δ函数讲
delta函数
当 时，电荷分布可看作位于 的单位点电荷。
此时把定义在区间 上，满足上述这两个要求的函数称为 函数，并记作 ，即0→l (,)−∞+∞)4(1)(=∫∞∞−dxx η)3()()(0)(00⎩⎨⎧=∞≠=x x x x x ηδ0x x =)6(1)(0=−∫∞∞−dx x x δ)(0x x −δ)5()()(0)(000⎩⎨⎧=∞≠=−x x x x x x δ根据(5)式，在 时， ，所以(6)式左边的积分不需要在 的区间进行，而只需要在一个包含 点在内的区间内进行，即引入 函数后，位于 处、电量为q 的点电荷的线电荷密度为：位于坐标原点，质量为m 的质点的质量线密度为：(,)−∞+∞0x x ≠0)(0=−x x δ0x x =⎩⎨⎧><<<=−∫),(0)(1)(0000x b x a b x a dx x x b a δδ0x )()(0x x q x −=δη)()0()(x m x m x δδη=−=说明：1.函数并不是通常意义下的函数，而是广义函数： 它没有给出函数与自变量之间的对应关系，仅给出这在通常情况下没有意义。
2. 函数所给出的“函数值”只是在积分运算中才 有意义。
例：δ⎩⎨⎧=∞≠=)0()0(0)(x x x δδ)0()()(f dx x x f =∫∞∞−δ二、 函数的性质性质1：若f (x )是定义在区间 的任一连续函数，则00())()f x x x dx f x δ+∞−∞−=∫（——将 乘上f (x )进行积分，其值为将f (x )的宗量换为 或者说： 函数具有挑选性(把f (x )在 的值挑选出来)证明：设 是任意小的正数，则由于 在 时为零， 所以 0000())())x x f x x x dx f x x x dx εεδδ+∞+−∞−−=−∫∫（（由积分中值定理有：(,)−∞+∞δ)(0x x −δ)(0x x −δ0x δ0x x =ε0x x ≠)()()()()(000000εξεδξδεε+<<−−=−∫∫+−∞∞−x x dx x x f dx x x x f x x当 时， ，连续函数 ，且所以特别地： 时，说明：也可作为 函数的定义， 即 函数可以通过它在积分号下对任一连续函数f (x )的运算性质来定义。
δ函数在物理学中的应用
δ函数在物理学中的应用
δ函数在物理学中具有广泛的应用，以下是其中一些例子：
1. 分布电荷密度中的应用：在电学中，我们经常需要计算电荷分布的影响。
δ函数可以帮助我们描述电荷密度的分布。
δ函数可以描述电荷的位置、大小、形状和方向等特性。
此外，δ函数也在广义电荷分布、电势函数以及电场强度、电荷扩散和涡旋定理等方面都有应用。
2. 求和规则的应用：在物理学中，我们经常需要对各种物理量进行求和。
δ函数可以帮助我们更方便地进行求和计算。
例如，我们可以将电流的分布与δ函数相乘，用积分方式对其进行求和，这样可以更容易地计算电流总值。
3. 热力学中的应用：δ函数可以用来描述温度和热能的分布。
例如，如果我们想计算一个物体的热量分布，可以使用δ函数来表示不同温度区域的热量分布，并对其进行积分求和，以得到整个物体的热量。
类似的应用还可以在光子学、热传导和化学反应等领域中找到。
4. 自然震源中的应用：在地震学中，δ函数经常被用于表示自然震源。
自然震源是指地震的起源，通常由一些地壳内部变化造成。
在地震波传播方程中的相应作用，使得我们可以更好地研究地震的影响。
总之，δ函数在物理学中具有广泛的应用，为我们更好地理解和解决物理问题提
供了有力的工具。
Diracδ函数及其性质ppt课件
δ(x, y)= δ(x)·δ(y)
二维δ函数的性质以及其证明过程与一维δ函数的 情形相同。
*2、极坐标系的情况
δ(x，y) → δ(r，θ) ，必须要保证：
1)、脉冲位置相同；
2)、二者强度(即曲面下‘体积’)相同。
dx
H(xa)
f
(x)
|
H(xa)
f
'(x)dx
f
()
a
f
'(x)dx
f
()
f
(x)| a
f
(a)
根据以上讨论，再结合式(3)可知，Heaviside函数H(x-
a)对x的导数可以表示Dirac 整δ(理xp)p函t 数，即式(10)成立。
14
3°Dirac函数的性质
性质1)、积分性质：δ函数的定义式：
δ(x-x0， y-y0)曲面下的体积为：
(xx0,yy0)dx d1y
而δ(r-r0，θ-θ0)曲面下的体积为：
0 1 r( r r 0 ) rd 0 2 ( r0 ) d 0 ( r r 0 ) d 0 2 r ( 0 ) d 1
可见强度也相同，所以坐标变换成立。
整理ppt
只有这样，坐标变换才是整等理p价pt 的。
20
