高教五版高数(经济类)函数定义域值域及最值随堂讲解
高三数学第一轮复习：函数的定义域值域.ppt
例 1 已知函数 f ?x?定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
(1) f (x2 ) ? 23 ;
(2) y ?
f (x2 ) ? 1
log 1 (2 ? x)
2
分析：x 的函数 f(x 2 )是由 u=x 2 与 f(u)这两个函数复合而成的复合函 数，其中 x 是自变量，u 是中间变量 由于 f(x)，f(u)是同一个函数，故(1) 为已知 0＜u＜2，即 0＜x 2 ＜2 求 x 的取值范围
又∵ ? ? ? x2 ? 6x ? 5 ? ? ( x ? 3)2 ? 4 ? 4 ，
∴ 0 ? ? ? 4 ，故 ? ? [0,2] ，
∴ y ? ? x2 ? 6x ? 5 的值域为 [0,2]
（3）（法一）反函数法：
y ? 3x ? 1 的反函数为 y ? 2x ? 1 ，其定义域为{x ? R | x ? 3}，
x? 2
x? 3
∴原函数 y ? 3x ? 1 的值域为{y? R | y ? 3} x? 2
（法二）分离变量法： y ? 3x ? 1 ? 3(x ? 2) ? 7 ? 3 ? 7 ，
x? 2
x? 2
x? 2
∵ 7 ? 0 ，∴ 3 ? 7 ? 3 ，
x? 2
x? 2
∴函数 y ? 3x ? 1 的值域为{y? R | y ? 3} x? 2
1? sin x 2 ? cos x
解：（1）（配方法）Q y ? 3x2 ? x ? 2 ? 3(x ? 1 )2 ? 23 ? 23 ， 6 12 12
∴ y ? 3x2 ? x ? 2 的值域为 [ 23 , ?? ) 12
改题： 求函数 y ? 3x2 ? x ? 2 ， x? [1,3]的值域
高教五版高数(经济类)偏导数全微分随堂讲解
17
全微分存在的条件
由微分定义 :
lim z lim ( Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f (x x, y y) f (函x数, y在)该点连续
z 1
x
y1(xy)2x1x2y2,
z x
x2 y 1
1 5
,
z y
x2 y 1
2. 5
所以 dz1dx2dy1(dx2dy).
55 5
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24
多元函数的全微分在近似计算中有一定的应用. 实 际 上 ， 对 于 可 微 的 二 元 函 数 z f (x, y) ， 因 为
z dz o() 是一个比 高阶的无穷小量，所以有
x x0
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 ) x x0
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3
同样可定义对 y 的偏导数
f y(x0 , y0 )
lim
y0
f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) y
d dy
f (x0 , y)
y y0
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
若这两个偏导数仍存在偏导数，
则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
(
z x
)
2z x2
f xx
(x,
y);
y
(z) x
定义域与值域课件
函数图像是另一种有力的工具，它可以直观地展 示定义域和值域，并帮助我们理解函数的特征。
定义域和值域的应用举例
1
金融投资
在金融投资中，定义域可以表示投资
天气预报
2
的风险等级，值域可以表示预期收益。
在天气预报中，定义域可以表示温度
范围，值域可以表示天气状况。
3
医学诊断
在医学诊断中，定义域可以表示各种 病症，值域可以表示不同的诊断结果。
常见的函数类型及其定义域和值域
线性函数
定义域为整个实数集，值域也为整个实数集。
二次函数
定义域为整个实数集，值域根据二次函数的 开口方向有所不同。
指数函数
