协方差分析简介
协方差分析简介
在许多研究中，两组或多组均数的比较还需要控制一些非研究因素的影响，这些非研究因素称为混杂因素（Confounding factor）。
为了帮助读者进一步理解分类自变量的线性回归的回归系数的特殊意义。先用下例说明自变量为二分类变量的直线回归中的回归系数检验与成组t检验之间的关系。
例12.7 为了评价控制饮食对糖尿病控制的作用，在坚持控制饮食的糖尿病人群和未控制饮食的糖尿病人群中各随机抽取30个对象，测量其空腹血糖如下
控制饮食组(group=1) 6.6 7.3 7.2 7.3 7.4 6.5 7.3 6.4 7.2 7.7 6.8 6.3 7.1 7.8 7.2 7.7 6.7
7.2 6.8 8 6.9 6.6 7 7.4 7.7 7.1 7.1 7.8 6.4 7.4
未控制饮食组(group=0) 7.7 7.7 7.2 6.9 7.6 7.4 7.9 6.9 7.5 6.9 8.4 7.2 7.2 7.1 7.8 7.4 7.4
8.4 7.6 7.9 6.9 7.9 7.2 7.5 7 7.2 6.7 7.1 7.3 7.6
数据格式
正态性检验和方差齐性检验的结果表明二组的资料都近似服从正态分布，并且方差齐性。成组t检验的Stata操作和结果如下
ttest y,by(group)
0.1144937。t值为2.5038，相应的P值为0.0151。
若设未控制饮食组（g=0）的空腹血糖总体均数为μ0，控制饮食组（g=1）的空腹血糖总体均数为μ0+β，即饮食控制组的总体均数－未饮食控制组的总体均数＝β，因此两组总体均数相等对应就是β＝0。因此两组的空腹血糖总体均数可用下列表达式描述。
0group
μμβ
=+（1）
以空腹血糖为应变量y，以分组变量group为自变量，用线性回归对参数μ0和β进行估
计，相应的Stata命令和主要结果如下
-.2866666，正好对应两组样本均数的差值，回归系数β＝0的t检验值为-2.5，正好对应成组t检验的值，相应的P值也相同。由此可知，t检验也可以用直线回归进行分析并且两分类变量为协变量的回归系数的意义就是两组均数的差值，并且不难证明：凡符合成组t检验条件的资料必定满足线性回归对资料的要求：残差正态和方差齐性。因此以下将通过一些例子介绍利用线性回归在校正一些混杂因素情况下对某两组均数进行比较，即协方差分析。
例12.8 治疗缺铁性贫血50人，随机分为二组：A组和B组，分别用两种不同的治疗方案对患者进行一个疗程的治疗，由此评价两种治疗方案的疗效。数据如下：
A组g=1 治疗前y0 318 316 345 288 329 331 330 305 294 324 312 337 294 治疗后y1 492 485 515 426 492 499 500 461 443 475 471 477 442 治疗前y0 323 295 359 304 307 300 334 313 313 357 324 336
治疗后y1 483 461 525 460 466 457 499 470 493 542 498 517
B组g=0 治疗前y0 298 327 322 325 329 295 326 289 322 342 306 285 316 治疗后y1 430 461 449 430 472 422 448 414 448 487 434 409 435 治疗前y0 345 321 340 303 323 307 352 308 296 315 331 342
治疗后y1 468 454 475 440 429 432 500 437 423 442 453 478
其中变量y0为患者在治疗前的红细胞数(万/μl)，y1为治疗后的红细胞数(万/μl)，group为分组变量，group＝1表示A组和group=0表示B组，相应的Stata格式为
：
在临床研究中，通常以红细胞增加数作为效应指标评价，因此首先产生红细胞增加数的变量yd，相应的Stata命令如下：
若不考虑治疗前红细胞数(称为基线红细胞数)对增加数的影响，则参照上例的(1)式，对应可以写出相应的两组总体均数表达式：
μd=μd0+βgroup （2）
其中μd0为A组的红细胞增加数的总体均数，μd0+β为B的红细胞增加数的总体均数，β为两组红细胞增加数总体均数之差。但是一般而言，基线红细胞数低的患者经治疗后的增加数可能要大于基线红细胞数较高的患者的增加数，所以要校正基线红细胞数对红细胞增加数的影响，并假定基线红细胞数与红细胞增加数成线性关系。因此在（2）式中增加基线红细胞数变量y0。
μd=μd0+β1group+β2y0（3）
由（3）式可知，A组(group=0)的红细胞增加数的总体均数为μd=μd0+β2y0，而B组(group=1)的红细胞增加数的总体均数为μd=μd0+β1+β2y0，因此对于同一基线红细胞数y0情况，两组红细胞增加数的总体均数差异为β1，故（3）式消除了不同基线红细胞数y0对两组总体均数差异的影响。β1＝0说明两组的疗效相同；β1>0说明B组疗效优于A组；β1<0说明A组疗效优于B组。我们可以用线性回归方法对（3）式中参数μd0，β1和β2进行估计和统计检验(设α＝0.05)，相应的Stata命令和主要结果如下：
μd0的估计值为50.0882828，β1的估计值为34.01444，相应的P值<0.001，因此可以认为：
●在相同的基线红细胞数情况下，A组的红细胞增加数比B组平均高34.01444(万/μl)
个红细胞数，并且差别有统计学意义。即：可以认为A组治疗方案的疗效优于B
组治疗方案的疗效。
●β2的系数估计值为0.2451717，并且差别有统计学意义，因此可以认为基线红细胞
数越高，治疗后的红细胞增加的幅度就越大。
用上述统计方法要求残差(实际观察值－预测值)满足正态分布、两组的残差方差齐性并且基线红细胞数y0与分组变量group无交互作用，故需要对上述条件进行检查，相应的Stata 命令和检查结果如下：
态分布。
设检验交互作用的α=0.05，交互作用项的系数为0.1784719，P值＝0.259>>α，故不能认为基线红细胞数与分组变量g有交互作用，根据上述检查结果表明本例资料满足上述协方差分析的条件，因此上述资料用协方差分析的方法是合适的，结果是可信的。
方差分析和协方差分析,协变量和控制变量
方差分析和协方差分析,协变量和控制变量 方差分析 方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”或“F检验”，是R.A.Fisher发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。 方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。 假定条件和假设检验? 1. 方差分析的假定条件为：（1）各处理条件下的样本是随机的。（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。 2. 方差分析的假设检验假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ，则K个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。 作用 一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。经过方差分析若拒绝了检验假设，只能说
