分支限界旅行商
算法设计(第7章回溯和分支限界)
wv S : (3,8)
(20,50) (5,12) (10,21) (5,10) W = 30
当前最优解: 01101 (72)
bound: 50+10=60
7.2 0-1背包问题
限界函数：当前背包价值加上剩余所有物品的价值
30,0
1
0
27,8
1
0
7,58
1
0
2,70 7,58
27,8 1
5,62
第1个可行解: 11100 (70)
bound: 58+21+10=89
7.2 0-1背包问题
限界函数：当前背包价值加上剩余所有物品的价值
30,0 1
27,8 1
7,58
1
0
2,70 7,58
0
0
2,70 7,58
0
2,70
wv S : (3,8)
(20,50) (5,12) (10,21) (5,10) W = 30
bound: 50+21+10=81
7.2 0-1背包问题
限界函数：当前背包价值加上剩余所有物品的价值
30,0
1
0
27,8
1
0
30,0 1
7,58
1
0
2,70 7,58
27,8 1
5,62
10,50 0 10,50
0
0
2,70 7,58
0
0
1
0
5,62 0,71 10,50
1
0
2,70
0,72
0,71
第1个可行解: 11100 (70)
bound: 50+12+21+10=93
基于分支限界法的旅行商问题（TSP）一
基于分⽀限界法的旅⾏商问题（TSP）⼀旅⾏推销员问题（英语：Travelling salesman problem, TSP）是这样⼀个问题：给定⼀系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每⼀座城市⼀次并回到起始城市的最短回路。
它是组合优化中的⼀个NP困难问题，在运筹学和理论计算机科学中⾮常重要。
分⽀限界法在上⼀篇Blog中我有简单说明，并给出了，这篇⽂章⾥介绍⼀下基于分⽀限界法的TSP算法。
对于TSP，我们需要利⽤上界和下界来对BFS进⾏剪枝，通过不断更新上界和下界，尽可能的排除不符合需求的child，以实现剪枝。
最终，当上限和下限等同时，我们可以获得最优的BFS解，以解决TSP问题。
在第⼀篇中，我们⽤dfs获取上界，⽤每⾏矩阵最⼩值来获取下界。
代码如下，下⾯代码中，我采⽤贪⼼法（使⽤DFS暴⼒搜索到⼀个结果）来获取最初的上界，通过累加每⾏旅⾏商矩阵中的最⼩值来获取⼀个下界。
//分⽀限界法#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<queue>const int INF = 100000;const int MAX_N = 22;using namespace std;//n*n的⼀个矩阵int n;int cost[MAX_N][MAX_N];//最少3个点，最多MAX_N个点struct Node{bool visited[MAX_N];//标记哪些点⾛了int s;//第⼀个点int s_p;//第⼀个点的邻接点int e;//最后⼀个点int e_p;//最后⼀个点的邻接点int k;//⾛过的点数int sumv;//经过路径的距离int lb;//⽬标函数的值（⽬标结果）bool operator <(const Node &p)const{return p.lb < lb;//⽬标函数值⼩的先出队列}};priority_queue<Node> pq;//创建⼀个优先队列int low, up;//下界和上界bool dfs_visited[MAX_N];//在dfs过程中搜索过//确定上界,利⽤dfs（属于贪⼼算法），贪⼼法的结果是⼀个⼤于实际值的估测结果int dfs(int u, int k, int l)//当前节点，⽬标节点，已经消耗的路径{if (k == n) return l + cost[u][1];//如果已经检查了n个节点，则直接返回路径消耗+第n个节点回归起点的消耗int minlen = INF, p;for (int i = 1; i <= n; i++){if (!dfs_visited[i] && minlen > cost[u][i])//取与所有点的连边中最⼩的边{minlen = cost[u][i];//找出对于每⼀个节点，其可达节点中最近的节点p = i;}}dfs_visited[p] = true;//以p为下⼀个节点继续搜索return dfs(p, k + 1, l + minlen);}void get_up(){dfs_visited[1] = true;//以第⼀个点作为起点up = dfs(1, 1, 0);}//⽤这种简单粗暴的⽅法获取必定⼩于结果的⼀个值void get_low(){//取每⾏最⼩值之和作为下界low = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){//创建⼀个等同于map的临时数组，可⽤memcpyint tmpA[MAX_N];for (int j = 1; j <= n; j++){tmpA[j] = cost[i][j];}sort(tmpA + 1, tmpA + 1 + n);//对临时的数组进⾏排序low += tmpA[1];}}int get_lb(Node p){int ret = p.sumv * 2;//路径上的点的距离的⼆倍int min1 = INF, min2 = INF;//起点和终点连出来的边for (int i = 1; i <= n; i++){//cout << p.visited[i] << endl;if (!p.visited[i] && min1 > cost[i][p.s]){min1 = cost[i][p.s];}//cout << min1 << endl;}ret += min1;for (int i = 1; i <= n; i++){if (!p.visited[i] && min2 > cost[p.e][i]){min2 = cost[p.e][i];}//cout << min2 << endl;}ret += min2;for (int i = 1; i <= n; i++){if (!p.visited[i]){min1 = min2 = INF;for (int j = 1; j <= n; j++){if (min1 > cost[i][j])min1 = cost[i][j];}for (int j = 1; j <= n; j++){if (min2 > cost[j][i])min2 = cost[j][i];}ret += min1 + min2;}}return (ret + 1) / 2;}int solve(){//贪⼼法确定上界get_up();//取每⾏最⼩的边之和作为下界//cout << up << endl;//testget_low();//cout << low << endl;//test//设置初始点,默认从1开始Node star;star.s = 1;//起点为1star.e = 1;//终点为1star.k = 1;//⾛过了1个点for (int i = 1; i <= n; i++){star.visited[i] = false;}star.visited[1] = true;star.sumv = 0;//经过的路径距离初始化star.lb = low;//让⽬标值先等于下界int ret = INF;//ret为问题的解pq.push(star);//将起点加⼊队列while (pq.size()){Node tmp = pq.top();pq.pop();if (tmp.k == n - 1)//如果已经⾛过了n-1个点{//找最后⼀个没有⾛的点int p;for (int i = 1; i <= n; i++){if (!tmp.visited[i]){p = i;//让没有⾛的那个点为最后点能⾛的点break;}}int ans = tmp.sumv + cost[p][tmp.s] + cost[tmp.e][p];//已消耗+回到开始消耗+⾛到P的消耗 //如果当前的路径和⽐所有的⽬标函数值都⼩则跳出if (ans <= tmp.lb){ret = min(ans, ret);break;}//否则继续求其他可能的路径和，并更新上界else{up = min(up, ans);//上界更新为更接近⽬标的ans值ret = min(ret, ans);continue;}}//当前点可以向下扩展的点⼊优先级队列Node next;for (int i = 1; i <= n; i++){if (!tmp.visited[i]){//cout << "test" << endl;next.s = tmp.s;//沿着tmp⾛到next，起点不变next.sumv = tmp.sumv + cost[tmp.e][i];//更新路径和next.e = i;//更新最后⼀个点next.k = tmp.k + 1;//更新⾛过的顶点数for (int j = 1; j <= n; j++) next.visited[j] = tmp.visited[j];//tmp经过的点也是next经过的点 next.visited[i] = true;//⾃然也要更新当前点//cout << next.visited[i] << endl;next.lb = get_lb(next);//求⽬标函数//cout << next.lb << endl;if (next.lb > up) continue;//如果⼤于上界就不加⼊队列pq.push(next);//否则加⼊队列//cout << "test" << endl;}}//cout << pq.size() << endl;BUG:测试为0}return ret;}int main(){cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= n; j++){cin >> cost[i][j];if (i == j){cost[i][j] = INF;}}}cout << solve() << endl;return0;}/*测试5100000 5 61 34 1257 100000 43 20 739 42 100000 8 216 50 42 100000 841 26 10 35 10000036请按任意键继续. . .*/。
算法设计中的回溯与分支限界
算法设计中的回溯与分支限界在算法设计中，回溯（backtracking）和分支限界（branch and bound）是两个重要的技术手段。
它们在解决一些求解最优化问题或搜索问题时具有广泛的应用。
本文将介绍回溯和分支限界的基本概念、原理和应用，并探讨它们在算法设计中的意义和作用。
一、回溯算法回溯算法是一种穷举搜索算法，通过遍历问题的解空间来求解问题。
其基本思想是从初始解开始，逐步地扩展解的空间，直到找到满足问题要求的解。
如果扩展到某一步时发现无法继续扩展，那么就回溯到上一步，并继续向其他可能的解空间进行扩展。
回溯算法通常使用递归的方式实现。
回溯算法的应用非常广泛，适用于求解组合优化、满足约束条件的问题，例如八皇后问题、0-1背包问题、图的哈密顿路径等。
回溯算法虽然简单直观，但由于其穷举搜索的性质，时间复杂度较高，因此在面对问题规模较大时不一定是最优的选择。
二、分支限界算法分支限界算法是一种在解空间中搜索最优解的算法。
它通过在搜索过程中设定上、下界限制来避免对无效解的搜索，从而提高搜索效率。
分支限界算法通常使用优先队列（priority queue）来存储待扩展的节点，并按照一定的优先级进行扩展，每次选择优先级最高的节点进行扩展。
在扩展过程中，通过修剪（pruning）无效解的策略，可以进一步提高搜索效率。
分支限界算法的应用范围广泛，适用于求解组合优化问题、图论问题等。
通过合理的界限设定和剪枝策略，分支限界算法能够大幅减少搜索空间，提高求解效率。
但需要注意的是，分支限界算法并不能保证一定能够找到最优解，只能保证找到满足要求的解。
三、回溯与分支限界的比较回溯算法和分支限界算法都是基于搜索的算法，二者都可以求解组合优化问题和搜索问题。
回溯算法在搜索过程中对解空间进行穷举，而分支限界算法通过设定界限和剪枝策略来减少搜索空间。
因此，相较于回溯算法，分支限界算法具有更高的搜索效率。
然而，回溯算法也有其优点。
算法分支限界法货郎担问题解法
标题：算法分支限界法在货郎担问题中的应用摘要：分支限界法是一种高效的解决组合优化问题的算法，本文将详细介绍分支限界法在货郎担问题中的应用，包括问题的描述、算法原理、实现步骤以及案例分析等内容。
一、问题描述货郎担问题，又称为旅行商问题（TSP），是一个经典的组合优化问题。
问题的描述为：有n个城市，货郎担需要从一个城市出发，经过所有的城市且只经过一次，最后回到出发的城市，要求找到一条最短的路径。
这是一个NP-hard问题，传统的穷举法在城市数量较大时难以找到最优解。
二、算法原理分支限界法是一种以深度优先搜索为基础的优化算法。
其核心思想是根据当前问题状态的下界（或上界）对搜索空间进行剪枝，从而减少搜索空间，提高搜索效率。
在货郎担问题中，分支限界法通过动态规划的方式记录已经访问过的城市，从而避免重复计算，同时利用启发式信息（如最近邻居、最小生成树等）进行路径选择，不断更新路径的下界，直至找到最优解或者搜索空间被完全剪枝。
三、实现步骤1. 初始化：设置初始的城市路径、已访问城市集合、路径长度、下界等参数。
2. 搜索：利用深度优先搜索，根据当前路径确定下一个访问的城市，并更新路径长度和下界。
3. 剪枝：根据当前路径长度与下界的关系，对搜索空间进行剪枝。
4. 回溯：如果搜索路径无法继续扩展，进行回溯，更新路径状态。
5. 结束条件：当所有城市都被访问过一次后，得到一条完整的路径，更新最优解。
四、案例分析假设有5个城市，它们的坐标为：A(0, 0)、B(1, 2)、C(3, 1)、D(5, 3)、E(4, 0)利用分支限界法求解货郎担问题，我们按照以下步骤进行计算：（1）初始化：选择一个城市作为出发点，并初始化已访问城市集合、路径长度和下界。
（2）搜索：根据当前路径选择下一个访问的城市，并更新路径长度和下界。
（3）剪枝：根据当前路径长度与下界的关系，进行搜索空间的剪枝。
