北京市平谷二中八年级数学 第七章第四节 平方差公式学
八年级数学平方差公式
几何图形面积计算
计算矩形面积
在几何图形中，矩形的面积可以表示 为长乘以宽，即 $S = ab$。当长和 宽相差不大时，可以利用平方差公式 近似计算面积。
计算平行四边形面积
平行四边形的面积可以表示为底乘以 高，即 $S = ah$。当底和高相差不大 时，同样可以利用平方差公式进行近 似计算。
实际问题解决策略
公式形式及推导过程
公式形式： (a+b)(ab)=a²-b²
推导过程
=a²ab+ab-b²
=a²-b²
左边 =(a+b)(ab)
=右边
适用范围及注意事项
适用范围：平方差公式适用于所有实数 范围内的运算，包括正数、负数以及0。
在进行复杂运算时，可以结合其他公式 或定理进行推导和计算。
在进行因式分解时，需要注意符号问题 ，确保分解后的因式与原式相等。
完全平方公式定义
阐述完全平方公式的概念， 即形如$(a+b)^2$或$(ab)^2$的代数式展开后得 到的公式。
完全平方公式推导
通过代数运算，展示如何 从$(a+b)^2$和$(ab)^2$推导出完全平方公 式。
完全平方公式应用
举例说明完全平方公式在 因式分解、化简求值等问 题中的应用。
立方差、立方和公式推导
THANKS
感谢观看
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
平方差公式的基本形式
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其中$a$和$b$是任意实数。
平方差公式的推导过程
利用分配律和整式的乘法法则，可以将$(a + b)(a - b)$展开为 $a^2 - ab + ab - b^2$，化简后得到$a^2 - b^2$。
八年级数学平方差公式和完全平方公示记忆
一、导言在数学学科中，平方差公式和完全平方公式是中学阶段必须掌握的重要知识点。
从初中开始，学生就需要掌握这两个公式的具体内容和运用方法。
八年级是数学学科内容较多的阶段，学习者需要在日常学习中加强对平方差公式和完全平方公式的记忆和理解。
本文章旨在帮助八年级学生加深对这两个数学概念的印象，提高数学学习成绩。
二、平方差公式的记忆1.平方差公式是指两个数的平方差可以用来表示两个数的乘积。
具体公式为(a+b)(a-b)=a²-b²。
2.学生在记忆平方差公式时，可以通过以下方法加深理解和记忆：a.通过实例理解。
将(a+b)(a-b)展开可以得到a²-ab+ab-b²，简化后得到a²-b²，这样可以直观地理解平方差公式的含义。
b.多练习算式转换。
让学生多做一些相关的抽象计算练习，锻炼学生对平方差公式的运用能力。
充分练习可以加深记忆，也有助于提高数学计算能力。
三、完全平方公式的记忆1.完全平方公式是指一个二次多项式能够被写成一个完全平方的形式，即二次多项式的平方等于一个平方数。
具体公式为a²+2ab+b²=(a+b)²。
2.学生在记忆完全平方公式时，可以通过以下方法进行记忆和理解：a.设定变量。
让学生通过给定一些具体的实际数学问题，然后使用完全平方公式进行推导和解决问题，可以在实际操作中加深对完全平方公式的理解和记忆。
b.应用到实际问题。
同样可以利用具体实例，让学生仿照实际问题中的公式应用，从而加深对公式的记忆和理解。
四、平方差公式和完全平方公式的联系1.平方差公式和完全平方公式之间有一定联系。
在实际问题中，可以通过平方差公式和完全平方公式进行变形和转换，以解决特定问题。
2.学生在学习中需要注意理解和掌握这两个公式的联系和差异，举一反三，灵活运用。
五、结语在数学学科中，平方差公式和完全平方公式是非常基础但又非常重要的知识点。
14.2.1 平方差公式 课件(共20张PPT)人教版数学八年级上册
3．判断下列式子是否正确． (1)(x＋2)(x－2)＝x2－2( × )； (2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4( × )； (3)(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2( √ )； (4)(a＋3)(a－4)＝a2－12( × )．
4．请同学们完成课本108页例2.
新知导入
游戏导入
同学们，我们来做一个数字游戏. 请同学们在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字(10以内)，然后计算100与这 个数的和，接着乘100与这个数的差. (给学生半分钟思考、计算的时间) 同学们都算得很投入，只要告诉我,你计算的结果,我就能马上说出你的幸运 数字是几，信吗? （请两位学生来试验） 等我们学了今天的知识以后,大家也能像老师一样,马上猜出其他同学的幸运 数字.