期望、方差协方差
随机变量的数字特征 一、数学期望E（x)的性质： 性质一：常数C，E（C)=C; 性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)； 性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)； 性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ） 二、方差的性质：D(X)=E(X2）-[E(X)]2 性质一：C为常数，则D(C)=0； 性质二：X为随机变量，C为常数，则 D(CX)=C2D(X) D(X±C)=D(X) 性质三：X，Y为相互独立随机变量 Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y) 当X，Y不相互独立时： D(X±Y）=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y); 关于协方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？ 证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y) 得 COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y) =E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]} =E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y) =E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)]
=D(X)-D(Y) 三、常用函数期望与方差： ⑴（0-1）分布： ①分布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0
spss学习系列23.协方差分析
（一）原理 一、基本思想 在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。这种影响的变量称为协变量（一般是连续变量）。 例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。 协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。 协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。 协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。 当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上的协变量时，称为多元协方差分析。
二、协方差分析需要满足的条件 （1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差； （2）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数（即各回归线的斜率）是相同的，且不等于0，即各组的回归线是非水平的平行线。否则，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设； （3） 自变量与协变量相互独立，若协方差受自变量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除； （4）各样本来自具有相同方差σ2的正态分布总体，即要求各组方差齐性。 三、基本理论 1. 观测值=均值+分组变量影响+协变量影响+随机误差. 即 ()ij i ij ij y u t x x βε=++-+ （1） 其中，X 为所有协变量的平均值。 注：在方差分析中，协变量影响是包含在随机误差中的，在协方差分析中需要分离出来。 用协变量进行修正，得到修正后的y ij (adj)为 (adj)()ij ij ij i ij y y x x u t βε=--=++ 就可以对y ij (adj)做方差分析了。关键问题是求出回归系数β. 2. 总离差=分组变量离差+协变量离差+随机误差，
方差与协方差理解
§2 方差、协方差与相关系数 方差 例1 比较甲乙两人的射击技术，已知两人每次击中环数分布为： ξ：7 8901 0601...?? ??? η：67891001 02040201.....?? ???. 问哪一个技术较好 首先看两人平均击中环数，此时8E E ξη==，从均值来看无法分辩孰优孰劣. 但从直观上看，甲基本上稳定在8环左右，而乙却一会儿击中10环，一会儿击中6环，较不稳定.因此从直观上可以讲甲的射击技术较好. 上例说明：对一随机变量，除考虑它的平均取值外，还要考虑它取值的离散程度. 称ξ-E ξ为随机变量ξ对于均值E ξ的离差(deviation)，它是一随机变量. 为了给出一个描述离散程度的数值，考虑用()E E ξξ-，但由于 ()E E ξξ-=E E ξξ-=0对一切随机变量均成立，即ξ的离差正负相消，因此 用()E E ξξ-是不恰当的. 我们改用()2 E E ξξ-描述取值ξ的离散程度，这 就是方差. 定义 1 若()2 E E ξξ-存在，为有限值，就称它是随机变量ξ的方差(variance)，记作Var ξ, Var ξ=()2E E ξξ- (1) 但Var ξ的量纲与ξξ的标准差(standard deviation). 方差是随机变量函数()2 E ξξ-的数学期望，由§1的(5)式，即可写出方差的计算公式
Var ξ=2()d ()x E F x ξ ξ+∞ -∞-?=22()(),,()()d .i i i x E P x x E p x x ξξξξ+∞ -∞?-=???-?∑?离散型，连续型 (2) 进一步，注意到 ()2 E E ξξ-= ()222E E E ξξξξ??-+??=()22E E ξξ- 即有 Var ξ=()2 2 E E ξξ-. (3) 许多情况，用(3)式计算方差较方便些. 例1(续) 计算例1中的方差Var ξ与Var η. 解 利用(3)式 2 E ξ= ∑=i i i x P x ) (2 ξ=72×+82×+92×=, Var ξ= ()2 2E E ξξ-=82=. 同理, Var η= ()2 2 E E ηη-= = > Var ξ, 所以η取值较ξ分散. 这说明甲的射击技术较好. 例2 试计算泊松分布P(λ)的方差. 解 2 2 01 ! (1)!k k k k E k e k e k k λ λ λλξ∞ ∞ --====-∑∑ 1 1(1) (1)! (1)!k k k k k e e k k λ λ λλ∞ ∞ --===-+--∑∑ 2 ! ! j j j j j e e j j λ λ λλλ λ∞ ∞ --===+∑∑ 2 λλ=+ 所以Var ξ=22 λλλλ+-=. 例3 设ξ服从[ a, b ]上的均匀分布U [a, b]，求Var ξ.
