矩阵多项式与多项式矩阵

§8矩阵多项式与多项式矩阵
设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式 事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有
一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱）
Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即
0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵）
注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。

eg 1.设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=010110201A 试计算E A A A A A 432)(2458-++-=ϕ
解：A 的特征多项式为
12)(23+-=-=λλλλA E f
取多项式432)(2
458-++-=λλλλλϕ
)()()149542(235λλλλλλr f +⋅-+-+=
余项103724)(2+-=λλλr 由上定理0)(=A f ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ϕ
Df 2.一般地，设)(λϕ是多项式，A 为方阵，若0)(=A ϕ，则称)(λϕ是矩阵A 的零化多项式。

根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f -=λλ)(
Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。

显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。

②矩阵A 的最小多项式是唯一的
Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。

由此可得，求最小多项式的一个方法：
设n n C A ⨯∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为ks s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=
则A 的最小多项式必具有如下形式：
ns s n n m )()()()(2121λλλλλλλ---=
其中s i k n i i ,,2,1 =≤
eg 2.求⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=031251233A 的最小多项式)(λm 解：)4()2()(2--=-=λλλλA E f
A ∴的最小多项式,只能是：
)4)(2()(--=λλλm ,或2)2()(-=λλm ，)2()(-=λλm ,)4()(-=λλm 及)()(λλf m =
经计算可知：)4)(2()(--=λλλm 是A 的最小多项式，由此可得：
Th 4.若A 的特征多项式没有公因子，则特征多项式为最小多项式。

下面定理给出了求最小多项式的另一种方法：
Th 5.设A 是n 阶矩阵，)(1λ-n D 是特征矩阵A E -λ的n -1阶行列式因子，则A 的最小多项式为)()
()()(1λλλλn n n E D D m ==-——n 阶不变因子。

eg 3.求⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=012024012A 的最小多项式
3)(λλ=n D λλ=-)(1n D 2)()(λλλ==∴n E m
二、多项式矩阵：——在线性控制系统理论中有着重要的应用。

Df 1.称n m ij a A ⨯=))(()(λλ为λ矩阵，或多项式矩阵，其中)(λij a 是λ的多项式。

Df 2.若n 阶多项式矩阵)(λA 的行列式0)(≠λA （非零多项式），则称)(λA 是满秩的（秩=n ）或非奇异的。

Df 3.若)(λB ∃使E A B B A ==)()()()(λλλλ，则称)(λA 是可逆的，或称)(λA 是单模矩阵，记为)()(1
λλ-=A B 。

注意：非奇异比可逆的定义要广，可逆一定非奇异，非奇异未必可逆，这里，非奇异与可逆是两个不同的概念，要与数字矩阵区别开来。

Th 1.n 阶多项式矩阵)(λA 可逆⇔)(det λA 为非零常数。

注：)(λA 也可象A 一样，进行初等变换。

①互换的任意两行（列）
②以非0数c ()P ∈乘以)(λA 的一行（列）
③以多项式)(λϕ乘)(λA 的某一行（列）并加到另一行（列）
Df 4.由单位阵E ，经过一次上述初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵。

Df 5.多项式矩阵)(λA 称为与)(λB 等价，若)(λA 经过有限次初等变换能变为)(λB 记为)()(λλB A ≅
亦具有自反性，对称性，传递性。

Th 2.对任一非零多项式矩阵)(λA ，有：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=≅000)(0)()()()(21 λλλλλr d d d J A 其中1≥r 是)(λA 的秩，),,2,1()(r i d i =λ是首项系数为1的多项式，且
1,,2,1)()(1-=+r i d d i i λλ
称)(λJ 为)(λA 的更密斯（Smith ）标准形，称)(λi d 为)(λA 的不变因子。

同数字矩阵一样，也可以定义)(λA 的k 阶行列式因子与初等因子。

eg1.求多项式矩阵：
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-+-=200100)1(0)(λλλ
λλλA 的Smith 标准形。

解：利用初等变换可得： )()2()1(0
000
001)(λλλλλλJ A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≅
且有1)(1=λd ,λλ=)(2d ,)2)(1()(3--=λλλλd
Th3.若)()(λλB A ≅，则)(λA 与)(λB 必有相同的秩及相同的各阶行列式因子。

Th4. ⇔≅)()(λλB A )(λA 与)(λB 具有相同的行列式因子，或不变因子。

利用多项式矩阵与Smith 标准形等价还可以求出一个矩阵A 的Jordan 标准形。

eg2.求：⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----=411301621A 的Jordan 标准形。

解：)()1(0001000141131
6212λλλλλλλJ A E =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=- )2)(1()()(1)(321--===∴λλλλλλλd d d
∴ 初等因子为2)1(,1--λλ，故
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=100110001~J A
由上述重要结论：B E A E B A -≅-⇔λλ~，——J A ~的主要理论依据。

§9.矩阵的分解
Th1.若阶矩阵的各阶顺序主子式不为0，则可分解成单位下三角阵与上三角矩阵的乘积，即。

若阶矩阵的各阶顺序主子式不为0，则可分解成单位下三角阵，非奇异矩阵，单位上三角矩阵的乘积，即。

实对称（正定）矩阵可分解成，其中为主对角线元素全为正的非单位下三角矩阵。

实对称（正定）矩阵可分解为，其中为正交矩阵。

若为矩阵，则存在酉矩阵，使。

其中。

若为非奇异的阶复矩阵，则存在酉矩阵和主对角线上元素全为零的上三角阵，使。

（舒尔）。

若为非奇异的阶实矩阵，则存在正交矩阵和主对角线上元素全为正的上三角矩阵，使。

本定理称为矩阵的分解。

设求的分解。

解：是非奇异的阶实矩阵。

由知：存在分解。