[推荐学习]七年级数学下册课后补习班辅导寒假专题_七巧板讲学案苏科版
辽宁省凌海市七年级数学下册 课后补习班辅导 考前模拟
考前模拟【本讲教育信息】 一. 教学内容：考前模拟【模拟试题】（答题时间：90分钟） 一、选择题：1. 下列等式不正确的是（ ） A. ()()63242623ba ab ba =B. ()111342332221n m mn n m -=-⎪⎭⎫⎝⎛- C. ()()()151143322y x xy xy yx -=---D. ()()()21615.025.0125.0632=2. 用平方差公式计算()()()1112++-x x x 结果正确的是（ ）A. 14-xB. 14+xC. ()41-xD. ()41+x3. 如图，下列判断正确的是（ ）A. 4对同位角，4对内错角，4对同旁内角B. 4对同位角，4对内错角，2对同旁内角C. 6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D. 6对同位角，4对内错角，2对同旁内角4. 如图，∠1=∠2，DE ∥BC ，∠B ＝75°，∠ACB ＝44°，那么∠BDC 为（ ）A. ︒83B. ︒88C. ︒90D. ︒785. 三角形两边为7和2，其周长为偶数，则第三边的长为（ ） A. 3B. 6C. 7D. 86. 如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C ，则在下列条件中无法判定△ABE ≌△ACD 的是（ ）A. AD=AEB. ∠AEB=∠ADCC. BE=CDD. AB=AC7. 如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，当梯子的顶端下滑了4米时，梯子的底端在水平方向上滑动了（）A. 4米B. 7米C. 8米D. 以上答案均不对8. 在等边三角形所在平面内有一点P，使得△PBC. △PAC. △PAB都是等腰三角形，则具有该性质的点有（）A. 1个B. 7个C. 10个D. 无数个9. 下列说法正确的是（）A. 很有可能与必然发生是有区别的B. 确定事件为必然事件C. 如果一个事件的发生机会为99.99%，那么它必然发生D. 如果一个事件的发生机会为0.1%，那么它不可能发生10. 如图，△ABC的高AD. BE相交于点O，则∠C与∠BOD的关系是（）A. 相等B. 互余C. 互补D. 不互余. 不互补也不相等11. 下列抽样调查选取样本的方法较为合适的是（）A. 为估计盐城市2005年的平均气温，小丽查询了盐城市2005年2月份的平均气温;B. 为了解全班同学期末考试的平均成绩，老师抽查了成绩前5名同学的平均成绩;C. 妈妈为了检查烤箱里的饼是否熟了，随手取出一块尝试;D. 为了解七年级学生的平均体重，小红选取了即将参加校运会的运动员做调查12. 一组数据的最大值与最小值之差为80，若取组距为9，则分成的组数应是（）A. 7B. 8C. 9D. 12二. 填空题：13. 计算)8)(4(22+++-mx x n x x 的结果不含2x 和3x 的项，那么m= ；n= . 14. 若22419y Mxy x ++是完全平方式，则M= . 15. “推三角尺画平行线”的理论依据是 . 16. 已知A. B 互为相反数，C. D 互为倒数，M 的相反数是21的倒数，则MB A CD M ++-22的值为 .17. 已知二元一次方程03=+y x 的一个解是⎩⎨⎧==b y ax 其中0≠a 那么239-+b a 的值为 .18. 某课外兴趣小组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则不足5人，求这个课外小组分成几组？解：设 .列出方程组为 .19. 如图AB ∥CD ，直线EF 分别交AB. CD 于E. F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=72°，则∠2= °.20. 如图，已知AB=AC ，CD=BD ，E 在线段AD 上，则图中全等三角形有 对.21. 已知等腰三角形的两边a. b 满足等式()033222=--+--b a b a ，则该等腰三角形的周长为 .22. 如图，已知AB=AC ，用“SAS ”定理证明△ABD ≌△ACE ，还需添加条件 ；若用“ASA ”证明，还需添加条件 ；若用“AAS ”证明，还需添加条件 ；图中除△ABD ≌△ACE 之外，还有△ ≌△ .三. 解答题23. 已知：3=+y x ，7-=xy .求：①22y x +的值； ②22y xy x +-的值； ③()2y x -的值24. 用乘法公式计算：①2003200120022⨯-； ②()()()12121242+++…()122+n25. 若方程组⎩⎨⎧-=-=+1y 3ax 3y x 4与⎩⎨⎧-=++=by 1x 2y35x 2有相同的解，求a ，b 的值。