（4）回溯：如果搜索路径无法继续扩展，进行回溯，更新路径状态。
旅行商问题实验报告
算法设计与分析实验报告姓名：xx班级：xxxx学号：xxxxxx实验名称：旅行商问题实验目的：1.分支限界法按广度优先策略搜索问题的解空间树，在搜索过程中，对待处理的结点根据限界函数估算目标函数的可能取值，从中选取使目标函数取得极值（极大或极小）的结点优先进行广度优先搜索，从而不断调整搜索方向，尽快找到问题的解。
2.分支限界法适用于求解最优化问题。
实验程序：输入：图G=（V, E）输出：最短哈密顿回路1.根据限界函数计算目标函数的下界down；采用贪心法得到上界up;2.计算根节点的目标函数并加入待处理的结点表PT;3.循环直到某个叶子结点的目标函数值在表PT中取得极小值3.1i=表PT中具有最小值的结点；3.2对结点i的每个孩子结点x执行下列操作；3.2.1估算结点x的目标函数值lb；3.2.2若（lb<=up）,则将结点x加入表PT中，否则丢弃该结点；4.将叶子结点对应的最优值输出，回溯求得最优解的各个分量。
实验分析：问题描述：TSP 问题是指旅行家要旅行n 个城市，要求各个城市经历且仅经历一次然后回到出发城市，并要求所走的路程最短。
采用贪心法求得近似解为：1→3→5→4→2→1，其路径长度为1+2+3+7+3=16,这可以作为TSP 问题的上界，把矩阵中每一行最小的两个元素相加再除以2，得到TSP 问题的下界：[(1+3)+(3+6)+(1+2)+(3+4)+(2+3)]/2=14,于是得到目标函数的界[14,16]。
一般情况下，假设当前已确定的路径为U=(r1, r2, …, rk)，即路径上已确定了k 个顶点，此时，该部分解的目标函数值 的计算方法（限界函数）如下：27 156 3 1 3 4 2 5 39 8 4C = ∞ 3 1 5 8 3 ∞ 6 7 9 1 6 ∞ 4 2 5 7 4 ∞ 3 8 9 2 3∑∑∑=∉-=+++=k i Ur j i k i i i j r r r r c lb ,11112/)]][[2(行最小的两个元素素行不在路径上的最小元分支限界法求解图上机心得与体会：时间复杂性分析：分支限界法实际上属于蛮力穷举法，当然不能指望它有很好的最坏时间复杂性，遍历具有指数阶个结点的解空间树，在最坏情况下，时间复杂性肯定为指数阶。
行程问题的九个公式
行程问题的九个公式行程问题（TravellingSalesmanProblem，简称TSP）在理解和解决许多实际问题（例如路由规划、车辆调度与最优路径搜索）方面都发挥着重要作用。
其主要研究内容是：在一定网络结构中，以某一源点为起点，按指定的顺序依次访问该网络中的其他结点，并且最终到达源点，构成一个闭环路径，该闭环路径的路径权值最小。
TSP的数学模型被称为旅行商问题，它的解表示最优路线以及最小距离，是人们研究图论一大难题。
研究行程问题需要使用一些特定的公式，下文将介绍求解TSP过程中使用到的九个公式。
第一个公式是显示型，即给定一个旅行商路径，可以算出它的路径权值：d(Pi, Pj)= d(i,j)+d(j,k)+... d(pk-1,pk)。
其中，d(i,j)表示从结点i到结点j的距离，Pk-1和Pk分别表示结点k-1和结点k的路径顺序。
第二个公式是移动型，即某一结点被插入到一条路径中时，其权值的增加量：d(i, j)+d(j, k)-d(i, k) 。
其中，d(i,j)表示从结点i到结点j的距离，d(i,k)表示从结点i到结点k的距离。
第三个公式是换位型，即某一结点在路径上两个相邻位置之间“移动”时，其权值变化：d(i, j)+d(k, l)-d(i, k)-d(j, l) 。
其中，d(i,j)和d(k,l)分别表示权值变化前的两条路径的长度，d(i,k)和d(j,l)表示权值变化后的两条路径的长度。
第四个公式是回头路检查型，即确定某结点是否能被加入某个方案的路径时：D(i,j)= d(i,j)+d(j, k)+... d(pk-1,pk)+d(pk,i)。
其中，d(i,j)表示从结点i到结点j的距离，Pk-1和Pk分别表示结点k-1和结点k的路径顺序，d(pk,i)表示最后一次访问结点k 时从k回到i的距离。
第五个公式是分支限界型，即确定当前搜索节点的最小路径权值时：D(i,j)= C(i,j)+f(i,j) 。
组合优化问题求解方法及其应用
组合优化问题求解方法及其应用组合优化问题是指在一定的约束条件下，在一组可选的元素中选取最优组合的问题。
如何求解组合优化问题一直是计算机科学中的重要研究方向之一。
在实际中，组合优化问题的应用非常广泛，从生产调度到金融风险评估等领域都发挥着重要作用。
本文将介绍几种常见的组合优化问题求解方法及其应用。
一、贪心算法贪心算法是一种简单而常用的求解策略。
