关于矩阵方程ATX+XHA=B的一般解
有关矩阵方程AX=B问题的探究
上海大学2012～2013学年冬季学期课程论文课程名称：线性代数与几何(1)(基础班)课程编号：01014108论文题目: 有关矩阵方程AX=B问题的讨论作者姓名: 王文涛学号: ******** 成绩: 论文评语:评阅人:评阅日期:注:后附课程论文的正文有关矩阵方程AX=B 问题的讨论作者姓名:王文涛 学号:12123405摘要: ：线性代数是代数学的一个分支，它以矩阵理论为中心，而矩阵方程是应用最广泛的一类方程。
：作为线性方程组的解的理论的推广，本文给出了矩阵方程AX=0解的结构、解的性质和矩阵方程AX=B 有解的充要条件。
关键词: ：矩阵方程 解的判定 解的结构我们知道线性方程组可写成矩阵形式：Ax=b ，其中A 为m ×n 矩阵，b 为m维列向量， x 为未知的n 维列向量。
现将向量b 推广到矩阵B ， 即得到矩阵方程：AX=B ， 其中A 为m ×n 矩阵，B 为m ×s 矩阵，X 为未知的n ×s 矩阵。
根据线性方程组与矩阵方程的紧密联系，我们对矩阵方程AX=B 提出与线性方程组相同的两个力所能及的问题：第一，矩阵方程有没有解，有解的充要条件是什么；第二，矩阵方程若有解，有多少个。
本文的分析正是基于对以上问题的思考来进行的。
首先，我们来证明矩阵方程AX=B 有解的充要条件。
设A 和B 分别是给定的m×n 和m×p 矩阵，X 是n×p 未知矩阵。
证明：矩阵方程AX=B 有解的充要条件是：rankA=rank[A,B]，其中[A ，B]是A 和B 并排成的矩阵。
证：记B=[β1,β2,⋯,βp]，其中β1是矩阵B 的第j 列形成的m 维列向量，j=l,2,⋯,P ，记X=[α1,α2,⋯,αp]，其中αj 是矩阵X 的第j 列，形成n 维的未知向量，j=1,2,⋯,P 。
考虑Aα1,α2,⋯,αj=β1,β2,⋯,βj,j=l,2,⋯,p 。
矩阵方程AX=B的行对称矩阵解(数学本科论文).doc
两类矩阵方程的行对称矩阵解及AX=B 的最佳逼近摘要 本文首先介绍了行对称矩阵的定义及性质，利用矩阵的广义逆，奇异值分解，给出了矩阵方程AX=B 有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式；并给出了矩阵方程解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式。
最后利用奇异值分解给出了矩阵方程T AXA B =有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式。
关键词 行对称矩阵解；矩阵方程；最佳逼近The row symmetric matrix solution oftwo kind of matrix equation and the optimal approximation of AX=BAbstract The thesis first introduce the definition of row symmetric matrix and itsproperty. By using the generalized inverse, singular value decomposition, the sufficient and necessary conditions for the existence of and the general expressions for matrix equation AX=B has a row symmetric matrix solution are derived .In addition, in the solution set of matrix equation, the unique optimal approximation solution to a given matrix in Frobenius norm is driven. At last, by using the singular value decomposition, the sufficient and necessary conditions for the existence of and the general expressions for matrix equation T AXA B = has a row symmetric matrix solution are derived.Keywords row symmetric matrix solution ； Matrix equation ；Optimal approximation1.引言约束矩阵方程问题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题。
第四节 矩阵方程
y1 17 23 y2 21 28 y3 8 11
对矩阵方程AX=B, 按列分块:
A( x1 x2 xn ) (b1 b2 bn )
即 ( Ax1 Ax2 Axn ) (b1 b2 bn ) AX=B 包含n个线性方程组:
Ax1 b1 , Ax2 b2 , , Axn bn ,
Axi bi 有解 R( A) R( Abi ) i 1,2,, n
定理4.1 矩阵方程AX=B有解 R( A) R( A B)
例2
1 2 0 B 2 1 0 , AB B A, 0 0 2
1 0 0 0 1 0 1 3 2
2
0 0 1 0 3 0 1 0 1 2 1 0 0 1 3 0 1 2 2
2
验算 AA1 E
2
( A E ) (E A )
n阶矩阵A可逆 A通过行初等变换可化为E
总结 下列命题等价 (设A是n阶方阵) : A可逆 (1)
(2) 齐次线性方程组AX=0只有零解 (3) R( A) n (4) A 0
(5) A通过行初等变换可化为E
作业
79页 78页
16 17 4(2)(3)(4) 7
求矩阵A.
