运筹学的历史 朴素的运筹思想：都江堰水利工程 战国时期(
应英国要求，美国派MORSE 率领一个小组去 协助。 MORSE 经过多方实地考察，最后提出了 两条重要建议： 1.将反潜攻击由反潜潜艇投掷水雷，改为飞机 投掷深水炸弹。起爆深度由 100 米左右改为 25 米左右。即当潜艇刚下潜时攻击效果最佳 。 (提高效率4-7倍) 2.运送物资的船队及护航舰队编队，由小规模 多批次，改为加大规模、减少批次，这样，损 失率将减少。（25%下降到10%） 丘吉尔采纳了MORSE的建议，最终成功地打 破封锁，并重创了德国潜艇。 MORSE 同时获得 英国和美国的最高勋章。
英国舰队： 主 纵 列2 （16 艘） （12 艘） （23 艘） （46 艘） 主 小 纵 纵 列1 列 （16 艘） （8 艘） （3-4 艘）
联合舰队
用兰彻斯特N2定律可以对“纳尔森（Nelson）秘诀”进行分 析： 整体战斗实力。 设双方单个战斗单位的战斗力相同，则有： 英国舰队：402=1600 联合舰队：462=2116 此时联合舰队占优势，设想联合舰队全歼英国舰队后， 联合舰队还有5161/2=23艘。
运筹学的历史 朴素的运筹思想： 都江堰水利工程
战国时期（大约公元前250年）川西太守李冰父子主持修建。 其目标是：利用岷江上游的水资源灌溉川西平原。追求的效益还 有防洪与航运。其总体构思是系统思想的杰出运用。
都江堰由三大工程及120多项配套工程组成：
1.“鱼嘴”岷江分水工程：将岷江水有控制地引入内江。 2.“飞沙堰”分洪排沙工程：将泥沙排入外江。 3.“宝瓶口”引水工程：除沙后的江水引入水网干道。 它们巧妙结合，完整而严密，相得益彰。两千多年来，这 项工程一直发挥着巨大的效益，是我国最成功的水利工程。
大西洋反潜战（1942年）
1942 年， 美国大 西洋舰 队反潜 战官员 W.D.BAKER舰长请求成立反潜战运筹组，麻 省理工学院的物理学家P.W.MORSE被请来担 任计划与监督。
MORSE 出色的工作之一，是协助英国打破 了德国对英吉利海峡的封锁。1941-1942年，德 国潜艇严密封锁了英吉利海峡，企图切断英国 的“生命线”。海军几次反封锁，均不成功。
兰彻斯特兰彻斯特战斗方程：设两军对抗中一方有x 个战斗单 位（战舰、战车、战机、步兵单位等），另外一方有y个战斗单位。 基本假设：每一方战斗单位的损失率与对方战斗单位的数量成正 比。
于是，双方战斗损失的微分方程为：dy/dt= - ax, dx/dt= - by. 其中， a>0与b>0 表示双方的平均战斗力。 因此可以得到： ax2=by2 上式称为兰彻斯特N2定律。
军用物质运输（40年代） 美国参加二次大战较晚，但是早期的 欧洲军用物质都是从美国用商船通过 大西洋运往欧洲，但发现在公海里受 到德军飞机的轰炸，后在商船上装备 了高射炮，但发现打落飞机很少，是 否没有达到目的？我们知道在商船上 装备高射炮目标是“打击敌人，保护 自己”，后发现商船被击沉没数显著 下降（25%降为10%）达到了目标。
丁谓的皇宫修复工程
北宋年间，丁谓负责修复火毁的开封皇宫。他的施工方案
是：先将工程皇宫前的一条大街挖成一条大沟，将大沟与汴水
相通。使用挖出的土就地制砖，令与汴水相连形成的河道承担 繁重的运输任务；修复工程完成后，实施大沟排水，并将原废 墟物回填，修复成原来的大街。丁谓将取材、运输及废墟物的 处理用“一沟三用”巧妙地解决了。
•
将联合舰队拦腰切断， 23+23=46 ，是将联合舰队实力减 弱的最小分割法。此时，联合舰队的实力为：232+232=1058 而英国舰队的实力为： （16+16）2+82=1088， 已略占有优势。