它通常从问题的某一个初始状态开始，按照某种局部最优的规则逐步构造问题最终的解，直到满足整个问题的全局最优性。
贪心算法的核心思想就是：每一步都做出一个最优决策，最终达到全局最优解。
贪心算法适用于那些带有最优子结构性质的问题。
所谓最优子结构性质是指：一个问题的最优解包含其子问题的最优解。
比如，在背包问题中，每次选择价值最大的物品来装入背包，就是一种贪心策略。
应用场景：1. 最小生成树问题最小生成树问题是指在一个连通的带权图中选取一棵生成树，使得所有边权之和最小。
Kruskal算法和Prim算法均属于贪心算法，可以高效地求解最小生成树问题。
2. 背包问题背包问题是指在有限的背包容量下，如何装入最有价值的物品。
贪心策略可以用来求解部分背包问题和分数背包问题。
二、分支限界法分支限界法是一种基于搜索的求解策略。
它通过不断缩小问题解空间，逐步约束问题的规模，最终求得最优解。
具体来说，分支限界法将问题解空间分成一个个子空间，在选择某一子空间的同时，通过对该子空间的搜索和剪枝，逐渐减小问题解空间的规模，直到找到最优解。
应用场景：1. 旅行商问题旅行商问题是指在一张带权完全图中，如何找到一条经过所有顶点的最短路径。
分支限界算法是一种高效的求解方法，通过剪枝技术可以显著降低搜索空间。
2. 整数规划问题整数规划问题是指在满足各种限制条件下，找到一组整数变量的最优取值使得目标函数值最小或最大。
分支限界算法可以用来求解整数规划的松弛线性规划问题。
三、动态规划算法动态规划算法是一种基于记忆化搜索的求解策略。
旅行商售货员问题的分支限界算法
旅行商售货员问题的分支限界算法姓名：学号：一、实验目的与要求1、掌握旅行商售货员问题的分支限界算法；2、区分分支限界算法与回溯算法的区别，加深对分支限界法的理解。
二、实验题：编程实现：某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程(或旅费)。
他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一次，最后回到驻地的路线，使总的路程(或总旅费)最小。
三、实验提示旅行商问题的解空间是一个排列树。
有两种实现的方法。
第一种是只使用一个优先队列，队列中的每个元素中都包含到达根的路径。
另一种是保留一个部分解空间树和一个优先队列，优先队列中的元素并不包含到达根的路径。
以下为第一种方法。
由于我们要寻找的是最小耗费的旅行路径，因此可以使用最小耗费分枝定界法。
在实现过程中，使用一个最小优先队列来记录活节点，队列中每个节点的类型为MinHeapNode。
每个节点包括如下区域： x（从1到n的整数排列，其中x[0] = 1 ），s（一个整数，使得从排列树的根节点到当前节点的路径定义了旅行路径的前缀x[0:s], 而剩余待访问的节点是x [s + 1 : n - 1 ]），cc（旅行路径前缀，即解空间树中从根节点到当前节点的耗费），lcost （该节点子树中任意叶节点中的最小耗费）， rcost（从顶点x[s : n - 1]出发的所有边的最小耗费之和）。
当类型为MinHeapNode( T )的数据被转换成为类型T时，其结果即为lcost 的值。
代码：#include <stdio.h>#include <istream>using namespace std;//---------------------宏定义------------------------------------------#define MAX_CITY_NUMBER 10 //城市最大数目#define MAX_COST 10000000 //两个城市之间费用的最大值//---------------------全局变量----------------------------------------int City_Graph[MAX_CITY_NUMBER][MAX_CITY_NUMBER];//表示城市间边权重的数组int City_Size; //表示实际输入的城市数目int Best_Cost; //最小费用int Best_Cost_Path[MAX_CITY_NUMBER];//最小费用时的路径//------------------------定义结点--------------------------------------- typedef struct Node{int lcost; //优先级int cc; //当前费用int rcost; //剩余所有结点的最小出边费用的和int s; //当前结点的深度，也就是它在解数组中的索引位置int x[MAX_CITY_NUMBER]; //当前结点对应的路径struct