第23计

第24计 杠杆开门 以轻拨重
●计名释义
派大力士扛千斤鼎，靠的是力；用四两砣拨千斤鼎用的是智.杠杆原理，以轻拨重，要考虑两个因素：一是支力；二是支点.支力，从解题人的学科知识中寻找；支点，从解题人的思想方法中寻找.
其实，智的体现，集中于支点的寻找，找得越巧越省力.
支点中的点在哪里，本书开场就是“点到成功”，可以去问问“芝麻”.数学中的好点多着呢！重合点，对称点，极限点，中心点，定比分点，……，要有尽有.关键是，你面临的那个具体问题，你看中了哪个亮点！
●典例示范
【例1】 正四面体的高线长为4，求其外接球的体积.
【分析】 说曹操，曹操就到.刚刚拿出来杠杆，要“扛”的东西就来了.线段AB 的重心在其中点M 点.如果A ，B 处各放1个质点，则其点M 会聚了2个质点.正三角形ABC 的重心在它的中线CM 上，C 点放1个质点，中点M 处有2个质点，故重心G 会聚了3个质点，按杠杆原理，CG =2GM .
至于正四面体中心在哪里？这还用得算吗？
【解答】 设正四面体的顶点为V ，底面中心为G ，四面体中心为O . 由杠杆原理，O 在GV 的第1个四等分点上，即VO =3OG .
因此，正四面体的外半径R =
43h =3. 故正四面体体积为3
4πR 3=36π. 【点评】 如果派大力士去解此题，他将是：①先解2个直角三角形求得“斜高”；②用列方程求外半径.精力过剩者，这当然是一种乐趣.
【例2】 直线l 左移3个单位，再上移1个单位时，恰回到原来的位置，这直线的
斜率是 （ ） A.3
1- B.-3 C.31 D.3 【思考】 本题的破题之口在哪儿呢?取特殊点.将支点选在原点O （0，0）左移3个单位，上移1个单位得M （-3，1）.
于是k +l=k OM =3
1-.选 A . 【点评】 两点确定一条直线，而斜率相等的一切不同直线都平行，这就是本题解法的依据，或“道理”.试问：什么样的直线平行移动后，可以不经过原点呢？既如此，取特殊点原点，以达到杠杆开门，以轻拨重之目的,即是最实惠的选择.
【例3】 （04·上海卷）若函数f (x )的图象可由函数y =lg(x +1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转
2π得到，则f (x )= ( ) A .10-x -1 B .10x -1 C .1-10-x D .1-10x
数学破题36计
【解答】 本题的杠杆在哪儿?取特殊点.在y =lg(x +1)的图象上取一点A （9，1），将OA 绕原点逆时针旋转90°得B （-1，9），代入各选项，仅 A 适合，∴选 A .
【点评】 函数的图象都是点的集合，以点的旋转取代图形的旋转，已经够特殊的了，而在无穷无尽的点中，敏锐的找到A （9，1），（经过旋转则得B （-1，9））这样绝妙的特征点，从而轻而易举地找出正确的答案，这难道不痛快淋漓的吗？
【例4】 如图（1）所示，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =2
3，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积是 （ ）
例4题图
A.29
B.5
C.6
D.2
15
【思考】 用特殊图形.如图（2）所示，使ED ⊥平面ABCD ，且使ED=2.连AF 、DF.则EF ⊥面ADE.
∵V F —ADE =3
1·EF ·S △ADE =212331⨯⨯×3×2=23. V F —ABCD =31·DE ·S □ABCD =3
1·2·32=6. ∴V 多面体=23+6=215.选D. 【点评】 本题正是1999年难倒大批考生的全国高考题.多数考生感到难的原因是直接对原图进行割补，因而计算繁杂.其实，在不影响题设这个大前提的条件下，让图形特殊、再特殊，使之能用最简单的方式求其体积，你还要讲道理吗？君不见：等底等高的一切锥体等积，历经了几千年考验的祖暅原理，难道还不算经典道理吗？
●对应训练
1.动点A 在双曲线22
22
n y m x -=1上，B 、C 为双曲线的左、右焦点，△ABC 中∠A 、∠B 、∠
C 的对边a,b,c 满足a=10，c-b=6，则 tan
2B cot 2C 的值是 （ ） A.41 B .21 C. 4
3 D.1 2.已知0<x<y<a<1，则有 （ ）
A.log a (xy)<0
B.0<log a (xy)<1
C.1<log a (xy)<2
D.log a (xy)>2
3.设{a n }是公比为a,首项为b 的等比数列，S n 是前n 项和，对任意的n ∈N +，点（S n ， S n+1） ( )
A.在直线y=ax-b 上
B.在直线y=bx+a 上
C.在直线y=bx-a 上
D.在直线y=ax+b 上
4.函数y=x+sin |x|,x ∈［-π,π］的大致图像是 （ ）
第4题图
●参考答案
1.A 取特殊图形.BC=10⇒双曲线
焦点为B （-5,0）,C(5,0)
c-b=6⇒2m=6,
∴m=3,n=4，双曲线方程为：16
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2y x -=1, 离心率e=3
5. 取特殊位置AC ⊥BC ，则有 A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛316,5•, ∴AC=
316,从而AB=334, cos B=1715, sin B=17
8，而C ＝90°. 第1题解图 ∴ tan 2B cot 2C =B
B sin cos 1-·cot 45° =4117
81715
1=-. 2. D 取特殊值.x=8
1,y=41,a=21,满足0<x<y<a<1. 则 log a (xy)=log 215
21⎪⎭⎫ ⎝⎛=5.否定 A 、B 、C . 3. D 取特殊值.取a=2,b=1,则S n =2
121--n
=2n -1.各选项依次为： A.y=2x-1 B.y=x+2 C.y=x-2 D.y=2x+1 取点（S 2，S 3）=(3，7)，代入各选项，仅D 适合.
4. C 取图形上的特殊点.令x=-2π，则y=-2π+1，点⎪⎭⎫ ⎝⎛+π-π-12,2
•应位于直线y=x 上方，排除 A 、B 、D .。