( B E )T AT BT 0 2 0 1 2 0 2 0 0 2 1 0 T T 0 2 0 1 2 0 (( B E) B ) 2 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 / 2 0 T 0 1 0 1/ 2 1 0 A 0 0 1 0 0 2
高等代数矩阵练习题参考答案
高等代数矩阵练习题参考答案The document was prepared on January 2, 2021第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错.2. 如果20,A =则0A =.错.如211,0,011A A A ⎛⎫==≠ ⎪--⎝⎭但.3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.正确.2()A A E A E A E +=⇒+=，因此A 可逆，且1A A E -=+.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B =错.如112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，有,AC AB =但B C ≠.6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11(*)||A A A -=. 8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB(A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵.(A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) T A A - 3．以下结论不正确的是（ C ）.(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵.4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）(A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零； (C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零； 5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ） (A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+- (C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+-6．下列命题正确的是（B ）. (A) 若AB AC =，则B C = (B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C = 7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ B ）. (A) 当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B) 当m n >时，必有行列式0AB = (C) 当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D) 当n m >时，必有行列式0AB =.AB 为m 阶方阵，当m n >时，(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<，所以0AB =. 8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =； (B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ C ）.（A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++. （C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T 可得12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.因此（A ），（B ）中向量组均为线性相关的，而（D ）显然为线性相关的，因此答案为（C ）.由可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ C ）时，n I A -必是可逆矩阵(A) n A A = (B) A 是可逆矩阵 (C) 0n A = (B) A 主对角线上的元素全为零11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）(A) 1A = (B) 0A = (C) T A A = (D) 0A ≠12．,,A B C 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）(A) 若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵，则必有AB BA = (C) 若0A ≠，则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠，则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（C ） (A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E = 14．A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ） (A) 若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵； (B) 若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵； (C) 若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； （Ｄ）*.AA A = 15．设A 是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ Ｄ ）(A) A (B) 2A (C) 3A (D) 4A16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（Ｂ ）(A) 1n jk ki k a A =∑ (B) 1n kj ki k a A =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（C ）(A) A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随 (D)以上结论都不对18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = ( Ｃ ) (A) **00A CB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)**00A A CB B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C) **00B A C A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D) **0A B A C A B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 利用*||CC C E =验证.19．