在英国舰队两个主纵列共 32艘，攻击联合舰队 的后一半23艘，此时， 英国舰队实力： （16+16）2=322=1064 联合舰队的实力为： 232 =529 英国舰队已占有优势。在全歼联合舰队后部后，英国 舰队两个主纵列还可以保留： （ 1064-529 ） 1/2 =5161/2=23 艘，再与小纵列中舰队联 合对联合舰队前部作战还占有优势。即在最坏情况下， “纳尔森（ Nelson ）秘诀”也可以使英国舰队获得胜 利。
战斗机搜索潜艇（40年代）
战斗机搜索潜艇，效果的衡量指标称为扫率 A——侦察到的潜艇次数 T——侦察所用时间（小时） S——飞机侦察负责的面积（平方 海哩） N——可能有的潜艇数 扫率=AS/TN 此公式中 N是很难估计，但是利用此公式记录的 反潜作战效果的起伏波动，可以得知双方战术和装备 的变化。这在战争中起很大的作用。
运筹学形成于20世纪30年代 鲍 德 西 （ Bawdsey ） 雷 达 站 的 研 究 （1935年）
1935年，英国科学家 沃特森· 瓦特 （R.WatsonWart ）发明了雷达。丘吉尔命令在英国东海岸 的Bawdsey建立了一个秘密雷达站。当时，德国 已拥有一支强大的空军，起飞 17 分钟即到达英 国本土。在如此短的时间内9年由曼彻斯特大学物理学家、英国战斗机司令部 顾问、战后获得诺贝尔奖金的P.M.S.Blackett为首，组织了 一个小组，代号“Blackett马戏团”。这个小组包括三名心 理学家、两名数学家、两名应用数学家、一名天文物理学家、 一名普通物理学家、一名海军军官、一名陆军军官、一名测 量员。 研究的问题是：设计将雷达信息传送到指挥系统和武器 系统的最佳方式；雷达与武器的最佳配置；对探测、信息传 递、作战指挥、战斗机与武器的协调，作了系统的研究，并 获 得 成 功 。 “ Blackett 马 戏 团 ” 在 秘 密 报 告 中 使 用 了 “Operational Research”，即“运筹学”。 我国最开始称为“运用学”，1957年改为“运筹学”。
田忌赛马 齐王要与大臣田忌赛马，双方各出上、 中、下马各一匹，对局三次，每次胜 负1000金。田忌在好友、著名的军事谋 略家孙膑的指导下，以以下安排：
齐王 田忌 上 中 下 下 上 中
最终净胜一局，赢得1000金。
运筹学发展简史
运筹学发展简史
兰彻斯特（nchester）作战分析(1914年）
运筹学的历史
运筹学（yùnchóuxué）简介英语全称为：Operational?Research(英国)或者是Operations?Research(美国)在中国战国时期，曾经有过一次流传后世的赛马比赛，相信大家都知道，这就是田忌赛马。
田忌赛马的故事说明在已有的条件下，经过筹划、安排，选择一个最好的方案，就会取得最好的效果。
可见，筹划安排是十分重要的。
现在普遍认为，运筹学是近代应用数学的一个分支，主要是将生产、管理等事件中出现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决。
前者提供模型，后者提供理论和方法。
运筹学的思想在古代就已经产生了。
敌我双方交战，要克敌制胜就要在了解双方情况的基础上，做出最优的对付敌人的方法，这就是“运筹帷幄之中，决胜千里之外”的说法。
但是作为一门数学学科，用纯数学的方法来解决最优方法的选择安排，却是晚多了。
也可以说，运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。
运筹学主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方面的问题。