几个二维δ函数在两种坐标系中的位置关系
直角坐标系(x，y) 极坐标系(r，θ)
δ(x，y)
δ(r)
δ(x-x0，y) δ(x，y-y0) δ(x+x0，y) δ(x，y+y0) δ(x-x0，y-y0)
δ(r-x0，θ)
(r
y0,
)
形式分布关于δ—函数的展开式
形式分布关于δ—函数的展开式δ函数是冲激函数，其定义如下：δ(x-a)=0,x≠aδ(x-a)=∞,x=a∫δ(x-a)dx = 1δ函数的展开式是其在实数域上的一种分析表达形式。
我们知道，普通函数的展开式是整个表达式拆分为一个无穷级数或者积分的形式，以描述函数在不同点或者不同变量上的特性。
对于δ函数来说，其展开式也是将δ函数表示为一个形式上更易于计算和描述的表达式。
δ函数的展开式可以通过级数展开或者傅里叶变换来实现。
在这里，我们主要关注傅里叶变换的形式分布关于δ函数的展开式。
在傅里叶变换中，我们使用复数域上的频率变量ω来表示信号的频率特性。
对于实数域上的δ函数，其傅里叶变换定义为：F(ω) = ∫δ(x)e^(-jωx)dx由于δ函数在0点除了在x=0时取无限大值外，其它点都取0，因此我们可以通过展开式的形式将δ函数的傅里叶变换进一步表达出来。
首先，我们可以将傅里叶变换中的指数函数进行展开：e^(-jωx)=1-jωx+(jωx)^2/2!-(jωx)^3/3!+...将这个展开式代入到δ函数的傅里叶变换中，我们可以得到：F(ω) = ∫[δ(x) - jωxδ(x) + (jωx)^2/2!δ(x) -(jωx)^3/3!δ(x) + ... ]dx由于δ函数的性质，除了第一项δ(x)之外，其它项在积分时都会为0。
因此，我们可以将δ函数的展开式简化为：F(ω)=δ(0)-jωδ'(0)+(jω)^2/2!δ"(0)-(jω)^3/3!δ'''(0)+...其中，δ'(0)表示δ函数的一阶导数在x=0时的值，δ"(0)表示δ函数的二阶导数在x=0时的值，δ'''(0)表示δ函数的三阶导数在x=0时的值，以此类推。
这个展开式的含义就是将δ函数的傅里叶变换分解为一个无穷级数，每一项都对应着δ函数在x=0处不同阶导数的系数。
辅助函数 delta函数
辅助函数 delta函数
δ函数，也称为狄拉克δ函数，是数学中的一种特殊函数。
它在物理学、工程学和数学分析中都有重要的应用。
δ函数的定义和性质使它成为处理信号、线性系统和微分方程等领域中的有用工具。
在数学上，δ函数通常被定义为满足以下性质的广义函数：
1. δ函数在实数轴上的积分为1，即∫δ(x)dx = 1。
2. δ函数在原点以外的任何点x处都等于0，即δ(x) = 0 (x ≠ 0)。
3. 在积分的意义下，δ函数的性质可以被表示为，
∫f(x)δ(x)dx = f(0)，其中f(x)是一个连续函数，且积分区间包含原点。
在物理学中，δ函数经常用于描述质点的位置、电荷分布和线性系统的冲激响应。
在信号处理中，δ函数可以用来表示单位冲激信号，它在系统分析和频域处理中起着重要作用。
在微分方程中，
δ函数可以用来表示微分方程的初值条件或者外部激励。
需要注意的是，δ函数并不是一个严格意义上的函数，而是一个广义函数或者分布。
它的定义和性质需要通过广义函数理论来进行严格的描述和推导。
总之，δ函数在数学、物理学和工程学中都具有重要的地位，它的特殊性质使得它成为处理信号、系统和微分方程等问题时不可或缺的工具。
希望这个回答能够从多个角度全面地解释δ函数的性质和应用。
狄拉克 δ 函数
δ 函数的性质
1. I = ∫
∞ -∞
f (x) δ(x - x0) x = f (x0), 对任意的连续函数 f (x)
证明：利用 δ 函数的定义 I=
∞ -∞
f (x) δ(x - x0 ) x = lim+ ε0
x0 +ε x0 -ε
x0 +ε x0 -ε
f (x) δ(x - x0 ) x, 其中 ε 0+ 表示 ε > 0 且 ε 0
x0 +ε
= lim+ ε0
[ f (x) - f (x0)] δ(x - x0) x + lim+ ε0
Δ
x0 -ε
f (x0 ) δ(x - x0 ) x
= Δ + f (x0), Δ = lim+ ε0 ≤ lim+ ε0
ε0 x0 +ε
x0 -ε x0 +ε
∞
-∞
f (x) D1 (x) x =
∞
-∞
f (x) D2 (x) x
⟹ D1 (x) = D2(x)， 其中 f (x) 为任意的连续函数
也就是说 ，这里说的证明 ，与其说是证明 ，不如说是一种理解 、说明。 若希望更严谨的数学论证 ，请参阅 Lighthill, "An Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions "
δ(t) t ,
φ(xl -ε)
1 = φ′(ξ) 1 φ′(ξ) = ▲ 推论 δ(a x - b) = 1 φ′(x
l )
φ(xl +ε) φ(xl -ε) φ(xl +ε) φ(xl -ε)
δ函数的定义及其常用性质
δ函数的定义及其常用性质
δ函数，又称为脉冲函数，是一种常用的非连续型函数，在数学上有着重要的作用。
它在概率论、傅立叶分析以及电路理论中都有广泛应用。
δ函数的定义为：设X为实数,且x≠0,定义δ(x) = 0,当 x=0时, δ(x)=∞
δ函数是一个特殊的非连续函数，它是实数集上的指标函数，即函数值为0或+∞。
δ函数的一个重要性质是“零矩”，即使用积分运算时，则有δ(x)dx=0，由此可知δ函数不参与积分运算。
δ函数的非线性性质可用来描述函数在某一点处突然发生变化时的特殊情况，如脉冲形分析，瞬时变化，电路理论等。
此外，δ函数通常用来定义离散函数的表达式，可用其建立函数的数学模型，并引入分布理论。
δ函数具有若干重要的性质：
1、δ函数的积分是零:δ(x)dx = 0;
2、δ函数的微分无穷大:dδ(x)/dx=∞;
3、δ函数的互反性:δ(-x)=δ(x);
4、δ函数的加法性质:δ(x+a)=δ(x);
5、δ函数的乘法性质:Aδ(x-a) = Bδ(x-b);
由此可见，δ函数在数学中有着广泛的应用，它可以用来简化含有非连续特征的函数的表达式。
辅助函数 delta函数
辅助函数delta函数全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：δ函数（delta function）是一种特殊的数学函数，其定义是在自变量为0处取无穷大值，而其他地方取值为0。
这种函数在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用，在处理信号处理、微分方程、概率论等方面起到重要的作用。
δ函数最早由德国物理学家泡利（Pauli）在20世纪20年代引入，并由英国数学家施瓦茨（Schwartz）在20世纪50年代进行完善和推广。
δ函数的定义形式如下：\delta(x) = \left\{\begin{aligned}& +\infty, && x=0 \\& 0, && x \neq 0\end{aligned}\right.上面的定义只是一种形式上的定义，并不是数学上严格的定义。
在数学上，可以通过一系列趋近于δ函数的函数序列来严格定义δ函数。
可以取一个由函数序列{f_n(x)}构成的函数族，使得当n \rightarrow\infty时，f_n(x)逐渐趋近于δ(x)。
δ函数虽然在自变量为0时取值无穷大，但其积分却是有限的，即\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)dx = 1。
δ函数是一种质量集中在x=0处的分布函数，可以表示某种单位质量或概率质量。
在物理学和工程学中，δ函数被用来描述冲击、脉冲等瞬时现象，比如在电路中描述瞬间输入的电流或电压信号。
在信号处理中，δ函数也被广泛应用。
卷积运算是一种信号处理中常见的操作，而δ函数在卷积运算中起着重要的作用。
在微分方程求解中，δ函数常常作为绿函数（Green's function）的一部分，用来表示特定的微分方程解。
在泛函分析中，δ函数是一种广义函数（generalized function）的代表，用来描述一些奇异函数、分布函数等。
除了以上的应用之外，δ函数还在概率论和统计学中有着重要的作用。
Delta函数介绍
§5.1 δ 函数
其中, δ ( M − M 0 ) = δ ( x − x0 , y − y 0 , z − z 0 ) = δ ( x − x0 )δ ( y − y0 )δ ( z − z 0 ) 为三维函数 ; dv = dxdydz
其中, δ ( M − M 0 ) = δ ( x − x0 , y − y 0 ) = δ ( x − x0 )δ ( y − y0 ) 为二维函数 ; dv = dxdy
总电量q = 1, 集中在x = 0处
x
Δq ⎧0 x ≠ 0 =⎨ 则电荷密度 : ρ ( x) = lim Δx →0 Δx ⎩∞ x = 0
∞
−∞
∫ ρ ( x)dx = 1
Wuhan University
一、δ函数的引入
2、定义：
§5.1 δ 函数
⎧ ⎧0 x ≠ 0 ⎪δ ( x) = ⎨ ⎩∞ x = 0 ⎪ ⎨∞ ⎪ δ ( x)dx = 1 ⎪∫ ⎩− ∞
∞
f (t ) =
−∞
∫ f (τ )δ (τ − t )dτ = ∫
b