ancova(协方差分析)非参数和随机方法
第7章ANCOV A（协方差分析）：非参数和随机方法 Peter S. Petraitis Steven J. Beaupre Arthur E. Dunham 7.1生态学问题 生态学参数往往不能满足参数假定的要求。当这种情况发生时，随机方法是更常用的参数方法，比如协方差分析（ANCOV A）和回归分析的一个很好的替代选择。使用随机方法很简单，并且由于标准参数ANCOV A为生态学家所熟知，我们用它来激发对非参数和随机方法的优点和存在问题的讨论。我们通过对检验随机和非参数方法分析性别和生境影响响尾蛇种群的个体大小来进行讨论，年龄在这里被作为一个混淆（confounding）因素考虑。 个体大小的变异常见于许多动物中（即, 无脊椎动物: Paine 1976; Lynch1977; Sebens 1982; Holomuzki 1989; 两栖动物: Nevo 1973; Berven1982；Bruce和Hairson 1990; 有鳞的爬行动物：Tinkle 1972；Dunham 1982; Schwaner 1985; Dunham等1989; 哺乳动物：Boyce 1978；Melton 1982; Ralls和Harvey 1985）, 并且由于其与许多繁殖特征, 比如成熟年龄，子代个体的数量和大小，和亲代对子代的投入, 有协变关系，从而引起进化生态学家的极大兴趣，（Stearns 1992; Roff 180, 1992）。对个体大小变异的解释包括资源的季节性，质量和可利用性（如，Case 1978; Palmer 1984; Schwaner和Sarre 1988）, 基于个体大小的捕食性（Paine 1976）, 种群密度（Sigurjonsdottir 1984）, 特性替代（Huey和Pianka 1974; Huey 等1974）和生长速率的渐变变异（Roff 1980）。然而个体大小的地理变异可能常由于个体大小决定的生长速率和种群年龄结构的相互作用所致。比如，King（1989）建议种群不同的年龄结构是水蛇（Nerodia sipedon insularm）个体大小变异的一个重要方面。因此，懂得个体大小时间和地理格局和最终生长率需要对动物年龄的了解和修正以便同龄动物间的比较。 爬行动物的生长和性别个体二态性的格局传统上是利用非线性生长模型技术来分析的（Andrews 1982；Stamps1995）。对非线性模型精确的拟合需要大量的观察样本，这些样本要求很好地分布在所有体态大小范围内，这在野外研究中常是难以实现的要求（第10章）。此外，由于每一条线都有不同的模型拟合，最佳拟合模型形式（如，von Bertalanffy比之于用长度，或其它, 拟合的逻辑斯蒂模型）会发生变化，而比较工作复杂化。同样的，当拟合参数在几个组间进行比较时，第I类错误的概率增加，就如同多元成对t检验的情形。
spss协方差分析的基本原理-最棒的
协方差分析的基本原理 1．协方差分析的提出 无论是单因素方差分析还是多因素方差分析，它们都有一些人为可以控制的控制变量。在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。 例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。又比如，考查受教育程度对个人工资是否有显著影响，这时必须考虑工作年限因素。一般情况下，工作年限越长，工资就越高。在研究此问题时必须排除工作年限因素的影响，才能得出正确的结论。再如，如果要了解接受不同处理的小白鼠经过一段时间饲养后体重增加量有无差别，已知体重的增加和小白鼠的进食量有关，接受不同处理的小白鼠其进食量可能不同，这时为了控制进食量对体重增加的影响，可在统计阶段利用协方差分析（Analysis of Covariance），通过统计模型的校正使得各组在“进食量”这个变量的影响上相等，即将进食量作为协变量，然后分析不同处理对小白鼠体重增加量的影响。 为了更加准确地控制变量不同水平对结果的影响，应该尽量排除其它在实验设计阶段难以控制或者是无法严格控制的因素对分析结果的影响。利用协方差分析就可以完成这样的功能。协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。 协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上的协变量时，称为多元协方差分析。以下将以一元协方差分析为例，讲述协方差分析的基本思想和步骤。 2．协方差分析的计算公式 以单因素协方差分析为例，总的变异平方和表示为： Q Q Q Q ++ 总控制变量协变量随机变量 ＝ 协方差分析仍然采用F检验，其零假设 H为多个控制变量的不同水平下，各总体平均值没有显著差异。 F统计量计算公式为： 2 2 S F S 控制变量 控制变量 随机变量 ＝, 2 2 S F S 协变量 协变量 随机变量 ＝ 以上F统计量服从F分布。SPSS将自动计算F值，并根据F分布表给出相应的相伴概率值。 如果F 控制变量 的相伴概率小于或等于显著性水平，则控制变量的不同水平对观察变量产生了显著的影响；如 果F 协变量 的相伴概率小于或等于显著性水平，则协变量的不同水平对观察变量产生了显著的影响。 3．协方差分析需要满足的假设条件 （1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量； （2）对连续变量或定居变量的协变量的测量不能有误差； （3）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；（4）协变量的回归系数是相同的。在分类变量形成的各组中，协变量的回归系数（即各回归线的斜率）必须是相等的，即各组的回归线是平行线。如果违背了这一假设，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设。