2019-2020学年七年级数学下册-课后补习班辅导-一元一次方程(2)讲学案-苏科版
2019-2020学年七年级数学下册 课后补习班辅导 一元一次方程（2）讲学案 苏科版【本讲教育信息】一. 教学内容：一元一次方程（2）含绝对值的、含字母的一元一次方程。
把主要知识形成知识链，重点是强化学生对一元一次方程的概念及方程的解的概念的认识；强化训练学生解方程。
二. 教学目标：1. 利用绝对值的性质去处理含绝对值的一元一次方程。
2. 正确认识含有字母系数的一元一次方程掌握含有字母系数的一元一次方程的解法。
3. 会进行简单的公式变形。
三. 重点、难点：1. 含有字母系数的一元一次方程的解法。
2. 对字母函数的理解，并能准确区分字母系数与数字系数的区别与联系。
3. 在公式中会准确区分未知数与字母系数，并进行正确的公式变形。
四. 概念复习：1. 解一元一次方程的基本步骤是什么？答：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化成)0(≠=a b ax 的形式；（5）将未知数的系数化为“1”。
2. 等式的性质是什么？（要求说出应注意的两点）答：等式性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，所得结果仍是等式。
等式性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除去同一个不为零的数），所得结果仍是等式。
3. 关于x 的方程的解的讨论：①当a≠0时，原方程是一元一次方程，它有且仅有一个解；②当a ＝0且b≠0时，无论x 取什么值，方程左、右两边的值都不相等，此时原方程无解； ③当a ＝0且b ＝0时，无论x 取什么值，方程左、右两边的值都相等，此为恒等式，此时原方程有无限多个解，任何数都是原方程的解。
【典型例题】例1. 解绝对值方程：解：………………移项………………绝对值的定义∴ 3621+=-x 或 即921=x 或 321=x ∴181=x ，62=x例2. 解关于x 的方程：解：…………移项…………………合并同类项，0≠a ∴1=x ……………………系数化成1注意：①在没有特别说明的情况下，一般x 、y 、z 表示未知数，a 、b 、c 表示已知数。
推荐学习K12七年级数学下册课后补习班辅导期末复习_有理数代数式及其运算讲学案苏科版
推荐学习K12资料 推荐学习K12资料 期末复习—有理数、代数式及其运算 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 期末复习——有理数、代数式及其运算
二、知识与结构 1. 有理数及其运算
2. 代数式及其运算
三、方法与思考 1. 比较有理数的加法运算律和乘法运算律与小学学过的运算律的异同； 2. 回顾有理数的运算法则，想一想：这与小学学过的运算律有什么不同； 3. 总结有理数运算的基本方法，以及简化运算的技巧，知道哪些数学思想方法？ 4. 梳理所学知识，形成一定的体系，并逐步掌握用代数式表达数量关系或变化规律的方法； 5. 理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实世界的联系； 6. 经历探索事物之间的数量关系，并用字母与代数式表示，建立初步符号感，发展抽象思维． 推荐学习K12资料 推荐学习K12资料 四、错题回放 1. 代数式书写规范．如a的513倍写成513a ，应为a516． 2. 代数式描述语句顺序不理解．如a，b两数的平方和写成2ba，应为22ba． 3. 合并同类项中出错．如325aa，xyyx352． 4. 去括号中符号出错．如cbacba)(，cbacba32)(32． 5. 探索规律出错．如由1＋3＝4＝22， 1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝42，1＋3＋5＋7＋9＝25＝52，… 猜想1＋3＋5＋7＋…＋（2n＋1）＝n2 (n为正整数)
【典型例题】 例1. 如图，在数轴上有三个点A、B、C，回答下列问题：