典例精讲
【题型一】平方差公式
例1：下列式子中，可以用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2)(2＋x)
B．(x＋y)(－x－y)
C．(2x＋y)(y－2x)
D．(2x－y)(x＋2y)
变式：下列各式中，不能用平方差公式计算的是( D )
A．(－x＋y)(－x－y)
Hale Waihona Puke B．(x－y)(－x－y)
C．(x＋y)(－x＋y)
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
学习目标
1. 经历探索平方差公式的过程，会运用多项式乘法法则推 导平方差公式，进一步发展符号感和推理能力．
2．通过自主探究平方差公式，认识平方差公式及其几何模 型，感受数学公式的意义和作用．
3．通过观察，理解、掌握平方差公式的结构特征，能灵活 熟练地运用平方差公式，培养学生解决问题的能力．
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14.2.1 平方差公式
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规律探索：
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计算： (1) (x+1)(x-1) = x2 - 1 (2) (m+2)(m-2) = m2 - 4 (3) (2x+1)(2x-1) = 4x2 - 1
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运用平方差公式计算：
1、(m+n)(-n+m) = 2、(-x-y) (x-y) = 3、(2a+b)(2a-b) = 4、(x2+y2)(x2-y2)=
注意：a、b可以是数，也可以是整式
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知识延伸
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灵活运用平方差公式计算：
（1）(3x+4)(3x-4) – (2x+3)(3x-2);
（2）(x+y)(x-y)(x2+y2); (3) x(x-1)-(x-1)(x1) 33
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小结
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平方差公式
字母：(a+b)(a-b)=a2-b2
特征： 有两个完全相同的项 和两个符号相反的项
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人 教 版 数 学 八年级 上册14 .2.1平 方差公 式课件
谢 谢!
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1.有感情地朗读课文，体会作者对海 底世界 的喜爱 之情， 激发学 生热爱 大自然 、探索 自然奥 秘的兴 趣。
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2.引导学生凭借生动形象的语言文字 ，了解 海底是 个景色 奇异、 物产丰 富的世 界。
•
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。
•
4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
•
5.根据诗歌内容，课文中配有相应的 插图， 形象地 描绘了 三种植 物传播 种子的 方法， 同时告 诉小读 者植物 传播种 子的方 法有很 多，仔 细观察 就能得 到更多 的知识 。
演讲完毕，谢谢观看！
同桌间每人利用平方差公式 出两道题，然后交换解答，找出 对方做错的地方，并通过讨论共 同解决问题。
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作业
• 教材第108页练习第1、2题
人 教 版 数 学 八年级 上册14 .2.1平 方差公 式课件
（3）(m+2)(m-2) =m2-4
问题： 1、三个式子的左边多项式具有什么特征？ 2、计算结果有什么共同特征？ 3、能否用含字母a,b的式子表示具有以上 特征的多项式乘法
人 教 版 数 学 八年级 上册14 .2.1平 方差公 式课件
人教版数学八年级上册平方 差公式课件示范
23)=2499
5 9
⑶ 59.8×60.2=(60－0.2)(60+0.2)=3599.96
(a-1)(a+1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)
小结 平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
合理加括号
再见
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。 2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。 3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。 4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。 5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。 6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。 7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。 8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。 9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
最新-北京市平谷二中八年级数学 第九章第三节 运用平
因式分解整式乘法9.3.2运用完全平方公式分解因式（学案）一、学习目标： 1.理解公式()()b a b a b a -+=-22的意义，掌握公式特点。
2.会运用平方差公式因式分解二、知识要点1.平方差公式()()b a b a b a -+=-22 即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
2.平方差公式的特点①两项②两项都是平方项③两项的符号相反例如()()()()y x y x y x y x 323232942222-+=-=-；()()b a b a b a -+=-22 三、知识要点及典型例题1、完全平方公式()2b a ± 222b ab a +±222b ab a ++=（ ）2222b ab a +-=（ ）2即：两个数和的平方，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
2、完全平方式形如222b ab a ++及222b ab a +-的式子叫做完全平方式。
1.判断下列各式是否是完全平方式（1）2161a + （2）442--x x（3）22y xy x ++ （4）2269b ab a +-2 在括号内填入适当的代数式，使下列各式可以运用完全平方公式因式分解（1）+2x （ ）2y xy + （2）2100m +（ ）2n mn +（3）+2x （ ）225a xa +（4）++a a 1292（ ）3、完全平方公式的特点（1）三项（2）两项是平方项，一项是ab 2项（首方加尾方，积的2倍在中央）（3）平方项的符号相同例如：把多项式962++x x 及252042+-x x 分解因式。
它们不能用提公因式法及平方差公式来分解，我们分析一下，它们是不是完全平方式。
多项式962++x x 有三项，第一项_____是____的平方，第三项_____是____，92+x 是____、____的平方和。
第二项____正好是x 与3的积的2倍，所以962++x x 是一个完全平方式。
北京市平谷县第二中学七年级数学《平方差公式》课件
= 100×70
= 7000(平方米)
答:建完花坛剩下的面积有7000平方米。
应用新知简便计算
(1)9992-1 (2) 17.52-12.52
小结
1、因式分的一个重要工 具————平方差公式
2、我们在进行因式分解时 应注意的问题
平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)
(4) 16 -x2 (4 x)(4 x)
25
55
(5)m2-n2 =(m+n)(m-n) (6)a2b2-81=(ab+9)(ab-9)
试一试
把下列各式分解因式 (1) 9x2-4y2 (2) m4n2-25 (3) 9 x4y6-0.01z2
16
例2 把下列各式分解因式 (1)(2x+3y)2－(3x+2y)2; (2)－(x+y)2+z2.