已知46135,12246A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，下列运算可行的是（ C ） (A) A B + (B)A B - (C)AB (D)AB BA -20．设,A B 是两个m n ⨯矩阵，C 是n 阶矩阵，那么（ D ）21．对任意一个n 阶矩阵A ，若n 阶矩阵B 能满足AB BA =，那么B 是一个（ Ｃ ）(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A 的逆矩阵 与任意一个n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A 是一个上三角阵，且0A =，那么A 的主对角线上的元素（ Ｃ ）(A) 全为零 （B ）只有一个为零 （C ）至少有一个为零 （D ）可能有零，也可能没有零23．设1320A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A-=（D）(A)121136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦（B）131136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（C）131126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（D）121136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24．设111222333a b cA a b ca b c⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若111222333222a c bAP a c ba c b⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则P=（ B）(A)100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（B）100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（C）001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（D）200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n≥阶矩阵1111a a aa a aA a a aa a a⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若矩阵A的秩为1，则a必为（A ）(A)1 （B）-1 （C）11n-（D）11n-矩阵A的任意两行成比例.26.设,A B为两个n阶矩阵,现有四个命题:①若,A B为等价矩阵,则,A B的行向量组等价;②若,A B的行列式相等,即||||,A B=则,A B为等价矩阵;③若0Ax=与0Bx=均只有零解,则,A B为等价矩阵;④若,A B为相似矩阵,则0Ax=与0Bx=解空间的维数相同.以上命题中正确的是( D )(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.当APPB1-=时，,A B为相似矩阵。
ax=b,a不可逆求矩阵x例题
Title: 关于ax=b中矩阵x的不可逆性问题探讨一、问题引入上线性代数领域中，有一个经典的问题是关于矩阵方程ax=b中矩阵x 的不可逆性问题。
在接下来的文章中，我们将从数学角度探讨这一问题，并通过例题进行分析和求解。
二、矩阵与线性方程1.矩阵简介矩阵是线性代数中的基本概念，它由数个数排成的矩形表格所组成，常用于表示线性方程组、向量以及线性变换等。
在矩阵运算中，有一个非常重要的问题是矩阵的可逆性。
2.线性方程与矩阵表示线性方程组可以用矩阵来表示，一般形式为Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知变量的向量，b为常数向量。
要解决这个线性方程组，就需要找到矩阵x的值。
三、矩阵x的不可逆性问题1.定义矩阵A的逆矩阵表示为A^(-1)，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=E，其中E为单位矩阵，那么B就是A的逆矩阵。
2.不可逆矩阵的特点如果矩阵A不存在逆矩阵，即A^(-1)不存在，那么矩阵A就是不可逆的。
对于不可逆矩阵来说，线性方程组Ax=b可能不存在解，或者存在无穷多解。
3.判定不可逆性的方法通过行列式的值来判断矩阵的不可逆性，当行列式的值为0时，矩阵不可逆；当行列式的值不为0时，矩阵可逆。
四、例题分析假设有线性方程组3x+2y=8，6x+4y=16，我们将通过矩阵表示及求解来探讨矩阵x的不可逆性问题。
1.矩阵表示将线性方程组表示为矩阵形式：A=[3 2；6 4]，x=[x;y]，b=[8;16]。
2.判断矩阵的可逆性计算矩阵A的行列式值为3*4-2*6=0，因此矩阵A不可逆。
3.求解线性方程组由于矩阵A不可逆，线性方程组可能不存在解或者存在无穷多解。
通过消元法可以得到x=4-2y，由此可见线性方程组存在无穷多解。
五、总结与展望通过以上例题分析，我们可以得出对于线性方程组ax=b中矩阵x的不可逆性问题的一些结论：1.矩阵A的不可逆性可以通过行列式的值来判断。
2.不可逆矩阵所对应的线性方程组可能不存在解或者存在无穷多解。
线性代数第三章线性方程组
第三章 线性方程组
本章重点：
•线性方程组的解的判定和求法
本章难点：
•解的判定定理
一、线性方程组的有关概念
1、n元线性方程组为：
a11x1 a12x2 a1nxn b1,
a2 1x1 a12x2 a1nxn b2,
am1x1 am2x2 amnxn bm.
aij：第 i个方,第 程 j个未知 xj的 量系数；
“增广矩阵”
【例3】已知方程组的增广矩阵如下，试写出
它的线性方程组
1 1 0 1
A 1 0 2 2
“常数项”
1 3 0 3
解：
x1x2 1 x1 2x32
x13x2 3
4、齐次线性方程组：AX=0
a11x1 a12x2 a1nxn 0, a2 1x1 a12x2 a1nxn 0, am1x1 am2x2 amnxn 0.
x1 0
x2
0
x 3 0
就是它的一 组解。
显然：（0,0,,0）是齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn 0, a2 1x1 a12x2 a1nxn 0,
am1x1 am2x2 amnxn 0.