当然，随着客观实际的发展，运筹学的许多内容不但研究经济和军事活动，有些已经深入到日常生活当中去了。
运筹学可以根据问题的要求，通过数学上的分析、运算，得出各种各样的结果，最后提出综合性的合理安排，已达到最好的效果。
运筹学作为一门用来解决实际问题的学科，在处理千差万别的各种问题时，一般有以下几个步骤：确定目标、制定方案、建立模型、制定解法。
虽然不大可能存在能处理及其广泛对象的运筹学，但是在运筹学的发展过程中还是形成了某些抽象模型，并能应用解决较广泛的实际问题。
随着科学技术和生产的发展，运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越重要的作用。
运筹学本身也在不断发展，现在已经是一个包括好几个分支的数学部门了。
比如：数学规划（又包含线性规划；非线性规划；整数规划；组合规划等）、图论、网络流、决策分析、排队论、可靠性数学理论、库存论、对策论、搜索论、模拟等等。
李冰治水
战国时期都江堰水利工程
目录
01 相关事件
02 评价
李冰（生卒年、出生地不详），战国时代著名的水利工程专家。公元前256年—前251年被秦昭王任为蜀郡 （今成都一带）太守。期间，他征发民工在岷江流域兴办许多水利工程，其中以他和其子李二郎一同主持修建的 都江堰水利工程最为著名。
相关事件
பைடு நூலகம்
地形复杂，洪水泛滥
分水鱼嘴，外流内灌
都江鱼嘴，又名分水鱼嘴，是人工筑起的一条纵向的大堰，因为头部像鱼头，所以称为“鱼嘴”。又因为它 的作用在于把上游流下来的江水分为内、外两股（堤左西面的为外江，是岷江的主流；堤右东面的为内江，是灌 溉东面田地的总渠），所以称为“分水鱼嘴”。
评价
以今天的科学水平来回顾2000多年前的都江堰工程，仍然可以看到这个工程从规划、施工到最终的效果都是 十分科学和正确的。因此，这项工程能够成功地控制内、外江水量，解决西涝东旱的弊病，把原来的灾害地区变 成“天府”粮仓。如果以现代的科技水平来从事这项工程，可能在施工手段、设备材料、工程进度上有所提高， 而就最终的效果来说，则差距并不很大。因此，我们不得不由衷地对2000多年前这项杰出的工程与工程的主持人 李冰表示钦佩。
感谢观看
都江堰是岷江中游的一项大工程。岷江从岷山发源，一路急流而下，到灌县地域又进入了平川地界。这里地 形复杂，加之泥沙淤积，使得航行十分困难，而且江水在洪水季节常常泛滥。令人感到奇怪的是，西边遭受洪水 肆虐的时候，东边却因缺水而受旱灾之苦。
都江堰设计图
李冰到任以后，听到了大量的民众呼声，亲临实地考察后不久就开始实施这项规模浩大的工程。近现代的人 们所见到的都江堰工程，从上游数起，主要有百丈堤、都江鱼嘴、内外金刚堤、飞沙堰、人字堤、宝瓶口，其中 最重要的是都江鱼嘴、飞沙堰与宝瓶口。现在可以肯定这3项主要工程都是李冰所主持修筑的。
运筹学的起源与发展
02
CATALOGUE
运筹学的发展历程
线性规划与非线性规划阶段
线性规划
线性规划是运筹学的一个重要分支，它研究如何在线性约束 条件下，优化线性目标函数。线性规划在生产计划、物流管 理等领域有广泛应用。
非线性规划
非线性规划是相对于线性规划而言的，它研究的是非线性目 标函数和约束条件下的最优化问题。非线性规划在很多实际 问题中都有应用，如投资组合优化、路径规划等。
人工智能与大数据阶段
人工智能
人工智能是研究如何让计算机模拟人类智能的学科。运筹学与人工智能的结合，使得机 器学习、深度学习等技术在运筹学中得到广泛应用，为解决复杂问题提供了新的思路和
方法。
大数据
