) 2
H d ( )W R ( )d
是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。
1 H ( ) 2
H d ( )W R ( )d
WR ( )
复习
H d ( )
如在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为8.95%，N增加时，
2π/N减小，起伏振荡变密，但最大肩峰总是8.95%，这样阻 带衰减只有20lg（8.95%）= -21dB, 这种现象称为吉布斯
（Gibbs）效应。
改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，增大 阻带衰减。
窗函数有许多种，但要尽量满足以下两点要求： ①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； ②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主 瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带 平稳性。 但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换 取对旁瓣的抑制。
H d ( )W R (() )d H
d
WR ( )
H ( ) / H (0)
1
c 2 N
0.5
0
c
1 H ( ) 2
2 c N
H d ( )W R ( )d
H d ( )
WR ( )
复习
线性相位FIR滤波器的特点 群延时 相位特性
h(n) h( N 1 n)
1 ( N 1) 2
幅度特性 N为奇数 N为偶数 N为奇数
( ) ( N 1)
1 2
h(n) h( N 1 n)
1 ( ) ( N 1) 2 2
（2）ω=ωc时，一半重叠，H(ωc)=0.5 H(0)； （3）ω=ωc –2π/N时，主瓣完全在[-ωc, ωc]内，一个 第一旁瓣（负数）在通带外，出现正肩峰； （ 4）ω=ωc +2π/N 时，主瓣完全在[-ωc, ωc]外，第 一旁瓣（负数）在通带内，出现负肩峰
窗口函数对理想特性的影响：
hd (n)
：低通滤波器的延时
1 j j n hd ( n) H d (e )e d 2 1 c j j n 1 c j ( n ) d c e e d 2 c e 2 1 1 j ( n ) e | 2 j( n ) sin(c ( n )) 1 e jc ( n ) e jc ( n ) (n ) (n ) 2j
①改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为 4 N ， 等于WR(ω)的主瓣宽度。（决定于窗长） (实际的过渡带比这个值小。) ②过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于 WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强， 与 N无关。（决定于窗口形状）
③N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。N的改变不能改变主瓣 与旁瓣的比例关系，当N增加时，H(ω)的波动幅度没有多大 改善。
复习
WR ( )
H ( ) / H (0)
1
c 2 N
0.5
0
c
1 H ( ) 2
2 c N
H d ( )W R ( )d
H d ( )
复习
WR ( )
H ( ) / H (0)
1
c 2 N
0
c
1 hd (n) 2
c
e j e jn d
c
sin(c (n )) (n )
h(n) 可表达为hd(n)和一个“窗函数”的乘积， 即 h(n)=w(n) hd(n) w(n)=RN(n)
为了保证数字滤波器的线性相位，h(n)应该
对(N-1)/2对称.
h(n) hd (n) RN (n)
如果对截取后的信号进行傅里叶变换，假设采用矩形窗截取， 对截取后信号进行傅里叶变换得：
H (e
j
1 ) 2
j
H d (e j )RN (e j ( ) )d
j
H (e ) H ( )e
1 H ( Βιβλιοθήκη 23 几种常用的窗函数： (1) 矩形窗
主瓣宽度 4π/N 第一副瓣比主瓣低13dB
矩形窗的幅 度特性
滤波器过渡带宽1.8 π/N
阻带衰减 21dB
理想低通滤 波器加矩形 窗后的幅度 特性
( 2) 三角形窗（Bartlett Window）
1 2n , 0 n ( N 1) N 1 2 w Br ( n) 1 2 2n , ( N 1) n N 1 N 1 2
j j j
H d (e j )WR [e j ( ) ]d
j ( )
1 2
e
H d ( )e
j
W R ( )e
d
j
1 2 H d ( )W R ( )d
j
其频率响应为：
N sin( ) j N 1 2 j 2 4 WB (e ) e N sin( / 2)
2
主瓣宽度为
，第一旁瓣比主瓣低25dB,
滤波器过渡带宽为 6.1 / N ,阻带衰减为25dB
主瓣宽度 8π/N 第一副瓣比主瓣 低25dB
0
2 N
