第七章 二阶电路
第七章 二阶电路
i ( t ) = A1 e
(b)当 α = ω 0 ( R = 2
+ A2 e
s2 t
过阻尼
L ), s 1 = s 2 = - α , 为 二 重 实 根 ： C
i ( t ) = ( A + Bt )e − α t
(c)当 α < ω 0 ( R < 2 L ), s 1,2 = - α ± C
———— 二阶非齐次微分方程 一般形式： 一般形式：
d2y dy + a1 + a0 y = f ( t ) 2 dt dt
当电路没有输入激励时有f(t)=0，方程变为齐次方程： ，方程变为齐次方程： 当电路没有输入激励时有
d2y dy + a1 + a0 y = 0 2 dt dt
相应的解为零输入响应。 相应的解为零输入响应。
di uL (0 + ) = L dt
t = 0+
= U0
di dt
t = 0+
U0 = L
表达式代入并令t=0 将i(t)表达式代入并令 + 有： 表达式代入并令
L(A1S1+A2S2)=U0 由①②联立得： ①②联立得： 联立得
————② ②
A1 = − A2 =
U0 L ( s1 − s 2 )
di 2 − 4 i1 + + 4 i2 = 0 dt
---- ②
1 d i2 i1 = ( + 4 i2 ) 4 dt
1 d 2 i2 ′ i 1′ = ( + 4 i2 ) 2 4 dt
----③ ③ ----④ ④
d 2 i2 di 2 + 10 + 19 i 2 = 2 u s ( t ) 16 2 dt dt
电路(第七章 二阶电路)
uC (t ) e 3t (3 cos 4t 4 sin 4t ) 5e3t cos(4t 53.1o )V (t 0)
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电路分析基础
电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC iL (t ) C 0.04e 3t (7 cos 4t 24 sin 4t ) dt 3t o
uC (0 ) K1 3
t 0
3 3 5 3 j4 2L 2 L LC
利用初始值uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:
解得 K1=3和K2=4。 电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC (t ) dtຫໍສະໝຸດ i L (0 ) 3K1 4 K 2 7 C
Im
iL(t)
T 4 T 2
3T 4
o t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 Im
返 回
T
t
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电路分析基础
LC振荡回路的能量
LC回路的总瞬时储能
LC回路的初始储能
1 2 1 2 w(t ) Li (t ) Cu (t ) 2 2 1 1 2 2 (sin t cos t ) (J) 2 2
LC d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
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电路分析基础
LC
d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 求解该方程必须有条件： d uC i t i 0 uC 0 0 0 dt C C 为了得到电路的零输入响应，令uOC=0，得二阶齐次微分方程 d 2 uC d uC 根据一阶微分方程的求解 LC RC u 0 C 经验可假定齐次方程的解 dt dt2
电路分析基础第七章__二阶电路
第七章二阶电路重点要求:1. 理解二阶电路零输入响应过渡过程的三种情况;2. 了解二阶电路的阶跃响应和冲击响应。
3.学习数学中的拉普拉斯变换的定义、性质及反变换的方法;4.掌握用拉普拉斯变换求解电路的过渡过程的方法。
1§7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路:由二阶微分方程描述的电路。
典型的二阶电路是RLC串联电路。
求全响应方法:1.经典法(时域分析法)全响应= 稳态分量(强制分量) + 暂态分量(自由分量)2.拉普拉斯变换法(频域分析法)2响应曲线:U 0u C , u L , i 0ωtiu Cu L§7-1 二阶电路的零输入响应220p ααω=−±−一. 问题的提出经典法解动态电路过渡过程存在的问题：对较复杂的电路，联立求解微分方程特别是定积分常数比较困难。