协方差分析
协方差分析 某城市教育局在一次对全市初中一年级至高中三年级学生的调查研究中想要考察身心发展对学习成绩的影响，研究者手机了各学校初一年级至高三年级学生的学业成绩以及相关身心发展量表得分，在分析时以学生所在年级来代表年龄差异，但是由于男同学与女同学的身心发展存在差异，因此需要在结果中排除性别因素，然而无法在收集数据时只收集男同学的数据或收集女同学的数据，那么该如何排除性别因素对结果的影响呢？ 在实验设计中，考虑到实际的实验情形，无法一一排除某些会影响实验结果的无关变量（干扰变量），为了排除这些不能在实验处理中所操作的变量，而其结果又会影响因变量，可以通过“统计控制”的方法来弥补实验控制的不足，为了提高实验研究的内在效率，必须将可能干扰实验结果的无关变量加以控制，不致产生严重的系统性误差。控制系统误差的方法有很多，例如以随机的方式将被试分配至不同群体；将系统误差加入实验设计，使其变成一个自变量；尽可能控制可控制的系统误差如光纤亮度、噪音等。 实验研究的优点众所周知，即其严密的逻辑性以及可以良好的控制误差，但是让一个标准的实验设计走出实验室，在社会科学领域实施通常比较困难。因此在社会科学领域中经常实施的是准实验设计，在准实验设计中无法使用实验控制法来完全控制无关的干扰变量，故经常增加实验内在效度的方法——统计控制法，最常用的便是协方差分析（analysis of covariance，ANCOV A）。 顾名思义，协方差分析是方差分析的一种，它也包括自变量与因变量，同方差分析，因变量为连续变量且需要满足方差分析关于因变量的假设条件，自变量为分类变量。不同的是，并不是实验所关注的自变量却为研究者进行控制的一类变量被加入分析，它们被称为“协变量”（covariate），要注意，协变量是连续变量。 1.协方差分析的假设 协方差分析的基本假设与方差分析相同，包括变量的正态性、观测值独立、方差齐性等，此外还有三个重要的假设： 1)因变量与协方差之间直线关系； 2)所测量的协变量不应有误差，如果选用的是多项的量表，应有高的内部一致性信度或重 测信度，α系数最好大于0.80。这一假设若被违反会造成犯一类错误的概率上升，降低统计检验力。 3)“组内回归系数同质性”（homogeneity of with in rgression），各实验处理组中一举 协变量（X）预测因变量（Y）的回归线的回归系数要相等，即斜率相等，各条回归线平行。如果斜率不等则不宜直接进行协方差分析。 2.协方差分析的方差分解 方差分析的原理是将因变量的总方差分解成自变量效果（组间）与误差效果（组内）两个部分，再进行F检验。协方差使用的也是这样的方差分析思路，将因变量的总方差先行分割为协变量可解释部分与不可解释部分，不可解释的部分再由方差分析原理进行拆解。协方差分析的方差拆解如下： 3.协方差分析的步骤 协方差分析结合了回归分析与方差分析的方法，计算方法比较复杂，由于涉及回归分析的基本思路，因此一下内容也许需要在阅读了本章第六部分“一元线性回归分析”后理解得更加透彻。 以单因素协方差分析为例说明协方差分析的步骤： 1)协方差分析的准备 （B：组间；W：组内；T：总和；n：组内样本容量；k：组间容量；x：协变量；y：因变量）
23. 协方差分析
23. 协方差分析 一、基本原理 1. 基本思想 在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。这种影响的变量称为协变量（一般是连续变量）。 例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。 协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。 协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。 协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。 当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上
的协变量时，称为多元协方差分析。 2. 协方差分析需要满足的条件 （1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差； （2）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数（即各回归线的斜率）是相同的，且不等于0，即各组的回归线是非水平的平行线。否则，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设； （3） 自变量与协变量相互独立，若协方差受自变量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除； （4）各样本来自具有相同方差σ2的正态分布总体，即要求各组方差齐性。 二、协方差理论 1. 观测值=均值+分组变量影响+协变量影响+随机误差. 即 ()ij i ij ij y u t x x βε=++-+ （1） 其中，X 为所有协变量的平均值。 注：在方差分析中，协变量影响是包含在随机误差中的，在协方差分析中需要分离出来。 用协变量进行修正，得到修正后的y ij (adj)为 (adj)()ij ij ij i ij y y x x u t βε=--=++