大数据是指数据量巨大、处理难度高的数据集合。运筹学与大数据的结合，使得数据挖 掘、数据可视化等技术成为运筹学的重要工具，为解决实际问题提供了海量数据支持。
随机规划
随机规划是处理具有不确定性的优化问题的一种方法，其中某些参数或变量是随机的。随机规划可以使用概率模型或统计模 型来描述不确定性，并使用期望值模型或机会约束模型来定义优化问题。随机规划可以使用蒙特卡洛模拟、期望值迭代法等 求解方法进行求解。
随机规划在风险管理、金融衍生品定价、可靠性优化等领域有着广泛的应用，例如投资组合优化、生产计划等。
古代水利工程
古代水利工程如都江堰、郑国渠等的建设，体现了对资源优化配置 和工程管理的运筹思想。
古代商业活动
古代商业活动中，如汉代的丝绸之路，涉及到了物资调配、路线规 划等运筹问题。
近现代的运筹学萌芽
概率论与统计学
17世纪欧洲的科学家开始研究概率论 和统计学，这些学科为运筹学提供了 数学基础。
军事运筹学
对企业决策的支撑
运筹学概论(施泉生)
运筹学与其他学科的关系
运 筹 学 与 管 理 科 学 （Management Science MS）关 系：管理科学涵盖的领域比运筹 学更宽一些。可以说，运筹学是 管理科学最重要的组成部分。
运筹学与其他学科的关系
运筹学与系统科学、系统分析、 工业工程的关系：系统科学、系统 分析、工业工程等学科研究的内容 比运筹学窄一些。
运筹学研究的特点
科学性 （1）它是在科学方法论的指导下通 过一系列规范化步骤进行的；
（2）它是广泛利用多种学科的科学 技术知识进行的研究。运筹学研究不 仅仅涉及数学，还要涉及经济科学、 系统科学、工程物理科学等其他学科。
运筹学研究的特点
实践性
运筹学以实际问题为分析对象， 通过鉴别问题的性质、系统的目标 以及系统内主要变量之间的关系， 利用数学方法达到对系统进行最优 化的目的。更为重要的是分析获得 的结果要能被实践检验，并被用来 指导实际系统的运行。
运筹学研究的特点
系统性
运筹学用系统的观点来分析 一个组织（或系统），它着眼于整 个系统而不是一个局部，通过协调 各组成部分之间的关系和利害冲突， 使整个系统达到最优状态。
运筹学研究的特点
综合性
运筹学研究是一种综合性的 研究，它涉及问题的方方面面，应 用多学科的知识，因此，要由一个 各方面的专家组成的小组来完成。
1939年由曼彻斯特大学物理学 家、英国战斗机司令部顾问、战后 获得诺贝尔奖金的P.M.S.Blackett为 首，组织了一个小组，代号 “Blackett马戏团”。这个小组包括 三名心理学家、两名数学家、两名 应用数学家、一名天文物理学家、 一名普通物理学家、一名海军军官、 一名陆军军官、一名测量员。
1.YRG运筹学 绪论
“孙膑斗马术”说的是春秋战国时期齐王与田忌赛马的事。有一天，齐王要田忌和他赛马， 规定各人从自己的上、中、下三个等级的马中各选一匹来参赛，说好输一匹付出千金， 胜一匹可获千金。 田忌的谋士孙膑一直在场观赛，就给他出了主意， 叫他用下马对齐王的上马，中马对齐王的下马，上马对齐王的中马， 结果以2：1胜了齐王，以劣胜优
五 《运筹学》的学科特点
1．多种专业协作 用运筹学来解决实际问题需要各方面的专业知识，而运筹学家很难全部具备。 这就需要有各方面专家的集体智慧协作努力。 2．科学的方法 用运筹学解决实际问题必须用科学的方法，对各种原始资料进行处理，再用 科学的方法找到决策的依据。 3．解决实际问题 4．需要信息资料 5．需要建立模型 6．需要计算机 运筹学的解题的计算量很大，一个复杂的模型可能会有几十个甚至上百个变量， 没有计算机是无法计算的。