若激励不是直流或正弦交流时，特解不容易求得。
二. 拉氏变换法用积分变换的原理简化求解电路过渡过程时域电路解微分方程时域响应f(t)取拉斯变换复频域电路解代数方程复频域响应F(s)取拉斯反变换7.2 动态电路的复频域分析应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一种复频域分析方法，也叫运算法！是数学中的一种积分变换.优点：对复杂电路﹑无稳态情况﹑换路时出现强迫跃变等用拉氏变换法较经典法方便。
三. 拉普拉斯变换的定义设函数f(t)在0≤t ≤∞时有定义，则积分称为原函数f(t)的拉普拉斯变换（象函数）。
()dte tf s F st∫∞−−=0)(式中s=σ+ j ω----复频率。
单位：熟悉的变换:相量法⎩⎨⎧=∫∞+∞−)s (21)(ds e F j t f stj c j c π反变换正变换ZH1.象函数F (s)存在的条件：∞<∫∞−−dt et f st0)(说明：电路分析中的函数都能满足上述条件。
2. 在电路中积分的下限定义为“0-”, 更有实际意义(将奇异函数也包括在内)。
[][]⎩⎨⎧==−)( )()( )( S F t f t f S F 1简写正变换反变换在电路分析中通常直接查表得到。
第七章 二阶电路
ω0 = ωd =
ω 02 − α
称为衰减谐振角频率
uC ( t ) = e −αt [ K 1 cos( ωd t ) + K 2 sin( ωd t )] = Ke −αt cos( ωd t + ϕ )
8
能量转换 0<ωt<β uC(t)减小，i (t)增大 减小， 减小 增大
C + R L C
β< ωt < π-β β
π-β < ωt < π β
增大， 增大 uC(t)减小，i (t)减小 |uC |增大，i 减小 减小， 减小 减小
+ R L C + R L
U0 uC 0
β
i
ω0 U 0 e −δ t ω
π π+β β 2π-β πβ 2π π
π-β β
ωt
−
ω0 U 0 e −δ t ω
s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。
3.在欠阻尼情况， 是共轭复数， 3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出现在s平面 情况 上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡， 上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅 随时间按指数规律衰减， 越大，衰减越快。 随时间按指数规律衰减，衰减系数 α 越大，衰减越快。衰减 振荡的角频率ω 越大，振荡周期越小，振荡越快。 振荡的角频率ωd 越大，振荡周期越小，振荡越快。 图中按Ke- 画出的虚线称为包络线， 图中按Ke-αt画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范 Ke 围。
11
是共轭虚数， 4.在无阻尼情况， 4.在无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，固有频率出现在s 情况 平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减， 平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角 频率为ω 的等幅振荡。 频率为ω0的等幅振荡。 显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间 显然，当固有频率的实部为正时， 增加，电路是不稳定的。由此可知， 增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固 平面上的左半平面上时，电路是稳定的。 有频率均处于s平面上的左半平面上时，电路是稳定的。
电路(第七章 二阶电路)讲解
L时， C
s1、s2为不相等的负实数。过阻尼
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2 es2t
（2）当 R 2 1 时，即R 2 L时， s1、s2为相等的负实数。临界
2L LC
C
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2t es2t
若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。 储能终将被电阻消耗完 。称为阻尼振荡或衰减振荡。