数量分析方法模拟试题三 (1)
商务统计方法模拟试题三 一、判断题 1、定义数据结构是在数据视窗中进行的。（） 2、在进行二项分布检验时，要求检验变量必须是二值变量。（） 3、Kendall相关系数适用于度量定类变量间的线性相关关系。（） 4、非参数检验要求样本来自的总体服从或近似服从正态分布。（） 5、配对样本中个案个数一定是相同的。（） 6、在SPSS数据文件中，一行代表一个个案（case）。（） 7、单样本t检验也可用于对总体比率进行检验。（） 8、在进行方差分析时，若总方差主要是由组内方差引起的，则会拒绝原假设。（） 9、二值变量序列中，游程数最小为1.（） 10、变量值越大，对应的秩就会越小。（） 二、单项选择题 1、SPSS数据文件默认的扩展名（） A、.sps B、.spo C、.sav D、.rtf 2、在SPSS的运行方式中，最常见，对初学者最适用的方式是（） A、程序运行方式 B、完全窗口菜单方式 C、混合运行方式 D、联机帮助方式 3、面对100份调查问卷，在进行SPSS数据输入时，应采用（） A、原始数据的组织方式 B、计数数据的组织形式 4、下列关于变量名的取名规则的说法，不正确的是（） A、变量名的字符数不能超过8个 B、变量名不区分大小写字母 C、“3G”是一个合法的变量名 D、变量名可以以汉字开头 5、在定义数据结构时，Label是指定义（） A、变量名 B、变量名标签 C、变量值标签 D、变量类型 6、“年龄”这个变量属于（） A、定类型变量 B、定序型变量 C、定距型变量 7、欲插入一个个案，应选择的一级菜单是（） A、File B、Edit C、View D、Data 8、在横向合并时，[Excluded V ariables]框中的变量是（） A、两个待合并的数据文件中的所有变量 B、合并后新的数据文件中包括的变量 C、合并后新的数据文件中不包括的变量 D、第二个待合并的数据文件中的变量 9、如果只想对收入大于5000或者职称不小于4级的职工进行计算，应输入的条件表达式是（） A、收入>5000or 职称>4 B、收入>5000and 职称>4 C、收入>5000 or not(职称>4) D、收入>5000 or not(职称<4) 10、希望从全部231个个案中随机选出32个个案，应采用的选取方式是（） A、指定条件选取 B、近似选取 C、精确选取 D、过滤变量选取 11、分类汇总中，默认计算的是各分类组的（）
最新协方差分析在教学评价中的应用
协方差分析在教学评价中的应用
协方差分析在教学评价中的应用 摘要:通过回归分析和方差分析方法的结合,协方差分析方法能够有效地消除混杂因素对分析指标的影响.运用SPSS软件,对某 高校六个班一门基础课和一门专业课上下学期的期末成绩进 行了协方差分析.结论显示,协方差分析方法能够对教学效率 做出更合理的评价. 关键词: 协方差分析教学效率方差分析 一前言 方差分析是从质量因子探讨不同因素水平对实验指标影响的差异.一般来说,质量因子是可以人为控制的.回归分析是从数量因子的角度出发,通过建立回归方程来研究实验指标与一个(或几个)因子之间的数量关系.大多数情况下,数量因子是不可以人为加以控制的. 协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法.在许多有关效果评价的实验中,经常会出现可控制的质量因子和不可控制的数量因子同时影响实验结果的情况,这时就需要采用协方差分析的统计处理方法,将质量因子与数量因子(即协变量)综合起来加以考虑. 比如,在实际的教学管理中,要评价教学效率和质量,比较不同班级同一课程的学习效率,除了要考虑使用教程、教师素质、教学方法、
班级学风、学生学习努力程度这些当前影响因素以外,学生的前期学习基础差异也影响着当前的教学效率.为了能够准确地考查评价教学效率,必须消除前期学习基础差异这些因素的影响,才能得到正确的评价. 方差分析法忽视了学生的基础成绩对当前成绩的影响,没有考虑学生的基础成绩这一混杂因素的影响,仅仅对当前的学生学习成绩进行评价,得出的结论就不能全面客观地反映实际教学效率. 本研究采用协方差分析法,利用一个教学班两个学期的物流管理课程期末成绩和配送中心管理课程期末成绩的数据,对教学效率的评价问题进行了研究. 二协方差分析及公式 为了提高实验效果的精确性,需要尽力排除影响实验结果的其他因素,即非处理因素(混杂因素)的干扰和影响,使各处理间尽量一致,再对各处理因素做方差分析,这就是协方差分析. 协方差分析的基本思想是在作两组或多组均数yi(i =1,2,…, n)之间的比较前,用直线回归方法找出各组因变量与协变量之间的数量关系,求得在假定协变量相等时的修正均数yi(i =1,2,…, n),然后用方差分析比较修正均数的差别.协方差分析涉及一些较深的统计理论, （1）计算各组的均值、平方和及协方和:
相关系数与协方差的关系