（1）将B点向右移动6个单位，三个点中哪个点所表示的数最小？ （2）将C点向左移动6个单位，三个点中哪个点所表示的数最小？ （3）怎样移动A、B、C中两个点，才能使三个点所表示的数相同？有几种移动方法？ 分析：注意移动的方向及相关点所对应的有理数． 解：（1）B点向右移动6个单位就为-1+6=5，所以三个点中A点-2最小； （2）C点向左移动6个单位就为2-6=-4，所以三个点中C点-4最小； （3）有三种方法： ①将B点向左移动1个单位；将C点向左移动4个单位；则三个数都为-2 ②将A点向右移动1个单位；将C点向左移动3个单位；则三个数都为-1 ③将A点向右移动4个单位；将B点向右移动3个单位；则三个数都为2
七年级数学下册 课后补习班辅导 期中复习讲学案 苏科版(2021年整理)
辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导期中复习讲学案苏科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导期中复习讲学案苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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期中复习【本讲教育信息】一。
教学内容：期中复习1。
了解有理数、相反数、数轴、绝对值等概念，会比较有理数的大小。
2. 会运用有理数的运算法则、运算律，按照规定的运算顺序，熟练地进行简单的有理数的加、减、乘、除、乘方及其混合运算。
3。
能把简单的表示数量关系的语句写成代数式.4. 根据代数式中的字母的给定的值，能准确地求出代数式的值。
5. 能用合并同类项，去括号等法则进行整式运算。
6。
了解近似数与有效数字概念，会用四舍五入法求有理数的近似数。
7. 能解简易方程，并能列出简易方程解简单的应用题。
二. 教学重难点：1。
重点：有理数基本概念的理解及有理数的混合运算、列代数式。
2. 难点：列代数式、列方程解应用题。
三。
知识要点:1. 知识结构总结：（1）有理数的意义⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫数轴倒数绝对值大小比较相反数有理数的分类(2）有理数的运算有理数的混合运算乘方：科学记数法乘除法法则的统一除法乘法加减法法则的统一减法加法⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎭⎬⎫（3）用字母表示数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧简易方程公式求代数式的值列代数式代数式2. 思想方法总结：（1)观察方法（2)整体思想（3)分类思想（4）数形结合思想(5）用字母表示数和方程的思想3. 概念总结：（1）有理数的分类（2)数轴（3）相反数（4)绝对值(5)有理数加、减、乘、除、乘方的计算(6）代数式4。
七年级数学下册 课后补习班辅导 乘法公式讲学案 苏科版(2021学年)
辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导乘法公式讲学案苏科版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导乘法公式讲学案苏科版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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乘法公式【本讲教育信息】一. 教学内容：1。
整式的乘法:单项式乘单项式法则、单项式乘多项式法则、多项式的乘法法则２．完全平方公式、平方差公式3。
因式分解——公式法、提公因式法[目标]1。
熟练运用单项式乘单项式法则、单项式乘多项式法则、多项式的乘法法则进行运算2。
能说出完全平方公式、平方差公式及其结构特征３。
正确熟练的运用乘法公式进行混合运算和简化的计算,并能在应用公式的过程中，提高变形应用公式的能力．4. 掌握运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法,能正确运用平方差公式把多项式分解因式(直接用公式不超过两次）5. 理解因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系6. 了解公因式的概念，掌握提公因式的方法二、重、难点：１．运用单项式乘单项式法则、单项式乘多项式法则、多项式的乘法法则解决一些实际问题2。