的一组解。称为0解，或平凡解。否则称为 非零解。
➢注意：方程组的解可能有惟一解，也可能 有无穷多组，也可能是无解。
1 2 1 6 3 35
0 2
1
3 8
1
①+③ ②+③(-1)
0 0 1 5 2 1
0 0 0
0
0
0
1 2 0 1 5 34
0 2 0
2
6
2
①+②(-1)
0 0 1 5 2 1
介绍一种解方程组X’=AX的方法
介绍一种解方程组X’=AX的方法大家好呀！今天咱就来聊一聊解方程组X’=AX的一种方法——矩阵指数法。
这方法挺有趣的，掌握好了，解这类方程组就没那么头疼啦。
一、啥是矩阵指数法呢。
矩阵指数法就是通过定义矩阵指数函数来求解线性常系数微分方程组X’=AX的一种方法。
简单来说，就是利用矩阵的指数形式来找到方程组的解。
这里面的A是一个系数矩阵哦，它的元素都是常数。
比如说，要是有个方程组X’=AX，其中A是一个2×2的矩阵，像这样begin{bmatrix}ab cdend{bmatrix}，X是一个包含两个未知函数x_1(t)和x_2(t)的列向量begin{bmatrix}x_1(t) x_2(t)end{bmatrix}。
二、怎么求矩阵指数函数呢。
要求矩阵指数函数e^At，这有几种常见的方法哟。
1. 幂级数法。
这方法就是根据矩阵指数函数的幂级数展开式来计算的。
矩阵指数函数e^At可以展开成幂级数的形式：e^At=I + At+((At)^2)/(2!)+((At)^3)/(3!)+·s+((At)^n)/(n!)+·s，这里的I是单位矩阵。
一般来说，如果A是一个比较简单的矩阵，用这个方法还挺方便的。
比如说A是对角矩阵或者若尔当标准型矩阵的时候，计算起来就相对轻松一些。
不过要是矩阵A比较复杂，这个幂级数可能就不太好算了，因为要算好多项呢。
2. 拉普拉斯变换法。
这个方法就需要用到拉普拉斯变换的知识啦。
先对矩阵微分方程X’=AX两边取拉普拉斯变换，得到sX(s)-X(0)=AX(s)，这里的X(s)是X(t)的拉普拉斯变换，X(0)是初始条件。
然后通过移项和整理，可以得到X(s)=(sI A)^-1X(0)。
最后再对(sI A)^-1求拉普拉斯逆变换，就能得到矩阵指数函数e^At啦。
这个方法在处理一些有初始条件的问题时挺好用的。
三、用矩阵指数函数求方程组的解。
一旦求出了矩阵指数函数e^At，那方程组X’=AX的解就可以表示为X(t)=e^AtX(0)，这里的X(0)就是初始条件。
《工程数学(本)》形考二答案
《工程数学（本）》形考二答案一、单项选择题(每小题5分，共50分)试题 1设线性方程组的两个解，则下列向量中（B）一定是的解.选择一项：a.b.c.d.正确答案是：试题 2设与分别代表非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组有解，则（D）．选择一项：a.b.c.d.正确答案是：试题 3以下结论正确的是（C）．选择一项：a. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解b. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解c. 齐次线性方程组一定有解d. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解正确答案是：齐次线性方程组一定有解试题 4若向量组线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出．选择一项：a. 至少有一个向量b. 没有一个向量c. 任何一个向量d. 至多有一个向量正确答案是：至少有一个向量试题 5矩阵A的特征多项式，则A的特征值为（C）．选择一项：a.b.c. ，，d.正确答案是：，，试题 6设矩阵的特征值为0，2，则3A的特征值为（A）．选择一项：a. 0,6b. 2,6c. 0,2d. 0,0正确答案是：0,6试题 7设A，B为n阶矩阵，既是A又是B的特征值，x既是A又是B的特征向量，则结论（D）成立．选择一项：a. 是A-B的特征值b. 是AB的特征值c. 是A+B的特征值d. x是A+B的特征向量正确答案是：x是A+B的特征向量试题 8设A,B为两个随机事件，则（A）成立．选择一项：a.b.c.d.正确答案是：试题 9如果（A）成立，则事件A与B互为对立事件．选择一项：a. 且b. A与互为对立事件c.d.正确答案是：且试题 10某购物抽奖活动中，每人中奖的概率为0.3. 则3个抽奖者中恰有1人中奖的概率为（B）．选择一项：a. 0.3b.c.d.正确答案是：二、判断题(每小题5分，共25分)试题 11非齐次线性方程组相容的充分必要条件是．（）正确答案是“对”。
数学-线性代数导论-#9Ax=b的解：存在性、解法、解的结构、解的数量
数学-线性代数导论-#9Ax=b的解：存在性、解法、解的结构、解的数量线性代数导论 - #9 Ax=b的解：存在性、解法、解的结构、解的数量终于，我们在b为参数的⼀般情况下，开始分析Ax=b的解，包括标题中的四个⽅⾯。
⾸先是解的存在性。