探究协方差与相关系数 罗燕 摘要：协方差),(Y X Cov 是描述二维随机变量两个分量间相互关联程度的一个特征数，如果将协方差相应标准化变量就得到相关系数),(Y X Corr 。从而可以引进相关系数),(Y X Corr 去刻画二维随机变量两个分量间相互关联程度。且事实表明，相关系数明显被广泛应用。本文的目的在于从协方差与相关系数的关系的角度去探讨协方差与相关系数的优缺点，并具体介绍协方差和相关系数这两个描述二维随机变量间相关性的特征数。 关键字：协方差),(Y X Cov 相关系数),(Y X Corr 相互关联程度 1 协方差、相关系数的定义及性质 设（X ，Y ）是一个二维随机变量，若E{ [ X-E(X) ] [ Y -E(Y) ] }存在，则称此数学期望为X 与Y 的协方差，并记为Cov(X,Y)=E{ [ X-E(X) ] [ Y -E(Y) ] }，特别有Cov(X,X)=)(X Var 。 从协方差的定义可以看出，它是X 的偏差“X-E(X) ”与Y 的偏差“Y -E(Y)”的乘积的数学期望。由于偏差可正可负，故协方差也可正可负，也可为零，其具体表现如下： ·当Cov(X,Y)>0时，称X 与Y 正相关，这时两个偏差 [ X-E(X) ] 与[ Y -E(Y) ] 同时增加或同时减少，由于E(X)与E(Y)都是常数，故等价于X 与Y 同时增加或同时减少，这就是正相关的含义。 ·当Cov(X,Y)<0时，称X 与Y 负相关，这时X 增加而Y 减少，或Y 增加而X 减少，这就是负相关的含义。 ·当Cov(X,Y)=0时，称X 与Y 不相关。 也就是说，协方差就是用来描述二维随机变量X 与Y 相互关联程度的一个特征数。协方差Cov(X,Y)是有量纲的量，譬如X 表示人的身高，单位是米(m )，Y 表示人的体重，单位是公斤(k g )，则Cov(X,Y)带有量纲(m ·kg )。为了消除量纲的影响，对协方差除以相同量纲的量，就得到一个新的概念—相关系数，它的定义如下： 设（X ，Y ）是一个二维随机变量，且)(X Var >0,)(Y Var >0.则称 ),(Y X C o r r =)()() ,(Y Var X Var Y X Cov =y x Y X Cov σσ),( 为X 与Y 的（线性）相关系数。 利用施瓦茨不等式我们不难得到-1≤),(Y X Corr ≤1.也就是说相关系数是介于-1到1之间的，并且可以对它作以下几点说明： ·若),(Y X Corr =0，则称X 与Y 不相关。不相关是指X 与Y 没有线性关系，但也有可能有其他关系，比如平方关系、立方关系等。 ·若),(Y X Corr =1，则称X 与Y 完全正相关；若),(Y X Corr =-1，则称X 与Y 完全,负相关。
协方差分析
协方差分析 一、基本思想： 在作两组和多组均数之间的比较前，用直线回归的方法找出各组Y与协变量X 之间的数量关系，求得在假定X相等时的修正均数，然后用方差分析比较修正均数之间的差别。 与回归过程区别：重点求修正均数，其次才是比较。 二、要求条件： ◆X与Y的线性关系在各组均成立，且各组间回归系数近似相等； ◆X的取值范围不宜过大。否则修正均数的差值在回归直线的延长线上，不能确定是否仍然满足平行性和线性关系的条件，协方差分析的结论可能不正确。 三、步骤： 1、用“线性回归”检验各组回归系数是否近似相等（先拆分数据）； 2、协方差分析。 方差分析要求条件： 单因素方差分析：各样本的独立性、正态性、方差齐 两因素、多因素方差分析：各样本的独立性、正态性 （配伍设计、交叉设计、正交设计、有重复设计的多因素方差分析） 常用实验设计及分析方法： 完全随机设计： 涉及一个处理因素，采用单因素方差分析。 要求数据正态性、方差齐性。若经变量变换仍达不到要求，采用非参数方法进行检验。 如果分析结果显示该因素有统计学意义，应当继续进行各组均数间的两两比较。如果不存在明确的对照组，进行的是验证性研究，宜用LSD 法；若进行多个均数的两两比较（探索性研究），且各组人数相等，宜用Tukey法；其他情况宜用Scheffe法。
配伍设计（随机区组设计）： 当只有两个配伍组时，就是配对设计。由于单元格内无重复数据，交互作用和方差齐性不考察。 方法：两因素方差分析。（一应变量，两自变量） 交叉设计：交互作用和方差齐性不考察。 拉丁方设计：交互作用和方差齐性不考察。 正交设计：考查交互作用，方差齐性不考察。 析因设计：考查交互作用，方差齐性不考察。
方差与协方差理解
§2方差、协方差与相关系数 2.1方差 例1 比较甲乙两人的射击技术，已知两人每次击中环数分布为 p 8 9<6 7 8 9 10^ 巴.Q1 0.6 01 丿 ” :vQ1 0.2 0.4 0.2 01 丿 问哪一个技术较好？ 首先看两人平均击中环数，此时 E =E =8，从均值来看无法分辩孰优孰劣 ?但从直观上 看，甲基本上稳定在 8环左右，而乙却一会儿击中 10环，一会儿击中6环，较不稳定.因此 从直观上可以讲甲的射击技术较好 . 上例说明：对一随机变量，除考虑它的平均取值外，还要考虑它取值的 离散程度. 称-E 为随机变量 对于均值 E 的离差（deviation ），它是一随机变量.为了给出一个描述 离散程度的数值，考虑用 E -E ，但由于E -E = ^ - E =0对一切随机变量均 成立，即' 2 的离差正负相消，因此用 E -E 是不恰当的.