正确熟练的运用乘法公式进行混合运算和简化的计算,并能在运用公式计算中，提高变形应用公式的能力3. 灵活运用平方差公式、完全平方公式分解因式4． 掌握公因式的概念，会使用提公因式法进行因式分解.三。
知识要点1. 整式乘法:①单项式×单项式：(１）系数相乘；（2)同底数幂相乘;（3）只在一个多项式里出现的字母,作为积的因式保留 ②单项式×多项式：(1）运用乘法分配律 （２）不要漏乘项（尤其是常数项１)③多项式×多项式:(a ＋ｂ）(c+d ）＝ ac ＋ ａｄ＋ b ｃ+ bd(１)项×项（注意项带符号) (2）同类项要合并２。
【新】2019-2020学年度七年级数学下册课后补习班辅导余角补角对顶角讲学案苏科版
教学资料参考范本【新】2019-2020学年度七年级数学下册课后补习班辅导余角补角对顶角讲学案苏科版撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________【本讲教育信息】一. 教学内容：余角、补角、对顶角本周主要内容是学习互为余角和互为补角的概念及其性质，对顶角的概念及其特征。
并要求在经历观察、操作、推理、交流等过程中，进一步发展空间概念，培养推理能力、有条理的表达能力，并要求能解决一些实际问题。
［目标］1. 在现实背景下了解余角、补角、对顶角的概念。
2. 知道等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相等；能利用对顶角相等的性质进行计算。
二. 重、难点：本周的重点是互为余角和互为补角的概念及其性质，以及利用学习过的知识解决一些实际问题。
三. 知识要点1. 余角、补角。
（1）如果两个角的和等于90°，那么称这两个角互为余角。
（2）如果两个角的和等于180°，那么称这两个角互为补角。
（3）定理：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
说明：①互余与互补角是研究两个角的关系，单独一个角不能说是余角或补角，就像称呼两兄弟一样，而且不会随位置改变。
②“互为余角”和“互为补角”是指具有特殊关系的两个角. 如同代数中的“互为倒数”和“互为相反数”一样，是指具有特殊关系的两个数，而且只能是两个角之间的特殊关系。
如果三个角的和是180°，我们不能说这三个角互为补角2. 对顶角（1）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
如：两条直线相交形成∠1，∠2，∠3，∠4四个角，如图：∠1和∠3叫做对顶角，∠2和∠4也是对顶角。
（2）定理：对顶角相等。
【典型例题】例1. 如图，直线m和l交于O点，已知∠1的余角与它的补角的比为1：3，求∠2的度数。
分析：本题可以利用题目中所给的条件列方程（设∠1为x°），求出∠1的度数，而∠1和∠2是对顶角，利用对顶角的性质可以求出∠2的度数。
推荐学习K12七年级数学下册课后补习班辅导幂的运算讲学案苏科版
幂的运算【本讲教育信息】 一. 教学内容：幂的运算——同底数幂的乘法、除法，幂的乘方与积的乘方［目标］1. 掌握同底数幂的乘、除法，幂的乘方法则与积的乘方法则。
2. 会双向应用幂的乘方公式与积的乘方公式。
3. 会区分积的乘方，幂的乘方和同底数幂乘法、除法。
4. 明确零指数幂、负整数指数幂的意义，并能与幂的运算法则一起进行运算，并能解决一些实际问题。
二. 重、难点：1. 掌握同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方，知道它们的联系和区别，并能运用它们熟练进行有关计算。
2. 同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方运算法则的推导过程。
3. 理解零指数幂、负整数指数幂的意义。
4. 培养我们的归纳能力、化归思想和创新意识，并能养成“以理驭算”的良好运算习惯。