定义域为整个实数集，值域为正实数集。
对数函数
定义域为正实数集，值域为整个实数集。
定义域和值域的图示表示
矩形坐标系
函数图像
矩形坐标系是描述定义域和值域的常用工具之一。 它可以帮助我们可视化函数的输入和输出范围。
定义域与值域ppt课件
在这个课件中，我们将探讨定义域和值域的概念，以及如何确定函数的定义 域和值域。我们还将介绍常见函数类型的定义域和值域，并通过图示表示和 实际应用举例，帮助您理解定义域和值域的重要性。
定义域和值域的概念
定义域是函数中所有可能输入的集合，值域是函数中所有可能输出的集合。它们是用来描述函数的输入 和输出范围的重要概念。
如何确定函数的定义域和值域
1 分析函数表达式
通过分析函数的表达式，我们可以确定函数的定义域和值域。例如，根据根式函数的定 义域和非负实数相关联。
2 考虑约束条件
有时候，函数的定义域和值域受到一些约束条件的限制。通过考虑这些约束条件，我们 可以确定函数的实际范围。
高中数学函数的定义域及值域
高中数学函数的定义域及值域1500字函数是数学中常用的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
函数的定义域是指输入的值的集合，而值域是函数输出的值的集合。
在高中数学中，我们经常需要确定函数的定义域和值域，以便了解函数的性质和行为。
为了确定一个函数的定义域，我们需要考虑两个因素：函数的解析式和函数的定义限制。
函数的解析式告诉我们函数如何计算输出值，而定义限制告诉我们输入值可以是哪些数。
首先，让我们考虑一些常见的函数类型及其定义域和值域。
1. 线性函数：线性函数的解析式可以写为y = mx + c，其中m是斜率，c是截距。
线性函数的定义域是所有实数集合，值域也是所有实数集合。
2. 幂函数：幂函数的解析式可以写为y = x^n，其中n是一个实数。
幂函数的定义域是所有实数集合，但值域取决于指数n的值。
例如，如果n是正偶数，那么幂函数的值域是非负实数集合；如果n是负偶数，那么幂函数的值域是正实数集合；如果n是奇数，那么幂函数的值域是所有实数集合。
3. 指数函数：指数函数的解析式可以写为y = a^x，其中a是一个正实数且不等于1。
指数函数的定义域是所有实数集合，值域是正实数集合。
4. 对数函数：对数函数的解析式可以写为y = log_a(x)，其中a是一个正实数且不等于1。
对数函数的定义域是正实数集合，值域是所有实数集合。
5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
三角函数的定义域是所有实数集合，值域取决于具体的函数类型。
例如，正弦函数的值域是[-1, 1]；余弦函数的值域也是[-1, 1]；正切函数的值域是所有实数集合。
除了上述函数类型外，还有其他函数类型的定义域和值域也需要特别注意。
例如，有理函数的定义域由分母的零点确定，值域取决于分子的次数和分母的次数；反比例函数的定义域是除了零的所有实数，值域也是除了零的所有实数。
在确定函数的定义域和值域时，我们还需要注意一些常见的限制，如根式的奇次指数、分母不能为零、对数的底不能为1等。
高教五版高数(经济类)一阶微分方程随堂讲解
2 2
y x dy dx 解： 原方程变形并分离变量，得 2 2 1 y 1 x
即 ln(1 y ) ln(1 x ) ln C （ ln C 2C1 ） ，
故初值问题的特解为 把初始条件 y x 0 1 ，代入得 C 2 ，
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其中， Am 为酵母量最后极限值，是一个 常数 . 它表示在前期酵母的增长率是逐渐上 升，到后期酵母的增长率逐渐下降 .求解此微 分方程，并假定当 t 0 时，酵母的现有量为 A0 . dA kA( Am A) 是可分离变量的 解 微分方程 dt
微分方程.分离变量得
eC1 e 2
3 2 x 2
x2
．
因 eC1 仍是任意常数，把它记作 C ，便得方程（3）的通解
y Ce
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．
7
dy x(1 y 2 ) , 2 例 2 求解初值问题 dx (1 x ) y y x 0 1.