5.规划论 规划论是运筹学的一个重要分支,分为线性规划,整数规划，动态规划,非线性规划, 多目标规划，其中线性规划（Linear Programming）用途广泛,各种方法成熟， 是我们学习的重要内容。
线性规划，最直观的理解就是：研究在线性不等式或等式的约束下，使得某个 线性目标取得最大（小）的问题。线性规划在交通、工业、农业、军事、经济、 管理等方面都有很多成功的实例。
3、搜索论 搜索论是用来搜索一样东西的理论。是从军事上搜索潜艇开始的…… 搜索论现在用来合理的搜索人力、物力资源，如探矿，我国主要那些地方有石油， 如果全面去找，显然要花费大量人力、物力资源，利用搜索论可以合理的应用 最少的人力和物力，在最短的含时间里去发现石油资源。 4.存贮论 存贮论是研究物资管理，采购设备资源的一套数学理论。如工厂生产需储备 一定的原材料，如果原材料储备太多，积压了资金造成了浪费，如果设备太少 会造成生产上的停工待料，因此就必须根据生产活动的连续性决定最佳存 贮量，这就要进行科学计算。 (还有：水库的蓄水量，商品的库存量，机器零件的备用量，血库的储血量)
都江堰运筹报告
都江堰运筹报告都江堰是中国四川省成都市的一座历史悠久的水利工程，被誉为世界四大水利工程之一。
它的建设历经千余年，既是一项高度复杂的工程项目，也是古代人们智慧和创造力的结晶。
本文将从运筹的角度探讨都江堰工程的建设过程，并分析其中所蕴含的智慧和思考方式。
1.项目背景都江堰位于成都平原，由于地处山区，常年水患是当地居民面临的主要问题之一。
古人们认识到，只有通过有效的水利工程，才能解决当地的水灾问题，并提供灌溉用水。
于是，他们决定建设一座长达66.5公里的运河，将岷江的水引入成都平原。
这个惊人的构想将通过一系列复杂的工程来实现。
2.思维方式在都江堰工程的建设过程中，古人们展现了一种逐步思考的方式。
他们首先进行了详细的勘测和测量，以充分了解项目所涉及的地理和物理条件。
然后，他们进行了仔细的规划和设计，确保运河的走向和坡度能够有效地引水和排水。
接下来，他们开始了分段施工，将整个工程划分为多个小阶段，逐步完成。
这种逐步思考的方式使得工程的实施更加有序和可控。
3.技术应用尽管古人们没有现代科技的支持，但他们依然运用了一系列先进的工程技术。
其中最重要的是利用重力和水流的力量进行水利调控。
他们巧妙地设计了坎门、分水口等结构，通过调节闸门的开闭来控制水流的高低和分配。
在施工过程中，他们还广泛使用了土石方工程、挖掘工程和砌筑工程等技术。
这些技术的应用使得都江堰工程在当时成为一项前所未有的壮举。
4.运筹思想在都江堰工程的建设中，古人们充分展示了运筹思想，即通过合理的安排和组织来解决复杂的问题。
他们充分利用当地的自然资源和地形条件，最大限度地减少了工程的难度和成本。
他们也注意保护生态环境，尽可能减少对当地生物多样性的影响。
运筹思想的应用使得都江堰工程在古代中国的水利工程史上独树一帜。
5.成就和启示都江堰工程的建设经历了千余年，成为中国古代水利工程的代表之一。
它不仅解决了当地的水患问题，为成都平原的农业和经济发展提供了有力支持，也展示了古代人们的智慧和创造力。
运筹学基础-绪论
• 丁谓修复皇宫
北宋真宗年间，皇城失火，皇宫被毁，朝廷决定重建皇宫。丁谓负责 修复烧毁的开封皇宫。
丁谓到现场一察看，发觉有三大问题最难办。 一是建房用土量大。若到郊外取土，路途太远。 二是运输难，大批建筑材料，从外地只能由水路运到汴水。若再运到 皇宫建筑工地，只能靠车马了。 三是大片废墟垃圾，要运到远处倒掉。不知要花费多少人力、物力和 时间。
生活中的运筹学
• 家里来了客人，你想给他泡茶。但家里没有 热水和茶叶；此外茶壶、茶杯也还没洗。其 中，出去买茶叶要5分钟，烧热水要10分钟， 洗茶壶2分钟，洗茶杯1分钟。而口渴的客人 12分钟喝不到茶就会崩溃。