a
f (τ )δ (τ − t )dτ
Wuhan University
三、高维δ 函数
1、定义：
⎧ ⎧0 , M ≠ M 0 ⎪δ ( M − M 0 ) = ⎨ ⎩∞ M = M 0 ⎪ (1) ⎨ ∞ ⎪ ⎪ ∫ ∫ ∫ δ ( M − M 0 )dv = 1 ⎩ −∞
第五章格林函数法
Method of Green’s Function
Wuhan University
引言：
第五章格林函数法
⎧行波法 : 无界空间波动问题, 有局限性 ⎪ ⎨分离变量法 : 各种有界问题, 其解为无穷级数 ⎪积分变换法：各种无界问题, 其解为无限积分 ⎩ 1、格林函数法：
δ函数
School of Physics & Material Science
1.2 δ函数
(2) 重复排列
第一章 线性系统分析
Information Optics
School of Physics & Material Science
1.2 δ函数
第一章 线性系统分析
• 常用的表现形式有
(x, y) lim n2 exp[n2 (x2 y2 )] n
(x, y) lim n2rect(nx)rect(ny) n
(x, y) lim n2sinc(nx)sinc(ny) n
(x, y) lim n2 circ(n x2 y2 ) n
exp( j2 x)d (x)
exp( j2 x)dx ( )
δ函数与阶跃函数的关系
(x) d step(x)
dt
x
step(x) ( )d
Information Optics
School of Physics & Material Science
第一章 线性系统分析
(x na) 1 ( x n) 1 comb( x)
n
a n a
a
a
comb( x x0 ) a
( x x0
n
a
n)
a
(x
n
x0
na)
a [x (x0 na)] n
x x0, y y0 x x0, y y0
Information Optics
School of Physics & Material Science
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∞
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⒉ δ ( -x )＝ δ ( x ) ⒊ δ'( -x )＝ -δ' ( x ) ⒋ xδ(x)=0
1 5. δ (ax ) = δ ( x ) a
(a ≠ 0)
作业
三、δ函数的傅立叶积分 1）δ函数为一非周期函数，在x≠0点以外满足 狄氏条件。 2）δ(x) 满足绝对可积条件。 将其展为傅立叶积分
§6 δ函数和它的傅立叶积分
一、 δ函数的引入 连续分布的物理量，可以定义密度 集中分布的物理量，形式上定义其密度
∞ ρ ( x) = 0
x = x0 x ≠ x0
∫
∞
−∞
ρ ( x )dx = m
与经典函数的两大矛盾
二、 δ函数的定义 （可以理解为单位点量的密度）
x ≠ x0 0 δ ( x − x0 ) = x = x0 ∞ ∞ δ ( x − x )dx = 1 0 ∫−∞
注：δ函数的定义是由函数取值性质 积分性质 取值性质和积分性质 取值性质 共同来构成的。二者缺一不可。
δ函数的等价定义
x ≠ x0 0 δ ( x − x 0 ) = x = x0 ∞ x +a 0 δ ( x − x )dx = 1 0 ∫x0 − a
三维空间δ函数的定义
r r r r r ≠ r0 0 r r δ ( r − r0 ) = r = r0 ∞ r r 3r ∞ ∞ ∞ ∫−∞ ∫−∞ ∫−∞ δ ( r − r0 ) d r = 1
三、δ函数的性质 ⒈ 选择性 f (x)为在x=x0点连续的任意函数，则
f ( x0 ) = ∫ f ( x )δ ( x − x0 )dx
②
① ②两式常作为δ函数等价表达式
证明2（利用选择性） ⒉ δ ( -x )＝ δ ( x ) 思路
∫ [ ]δ (x )dx
∞
若：f (x)
−∞
相同的结果
∫ [ ]δ (− x )dx
∞ −∞
则
δ ( -x )＝ δ ( x )
δ ( x ) = ∫ C (ω ) e dω
iω x −∞
∞
1 C (ω ) = 2π
∫
∞
−∞
δ ( x) e
− iω x
1 dx = 2π
1 ∴ δ (x ) = 2π
∫
∞
−∞
e
iω x
dω
①
1 ∴ δ (x ) = 2π
∫
∞
−∞
e iω x d ω
①
Q δ (− x ) = δ (x ) 1 ∞ − i ωx ∴δ (x ) = ∫−∞e dω 2π