我们改用 E E 描述取 值的离散程度，这就是方差 Vat=EZ 叮 deviatio n ）. 2 方差是随机变量函数（一 一E 」）的数学期望，由§的⑸式，即可写出方差的计算公式 (x 「E )2P 「二 xj,离散型， 巴 产(x-E?2 dFKx) f 「(x-E?2 pKx)dx ,连续型. Var - ■ = a - = L -°0 进一步，注意到 E G —E ? 2 = E F -2春 +(E ： )2] = E ?2 -(E ? )2 即有 许多情况，用（3）式计算方差较方便些 例1（续）计算例1中的方差Var 与Var . 定义1 2 存在，为有限值, 就称它是随机变量 ■的方差(varianee)，记作 Var -, 但Var ?的量纲与 不同，为了统一量纲，有时用 Var ，称为 的标准差（standard (1) Var _E 2_ E
临床试验中常用统计分析方法
临床试验中常用统计分析方法 ---统计分析的质量是与临床试验的设计、实施和数据管理密切相关的。就统计分析本身而言，其指导思想是使偏差最小和避免I类错误的增大。 定性资料的统计分析方法 统计学试验设计：包括确定样本量的大小、试验设计方法（盲法/开放）（具体见有关章节） 1. 定性资料的概念： ---统计资料中按品质和属性分组计数所得的资料，由定性变量和频数两部分组成。定性变量可分为名义变量(如治疗方法分甲、乙、丙等)和有序变量(如疗效结果分治愈、显效、有效、无效)。 ---新药临床研究中，定性资料常用的统计检验方法有卡方检验、校正的卡方检验、Fisher精确检验及Ridit检验、秩和检验。 2. 定性资料的统计描述计算率、比等指标，如试验组和对照组的有效率，并可用各种统计图来表示。 3. x2检验 ---治疗前年龄、性别、病程、病情等一般情况组间均衡性比较，治疗后计数资料的改善情况比较均为双向无序R×C 表资料，用x2检验。当表中理论频数小于5的格子数超过
全部格子数的1／5时，应用Fisher精确检验。 ---如果为2×2表资料，当总样本含量n≥40，且理论频数T均大于5时，用x2检验；当总样本含量n≥40，单有理论频数满足1≤T＜5时，用校正的x2检验；当总样本含量n ＜40或有理论频数＜l时，用Fisher精确检验。 ---目前，各种计算机统计软件的应用(如SAS)使统计学分析中复杂得运算过程简单化，有条件将双向无序R×C表资料均进行Fisher精确检验。 4. 秩和检验 ---进行组间疗效比较或对量化的症状、体征的改善进行组间比较以及考察疗效与年龄、性别等相关性分析时，这些资料属于单向有序R×C表资料，应采用与"有序性"有联系的秩和检验或Ridit检验。 ---秩和检验的优势在于它不仅可判断各组间是否有显著性差异，而且可说明对比各组的效果优劣和强弱是x2检验无法做到的。 ---对于单向有序R×C表资料，Ridit检验和秩和检验的意义完全相同，根据试验者的习惯及熟练程度选一种即可。 5. 定性资料统计分析注意事项 (1) 不可用x2检验分析一切列联表资料，要根据列联表中定性变量的性质决定统计分析方法。 (2) x2检验中资料要满足公式的要求，不可盲目套用。
SPSS学习系列23. 协方差分析
23. 协方差分析 （一）原理 一、基本思想 在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。这种影响的变量称为协变量（一般是连续变量）。 例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。 协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。 协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。 协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。 当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上
的协变量时，称为多元协方差分析。 二、协方差分析需要满足的条件 （1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差； （2）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数（即各回归线的斜率）是相同的，且不等于0，即各组的回归线是非水平的平行线。否则，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设； （3）自变量与协变量相互独立，若协方差受自变量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除； （4）各样本来自具有相同方差σ2的正态分布总体，即要求各组方差齐性。 三、基本理论 1. 观测值=均值+分组变量影响+协变量影响+随机误差. 即 ()ij i ij ij y u t x x βε=++-+（1） 其中，X 为所有协变量的平均值。 注：在方差分析中，协变量影响是包含在随机误差中的，在协方差分析中需要分离出来。 用协变量进行修正，得到修正后的y ij (adj)为 (adj)()ij ij ij i ij y y x x u t βε=--=++ 就可以对y ij (adj)做方差分析了。关键问题是求出回归系数β.