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电路分析基础
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
+ uR- C i
含阻源 网+- u电 络OCR
+ uC-
+ uL
-
L
列KVL方程
i C d uC dt
uR
Ri
RC
d uC dt
（2）当uc下降到零的瞬间，uL也为零，i的变化率也为零，i达 到最大值I，储能全部转入到电感中。
（3）uc=0时，但它的变化率不为零，i将从I逐渐减小，C又被 充电，但充电的方向与以前相反。
储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。
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电路分析基础
-
（4）当i下降到零瞬间，能量又再度
电路分析基础
第七章 二阶电路
§7-1 LC电路中的正弦振荡 §7-2 RLC串联电路的零输入响应 §7-3 RLC串联电路的全响应 §7-4 GCL并联电路的分析
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电路分析基础
本章教学要求
1、了解二阶电路的基本概念； 2、了解二阶电路的一般分析方法。
重点 RLC串联二阶电路的全响应
上述过程将不断地重复进行。
(整理)第七章二阶电路
第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：a acb a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，tp t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pte t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e ey t tj ω+ω==δ-ω+δ- 二、欧拉公式β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ω β-β=β-sin cos j e j2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j ee t7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。
在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dt di ），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。
电路分析基础7二阶电路
U0
2
uC
2
U 0 0 e t d
dt
iL
结果分析
U00 e t d
*过渡过程中电场和磁场能量相互转换，由于耗能
电阻的存在，总能量逐渐减少。
0dt2 2dt22dt
C 放能
放能
吸能
L 吸能
放能
放能
R 耗能
耗能
耗能
电压上升，电流上升，电感磁场能 量向电容电场转移
u U ,i 0 , d u i 0 ,d iu 0 dt C dtL
电流为零，电压达到最大值，电路 能量完全存储于电容电场中
（至此完成一个能量转移周期，无耗能元件，总能量守恒）
i(t)
+
C
uL
-
iCdu, uLdi
dt
dt
d2u LCdt2 u 0
即 s1 2
s2 4
式(1)的全解，即电压响应为
u C t U S A 1 e s 1 t A 2 e s 2 t t 0 2
电流响应为
i t C d d C t u t C 1 s 1 e s 1 tA C 2 s 2 e s 2 t A t 0 3
*欠阻尼情况下，电路具有衰减振荡的过渡过程。
uc(t) 和iL的包络线函数分别为
U00 et d
U 0 e t
d L
称 为衰减系数， 越大，则电压和电流衰减越
快；称 d 为衰减振荡角频率， d 越大，则电压 和电流振荡越剧烈。
*由
2R L,d
1
R2
(3) uc 的过零点为 dtk /2 (k 0 ,1 ,2 ,...)
二阶电路讲义
2. 电感在t<tm时，吸收能量，建立磁场；当t>tm时电感释放能 量，磁场逐渐衰减，趋向消失。
3. 整个过程完毕，uC=0，i=0，uL=0，电容储藏的能量全部 被电阻消耗。
非振荡放电过阻尼:
R
R
+
+
C
L
C
L
-
-
0 < t < tm uc减小，i 增加
t > tm uc减小， i 减小
e t ( A1 A2 t)
R 2 L不等负实根 C
非 振 荡 ( 过 阻 尼 ) A1e p1t A2e p2t