2 N H ( ) / H (0)
0
1 H ( ) 2
H d ( )W R ( )d
H d ( )
复习
c
WR ( )
H ( ) / H (0)
1
0.5
0
c
1 H ( ) 2
2 c N
H d ( )W R (() )d H
数字信号处理 Digital Signal Processing
§7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器（时域方法）
假设希望得到的滤波器的理想频率响应为 FIR滤波器的设计就在于寻找一个频率响应
N 1 n 0
,
H (e
去逼近
j
)
h(n)e
j n
窗函数设计法是从单位脉冲响应序列着手，使h(n)
H d ( )RN ( )d
则滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性与窗函数 的幅度特性的卷积
2 设计思想及加窗的影响
设
Hd (e ) hd (n)
j
j
Hd (e ) hd ( n) hd (n)w(n)
H (e ) h( n)
j
以一个截止频率为 c 的线性相位低通滤波器为例, 讨 论FIR的设计问题。 (1) 对于给定的理想低通滤波器H d (e j ) ，计算
c c
理想特性的hd(n)和Hd(ω)
hd(n)是一个以为
中心的偶对称的无限长非因果序列，如 应为h(n)长度N的一半,即
果截取一段n=0～N-1的hd(n)作为h(n)，则为保证所得到的是
线性相位FIR滤波器，延时
N 1 2
(2) 计算 h(n)
hd (n) o n N 1 h(n) hd (n)w R (n) n为其它值 0
n
RN ( n)e j n
N 1 n 0
e j n
1 e j N 1 e j
N 1 ) 2
sin( N / 2) sin( / 2)
WR ( )e
j
幅度函数为
sin N / 2 WR sin / 2
主瓣
旁瓣
矩形窗函数及其幅度函数
把理想频响写成幅度函数和相位函数的表示形式
其中幅度函数为
H d (e ) H d ()e
| | c
j
j
1 H d ( ) 0
c | |
两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有
1 H (e ) Hd (e )*WR (e ) 2
为什么要加窗
e j , c j H d (e ) c | | 0,
sin(c (n )) hd (n) (n )
h(n) 可表达为hd(n)和一个“窗函数”的乘积， h(n)=w(n) hd(n)
h(n)应该对(N-1)/2对称.
其中
(3)计算 H (e
j
)
H (e
j
)
n
h(n)e
j n
(4) 加窗后的截断效应 用有限长序列代替无限长的hd(n), 会引起幅度特性的波动
H (e j ) H d (e j ) WR (e j )
窗口函数的频谱
W R (e j ) e
j (
H (e
j
) H ( )e
则实际FIR滤波器的幅度函数H(ω)为
1 H ( ) 2
H d ( )W R ( )d
正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。
1 H ( ) 2
H d ( )W R ( )d
WR ( )
H ( ) / H (0)
1
c 2 N
0
c
H ( ) / H (0)
WR ( ) RN ( )
从4个特殊频率点看卷积结果： （1）ω=0时, H(0)等于 WR ( ) 在[-ωc, ωc]内的积分面积 c 2 N 故H(0)近似为 WR ( ) 在[-π, π]内 因一般 的积分面积；
复习
加窗后的截断效应
实际FIR滤波器的幅度函数H(ω)为
1 H ( ) 2
H d ( )W R ( )d
是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。
1 H ( ) 2
H d ( )W R ( )d
WR ( )
复习
H d ( )
如在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为8.95%，N增加时，
2π/N减小，起伏振荡变密，但最大肩峰总是8.95%，这样阻 带衰减只有20lg（8.95%）= -21dB, 这种现象称为吉布斯
（Gibbs）效应。
改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，增大 阻带衰减。
窗函数有许多种，但要尽量满足以下两点要求： ①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； ②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主 瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带 平稳性。 但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换 取对旁瓣的抑制。
H d ( )W R (() )d H
d
WR ( )
H ( ) / H (0)
1
c 2 N
0.5
0
c
1 H ( ) 2