• 你如何在最短的时间内让客人喝到茶呢？ 1-12
• 步骤1：烧水（10分钟） • 步骤2：在烧水的同时，去洗茶壶（2分钟）、洗
它是一个典型的排队的例子, 关于排队的例子有很多, 例如：上下班坐公共汽车, 等待公共汽车的排队; 顾客到商店购物形成的排队; 病人到医院看病形成的排队; 售 票处购票形成的排队等; 另一种排队是物的排队，例如文件等待打印或发送; 路口红 灯下面的汽车、自行车通过十字路口等等.
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运筹学主要内容及学习方法
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多个起点到多个终点的运量分配问题
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网络计划技术在地铁工程筹划中的应用
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2020/11/23
一定阶段最短路问题——动态规划问题
W先生每天驾车去公司上班。如图，W先生的住所位于u1， 公司位于us，图中的直线段代表公路，交叉点代表路口，直 线段上的数字代表两路口之间的平均行驶时间。现在W先生 的问题是要确定一条最省时的上班路线。
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、 劳动时间的需求、利润及工厂每月的现有量。请指定工厂的 月生产计划，使工厂的利润最大。
运筹学概论
何谓“运筹学”？它的英文名称是 课 程 简 介 Operations Research,直译为“作业研 究”，就是研究在经营管理活动中如 何行动，如何以尽可能小的代价，获 取尽可能好的结果，即所谓“最优化” 问题。汉语是世界上最丰富的语言， 中国学者把这门学科意译为“运筹 学”，就是取自古语“运筹于帷幄之 中，决胜于千里之外”，其意为运算 筹划，出谋献策，以最佳策略取胜。 这就极为恰当地概括了这门学科的精 髓。
（3）经济：经济理论特别是数理经济 ）经济： 学派对运筹学影响巨大。 年来， 学派对运筹学影响巨大。近30年来， 年来 经济数学和运筹学互相影响， 经济数学和运筹学互相影响，相互 促进，共同发展。 促进，共同发展。
运筹学在中国： 50年代中期钱学森，许国志引入 华罗庚推广 优选法、统筹法 中国邮递员问题、运输问题
真 实 系 统
数据准备
系统分析 问题描述
模型建立 与修改
模型求解 与检验
结果分析 与实施
运筹学分析的步骤
管理科学与工程学院
4、运筹学的应用 、
早期应用在军事领域，二次大战后转向民用。 早期应用在军事领域，二次大战后转向民用。 1 生产计划 使用运筹学方法从总体上确定适应要求的 生产。 贮存和劳动力安排等计划。 生产 。 贮存和劳动力安排等计划 。 以谋求最 大的利润或最小的成本， 主要用线性规划。 大的利润或最小的成本 ， 主要用线性规划 。 整数规划以及模拟方法来解决此类问题， 整数规划以及模拟方法来解决此类问题 ， 此 外还在生产作业计划日程表的编排， 外还在生产作业计划日程表的编排 ， 合理下 料，配料问题，物料管理等方面的应用。 配料问题，物料管理等方面的应用。 2 市场营销 可把运筹学方法用于广告预算和媒介的选 竞争性的定价、 新产品的开发、 择 ， 竞争性的定价 、 新产品的开发 、 销售计 划的制定等方面。 如美国杜邦公司从50年代 划的制定等方面 。 如美国杜邦公司从 年代 起就非常重视运筹学在市场营销上的应用。 起就非常重视运筹学在市场营销上的应用。