1 1 2 两端积分，得 ln(1 y ) ln(1 x2 ) C1 2 2 2 2
q ( x) d x p ( x ) d x, 两边积分，得 ln | y | y q( x) d x v ( x ) ，则 ln | y | v( x) p( x)d x, 若记 y
即 y ev( x) e p( x)d x u( x)e p( x)d x （其中 u( x) ev ( x ) ） ．
P ( x ) Q( y ) C
（2）
因此，方程（1）的解 y ( x) 满足关系式（2） ．
反之，我们也可以证明：
高考数学复习考点知识讲解课件6 函数的定义域与值域
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(新教材) 高三总复习•数学
(2)基本初等函数的定义域 ①整式函数的定义域为 R. ②分式函数中分母_不___等__于__0__. ③偶次根式函数被开方式__大__于__或__等__于___0___. ④一次函数、二次函数的定义域均为 R. ⑤函数 f(x)＝x0 的定义域为__{_x_|x_≠__0_}__． ⑥指数函数的定义域为____R______. ⑦对数函数的定义域为_(_0_，__＋__∞__)_．
0<2－x<1， ⇒x≠32
1<x<2， ⇒x≠32.
所以函数的定义域为1，32∪32，2.
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(新教材) 高三总复习•数学
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角度 2：求抽象函数的定义域 【例 2】 已知函数 f(2x＋1)的定义域为(0,1)，则 f(x)的定义域是___(1_,_3_)__． [思路引导] 由已知得 x∈(0,1)→求 2x＋1 的范围→得 f(x)的定义域．
2
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(新教材) 高三总复习•数学
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[解析] (1)要使原函数有意义，
－x2＋9x＋10≥0， 则x－1>0，
x－1≠1，
解得 1<x≤10 且 x≠2，所以函数 f(x)＝ －x2＋9x＋10－
lnx2－1的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选 D．
(2)要使函数有意义，则log12 2－x>0， 2x－3≠0
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函数的定义域、值域教学讲义
函数的定义域、值域教学讲义1．函数的定义域 函数y ＝f (x )的定义域(1)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式(组)；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (2)求函数定义域的主要依据 ①整式函数的定义域为R . ②分式函数中分母__不等于0__.③偶次根式函数被开方式__大于或等于0__. ④一次函数、二次函数的定义域均为 R . ⑤函数f (x )＝x 0的定义域为__{x |x ≠0}__. ⑥指数函数的定义域为 R . ⑦对数函数的定义域为__(0，＋∞)__. 2．函数的值域 基本初等函数的值域：(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是 R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为 {y |y ≥4ac －b 24a} ；当a <0时，值域为 {y |y ≤4ac －b 24a} .(3)y ＝kx(k ≠0)的值域是__{y |y ≠0}__.(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是__(0，＋∞)__. (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是 R .1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的__并集__.3．函数f (x )与f (x ＋a )(a 为常数a ≠0)的值域相同．1．(教材改编)函数y ＝11＋x －1的定义域是( C ) A ．{x |x ≠0}B ．{x |x ≠－1}C ．{x |x ≠0且x ≠－1}D ．{x |x ≠0或x ≠－1}2．f (x )＝x 2＋x ＋1在[－1,1]上的值域为( C ) A ．[1,3] B ．[34，1]C ．[34，3]D ．[34，＋∞)[解析] ∵f (x )＝x 2＋x ＋1的对称轴为x ＝－12，∴f (x )min ＝f (－12)＝34，又f (－1)＝1，f (1)＝3，∴f (x )∈[34，3]．3．函数f (x )＝2x －1在[－2,0]上的最大值与最小值之差为43.[解析] f (x )＝2x －1在[－2,0]上为减函数f (x )max ＝f (－2)＝－23，f (x )min ＝f (0)＝－2，f (x )max －f (x )min ＝－23－(－2)＝43.4．(2018·湖南邵阳期末)设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f (x2)的定义域为( B )A ．[1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4)[解析] ∵函数f (x )＝log(x －1)＋2－x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2，∴函数的f (x )定义域为(1,2]，∴1<x 2≤2，解得x ∈(2,4]，则函数f (x2)的定义域为(2,4]．故选B ．5．函数y ＝x 4＋x 2＋1的值域是__[1，＋∞)__；y ＝x 4－x 2＋1的值域是 [34，＋∞) .6．函数y ＝log 0.3(x 2＋4x ＋5)的值域为__(－∞，0]__. [解析] 设u ＝x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1≥1， ∴log 0.3u ≤0，即y ≤0，∴y ∈(－∞，0]．