2 c N
H d ( )W R ( )d
H d ( )
WR ( )
复习
线性相位FIR滤波器的特点 群延时 相位特性
h(n) h( N 1 n)
1 ( N 1) 2
幅度特性 N为奇数 N为偶数 N为奇数
( ) ( N 1)
1 2
h(n) h( N 1 n)
1 ( ) ( N 1) 2 2
（2）ω=ωc时，一半重叠，H(ωc)=0.5 H(0)； （3）ω=ωc –2π/N时，主瓣完全在[-ωc, ωc]内，一个 第一旁瓣（负数）在通带外，出现正肩峰； （ 4）ω=ωc +2π/N 时，主瓣完全在[-ωc, ωc]外，第 一旁瓣（负数）在通带内，出现负肩峰
窗口函数对理想特性的影响：
hd (n)
：低通滤波器的延时
1 j j n hd ( n) H d (e )e d 2 1 c j j n 1 c j ( n ) d c e e d 2 c e 2 1 1 j ( n ) e | 2 j( n ) sin(c ( n )) 1 e jc ( n ) e jc ( n ) (n ) (n ) 2j
①改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为 4 N ， 等于WR(ω)的主瓣宽度。（决定于窗长） (实际的过渡带比这个值小。) ②过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于 WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强， 与 N无关。（决定于窗口形状）
③N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。N的改变不能改变主瓣 与旁瓣的比例关系，当N增加时，H(ω)的波动幅度没有多大 改善。
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数字信号处理教程课后习题及答案
试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?
分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等）， 则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0 及 n < 0）。
解 : (1) y1 (0) = 0 时， (a) 设 x1 (n) = δ (n) ，
按 y1 (n) = ay1 (n − 1) + x1 (n) i) 向 n > 0 处递推，
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
当n ≤ −1时 当n > −1时
∑ y(n) = n a −m = a −n
m=−∞
1− a
∑ y(n) =
−1
a−m =
分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等）， 则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0 及 n < 0）。
解 : (1) y1 (0) = 0 时， (a) 设 x1 (n) = δ (n) ，
按 y1 (n) = ay1 (n − 1) + x1 (n) i) 向 n > 0 处递推，
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
当n ≤ −1时 当n > −1时
∑ y(n) = n a −m = a −n
m=−∞
1− a
∑ y(n) =
−1
a−m =
地方高校电子信息类《数字信号处理》课程教学改革探索
地方高校电子信息类《数字信号处理》课程教学改革探索发布时间：2022-09-02T02:41:03.771Z 来源：《教育学文摘》2022年5月9期作者：关旋旋[导读] 近年来，社会进步迅速，数字信号处理是计算机专业的一门专业课。
其应用领域极其广关旋旋宿州学院机械与电子工程学院安徽省宿州市 234000摘要：近年来，社会进步迅速，数字信号处理是计算机专业的一门专业课。
其应用领域极其广泛，包括现如今非常热门的移动通信5G 技术、语音及图像的处理技术，生物医学工程，雷达导航及定位系统等。
这门课程以复变函数以及信号与系统这两门课程为先修课。
文章以计算机科学与技术专业培养目标为中心，以数学知识为基础，同时强调其实际应用效果为准则，从教学方式及考核方式两个方面进行教学改革与实践。
关键词：地方高校电子信息；《数字信号处理》课程；教学改革探索引言教育的目标是培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，立德树人是其根本任务，“思政课程”和“课程思政”是立德树人的两条基本的途径。
对于电子信息类专业，大量的专业基础课、专业课，由于其科学性、快速发展性、以及高技术性，与国家的发展战略、国家及区域的经济社会发展紧密相关。
课程内容的逻辑性、学习方法的科学性、学习态度及工作要求的严谨性、思维方式的系统性和辩证性，使得这些课程在教学过程中蕴含着大量的思政元素。