三. 知识要点（1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅ （2）幂的乘方：底数不变，指数相乘，即()mn nma a =（3）积的乘方：等于每个因式分别乘方，即()n n nb a ab = 法则的推广：当n 是正整数时，nnnnc b a abc ⋅⋅=)( ［注意］①幂的底数和指数不仅仅是单独字母或数字，也可以是某个单项式和多项式. ②幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的异同③多重乘方可以重复运用上述幂的乘方法则：mnp p mn p n m a a a ==)(])[( ④幂的乘方公式可逆用：mn n m mn a a a )()(== （4）同底数幂相除：底数不变，指数相减，即 nm n m a a a -=÷（a ≠0）［注意］幂运算最后结果中幂的形式应是最简的： ①幂的指数、底数都应是最简的； ②底数中系数不能为负；③幂的底数是积的形式时，要再用一次nnnb a ab =)(（5）零指数和负指数：规定10=a ，p paa 1=-（其中a ≠0，p 为正整数）法则的推广：p pp nm m n =-)(（其中，m 、n 均为整数）（6）科学计数法：na 10⨯ 的形式（其中1≤a<10,n 取小数点移动位数，向右移动取负，向左移动取正） ［说明］①微米：μm 表示微米 1μm=310-mm=610-m ②纳米：nm 表示纳米，是长度单位，1纳米为十亿分之一米。
七年级数学下册课后补习班辅导直线平行的条件讲学案苏科版
6. 如图5， ∥ ，∠α是∠β的2倍，那么∠α等于 （ ）
A.60°B.90°C.120°D.150°
图5
7. 如图6，直线AB∥CD，以下关于∠B、∠D、∠E的关系中，正确的选项是（ ）
A. ∠B+∠D+∠E=90°B. ∠B+∠D+∠E=180°
C. ∠B+∠D=∠ED. ∠B－∠D=∠E
∠DEC=125° ∠BED=35°（已证）
∴∠BEC=90°（等式性质）
答：∠BED=35°，∠BEC=90°
例6. 街道的两个拐弯∠ABC与∠BCD别离为150°和30°。街道AB与CD平行吗？什么缘故？
答： 平行
∵∠ABC＋∠BCD＝150°＋30°＝180°，
∴AB∥CD
【模拟试题】（答题时刻：30分钟）
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截，在二条直线内侧，且在第三条直线的两旁的二个角叫内错角。
如上图中∠2与∠8在直线AB、CD的内侧（即AB、CD之间），且在EF的两旁，因此∠2与∠8是内错角。同理，∠3与∠5也是内错角。
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在两条直线的内侧，且在第三条直线的同旁的两个角叫同旁内角。
1. 如图1， ，那么以下结论必然成立的是（ ）
A. ∥ B. ∥
C. D.
图1
2. 如图2，假设AB∥CD，CD∥EF，那么AB与EF的位置关系是（ ）
A. 平行B. 延长后才平行
C. 垂直D. 难以确定
图2
3. 假设∠1与∠2是同旁内角，∠1=30°，那么（ ）
A. ∠2=150°B. ∠2=30°
C. ∠2=150°或30°D. ∠2的大小不能确信
4. 如图3所示:AB∥CD，CD∥EF且∠1=30°，∠2=70°，那么∠BCE等于（ ）
【名校专用】七年级数学下册课后补习班辅导全等三角形及其判定的初步认识讲学案苏科版
全等三角形及其判定的初步认识【本讲教育信息】一. 教学内容：全等三角形及其判定的初步认识［目标］1. 认识全等图形与全等三角形，能把握其性质，并能画出全等图形。
2. 初识全等三角形的判定二. 重、难点：1. 全等图形与全等三角形及其性质2. 全等三角形的几种判定三. 知识要点1. 全等图形：能够完全重合的图形。
形状、大小都相等说明：一个图形经过平移、旋转、翻折后得到的图形一定与原图形全等2. 全等三角形:两个能重合的三角形。
“全等”用符号“≌”表示（1）两个全等三角形重合时：互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
（2）性质：全等三角形的对应边、对应角相等注意：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的判定：①三边对应相等（“边边边”或“SSS”）性质：三角形的稳定性——如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定。
特别地，四边形和其它多边形都不具有稳定性。
②两边及夹角对应相等（“边角边”或“SAS”）注意：这个角一定为两个边的夹角③两角及夹边对应相等（“角边角”或“ASA”）④两角及一角对边对应相等（“角角边”或“AAS”）⑤一直角边及一斜边对应相等（“斜边、直角边”或“HL”）——只用于直角△注意：角平分线上的点到角的两边距离相等注意：①AAA—三角对应相等的两个三角形不一定全等；SSA—两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等；②三角形全等常用于证明线段、角相等【典型例题】例1. 如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图（1），请在下图中沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形。