实验工具的使用及实验内容
(一 ) R 2 L
C
p1, p2是不等的负实根 (t=0)
1
uC A1e p1t A2e p2t
由初始条件:
+
uc -
C
iR + uL L -
uC (0 ) uC (0 ) U 0 A1 A2 U 0
duC
i(0 ) 0
dt t 0
C
p1A1 p2A2 0
则
A1
p2 p2
p1
U0
A2
p1 p2 p1
U0
a.电容电压响应uC:
uC
U0 p2 p1
( p2 e p1t p1e p2t )
2 uC响 应 曲 线
uC
U0 p2 p1
( p2 e p1t
p1e p2t )
uc U0
uC一直单调下降
t
3 能量转换关系
1. 整个过程中uC曲线单调下降，电容一直释放储存的电能。
二阶电路
第七章 二阶电路 §7-1 二阶电路的零输入响应用二阶方程描述的动态电路称为二阶电路，当电路有电感，又有电容时就是一个二阶电路，二阶电路中给定的初始条件有2个 一、方程及特征根（RLC 串联）022=++C CC u dt du RC dtu d LC特征根为：LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛+-=LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛--=零输入响应为：t t P P C e A e A u 2121+= 1．电路的初始条件有三种情况，分别为：①0)0(0)0(≠≠++L C i u ②0)0(0)0(=≠++L C i u ③0)0(0)0(≠=++L C i u我们讨论第二种情况，设0)0()0()0()0(====-+-+L L C C i i u u u2．特征根p 1、p 2有不等负实数根、相等负实数根、一对共轭复数根三种情况，这三种情况决定零输入响应不同。
二、CLR 2>（1P 、2P 有不等负实根）时电路的响应 —是一个非振荡放电过程 1．电容上的电压和电流及电感上的电压响应表达式为：)(2112120t t P P C e P e P P P U u --=LCp p 121=)()()(2121120112210t t t t P P P P C e e P P L U e P e P P P P CU dt du Ci ---=---=-=)(2121120t t P P L e P e P P P U dt di Lu ---==2．响应曲线2112)/ln(P P P P T m -=此时电感电压过0，电流取得最大值m t t 2= 此时电感电压有极值三、CLR 2<（1P 、2P 有共轭复根）时电路的响应—是一个振荡放电过程1．电容上的电压和电流及电感上的电压为： )(2112120t t P P C e P e P P P U u --=[])2)(0)(00t j i t j j e e e e j U ωδβωδβωωω---+-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-+-j e e eU t j t t j t2)()(00βωβωδωω)sin(00βωωωδ+=-t e U t)sin(0t e LU i tωωδ-=)sin(00βωωωδ--=-t e U u t其中：2RLδ=0ω=ω= arctg ωβδ= 2．波形图如下：ttπδ3．理想情况下，,2,1,0,00πβωωδ=====LCR 则：)2sin(00πω+=t U u Ct CLUt L U i 00000sin sin ωωω==C L u t U t U u =+=--=)2sin()2sin(0000πωπω 即等幅振荡放电过程。
二阶电路
其中 :
p1
R 2L
( R )2 1 ， 2L LC
p2
R 2L
( R )2 1 2L LC
显然特征根p1、 p2仅与电路参数和结构有关
初始条件：uc(0+)= uc(0-)=U0 及 i(0+)= i(0-)=I0
并且：i C duC ，所以： duC I0
dt
dt t0
1 L
由于冲击电压的作用，使电感电流跃变，电感中储存了磁场能， 所以冲击响应就是由电感磁场能引起的变换过程。
21
t
≥0+时：
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
其解的形式： uC A1e p1t A2e p2t
其中 :
p1
R 2L
( R )2 1 ， 2L LC
p1e p2t
当t
)
tm
ln( p1 p1
p2 ) p2
电流达到最大值，且电
感电压过零
imax
t <tm, 电感吸收能量，
建立磁场； t >tm, 电感
释放能量，磁场衰减
i
U0