将思政元素充分挖掘出来，有效地融入专业教学之中，可以起到润物细无声的育人效果，根除机械说教带来的负面作用。
实现全体教师、全课程、全课堂、全方位育人，完美体现育人为本、以德为先的课程思政理念，促进学生的全面发展。
1课程定位与存在的问题分析数字信号处理是电子信息工程、通信工程、信息工程等电子信息类本科生的一门专业必修课程，它是信号与线性系统课程的后续课程，为后续的图像信号处理、多媒体信息处理等课程打基础，一般在大学三年级第一学期开设。
它是理论分析与实践操作相结合的重要专业课程，以离散时间信号与系统作为对象，对离散时间信号进行各种分析与处理，包括频谱分析和滤波处理。
第七章 模拟滤波器的设计(数字信号处理)
1 (
s
c
)
2N
10
a s / 10
(7.2.15)
由(7.2.14)和(7.2.15)式得到：
(
p
s
)
N
10 10
a p / 10 a s / 10
1 1
令
sp s / p , k sp
10 10
a p 10 as 10
1 1
,则N由下式表示：
N
1
1
1
1
0
fC a ) 低通
f
0
fC b ) 高通
f
0
fC1 c) 带通
fC2
f
0
fC1 d ) 带阻
fC2 f
7.1 理想滤波器
无过渡带且在通频带内满 足不失真测试条件的滤波 器称为理想滤波器。理想 滤波器的频率响应函数为：
|H(f)| A0
-fc
A e j 2 p ft 0 0 H(f) 0 f fc 其它
lg k sp lg sp
(7.2.16)
用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N
的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没 有 给 出 ， 可 以 按 照 (7.2.14) 式 或 (7.2.15) 式 求 出 ， 由
图7.2.2 低通滤波器的幅度特性
滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函
数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs， 一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此
H a ( j )
2
H a ( s )G ( s )
s j
H a ( j ) H a ( j )
s
c
)
2N
10
a s / 10
(7.2.15)
由(7.2.14)和(7.2.15)式得到：
(
p
s
)
N
10 10
a p / 10 a s / 10
1 1
令
sp s / p , k sp
10 10
a p 10 as 10
1 1
,则N由下式表示：
N
1
1
1
1
0
fC a ) 低通
f
0
fC b ) 高通
f
0
fC1 c) 带通
fC2
f
0
fC1 d ) 带阻
fC2 f
7.1 理想滤波器
无过渡带且在通频带内满 足不失真测试条件的滤波 器称为理想滤波器。理想 滤波器的频率响应函数为：
|H(f)| A0
-fc
A e j 2 p ft 0 0 H(f) 0 f fc 其它
lg k sp lg sp
(7.2.16)
用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N
的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没 有 给 出 ， 可 以 按 照 (7.2.14) 式 或 (7.2.15) 式 求 出 ， 由
图7.2.2 低通滤波器的幅度特性
滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函
数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs， 一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此
H a ( j )
2
H a ( s )G ( s )
s j
H a ( j ) H a ( j )
数字信号处理第三版第七章
对称，是满足式（7.1.9）的一组解，
因为cos［ω(n－τ)］关于n=τ偶对称，所以要求τ和h(n)满
足如下条件：
()
,
N1
2
2
h(n)h(N1n), 0≤ n≤ N1
（7.1.10）
2． 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点 实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波
因为cos［ω(n-τ)］关于ω=0, π, 2π三点偶对称，所以由 式（7.1.11）可以看出，Hg(ω)关于ω=0, π, 2π三点偶对称。 因此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤 波器。
情况2： h(n)=h(N－n－1), N为偶数。
仿照情况1的推导方法得到:
H ( e j ) H g () e j = N 1 h ( n ) e j n e j M 2 h ( n )c o s (( n ) )