考点1 求函数的定义域——多维探究角度1 具体函数的定义域例1 (1)(2018·江苏，5)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为__[2，＋∞)__. (2)(2018·河北邯郸调研)函数y ＝lg (1－x 2)2x 2－3x －2的定义域为( C )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．(－1，－12)∪(－12，1)D ．[－1，－12)∪(－12，1][解析] (1)本题考查函数定义域的求法及对数函数． 由题意可得log 2x －1≥0，即log 2x ≥1， ∴x ≥2.∴函数的定义域为[2，＋∞)．(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12，所以函数y ＝lg (1－x 2)2x 2－3x －2的定义域为{x |－1<x <1，且x ≠－12}．角度2 求抽象函数的定义域例2 已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( B ) A ．(－1,1) B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)[分析] 求抽象函数定义域的关键，f 后面括号内部分取值范围相同．[解析] 由函数f (x )的定义域为(－1,0)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，即所求函数的定义域为(－1，－12)．[引申](理)(1)若将本例中f (x )与f (2x ＋1)互换，结果如何？(2)若将本例条件中f (x )改为f (2x )，结果如何？[解析] (1)f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)，即－1<x <0，∴－1<2x ＋1<1，∴f (x )的定义域为(－1,1)． (2)f (2x )的定义域为(－1,0)，即－1<x <0，∴12<2x <1.由12<2x ＋1<1得－14<x <0，∴f (2x ＋1)的定义域为(－14，0)．名师点拨 ☞函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 〔变式训练1〕 (1)(角度1)函数y ＝1log 12(2－x )＋12x －3的定义域为 (1，32)∪(32，2) .(2)(2018·山东省实验中学段考)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域是(－1,1).[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧log 12(2－x )>0，2x －3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－x <1，x ≠32⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<x <2，x ≠32.∴定义域为(1，32)∪(32，2)．(2)要使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，－4<x <1，∴－1<x <1，故函数y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为(－1,1)．考点2 求函数的值域——师生共研例3 (1)y ＝1－|x |1＋|x |；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x 2＋x ＋1x ；(4)y ＝x －1－2x . (5)y ＝|x ＋1|＋|x －2|.[解析] (1)解法一：分离常数法： y ＝1－|x |1＋|x |＝－1＋21＋|x |， ∵|x |≥0，∴|x |＋1≥1，∴0<2|x |＋1≤2.∴－1<－1＋21＋|x |≤1.即函数值域为(－1,1]． 解法二：反解法： 由y ＝1－|x |1＋|x |，得|x |＝1－y 1＋y.∵|x |≥0，∴1－y 1＋y ≥0，∴－1<y ≤1，即函数值域(－1,1]．(2)配方法：y ＝－2(x －14)2＋258，∴0≤y ≤524，∴值域为[0，524]．(3)y ＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1解法一：基本不等式法由y ＝x ＋1x ＋1(x ≠0)，得y －1＝x ＋1x.∵|x ＋1x |＝|x |＋|1x |≥2|x |·|1x|＝2， ∴|y －1|≥2，即y ≤－1或y ≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解法二：判别式法由y ＝x 2＋x ＋1x ，得x 2＋(1－y )x ＋1＝0.∵方程有实根，∴Δ＝(1－y )2－4≥0. 即(y －1)2≥4，∴y －1≤－2或y －1≥2.得y ≤－1或y ≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解法三：导数法(单调性法) 令y ′＝1－1x 2＝(x ＋1)(x －1)x 2<0，得－1<x <0或0<x <1.∴函数在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y ≥3； 函数在(－1,0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y ≤－1. ∴y ≤－1或y ≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (4)解法一：换元法 设1－2x ＝t (t ≥0)，得x ＝1－t 22，∴y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1≤12(t ≥0)，∴y ∈(－∞，12]．即函数的值域为(－∞，12]．解法二：单调性法∵1－2x ≥0，∴x ≤12，∴定义域为(－∞，12]．又∵函数y ＝x ，y ＝－1－2x 在(－∞，12)上均单调递增，∴y ≤12－1－2×12＝12，∴y ∈(－∞，12]．(5)解法一：绝对值不等式法：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以函数值域为[3，＋∞)． 