(e p1t e p2t )
L( p2 p1)
uL
U0 p2 p1
( p1e p1t
p2e p2t )
C
3
uC A1e p1t A2e p2t
将uc(0+)= U0 ，i(0+)= I0 及
duC I0
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di u L = L = (10.77e −3732 t − 0.773e − 268 t ) dt ( 2)电流最大值发生在 t m时刻 p2 p1 tm = = 760µs p1 − p 2 ln i max = 2.19mA 2
ω0
ω
β
δ L R < 2 振荡放电过程此时根号 内 < 0 ∴ 复数P1 P2一对共轭复数 C
(RC)
2LC
2
− 4LC
=−
R ± 2L
1 R − 2L LC
2
R 1 R P1 = − + − 2L 2L LC p t p t ∴ u c ( t ) = A 1e 1 + A 2 e 2 初始条件 u c (0 + ) = u c (0 - ) = U 0 du c Q i = −c dt A1 + A 2 = U 0
di u L = L = U 0e -δt (1 − δt ) dt
不振荡，是振荡非振荡的分界线，所以称临界非振荡过程。 不振荡，是振荡非振荡的分界线，所以称临界非跃响应
二阶电路的初始储能为0（ ），仅由外施激 二阶电路的初始储能为 （即uc（0-）=0，i（0-）=0），仅由外施激 ，（ ）， 励引起的响应称为二阶电路的零状态响应。 励引起的响应称为二阶电路的零状态响应。 在图中， 在图中，uc（0-）=0 ） ic+iG+iL=is i（0-）=0 （ t=0时，开关S 打开 时 开关 is 。 G 。 S（t=0） iG iC ＋ iL uL L C
p2 ln p1 tm = p1 − p 2
例：如图所示电路中，已知US=10V， 如图所示电路中，已知U =10V， C=1μF， L=1H，开关S C=1μF，R=4KΩ L=1H，开关S原来闭 合在1 t=0时 开关S 2处 合在1，在t=0时，开关S由1 2处， ；（2 求（1）uc、uR、i和uL；（2）imax
2
1 LC U0 di p t p t uL = L = − (p 1 e 1 − p 2 e 2 ) dt P2 − P1 韦达定理 p 1p 2 =
uc 。 tm i uL t
放电过程必须经一个最大值， 可由di/dt=0 放电过程必须经一个最大值，tm可由
p t p t 所以 p 1e 1 − p 2e 2 = 0
S（t=0） R － 1。 。 ＋ 2 ＋ i 。 ＋ uL L uc Us －
－
解：（1） 2 L = 2 1− 6 = 2KΩ ：（1 Q R = 4KΩ C 10 L ∴ R > 2 放电过程是非振荡的 C 且u c (0+ ) = U 0 = U s
p 1 = -268 p 2 = -3732 U0 p t p t 1 ( P2e − p1e 2 ) ∴ u c (t) = P2 - P1 = (10.77e − 268 t − 0.773e −3732 t ) i(t ) = 2.89(e − 268 t − e −3732 t )
1
uc
t
1
·
1
7-3
二阶电路的冲激响应(第八周三讲) 二阶电路的冲激响应(第八周三讲)
即：零状态的二阶电路在冲激函数激励下的响应 Ri+uL+uC= δ（t） KVL方程（t=0时 KVL方程（t=0时，电路跟δ（t）接通） 方程 接通）
＋
R
＋
L uL
－
d 2u c du LC 2 + RC c + u c = δ(t ) …(1) dt dt u c (0 − ) = 0 i L (0- ) = 0 δ(t )在t ≠ 0时为0 ∴ t > 0 + 时有 d 2u c du c LC 2 + RC + u c = 0 − − (1) dt dt 对(1)两边积分 ∫
R Q p1 = − + 2L 电流i = -c
1 R 4L R (1 − 1 − 2 ) =− − 2L RC 2L LC ∴ p 1 < 0同理p 2 < 0 du c cU P P p t U0 p t p t p t (e 1 − e 2 ) = − 0 1 2 (e 1 − e 2 ) = dt P2 − P1 L( P2 − P1 )
0+ 0-
δ（t） － i
c
＋ －
uc
0+ du c du c + − LC ↑ t = 0+ − ↑ t = 0− + RC[u c (0 ) − u c ( 0 )] + ∫ u cdt = 1 0dt dt ⇑ 为0 ⇑ 为0 ⇑ 为0 ⇑ 为0