解：如图：说明：画法并不唯一。
例2. 已知△ABC≌△A’C’B’，∠B与∠C’，∠C与∠B’是对应角，那么下列说法中①BC=C’B’②∠C的平分线与∠B’的平分线相等；③AC边上的高与A’B’边上的高相等；④AB 边上的中线与A’B’边上的中线相等，其中正确说法的个数（）A、1个B、2个C、3个D、4个分析：通过作图观察则一目了然。
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生活的色彩就是学习
K12的学习需要努力专业专心坚持
寒假专题——七巧板
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——七巧板
“七巧板”是我国古代人民创造的益智游戏，它是用七块形状和大小不完全相同的木板构成的
图形游戏。因设计科学，构思巧妙，变化无穷，能活跃形象思维，特别是启发儿童智慧，所以深受
欢迎。传到国外后，风行世界，号称“唐图”，意即“中国的图板”。
[目标]：
通过七巧板体会数学的乐趣
二. 教学重、难点
用七巧板拼出各种图案并能创造出新的图案
【七巧板的渊源】
说起“唐图”，自然与唐代有关，它的发明是受了唐代“燕几”的启发。“燕“通“宴”，所
谓“燕几”，就是唐朝人创制的专用于宴请宾客的几案，其特点是可以随宾客人数多少而任意分合。
它的大致形制，传世的《韩熙载夜宴图》中可见一斑。到了北宋，任官秘书郎的黄伯思对这种“燕
几”作进一步改进，设计成六件一套的长方形案几系列，既可视宾客多少拼合，又可分开陈设古玩
书籍。案几有大有小，但都以六为度，因取名“骰子桌”。他的朋友宣谷卿看见这套“骰子桌”后，
十分欣赏，再为他增设一件小几，以便增加变化，所以又改名“七星桌”。此后，黄伯思专门编了
一部《燕几图》公布自己的发明，除介绍“七星桌”的尺寸外，还依其组合变化将图形分为好几种，
各取名义如“三函”、“屏山”、“回文”、“垂箔”等等。七巧板的雏型，就在这兼备实用价值
和艺术审美的图形拼合中产生了。
元明两代，中国的组合式家具顺应都市生活的需要，有了长足发展。许多能工巧匠都借鉴黄伯
思的《燕几图》，运用平面木块进行“纸上谈兵”式的设计。有个叫严澄的明朝官员根据《燕几图》
的原理，大胆引进三角形，设计成一套十三件的几案系列，合起来呈蝶翅形，分开组合的图形可达
百余种，并据此编成《蝶几谱》。在此基础上，从工师设计图板中脱颖而出的拼图玩具产生了，其时
间大致在明末清初，因为是用薄木片或厚纸板做成七件套组合，俗成“七巧牌”，溯其渊源，同黄
伯思的“七星”不无联系。
生活的色彩就是学习
K12的学习需要努力专业专心坚持
最初的“七巧牌”，形制各异。到清代嘉庆年间有“养拙居士”在综理拼玩实践的基础上写成
《七巧图》一书刊行后，其形制乃成定式，即大三角形两块、小三角形两块、中三角形和正方形、
菱形各一块，合成一个正方形或一个长宽为二比一的长方形。由于这种玩具简单到可以由小孩子自
己用厚纸板制作，而玩起来的无穷趣味足以使成人为之着迷，所以流传极广，北京故宫博物院现存
的清朝宫廷玩具中，就有一副盛放在铜盒中的七巧板。在此同时，不少七巧板的玩家还编写专书，
公布自己的拼图成果，今英国剑桥大学图书馆里，就有清规戒律“桑下客”编的《七巧新谱》藏本。
有趣的是，近百年来，西方各国亦都有专门研究七巧板的书籍问世。相传拿破仑在流放生活中，也
曾以拼合七巧板作为消遣。
特别是晚清时文人童叶庚于清光绪十九年夏在七巧板的基础上还另创了“益智图”，与“七巧
板”相比，该游戏更加精巧奥妙。童氏率其五子， 用“益智图”拼出了数以千计的文字。后经童氏
整理，由其幼子童大年逐笔勾画，出版了《益智图千字文》。 该书详细描述了“益智图”这一拼图
游戏及其引人入胜的精妙玩法。当时文人公认童氏发明，构思巧妙，启发心智。清恭亲王亲笔为该
书作了题字。
魅力无尽的七巧板游戏直到现在仍是儿童喜爱的智力性娱乐项目，不仅得到了社会的公认，甚
至国家教委都明确规定在小学数学课程中必须使用七巧板游戏。数学家们则从组合原理和数学原理
的角度，潜心研究它与人工智能、拓扑学，以至同电脑程序设计技术之间的联系，这方面所取得的
成果，当然是燕几图、七巧板类的发明者所预想不到的。
【七巧板的规则】
从古至今，七巧板为何始终如此的好玩、有趣，又吸引人呢？据研究，這是因为七巧板组件具