❖a2−b2=(a+b)(a−b)
(１) 公式左边是两个数的平方差；
结构 特征
(２) 右边分解成这两个数的和 与这两个数的差的积；
(3) 公式中的 a 和 b 可以代表数， 也可以是代数式。
我做小老师!
你看看小明做的对吗？若不对, 请指出错在哪？你能帮 他改正吗?
(1) 4a2−b2 = (4a+b)(4a−b)；
3.公式中的a和b可以表示什么?
4.把4m2化为(2m)2,25x2y2化为(5xy)2的根据是什 么?
比一比,看谁能正确计算例1、例2及课后习题。
快速抢答
把下列各式分解因式： (1) 1-a2=(1+a)(1-a) (2) b2-4 =(b+2)(b-2) (3)0.09-y2 =(0.3+y)(0.3-y)
平方差公式八年级数学上(人教版)学习教案
（3）(x 2y)(x 2y);
（2）(3x 2)(3x 2); （4）(3 2a)(3 2a).
解：
（3）(x
2 y)(x
2 y)
(x)2
(2 y)2
x2
4
y
2
.
（4）(3 2a)(3 2a) (2a)2 32 4a2 9 .
练习 下列各式中，不能运用平方差公式的是（ C）
(2)(m 2)(m 2) __m_2__4____; (3)(2x 1)(2x 1) _4_x_2__1____. 文字描述：两个数的和与这两个数差的积，等于这
两个数的平方差.
符号语言： (a+b)(a-b)= a2-b2
归纳： (a b)(a b) a2 b2. 平方差公式
代数推导：(a b)(a b) a2 ab ab b2
（1）(x 1)(x 1);
22
（3）(x 2y)(x 2y);
（2）(3x 2)(3x 2); （4）(3 2a)(3 2a).
能否利用平方差公式进行 计算，我们需要找到公式中 的相同项a，相反项b，所得 结果应为相同项的a的平方减
去相反项b的平方.
例 运用平方差公式计算：
（1）(x 1)(x 1);
例 运用平方差公式计算：
（1）(x 1)(x 1);
22
（3）(x 2y)(x 2y);
（2）(3x 2)(3x 2); （4）(3 2a)(3 2a).
你能说出（3）和（4）中相 同项，相反项，然后再利用
公式计算出结果吗？
例 运用平方差公式计算：
（1）(x 1)(x 1);
22
（3）(x 2y)(x 2y);
（2）(3x 2)(3x 2); （4）(3 2a)(3 2a).
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7.4.1 平方差公式
一、学习目标：
1.掌握平方差公式的推导过程。
2.理解平方差公式的几何意义。
3.灵活运用公式解决相关的数学问题。
二、知识链接
利用多项式乘法公式进行计算
（1）()()55-+a a = (2) ()()33-+m m =
(3)()()7373-+x x = (4)()()b a b a -+55=
(5)()()m n m n 33-+= (6)()()y x y x 22-+=
三、知识要点及典型例题
自学课本86页
1.平方差公式：
_____________________________________________________________________ 用字母表示平方差公式：___________________
2.平方差公式的代数意义：
形如()()b a b a -+这样的两个多项式相乘，利用乘法分配率，()()22b ab ab a b a b a -+-=-+中间两项互为相反数，相加为0公式： ()()22b a b a b a -=-+
3.平方差公式的几何意义：
(1)阴影部分的面积：S=22b a - (2)阴影
部分的面积
S=()()b a b a -+
因为S=S 所以：()()22b a b a b a -=-+ 注意：公式的特点：有两项前面的符号相同(a )，两面前面的符号相反(b )。
（两数的和乘以两数的差）
自学课本87页例1
计算：()()88-+a a (先找到对应的b a ,) ()()5252+-x x (x 2看成整体为a ) .
例2利用平方差公式进行计算
(1)()()y x x y 4334-+ (2)()()11---x x
例3 计算
（1）()()()()y x y x y x y x -+++-33
(2)()()()()a b a b a b b a 323222+--+- (
注意：由于在混合运算时容易出现符号问题所以应在计算时先加括号)
例4 计算（1）1995×2005
（2）()()()41642++-x x x
四、巩固练习
(一)填空题：
1、()()=-+b a b a ________________
2.()y x -( )=22y x -
3. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 21( )=2241
x y -
(4)()()11-+++b a b a =( )2－( )
2
（二）课本88页练习
（三）课本89页练习
（四）计算题
（1）()()y x y x 3232-+ (2)()()b a b a +---33
(3)()y x y x -⎪⎭⎫ ⎝⎛--313
1 (4)10.98×11.02
(5)59.8×60.2 (6)()()()()32231212-----+x x x x
五、小结
六、作业
课本93页习题7-4A 组1、2、3
思考题：
1. ⎪⎭⎫ ⎝⎛
-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411 ．…．⎪⎭⎫ ⎝⎛-2911⎪⎭
⎫ ⎝⎛-21011
（2）化简 ()()()()()()1212121212123216842++++++。