du c Q u c (0-) = 0 i(0-) = 0 ∴ ↑ t = 0− = 0 Q u c不能阶跃函数和 dt δ函数 即u c不能跃变 否则(1)式不成立 ∴ u c (0 + ) = 0 du c du c 1 ∴ LC ↑ t = 0+ = 1 → ↑ t = 0+ = dt dt LC du c 1 + i(0 ) = c ↑ t = 0+ = dt L t ≥ 0时δ(t ) = 0 ∴ 方程同(1)特征方程 LCP 2 + RCP + 1 = 0其解同7 - 1 u c = A 1 e p 1t + A 2 e p 2 t 初始条件 u c (0 + ) = A 1 + A 2 = 0 1 du c 1 ↑ t = 0+ = P1 A 1 + P2 A 2 = ⇒ A 1 = − A 2 = LC dt LC P2 − P1
）、i（ ）为多少？ （1）、 （t）为多少？ ）、 ）、i（ ）在何时达到极大值，求出i （2）、 （t）在何时达到极大值，求出 max ）、
解：先算出δ=R/2L=5×1041/S 先算出 ×
R 2 1 ω= ( ) − = j3.09 × 105 rad / s 2L LC ω β = arctg( ) = 1.41rad δ ∴ p1 p 2共轭复数 属振荡放电情况 (1)电流i为 U 0 − δt 6 − 5×10 4 t i= e sin ωt = 8.09 × 10 × e sin(3.09 × 105 t )A ωL 由i的极值点可知 当ωt = β 达极大值 β t = = 4.56µs时 i达极大值 ω −6 6 − 5×10 4 × 4.56×10 − 6 5 i max = 8.09 × 10 e sin(3.09 × 10 × 4.56 × 10 ) = 6.36 × 10 6 A
－
du c di i G = Gu c u c = u L u L = L L dt dt d 2i L di ∴ LC 2 + GL L + i L = i s − − − 二阶线性非齐次方程 dt dt i L = i′L + i L′′ ic = c ↑ 特解 ↑ 齐次方程通解与零输入 晌应相同
第七章
7-1
二阶电路
二阶电路： 二阶电路：用二阶微分方程描述的动态电路
设电容C原已充电其电压为 电感中的初始电流为I 设电容 原已充电其电压为U0，电感中的初始电流为 0，t=0时，开 原已充电其电压为 时 闭合，则此过程是二阶电路的零输入响应。 关S 闭合，则此过程是二阶电路的零输入响应。KVL方程 方程 -uc+uR+uL=0 R S。。 t=0） （ ） du c du c i ＋ uR i = −c u R = Ri = − RC ＋ ＋ dt dt uL L 2 uc－ U0 － iL di d uc uL = L = − LC 2 代入上式 dt dt d 2u c du c Lc 2 + RC + u c = 0 − − − − (1) − −二阶常系数方程 dt dt 假设u c = Ae Pt 是解然后定 A p常数 特征方程 LCP 2 + RCP + 1 = 0 P= - RC ±
*二阶电路的阶跃响应：二阶电路在阶跃激励下的零状态响应，求解 二阶电路的阶跃响应：二阶电路在阶跃激励下的零状态响应， 方法与零状态响应相同。 方法与零状态响应相同。 *：全（电路）响应：零状态响应+零输入响应 电路）响应：零状态响应+ =0， =0，G=2× C=1μF， 例：在上图中，uc（0-）=0，iL（0-）=0，G=2×10-3S C=1μF， 在上图中， L=1H，is=1A当t=0把开关S打开，试求阶跃响应iL、uc和ic L=1H， =1A当t=0把开关S打开，试求阶跃响应i 把开关 解：开关S的动作，相当于is=ε（t）A阶跃函数 开关S的动作，相当于i =ε（ 特征方程： +G/C+1/LC=0代入数据 特征方程：LCP2+GLP+1=0 P2+G/C+1/LC=0代入数据 =P=P1=P2=P=-103 iL=iL`+iL`` 因为P 重根， 因为P1、P2重根，临界状态 iL`=1A ``-------齐次方程解 iL``----齐次方程解 通解： 通解： 1 + ( A 1 + A 2 t )e −10
i = -c
du c dt
du c =0 dt t = 0 A 2 = δU 0
已假定I 已假定 0=0 A 2 e - δt − δ e - δt ( A 1 + A 2 t ) = 0 A 2 - δ U 0 = 0
∴ u c (t ) = U 0 ( δt + 1)e
- δt
du c U 0 -δt i = -c te = dt L
R R 1 2 令δ = ω = −( 2L LC 2L p 2 = -δ − jω ∴ p 1 = -δ + jω 令ω 0 = δ + ω