有的最基本单元，也就是三种角度、四种边长、五种形状，但可以创造出最富变化的排列组合，简
单来说，七巧板是由分割一个正方形所得到的结果，共有七片五行，古人赋其名，分为两大、一中、
两小、一方、一斜。七巧板的变化多端，但规则却很简单：第一、在排七巧板的时候，所有的组件
都必须使用到，而且只限使用这七个组件排列。第二、七个组件之间可以「角边相接」，或「边边相
接」，但绝对不能重叠，因此，不论排成哪种图形，总面积一定相等。知道了简单的规则，再来探索
它的玩法，七巧板的玩法有四种：第一、依图成形，即是根据已知的图形来排出答案；第二、见影
排形，从已知的图形找出一种或一种以上的排法；第三、自创图形，您可以自己创造新的玩法、排
法；第四、数学研究，也就是利用七巧板来求解或证明数学问题。哈哈，您万万没想到，七巧板还
有最后这款玩法吧！总之，不同年龄层的人基本都可从七巧板找到不同的玩法，您与您的孩子都也
应该一起探索一些新的玩法，找到适度的挑战啊。
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【七巧板的应用】
一. 七巧板在工程学中的应用—西门子3VL之诞生
因受到中国古老的七巧板游戏的启示，西门子的工程师们产生了一个绝妙的想法：为什么不用
最少的零部件来制造一个断路器，就像七巧板中那些可移动的小板块，用它们来组成数以千计的组
合呢？
经过详细地研究这一创意，我们很荣幸地推出3VL系列塑壳断路器。每部装置仅用了最少的零
件，却可通过不同模块之间的灵活组合来实现不同的功能。而且随着应用场合的改变，每部3VL装
备均可简便调节，以适应其新的任务。
二. 七巧板在证券投资学中的应用
七巧板在证券投资中的应用主要体现在它对最优化组合理论的贡献，在投资学领域以最少的投
资取得近可能多的投资组合方案。详情可见大连市副市长戴玉林所编《七巧板科学：证券最优组合》
一书。该书于一九九三年由东北工学院出版。
三. 七巧板在系统工程中的应用
湖南少年儿童社一九九四年出版了由张启人、彭继泽、余一等人主编的《七巧板启示录：系统
工程》为大家详细介绍了七巧板的原理在系统工程学方面的应用。
诸如此类的应用还有很多，七巧板理论主要就在于它对最优化组合理论的贡献。
【七巧板的部分图案】
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【典型例题】
例1. 用七巧板中的2块部件能组成正方形吗？3块呢？
分析：这是一道开放性的问题，为能拼出正方形，必须构造出四个直角，所以可以挑选出三角
形进行拼图。
答：如下图甲，可挑选出2块一样大小的三角形拼出正方形。如图乙，可挑选出2块小三角形
和一块大三角形拼出正方形。
例2. 下面花边中的图案以正方形为基础，由圆弧或圆构成，仿照例图，请你为班级的黑板报设
计一条花边。
要求：（1）只要画出组成花边的一个图案，不写画法，不需配文字；（2）以所给的正方形为基
础，用圆弧或圆画出；（3）图案应有美感；（4）与例图不同。
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分析：由圆弧或圆组成的图案在课本中有许多介绍，有美感的图案，也不乏举例。
答：如下图
例3. 利用画图工具作出如下图所示的图案。
分析：利用圆规将圆周六等分，依次连结相邻两点，得六条线段，画出不相邻的三条线段的中
点，依次连结各中点，擦去圆周即得所需图案。
答：画法如下：
（1）任意画一个圆；
（2）利用圆规将圆周六等分，得六等分点；
（3）依次连结相邻两点，得六条线段；
（4）画出不相邻的三条线段的中点；
（5）依次连结各中点；
（6）擦去圆周，得到所需图案。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 用七巧板拼出下列图案
2. 用一副三角尺可以画出哪些度数小于180°的角？
3. 把一个圆三等分，说出相邻两个三等分点与圆心的连线所成角的度数。
4. 作出下面所示的图案
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5. 用直尺、圆规、三角尺设计出一个美丽的图案。
6. 一剪刀，将图（1）一分为二后，能再拼出后面的图（2）～（6），问该怎样剪？
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【试题答案】
1. 略
2. 15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°。
3. 120°。
4. 略。 5. 略。
6.