《运筹学》试题及答案(二)
《运筹学》试题及答案19、简述线性规划模型主要参数（p11）（1）、价值系数：目标函数中决策变量前的系数为价值系数（2）、技术系数：约束条件中决策变量前的系数（3）、约束条件右边常数项15、简述线性规划解几种可能的结果（情形）（ppt第二章39或89页）（1）.有唯一最优解 (单纯形法中在求最大目标函数的问题时，对于某个基本可行解，所有δj≤0)（2）.无可行解，即可行域为空域，不存在满足约束条件的解，也就不存在最优解了。
（3）.无界解，即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可以无穷大或无穷小，一般来说，这说明模型有错，忽略了一些必要的约束条件（4）.无穷多个最优解，则线段上的所有点都代表了最优解（5）退化问题，基变量有时存在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，用图解法无退化解1、简述单纯形法的基本思路（p70）从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。
直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。
17、简述线性规划中添加人工变量的前提（p85）在系数矩阵中直接找不到初始可行解，进而通过添加人工变量的方法来构造初始可行基，得出初始基本可行解10、简述线性规划对偶问题的基本性质（p122）（1）对称性（2）弱对偶性（3）强对偶性（4）最优性（5）互补松弛型原函数与对偶问题的关系1）求目标函数最大值的线性规划问题中有n 个变量 m个约束条件，它的约束条件都是小于等于不等式。
而其对偶则是求目标函数为最小值的线性规划问题，有m个变量n个约束条件，其约束条件都为大于等于不等式。
2）原问题的目标函数中的价值系数为对偶问题中的约束条件的右边常数项，并且原问题的目标函数中的第i个价值系数就等于对偶问题中的第i个约束条件的右边常数项。
3）原问题的约束条件的右边常数项为对偶问题的目标函数中价值系数。
[K12学习]七年级历史上册 第18课 卓越的工程复习要点素材 川教版
K12学习教育资源
K12学习教育资源第18课卓越的工程
1.（战国）后期，（秦）国蜀守（李冰）父子组织发动民众，在（成都）附近的（岷江）上修建了（都江堰）。
都江堰的作用：都江堰的建成使成都平原成为"水旱从人，不知饥馑"的（天府之国）。
都江堰水利工程由（渠首）和（渠道）两大部分组成。
渠首的主要工程是（分水堤坝）、（进水口）、（飞沙堰）。
分水堤坝俗称（金刚堤），筑在（岷江）之中，把岷江分为（外江）和（内江）；进水口俗称（宝瓶口）。
都江堰的功能：都江堰具有（灌溉）、（防洪）、（运输）等功能。
（战国）后期，（秦）国还在（咸阳）附近修建了（郑国渠），灌溉关中平原的农田。
2.秦朝"万里长城"是在（秦、赵、燕）三国北方防御工程的基础上修筑的，负责人是（蒙恬）。
修长城的目的：为防御强大的（匈奴），巩固北方边防，修筑了由城堡和（城墙）构成的（"长城"）。
秦长城西起（临洮），今甘肃岷县，东至（辽东），全长万余里，意义：长城是中国古代文明的象征，也是古代世界的伟大工程之一。
匈奴族曾生活在我国的（蒙古高原）。
秦朝修（灵渠）是为了征服（越族），灵渠贯通了（长江）和（珠江）两大流域。
秦始皇派（蒙恬）夺回河套，命（史禄）
主持修建灵渠。
掌握"战国－秦朝重要工程颁布图"。