从⼏何上说，当且仅当向量b位于列空间C(A)内时，Ax=b有解；从代数上说，不能出现类似于“⾮0数=0”的⽭盾⽅程：1.这为我们判定是否有解提供了⼀个简便的途径：根据Gauss消元法中对A和b进⾏⾏变换的同步性，⾏的相同线性组合的值⼀定相同。
所以假如A中各⾏可以通过简单的线性组合得到零⾏，⽽b进⾏相同线性组合的结果⾮0，则该⽅程组⼀定⽆解。
2.这为我们⾯对b为参数的⼀般情况进⾏的分类讨论提供了依据：当我们使⽤Gauss消元法得到A中的零⾏时，回代前应该针对零⾏所对应的新b值是否为0进⾏分类讨论。
其次是解法、解的结构和解的数量，这⾥要求我们运⽤之前解Ax=0时的知识。
解法和解Ax=0⼤致相同。
使⽤Guass消元法，确定主元，进⼀步确定主元变量和⾃由变量。
1.求出特解X p：置全部⾃由变量为0（简化运算），回代解出主元变量，得到Ax=b的⼀个解；2.解出Ax=0的全部解X N：也即基向量的全部线性组合，含有1或2个常数c；3.通解X=X p+X N：因为A(Xp+X N)=AX p+AX N=b+0=b，这也就是所谓“解的结构”，通解由⼀个特解和零空间内的全部向量组成。
从⼏何上说，解空间由零空间平移得到。
但是，这种⽅法存在缺陷，不通⽤。
问题就出在第⼀步。
如果没有⾃由变量怎么办？那后续的⽅法如何进⾏？解的结构还是那两个部分吗？还有，如果根本就没有解，怎么办？为了确定解的存在性；为了确定⾃由变量的个数，发掘其与解的数量及与之相对应的结构的关系，我们需要研究秩的概念。
之前已经提及，秩r=主元数。
如何利⽤r判定⼀个由m*n矩阵A构成的⽅程Ax=b的解的数量呢？关键是：1.⾃由变量的个数n-r（主元不同列），即r与n的相对关系；2.零⾏（可能出现“⾮0数=0”的⽭盾情况）的个数m-r（主元不同⾏以及主元⾮0），即r与m的相对关系；综合考虑，只可能出现以下四种情况（根据主元选取规则，r显然⼩于等于m和n）：1.r=m=n（”满秩”），⼀定有唯⼀解：（1）没有零⾏，⼀定有解；（2）没有⾃由变量，解唯⼀（回代之后解出）。
矩阵方程求解方法
矩阵方程求解方法本文所述的矩阵方程是指形如Ax=b的方程，其中A是一个mxn的矩阵，称为方程的系数矩阵。
x和b是mx1的矩阵。
特别的，当b=0时，这种方程又称为其次方程。
本文将讨论这种矩阵的有解条件和求解方法。
矩阵方程的有解条件为了解释矩阵方程的有解条件，我们首先要熟悉一些概念。
一个矩阵方程的增广矩阵是系数矩阵A和b并在一起构成的矩阵，记作(A,b)。
假定, ,则矩阵方程的增广矩阵就是矩阵的秩定义为其行向量中极大线性无关组中包含向量的个数，等价的说法是，矩阵的秩是r，则矩阵通过行列初等变换，变换成左上角是一个r阶单位矩阵，其他都是0的矩阵。
矩阵A的秩记作r(A)，其中r是英文单词rank的缩写。
有了这两个基本概念，我们就可以准确描述矩阵方程的有解条件了：矩阵方程Ax=b的有解条件是矩阵A的秩等于增广矩阵(A,b)的秩，也就是r(A)=r(A,b)。
证明很简单，既然矩阵A的秩是r，那么肯定可以找到两个可逆的矩阵P,Q，满足--1)其中Ir表示r阶单位矩阵。
应用到原来的方程，可以得到:--2)我们把Q-1x当作一个未知的变量，PAQ当作系数，这就构成一个新的矩阵方程。
而这个矩阵方程的左侧系数除了前r行是有1的之外，其余行是0。
为了它有解，Pb的后m-r行必须也是0。
这样(A,b)的秩必然是r。
必须注意到Q-1是可逆的，因此以Q-1x为未知变量的方程有解意味着以x 为未知变量的原方程也是有解的。
矩阵方程的解对于矩阵方程Ax=b，如果满足r(A)=r(A,b)，则矩阵方程是有解的。
为了求它的解，我们首先把矩阵方程通过行列初等变换变化成前文2）式的形式，代入1）式后得到：--3)其中Q-1x和Pb是一个列向量，我们可以把它们分割成rx1和(n-r)x1的两个矩阵，分别记作x’1和x’2，及b’1和b’2。
则很显然我们可以得到：--4)很显然，b’2必须为0，因为展开后b’2等于0 x’1 +0 x’2 =0而由4式可以看出，x’1= b’1，x’2可以为任意向量。
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关于矩阵方程ATX+XHA=B的一般解
作者：王青朱利刚陈生安
来源：《价值工程》2018年第17期
摘要：本文主要研究了矩阵方程ATX+XHA=B的求解问题，我们证明该方程的解总可以通过矩阵方程ATX+XHA=B的特解和其对应的齐次矩阵方程ATX+XHA=B的解表出。
Abstract： In this paper， we mainly study the problem of solving matrix equations
ATX+XHA=B. We prove that the solution of the equation can always be expressed by the special solution of the matrix equation ATX+XHA=B and the solution of its corresponding homogeneous matrix equation ATX+XHA=B.