Node* pNext; //指向下一个结点}Node;//---------------------定义堆和相关对操作-------------------------------- typedef struct MiniHeap{Node* pHead; //堆的头}MiniHeap;//初始化void InitMiniHeap(MiniHeap* pMiniHeap){pMiniHeap->pHead = new Node;pMiniHeap->pHead->pNext = NULL;}//入堆void put(MiniHeap* pMiniHeap,Node node){Node* next;Node* pre;Node* pinnode = new Node; //将传进来的结点信息copy一份保存//这样在函数外部对node的修改就不会影响到堆了pinnode->cc = ;pinnode->lcost = node.lcost;pinnode->pNext = node.pNext;pinnode->rcost = node.rcost;pinnode->s = node.s;pinnode->pNext = NULL;for(int k=0;k<City_Size;k++){pinnode->x[k] = node.x[k];}pre = pMiniHeap->pHead;next = pMiniHeap->pHead->pNext;if(next == NULL){pMiniHeap->pHead->pNext = pinnode;}else{while(next != NULL){if((next->lcost) > (pinnode->lcost)){ //发现一个优先级大的，则置于其前面pinnode->pNext = pre->pNext;pre->pNext = pinnode;break; //跳出}pre = next;next = next->pNext;}pre->pNext = pinnode; //放在末尾}}//出堆Node* RemoveMiniHeap(MiniHeap* pMiniHeap){Node* pnode = NULL;if(pMiniHeap->pHead->pNext != NULL){pnode = pMiniHeap->pHead->pNext;pMiniHeap->pHead->pNext = pMiniHeap->pHead->pNext->pNext;}return pnode;}//---------------------分支限界法找最优解-------------------------------- void Traveler(){int i,j;int temp_x[MAX_CITY_NUMBER];Node* pNode = NULL;int miniSum; //所有结点最小出边的费用和int miniOut[MAX_CITY_NUMBER];//保存每个结点的最小出边的索引MiniHeap* heap = new MiniHeap; //分配堆InitMiniHeap(heap); //初始化堆miniSum = 0;for (i=0;i<City_Size;i++){miniOut[i] = MAX_COST; //初始化时每一个结点都不可达for(j=0;j<City_Size;j++){if (City_Graph[i][j]>0 && City_Graph[i][j]<miniOut[i]){//从i到j可达，且更小miniOut[i] = City_Graph[i][j];}}if (miniOut[i] == MAX_COST){// i 城市没有出边Best_Cost = -1;return ;}miniSum += miniOut[i];}for(i=0;i<City_Size;i++){ //初始化的最优路径就是把所有结点依次走一遍 Best_Cost_Path[i] = i;}Best_Cost = MAX_COST; //初始化的最优费用是一个很大的数pNode = new Node; //初始化第一个结点并入堆pNode->lcost = 0; //当前结点的优先权为0 也就是最优pNode->cc = 0; //当前费用为0（还没有开始旅行）pNode->rcost = miniSum; //剩余所有结点的最小出边费用和就是初始化的miniSumpNode->s = 0; //层次为0pNode->pNext = NULL;for(int k=0;k<City_Size;k++){pNode->x[k] = Best_Cost_Path[k]; //第一个结点所保存的路径也就是初始化的路径}put(heap,*pNode); //入堆while(pNode != NULL && (pNode->s) < City_Size-1){//堆不空不是叶子for(int k=0;k<City_Size;k++){Best_Cost_Path[k] = pNode->x[k] ; //将最优路径置换为当前结点本身所保存的}/** * pNode 结点保存的路径中的含有这条路径上所有结点的索引* * x路径中保存的这一层结点的编号就是x[City_Size-2]* * 下一层结点的编号就是x[City_Size-1]*/if ((pNode->s) == City_Size-2){ //是叶子的父亲int edge1 = City_Graph[(pNode->x)[City_Size-2]][(pNode->x)[City_Size-1]];int edge2 = City_Graph[(pNode->x)[City_Size-1]][(pNode->x)[0]];if(edge1 >= 0 && edge2 >= 0 && (pNode->cc+edge1+edge2) < Best_Cost){//edge1 -1 表示不可达//叶子可达起点费用更低Best_Cost = pNode->cc + edge1+edge2;pNode->cc = Best_Cost;pNode->lcost = Best_Cost; //优先权为 Best_CostpNode->s++;//到达叶子层}}else{ //内部结点for(i=pNode->s;i<City_Size;i++){ //从当前层到叶子层if(City_Graph[pNode->x[pNode->s]][pNode->x[i]] >= 0){ //可达//pNode的层数就是它在最优路径中的位置int temp_cc = pNode->cc+City_Graph[pNode->x[pNode->s]][pNode->x[i]];int temp_rcost = pNode->rcost-miniOut[pNode->x[pNode->s]]; //下一个结点的剩余最小出边费用和//等于当前结点的rcost减去当前这个结点的最小出边费用if (temp_cc+temp_rcost<Best_Cost){ //下一个结点的最小出边费用和小于当前的最优解，说明可能存在更优解for (j=0;j<City_Size;j++){ //完全copy路径，以便下面修改temp_x[j]=Best_Cost_Path[j];}temp_x[pNode->x[pNode->s+1]] = Best_Cost_Path[i];//将当前结点的编号放入路径的深度为s+1的地方temp_x[i] = Best_Cost_Path[pNode->s+1]; //?????????????? //将原路//径中的深度为s+1的结点编号放入当前路径的//相当于将原路径中的的深度为i的结点与深度W为s+1的结点交换Node* pNextNode = new Node;pNextNode->cc = temp_cc;pNextNode->lcost = temp_cc+temp_rcost;pNextNode->rcost = temp_rcost;pNextNode->s = pNode->s+1;pNextNode->pNext = NULL;for(int k=0;k<City_Size;k++){pNextNode->x[k] = temp_x[k];}put(heap,*pNextNode);delete pNextNode;}}}}pNode = RemoveMiniHeap(heap);}}int main(){int i,j;printf("请输入旅行的节点数");scanf("%d",&City_Size);for(i=0;i<City_Size;i++){printf("请分别输入每个节点与其它节点的路程花费");for(j=0;j<City_Size;j++){scanf("%d",&City_Graph[i][j]);}}Traveler();printf("最小花费""%d\n",Best_Cost);return 1;}运行结果：分支限界法类似于回溯法，也是一种在问题的解空间树T上搜索问题解的算法。
第六次分支界限法
例如 n=8, m=5 B={1,...8 } L={N1,..., N5 } N1={4, 5, 6}, N2={2, 3} N3={1, 3}, N4={3, 6} N5={7, 8 ) 电路板排列问题是一个NP难问题
一种可能的排列 density=2
算法设计与分析 >分枝限界法
算法思路: 问题的解为n元向量X={X[1], X[2], ... X[n]}, xi{1...n } 解空间为排列树,在树中做广度优先搜索, D:(1) X[ i] X[ j], i j 时.
