理论力学 第2章 平面力系的简化和平衡

l 0
xq
(
x ) dx
FR'0，MO0；故可合成为一个合力，且
FR=
FR'=
l 0
q
(
x ) dx
FR大小等于分布载荷图形的面积
合力FR的作用线到O的距离为：
h=MO/FR'=

l xq
0
(x)dx
/
lq
0
(x ) dx
FR的作用线通过分布载荷图形的形心。 33
情况 向O点简化的结果 力系简化的最终结果
分类 主矢FR' 主矩MO （与简化中心无关）
1
FR’=0 MO=0 平衡状态（力系对物体的移动
和转动作用效果均为零）。
2
FR'=0
MO0 一个合力偶，M=MO。
3
FR0
MO=0 合力FR=FR，作用线过O点。
4
FR‘0
MO0 一个合力，其大小为 FR=FR，
m
求得： RA AB cos30 144N
0.24
对CD杆：m 0 m Rc 0.182 0.242 0.2322 0
§2–3 平面任意力系的合成与平衡
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点 又不相互平行的力系叫∼。
[例]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
现mo (R ) mo (F1)mo (F2 )证毕
3、平面汇交力系合成与平衡的解析法
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即：
R 0 Rx2 Ry2 0
Rx X 0 Ry Y 0
为平衡的充要条件，也叫平衡方程 11
例2.2 求图示作用在O点之共点力系的合力。
h=M0
/FR=1.09
(m)
；
位置由Mo
的正负确定，如图。
32
讨论2 同向分布平行力系合成
h FR
qo
q(x)
设载荷集度为q(x)，在距O点x 处取
微段dx, 微段上的力为q(x)dx。
O
以O点为简化中心，主矢和主矩为： x dx l
x
FR=q(x)dx=
l
0
q
(
x
)
dx ；MO=xq(x)dx=
②
由①得
cos

T1 T2

P 2P

1 2
600
由②得NDQ-T2sin Q-2Psin 600Q 3P
15
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。
Rx
X
作用点： 为该力系的汇交点
3、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所
有各分力对同一点的矩的代数和
即：
n
mO (R )mO (Fi )
i1
10
[证] 由合力投影定理有： od=ob+oc
又∵ M o (F1)2oABoAob M o (F2 )2oAC oAoc M o (R )2oADoAod
空间力系: 包括空间汇交力系，空间平行力系，空间力偶系和 空间一般力系(空间任意力系)
平面力系: 包括平面汇交力系，平面平行力系，平面力偶系和 平面一般力系(平面任意力系)
3
平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点 的力系。
平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且互相平行 的力系。
平面力偶系：所有的力偶都作用在同一个平面内

0.4 1.2

1 3
SCD

sin
450
P cos450
tg
4.24
kN
；
RA

SCD

cos450
cos
3.16 kN
14
[例2.5] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力
ND=？ 解：研究球受力如图，
选投影轴列方程为
X 0 T2cos T10 ①
Y 0T2 sin Q N D 0
在工程中常见的
雨搭
车刀
29
固定端（插入端）约束
20
说明
①认为Fi这群力在同一 平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示;
④ YA, XA, MA为固定端 约束反力;
⑤ YA, XA限制物体平动,
MA为限制转动。
30
y
FR h
FR'
讨论1 平面一般力系简化的最终结果 MO O x
（未知力系）
（已知力系）
汇交力系
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心)
力偶系
力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
27
主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 MO m1 m2 m3
mO (F1)mO (F2 )mO (Fi )
大小：R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
力偶是矢量(自由矢) 平面力偶是代数量
共点力系可合成为 一个合力。
平面力偶系可合成 为一个合力偶。
合力投影定理有： 合力偶定理:
FRx=F1x+F2x+…+Fnx=Fx FRy=F1y+F2y+…+Fny=Fy
M=Mi
20
[例2.6] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为m1 m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
用点B的矩。
[证] 力F
力系 F ,F , F 力F 力偶（F，F ）
25
说明： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶
（偶断丝连） ②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d ③力线平移定理是力系简化的理论基础。
26
2. 平面一般力系向一点的简化
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系
即：
Rx X1 X2 X4 X
Ry Y1 Y2 Y3 Y4 Y
Rx X Ry Y
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
9
合力的大小： R Rx2 Ry2
x2 y2
方向：
tg

Ry Rx
∴ tg1 Ry tg1 Y
解：取坐标如图。
合力ห้องสมุดไป่ตู้坐标轴上的投影为：
Rx=X=-400+250cos45-200×4/5 =-383.2 N
Ry=Y=250sin45-500+200×3/5 =-203.2N
y
F4 =200N
F3=500N
F 2 =250N
5
3 4
45 F1 =400N
O
x
R
合力为： R Rx2 Ry2 =433.7N;
23
研究思路：
受
y
力
如 共点力系可合
M2
何 成为一个力
简
分 析
M1
化 力偶系可合成
一般力系 x
？ 为一个合力偶
问题：如何将力移到同一个
作用点上？
O
或者说力如何移到任一点O？
F
力向一点平移
力系的简化
平衡条件
24
1.力的平移定理
可以把作用在刚体上点A的力 F平行移到任一 点B，但必须 同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原来的力 F 对新作
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
16
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。
17
§2-2 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶 等效定理
mo (Q ) Ql
13
[例2.4] 已知 P=2kN 求SCD , RA
解：①研究AB杆
②画出受力图
③列平衡方程
X 0 RAcos SCDcos4500 Y 0 PRA sin SCD sin450 0
④解平衡方程 由EB=BC=0.4m，

解得：
tg

EB AB
主矢 R 方向： tg1 Ry tg1 Y
（移动效应）
Rx
X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
28
大小： M O mO (Fi )
主矩MO 方向： 方向规定 +
—
（转动效应） 简化中心： (与简化中心有关)
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
固定端（插入端）约束
6
结论： R F1 F2 F3 F4
即： R F
即：汇交力系的合力等于力系中各分力的矢量和，合力的作 用线通过力系的汇交点。
二、汇交力系平衡的几何条件
汇交力系平衡的充要条件是：
R F 0
在几何法求力系的合力中，合力为零意
味着力多边形自行封闭。所以汇交力系
平衡的必要与充分的几何条件是：
力多边形自行封闭
或
力系的合力等于零
力系中各力的矢量和等于零
7
三 合成的解析法
1、力在平面坐标轴上的投影
X=Fx=F·cos ：