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较 7.6 几种特殊类型滤波器简介 7.7 滤波器分析设计工具FDATool
用情况3的推导过程可以得到:
M
Hg() 2h(n)sin[(n)] n0
（7.1.13）
N是偶数，τ=(N－1)/2=N/2－1/2。所以，当ω=0, 2π时，
sin［ω(n－τ)］=0；当ω=π时，sin［ω(n－τ)］=(－1)n－ N/2, 为峰值点。而且sin ［ω(n－τ)］关于过零点ω=0和
如何减少吉布斯效应的影响，设计一个满足要求的FIR滤波器呢？ 直观上，增加矩形窗口的宽度（即加大N）可以减少吉布斯效应 的影响。N 时， 在主瓣附近， WRg(ω)近似为：
数字信号处理 答案 第二版 刘顺兰 西安科技
与图 T1-7 给出的 y 3 (n) 不一致，因此系统 L 不是时不变的。
对于 x(n) = δ (n) ， 只能通过当 x(n) = δ (n) = x3 (n) −
1 [x2 (n) − x1 (n)]，必有 2
y ( n) = y 3 ( n) −
1 [ y 2 (n) − y1 (n)] 2 = {2δ (n + 2) + δ (n + 1) − 3δ (n) + 2δ (n − 2)} 1 − {[− δ (n + 1) + δ (n) − 3δ (n − 1) − δ (n − 3)] − [− δ (n + 1) + 3δ (n) + 3δ (n − 1) + δ (n − 3)]} 2 = 2δ (n + 2) + δ (n + 1) − 3δ (n) + 2δ (n − 2) + δ (n) + 3δ (n − 1) + δ (n − 3) = 2δ (n + 2) + δ (n + 1) − 2δ (n) + 3δ (n − 1) + 2δ (n − 2) + δ (n − 3)
= ∑ e −α (n + rN )T ⋅ R N (n)
r =0
=
e −αnT ⋅ R N ( n) 1 − e −αNT
《数字信号处理》2010-2011-1 作业-2
教材《数字信号处理》 （第二版）刘顺兰
1. P76：1.24： （1） ， （2） 参照教材 p21 至 p21 的叙述，判断方法参看 p21 例 1-3 和例 1-4 （1） 根据 y (n) = 2 x(n) + 3 ； 可得： y1 (n) = T [x1 (n)] = 2 x1 (n) + 3 ； y 2 (n) = T [x 2 (n)] = 2 x 2 (n) + 3 ； 对于任意常数 a1 ， a 2 因为： a1 y1 (n) + a 2 y 2 (n) = a1 [2 x1 (n) + 3] + a 2 [2 x 2 (n) + 3]
数字信号处理第七章 FIR数字滤波器设计
WR (e j ) FT[wR (n)] WRg ( )e j , (N 1) / 2
窗函数的几个参数:
旁瓣瓣的峰最值大值n相—对窗主函瓣数最的大幅值频的函衰数减W（g (dB)）的；最大旁
过渡带宽度B—用该窗函数设计的FIRDF的过渡带宽
度；
阻带最小衰减s—用该窗函数设计的FIRDF的阻带
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④ h(n)奇对称，N为偶数
• 相位特性:
• 频率特性:
N 3 2
Hg () 2hnsin n n0
• Hg()在=0，2 处为零，即H(z)在 z=1处有零点； • Hg() 在=0，2 奇对称，在=处偶对称。
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（3）线性相位FIRDF的零点分布特点
N 1
将 h(n) h(N 1 n) 代入式 H (z) h(n)zn 得到：
①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； ②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量 集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提 高阻带衰减和通带平稳性。 但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣 宽度来换取对旁瓣的抑制。
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回到本节 7.2.3 典型窗函数介绍
1．矩形窗（Rectangle Window）
N 1
H e j Hg e j h(n)e jn n0
N 1 2
[h(n)e jn h(N n 1)e j(N n1) ] n0
j N 1 N / 21
j (n N 1)
j (n N 1)
e 2 [h(n)e
2 h(n)e 2 ]
n0
N / 21
e j 2h(n) cos(n ) n0
1
e
j
] N 1 2
窗函数的几个参数:
旁瓣瓣的峰最值大值n相—对窗主函瓣数最的大幅值频的函衰数减W（g (dB)）的；最大旁
过渡带宽度B—用该窗函数设计的FIRDF的过渡带宽
度；
阻带最小衰减s—用该窗函数设计的FIRDF的阻带