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6.3 旅行商问题
[问题陈述]设G(V,E)是带权有向图,|V|=n, 耗费矩阵C=(ci,j) 当(i, j) E时, ci,j= 且ci,i= .选择周游路线使耗费最小。
[算法思路]设周游路线从结点1开始, 解为等长数组： X=(1,x2,...，xn) xi{2,..,n}. 解空间树为排列树. 约束条件: xi xj , i j; 目标函数:解向量对应的边权之和 目标函数限界初值:U= c(x):以x为根的叶子中路权最大值 c( x ) :从根至x的部分路径的权值.
结点x的最小耗费函数c(x):以x为根的子树所包含的回答结点中, 路权最小者的权值。若x是回答结点, 则c(x)为该点的目标函数 值; 若x是根结点, 则c(x)为最优解值。c(x)为单增函数。 目标函数限界U: 初始U可取，若x*是任一回答结点, 且c(x*)<U, 则更新U=c(x*), x*为已知回答结点中值最小者。当搜索到结点x,而 c(x)>U时, x将不必扩展(剪枝)。
mt 可在1，2，3，.. ml.任选一值。问题的解即计算教师人数: C= int(N/mt) +1
算法论文：旅行商问题的求解方法(动态规划法和贪心法)讲解
旅行商问题的求解方法摘要旅行商问题（TSP问题）时是指旅行家要旅行n个城市然后回到出发城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并要求所走的路程最短。
该问题又称为货郎担问题、邮递员问题、售货员问题，是图问题中最广为人知的问题。
本文主要介绍用蛮力法、动态规划法、贪心法和分支限界法求解TSP问题，其中重点讨论动态规划法和贪心法，并给出相应求解程序。
关键字：旅行商问题；动态规划法；贪心法；分支限界法1引言旅行商问题(TSP)是组合优化问题中典型的NP-完全问题，是许多领域内复杂工程优化问题的抽象形式。
研究TSP的求解方法对解决复杂工程优化问题具有重要的参考价值。
关于TSP的完全有效的算法目前尚未找到，这促使人们长期以来不断地探索并积累了大量的算法。
归纳起来，目前主要算法可分成传统优化算法和现代优化算法。
在传统优化算法中又可分为：最优解算法和近似方法。
最优解算法虽然可以得到精确解，但计算时间无法忍受，因此就产生了各种近似方法，这些近似算法虽然可以较快地求得接近最优解的可行解，但其接近最优解的程度不能令人满意。
但限于所学知识和时间限制，本文重点只讨论传统优化算法中的动态规划法、贪心法和分支限界法，并对蛮力法做简单介绍，用以比较。
2正文2.1蛮力法2.1.1蛮力法的设计思想蛮力法所依赖的基本技术是扫描技术，即采用一定的策略将待求解问题的所有元素一次处理一次，从而找出问题的解。
一次处理所有元素的是蛮力法的关键，为了避免陷入重复试探，应保证处理过的元素不再被处理。
在基本的数据结构中，一次处理每个元素的方法是遍历。
2.1.2算法讨论用蛮力法解决TSP问题，可以找出所有可能的旅行路线，从中选取路径长度最短的简单回路。
如对于图1，我们求解过程如下：（1）路径：1->2->3->4->1；路径长度：18；（2）路径：1->2->4->3->1；路径长度：11；（3）路径：1->3->2->4->1；路径长度：23；（4）路径：1->3->4->2->1；路径长度：11；（5） 路径：1->4->2->3->1；路径长度：18；（6） 路径：1->4->3->2->1；路径长度：18；从中，我们可以知道，路径（2）和（4）路径长度最短。