关键词：矩阵方程；共轭转置；零因子；广义逆
Key words： matrix equation；conjugate transposition；zero factor；generalized inverse
中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）17-0197-03
0 引言
矩阵方程是线性代数的一个重要内容，是矩阵最重要的数字特征之一。
1920年，Moore首次给出矩阵广义逆的概念；1955年，Penrose用方程组给出广义逆的定义。
此后，广义逆的研究获得了迅速发展并逐步应用在数理统计、最优化理论、控制理论等许多领域。
目前广义逆已广泛应用于求解矩阵方程。
近年来，一些学者对应用于机械系统、控制理论的较为典型的矩阵方程进行了广泛研究和应用，其中包括研究AX-XB=C[1，2]，ATX±XTA=B[3]等矩阵方程分别在有限域和无限域的广义解的存在性的讨论。
本文将在前人研究的基础上，讨论矩阵方程ATX+XHA=B的解的存在性，并得出其一般解的形式。
1 预备知识
记Cm×n为m×n的复矩阵的全体，本文所讨论的矩阵均为Cm×n中的矩阵。
我们首先介绍一些众所周知的定义和结果。
定义1.1 设A∈Cm×n，用A表示以A的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，AH=（A）T 称为A的共轭转置矩阵。
易知矩阵的共轭转置运算具有下列性质：
①AH=（AT）；②（A+B）H=AH+BH；③（AB）H=BHAH
定义1.2[4] 对任意一个m×n矩阵A，称下面的四个方程为Penrose方程：
①AXA=A；②XAX=X；③（AX）H=AX；④（XA）H=XA
如果矩阵X满足第1个条件，称X为A的1逆，记X=A （1）或A-；满足全部4个条件的记作A+，并称A-为减号逆A+为加号逆或Moore-Penrose广义逆。
定义1.3 设A∈Cm×n，B∈Cn×m，如果AB=0，则称A为B的左零因子，相应地，称B 为A的右零因子。
命题1.1[5] 设A∈Cm×n，A-∈A{1}，则（A-）T=（AT）-。
2 几个引理
为研究矩阵方程ATX+XHA=B的解，本节先给出三个引理，它们都可以在文献[4]中找到。
引理2.1 设B∈Cm×n，P，Q分别为m阶和n阶非奇异方阵且PAQ=B，则
A{1}={QB-P|B-∈B{1}}
引理2.2 设A∈Cm×n，当（I-AA-）B=0时，方程AX=B有解，且通解为X=A-B+（I-A-A）Y，其中Y∈Cn×p为任意矩阵。
引理2.3 I-AA-是A的左零因子，I-A-A是A的右零因子。
3 主要结果及证明
为使表达式简化，令P=AT（I-（A-）HAH），Q=AH（I-（A-）T）AT。
定理3.1 若矩阵方程ATX+XHA=B有解，则必有。
证明：若矩阵方程ATX+XHA=B有解，则不妨设为X0，于是ATX0+X0HA=B。
由引理2.3得
定理3.2 若（I-PP-）B=0，则矩阵方程ATX+XHA=B一定有解，且X=（I-（A-）HAH）P-B为它的一个解。
证明：当（I-PP-）B=0时，方程PY=B，即AT（I-（A-）HAH）Y=B有解。
由引理2.2知，上述方程的解为Y=P-B+（I-P-P）Z，其中Z∈Cn×n为任意矩阵。
因此可以取Z=0，则方程有解为Y=P-B。
令X=（I-（A-）HAH）P-B，则由引理2.3有ATX+XHA=B，即X为矩阵方程ATX+XHA=B的解。
为了得到矩阵方程ATX+XHA=B的通解，我们先求其对应的齐次矩阵方程ATX+XHA=0的解。