解法二：数形结合法：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1(x <－1)，3(－1≤x ≤2)，2x －1(x >2).画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)． 名师点拨 ☞求函数值域的一般方法(1)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a ≠0)的函数；如例3(1)；(2)反解法：形如y ＝cf (x )＋daf (x )＋b (a ≠0，f (x )值域易求)的函数；如例3(1)；(3)配方法：形如g ＝af 2(x )＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数；如例3(2)； (4)不等式法；(5)单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域； (6)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (c ≠0)的函数；如例3(4)；(7)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例3(5)； (8)导数法． 〔变式训练2〕 求下列函数的值域． (1)y ＝(14)x 2－2x ；(2)y ＝2x ＋1＋x ； (3)(文)y ＝x 2＋2x ＋3x －1(x >1)．(理)y ＝x －1x 2＋x ＋2(x >1)．[解析] (1)令x 2－2x ＝t ，∵x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴t ≥－1，又y ＝(14)t 在[－1，＋∞)上单调递减，∴0<y ≤(14)－1＝4，∴0<y ≤4.∴函数f (x )＝(14)x 2－2x 的值域为(0,4]．(2)解法一：单调性法：定义域为{x |x ≥－1}，函数y ＝2x ，y ＝1＋x 均在[－1，＋∞)上递增，故y ≥2×(－1)＋1＋(－1)＝－2. 解法二：换元法： 令1＋x ＝t ，则t ≥0，且x ＝t 2－1.∴y ＝2t 2＋t －2＝2(t ＋14)2－178≥－2(t ≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． (3)(文)换元法： 令x －1＝t >0，∴x ＝t ＋1.∴y ＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)＋3t ＝t 2＋4t ＋6t ＝t ＋6t ＋4≥26＋4，当且仅当“t ＝6t ”时等号成立．即t ＝6时，取最小值26＋4.∴函数y ＝x 2＋2x ＋3x －1(x >1)的值域为[26＋4，＋∞)．(理)令x －1＝t ，则x ＝t ＋1(t >0) ∴y ＝t (t ＋1)2＋t ＋3＝t t 2＋3t ＋4＝1t ＋4t ＋3∵t ＋4t ≥4(t ＝2时取等号)∴t ＋4t ＋3≥7，∴0<y ≤17∴函数y ＝x －1x 2＋x ＋2的值域为(0，17]．。
高中数学 函数定义域,值域,解析式的求法及最值
课题函数教学目标函数的定义域、值域、最值以及解析式的求法重点、难点函数的最值以及解析式的求法考点及考试要求函数的最值以及解析式的求法教学内容（一）函数值域的概念：函数的值域就是我们通常说的y的范围，它是一个集合{y︱y=2x+1} 值域一定要与函数的定义域联系起来。
（二）函数的值域与最值的联系：注意：（三）常见函数的值域：考题8例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式. 解 （1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［1，+∞).（2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3. 例2（1）求函数f (x )=229)2(1x x x g --的定义域；（2）已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域. 解 （1）要使函数有意义，则只需要：,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即解得-3＜x ＜0或2＜x ＜3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤2. ∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t ， ∴f （t ）=lg 12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x ，①把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3②①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1. 2. 求下列函数的定义域： （1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;(2)y =log (2x +1)(32-4x ).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,25,1120120432x ，x x x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）.例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式. 解 （1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［+∞). （2）设f (x )=ax 2+bx +c(a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3. 例2（1）求函数f (x )=229)2(1xx xg --的定义域；（2）已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域. 