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④ h(n)奇对称，N为偶数
• 相位特性:
• 频率特性:
N 3 2
Hg () 2hnsin n n0
• Hg()在=0，2 处为零，即H(z)在 z=1处有零点； • Hg() 在=0，2 奇对称，在=处偶对称。
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（3）线性相位FIRDF的零点分布特点
N 1
将 h(n) h(N 1 n) 代入式 H (z) h(n)zn 得到：
①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； ②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量 集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提 高阻带衰减和通带平稳性。 但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣 宽度来换取对旁瓣的抑制。
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回到本节 7.2.3 典型窗函数介绍
1．矩形窗（Rectangle Window）
N 1
H e j Hg e j h(n)e jn n0
N 1 2
[h(n)e jn h(N n 1)e j(N n1) ] n0
j N 1 N / 21
j (n N 1)
j (n N 1)
e 2 [h(n)e
2 h(n)e 2 ]
n0
N / 21
e j 2h(n) cos(n ) n0
1
e
j
] N 1 2
数字信号处理
2011-10-31
13
典型讯号的范例-1
语音与音乐讯号：表示空间中一个点上空气压力 的时间函数。 “I like digital signal processing” 的语音波形 如 下。
2011-10-31
14
典型讯号的范例-2
心电图 (ECG-electrocardiogram) 讯号 – 表示 心脏的电性活动。 一个典型心电图讯号如下：
我们以前面的一维信号为例
作为模拟信号求导数
2011-10-31
38
从模拟信号进化到数字信号-4
当把它数字化，根据导数定义
该信号，我们最小单位为0.1，那么以左导数为例
2011-10-31
每个点的值，减去左 边的值，再除以0.1
比较一下
39
从模拟信号进化到数字信号-5
前面例子中，模拟信号需要复杂的数学推 导，理论上将说每个模拟信号，都要考虑 不同的数学模型和相应的电路设计—复 杂！！ 而数字信号，只需要一个相应的数字加减， 就可以完成上面的过程。
连续信号处理相当复杂，数学上需要复杂 的公式，而数字信号由于其自变量与应变 量都是离散，其数学处理。 看几个数学上的例子。
2011-10-31
36
从模拟信号进化到数字信号-2
导数：导数表示该函数的变化率，应用在 信号处理中，被广泛应用于边缘侦测。
2011-10-31
37
从模拟信号进化到数字信号-3
2011-10-31
15
典型讯号的范例-3
ECG 讯号是一个周期性的波形。 一个周期性的 ECG 波形表示血液由心脏送 到动脉的过程。
2011-10-31
16
典型讯号的范例-4
脑波图 (EEG-electroencephalogram ) 讯号 – 表示由数十亿个脑神经元活动所产生的电 性活动。
数字信号处理习题解答
散移不变系统，已知它满足)()1()(310)1(n x n y n y n y =++--，并已知系统是稳定的。
试求其单位抽样响应。
解：对给定的差分方程两边作Z 变换，得：)31)(3( 3101)()()()()()(310)(11--=+-===+---z z zzz z X z Y z H z X z zY z Y z Y z 则： 31,3 21==z z 极点为，为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故取 1/3|| 3 z <<。
利用第十二题(3)的结果123,1/3a a == 即可求得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+---=)(31)1(383)(n u n u n h nn第三章1、如下图，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1114 12 10 8 6 4 2()x nn…………55266022222234566666X()()()1412108610j nknk n n j k j k j k j kj k k x n W x n e eeeeeππππππ-==-----===+++++∑∑%%%解：计算求得：(0)60;(1)933; (2)3 3 ;(3)0; (4)33;(5)93 3 X X j X j X X j X j ==-=+==-=+%%%%%%。
3.设1,04(),0n n x n n +≤≤⎧=⎨⎩，其它4()(2)h n R n =-。