注意到齐次方程ATX+XHA=0的所有解可以由下述两类解的和所构成：
（1）和ATX=-XHA（2）
第一类：对于矩阵方程组（1），X是AT的右零因子，XH是A的左零因子，此时（1）的解为
事实上，由引理2.2知方程ATX=0的解为X1=（1-（A-）TAT）Y1，其中Y1是任意矩阵。
又由XHA=0得AHX=0，则其解为X2=（I-（A-）HAH）Y2，其中Y2是任意矩阵。
要求方程（1）的解，需选择适当的Y1和Y2，使得X1和X2同时满足方程（1）。
将X1代入式（b）中得AH（I-（A-）TAT）Y1=0，即得QY1=0。
由引理2.2得Y1=（I-Q-Q）Z1。
将X2代入式（a）中得AT（I-（A-）HAH）Y2=0，即得PY2=0。
由引理2.2得Y2=（I-P-P）Z2。
其中Z1，Z2是任意的矩阵。
因此得到方程（1）的解为：。
第二类：对于矩阵方程（2），X虽不是AT、AH的右零因子，但是ATX=-XHA，此时
由此我们得到下述定理3.3。
定理3.3 矩阵方程ATX+XHA=0有如下形式的解：
其中Z1，Z2为适当矩阵，Y为任意的满足运算的矩阵。
证明：由引理2.3将X代入原方程可得：
所以ATX+XHA=0。
定理3.4 若（I-PP-）B=0，则矩阵方程ATX+XHA=B有如下形式的解：
（3）
其中Z1，Z2为适当矩阵，Y为任意的满足运算的矩阵。
证明：由定理3.2得，当（I-PP-）B=0时，X=（I-（A-）HAH）P-B是矩阵方程
ATX+XHA=B的一个特解。
又由定理3.3知当（I-PP-）B=0时矩阵方程ATX+XHA=B对应的齐次方程ATX+XHA=0有如下形式的解：
显然（3）给出的X满足矩阵方程ATX+XHA=B；另一方面，矩阵方程ATX+XHA=B的任一解X都可以通过适当选取矩阵Z1，Z2，Y得到，即X总可以写成
的形式。
如果我们将方程改变为AHX+XHA=B，很容易得到下面的结果。
定理3.5 设A∈Cn×m，B∈Cm×m，I为m×m阶单位矩阵，矩阵方程AHX+XHA=B有解的充分必要条件是：
B=BH，且（I-AH（A-）H）B（I-A-A）=0
且在有解的情况下，其通解为
（*）
其中Y∈Cn×m任意的矩阵，Z是n×n的反对称矩阵。
证明：必要性：若方程AHX+XHA=B有解，设X0为其任一解，
则有AHX0+X0HA=B （☆）
两边同时取共轭转置得AHX0+X0HA=BH
因此B=BH
又由（☆）得
故有
充分性：若有B=BH，（I-AH（A-）H）B（I-A-A）=0成立，
则有
因为
所以为矩阵方程AHX+XHA=B的解，即矩阵方程AHX+XHA=B有解。
下证（*）是矩阵方程AHX+XHA=B的通解。
显然（*）给出的X满足矩阵方程AHX+XHA=B；另一方面，矩阵方程AHX+XHA=B的任一解X都可以通过适当选取矩阵Y和Z得到，即X总可以写成的形式。
参考文献：
[1]殷保群，奚宏生，杨孝先.矩阵方程AX-XB=C非奇异解的存在性[J].中国科学技术大学学报，2000，30（3）：340-344.
[2]Braden H W. The Equations ATX±XTA=B[J]. SIMA J. Matrix Anal. Appl.，2001， 20（2）： 295-302.
[3]徐龙华.矩阵方程AX-XB=C，AA-A=A解的讨论[J].河南科学，2012，30（5）：539-541.
[4]樊赵兵，卜长江.矩阵方程AX-XTB=C[J].大学数学，2004，20（5）：100-102.
[5]戴华.矩阵论[M].北京：科学出版社，2001.。