解 （1）要使函数有意义，则只需要：,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即解得-3＜x ＜0或2＜x ＜3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤2. ∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］例4 已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x（1）画出函数的图象；（2）求f (1),f (-1),f ［f (-1)］的值. 解 （1）分别作出f (x )在x ＞0,x =0, x ＜0段上 的图象，如图所示，作法略. （2）f (1)=12=1,f (-1)=-11- =1,f ［f （-1）］=f （1）=1.1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t ， ∴f （t ）=lg 12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x①把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3②①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1. 2. 求下列函数的定义域：（1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;(2)y =log (2x +1)(32-4x ).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,25,1120120432x ，x x x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）. 一、填空题1.设函数f 1(x )=x 21,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则[]))0072((123f f f = .答案 007212.（2008·安徽文，13）函数f (x )=)1(log 1|21|2---x 的定义域为 .答案 []+∞,3 3.若f (x )=⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ,则f (-1)的值为 .答案 3 4.已知f (2211)11xx x x +-=+-，则f(x )的解析式为 . 答案 f (x )=212x x +5.函数f (x )=xx -132 +lg(3x +1)的定义域是 .答案 （-31，1） 6.(2008·陕西理，11)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x ,y ∈R ),f (1)=则f (-3)= . 答案 68.已知函数ϕ (x )=f (x )+g (x ),其中f (x )是x 的正比例函数,g (x )是x 的反比例函数，且ϕ（=16, ϕ (1)=8,则ϕ(x )= .答案 3x +x 5二、解答题9.求函数f (x )=21)|lg(|x x x --的定义域.解 由,11010||2⎩⎨⎧<<-<⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x ，得 ∴-1＜x ＜0. ∴函数f (x )=21)|lg(|xx x --的定义域为（-1,0）.10．（1）设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足f (0)=1,且对任意实数a 、,f (a -b )=f (a )-b (2a -b +1),求f (x );（2）函数f (x ) (x ∈(-1,1))满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),求f (x ). 解 （1）依题意令a =b =x ,则 f (x -x )=f (x )-x (2x -x +1), 即f (0)=f (x )-x 2-x , 而f (0)=1,∴f (x )=x 2+x +1. （2）以-x 代x ,依题意有 ①2f (-x )-f (x )=lg(1-x ) ②2f (x )-f (-x )=lg(1+x )两式联立消去f (-x )得 3f (x )=lg(1-x )+2lg(1+x ),∴f (x )=31lg(1+x -x 2-x 3)(-1＜x ＜1).。
高教五版高数(经济类)二阶常系数线性微分方程随堂讲解
r1,2 i
y C1er1 x C2er2 x y ( C1 C2 x ) er1 x
y e x (C1 cos x C2 sin x )
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
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例1 求方程 y 4 y 5 y 0的通解.
解: 特征方程 r 2 4 r 5 0, 特征根:
因此方程的通解为
y C1 er1 x C2 er2 x
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2. 当 p2 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根
r1 r2
p 2
,
则微分方程有一个特解
y1 er1 x .
设另一特解 y2 y1u (x) er1 xu (x) ( u (x) 待定)
代入方程得:
er1 x [ ( u 2 r1u r12u ) p(u r1u ) q u 0
f (x) 0 时, 称为非齐次的方程
f (x) 0 时, 称为齐次的方程.
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二、线性微分方程解
的结构 定理1 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程
y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x) (C1,C2为任意常数 )
8
定理 2 若 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x) (C1,C2为任意常
数) 是该方程的通解.
例如, 方程 y y 0 有特解 y1 cos x, y2 sin x, 且
y2
y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
k 1 n