令66()(()),()(()),x n x n h n h n ==%%试求()()xn h n %%与的圆周卷积并作图。
解：在一个周期内的计算值()()*()()y n x n h n h n m ==-%%%%如下图所示：-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111412 10 8 6 4 2()y n %n …………8、如下图表示一个5点序列()x n 。
数字信号处理第七章
H d (e j ) h d (n ) h d (n )w (n )
H(ej)h(n)
Hd (e j)为理想低通
滤波器的传输函数。
数字信号处理第七章
h (n )h d(n )R N (n )
如果对截取后的信号进行傅里叶变换，假设采用矩形窗截
取，对截取后信号进行傅里叶变换得：
频域卷积定理
H(ej) 1
Hd
(e
j
)
1 e 0
j
c
c
：低通滤波器的延时
hd(n)
1
2
Hd(ej)ejnd
1
2
c ej
c
ejnd
1
2
c ej(n)d
c
1
2
1
j(n)
ej(n)
|c c
s
in( c(n)) (n)
数字信号处理第七章
理想特性的hd(n)和Hd(ω)
hd
(n)
sin(c(n ) (n )
hd(n)的最大 值是多少？
ej 2 1 H d()W R ()d
H(ej)H()ej 数字信号处理第七章
则实际FIR滤波器的幅度函数H (ω) 为
H ()2 1 H d()W R()d
取样函数
矩形窗
正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。
数字信号处理第七章
H(0) 0.5H(0) H(ω)max H(ω)min
③N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。 因主瓣附近
（a）
（b）
hd(n)是一个以(N-1)/2为中心的偶对称的无限长非因果序列， 如果截取一段n=0～N-1的hd(n)作为h(n)，则为保证所得到的
H(ej)h(n)
Hd (e j)为理想低通
滤波器的传输函数。
数字信号处理第七章
h (n )h d(n )R N (n )
如果对截取后的信号进行傅里叶变换，假设采用矩形窗截
取，对截取后信号进行傅里叶变换得：
频域卷积定理
H(ej) 1
Hd
(e
j
)
1 e 0
j
c
c
：低通滤波器的延时
hd(n)
1
2
Hd(ej)ejnd
1
2
c ej
c
ejnd
1
2
c ej(n)d
c
1
2
1
j(n)
ej(n)
|c c
s
in( c(n)) (n)
数字信号处理第七章
理想特性的hd(n)和Hd(ω)
hd
(n)
sin(c(n ) (n )
hd(n)的最大 值是多少？
ej 2 1 H d()W R ()d
H(ej)H()ej 数字信号处理第七章
则实际FIR滤波器的幅度函数H (ω) 为
H ()2 1 H d()W R()d
取样函数
矩形窗
正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。
数字信号处理第七章
H(0) 0.5H(0) H(ω)max H(ω)min
③N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。 因主瓣附近
（a）
（b）
hd(n)是一个以(N-1)/2为中心的偶对称的无限长非因果序列， 如果截取一段n=0～N-1的hd(n)作为h(n)，则为保证所得到的
数字信号处理第七章习题答案
8 要求其最小阻带减为－45dB，过渡带宽为 π 51 求出 h( n)并画出 20lg H e jω 曲线（设ωc = 0.5π ）
( )
解：根据低通滤波器的最小阻减为－45dB，查表， 应选择海明窗：
2π n w( n) = 0.54 − 0.46cos RN ( n) N −1
h （2） h1 ( n) ， 2 ( n)各构成一个低通滤波器，试问它 们是否是线性相位的？延时是多少？
解：（1）根据题意可知
h2 ( ( n) )8 = h1 ( ( n − 4) )8
则
i =n−4
H2 ( k ) = ∑h1 ( ( n − 4) )8W R8 ( n)
n=0 nk 8
7
=
i=− i =−4
% h ( i ) 8kiW 4k ∑1 W 8
3
% = W 4k ∑h ( i ) 8ki W 8 1
i= i =0
7
= H1 ( k )W
由上式可以看出
4k 8
教材125页表3-3：序 号2性质
H2 ( k ) = H1 ( k )
2π θ2 ( k ) = θ1 ( k ) − ⋅ 4k = θ1 ( k ) − kπ 8
20lg H ( e jω ) 曲线。
e− jωα Hd (e jω ) = 0
其单位抽样响应：
解：线性相位理想低通滤波器
−ωc ≤ ω ≤ ωc −π ≤ ω ≤ −ωc ,ωc ≤ ω ≤ π
1 π hd ( n) = Hd ( e jω ) e jωndω 2π ∫−π
ωc sin ωc ( n −α ) 1 ωc − jωα jωn = = ∫−ωc e e dω π ωc ( n −α ) 2π