方差协方差和相关系数
§2 方差、协方差与相关系数 一、方差 二、协方差 三、相关系数 四、矩 一、方差 例1 例1 比较甲乙两人的射击技术，已知两人每次击中环数ξ分 布为 ξ： 789010601...?? ??? η：67 891001 02040201.....?? ???. 问哪一个技术较好？ 首先看两人平均击中环数，此时8E E ξη==，从均值来看无法分辩孰优孰劣. 但从直观上看，甲基本上稳定在8环左右，而乙却一会儿击中10环，一会儿击中6环，较不稳定.因此从直观上可以讲甲的射击技术较好. 上例说明：对一随机变量，除考虑它的平均取值外，还要考虑它取值的离散程度. 称ξ-E ξ为随机变量ξ对于均值E ξ的离差(deviation)，它是一随机变量. 为了给出一个描述离散程度的数值，考虑用()E E ξξ-，但由于 ()E E ξξ-=E E ξξ-=0对一切随机变量均成立，即ξ的离差正负相消，因此用 ()E E ξξ-是不恰当的. 我们改用()2 E E ξξ-描述取值ξ的离散程度，这就是方差. 定义1 若 () 2 E E ξξ-存在，为有限值，就称它是随机变量ξ的方差 (variance)，记作Var ξ, Var ξ=()2 E E ξξ- (1) 但Var ξ的量纲与ξ ξ的标准差
(standard deviation). 方差是随机变量函数()2 E ξξ-的数学期望，由§1的(5)式，即可写出方差的 计算公式 Var ξ=2()d ()x E F x ξ ξ+∞-∞-?=22()(),, ()()d .i i i x E P x x E p x x ξξξξ+∞ -∞?-=???-?∑?离散型，连续型 (2) 进一步，注意到 ()2 E E ξξ-=()222E E E ξξξξ??-+??=()22E E ξξ- 即有 Var ξ=()2 2E E ξξ-. (3) 许多情况，用(3)式计算方差较方便些. 例1(续) 计算例1中的方差Var ξ与Var η. 解 利用(3)式 2 E ξ= ∑=i i i x P x ) (2 ξ=72×0.1+82×0.8+92 ×0.1=64.2, Var ξ=()2 2E E ξξ-=64.2--82=0.2. 同理, Var η=()2 2E E ηη-= 65.2-64 = 1.2 > Var ξ, 所以η取值较ξ分散. 这说 明甲的射击技术较好. 例2 试计算泊松分布P(λ)的方差. 解 2 2 01 ! (1)!k k k k E k e k e k k λ λ λλξ∞ ∞ --====-∑∑ 1 1(1) (1)!(1)!k k k k k e e k k λ λ λλ∞ ∞ --===-+--∑∑ 2 ! ! j j j j j e e j j λ λ λλλ λ∞ ∞ --===+∑∑ 2 λλ=+ 所以Var ξ=22 λλλλ+-=. 例3 设ξ服从[ a, b ]上的均匀分布U [a, b]，求Var ξ.
16种常用的数据分析方法汇总
一、描述统计 描述性统计是指运用制表和分类，图形以及计筠概括性数据来描述数据的集中趋势、离散趋势、偏度、峰度。 1、缺失值填充：常用方法：剔除法、均值法、最小邻居法、比率回归法、决策树法。 2、正态性检验：很多统计方法都要求数值服从或近似服从正态分布，所以之前需要进行正态性检验。常用方法：非参数检验的K-量检验、P-P图、Q-Q图、W检验、动差法。 二、假设检验 1、参数检验 参数检验是在已知总体分布的条件下（一股要求总体服从正态分布）对一些主要的参数(如均值、百分数、方差、相关系数等）进行的检验。 1）U验使用条件：当样本含量n较大时，样本值符合正态分布 2）T检验使用条件：当样本含量n较小时，样本值符合正态分布 A 单样本t检验：推断该样本来自的总体均数μ与已知的某一总体均数μ0 (常为理论值或标准值)有无差别； B 配对样本t检验：当总体均数未知时，且两个样本可以配对，同对中的两者在可能会影响处理效果的各种条件方面扱为相似；
C 两独立样本t检验：无法找到在各方面极为相似的两样本作配对比较时使用。 2、非参数检验 非参数检验则不考虑总体分布是否已知，常常也不是针对总体参数，而是针对总体的某些一股性假设（如总体分布的位罝是否相同，总体分布是否正态）进行检验。适用情况：顺序类型的数据资料，这类数据的分布形态一般是未知的。 A 虽然是连续数据，但总体分布形态未知或者非正态； B 体分布虽然正态，数据也是连续类型，但样本容量极小，如10以下； 主要方法包括：卡方检验、秩和检验、二项检验、游程检验、K-量检验等。 三、信度分析 检査测量的可信度，例如调查问卷的真实性。 分类： 1、外在信度：不同时间测量时量表的一致性程度，常用方法重测信度 2、内在信度；每个量表是否测量到单一的概念，同时组成两表的内在体项一致性如何，常用方法分半信度。 四、列联表分析 用于分析离散变量或定型变量之间是否存在相关。
协方差矩阵和相关矩阵
一、协方差矩阵 变量说明： 设为一组随机变量，这些随机变量构成随机向量，每个随机变量有m个样本，则有样本矩阵 （1） 其中对应着每个随机向量X的样本向量，对应着第i个随机单变量的所有样本值构成的向量。 单随机变量间的协方差： 随机变量之间的协方差可以表示为 （2） 根据已知的样本值可以得到协方差的估计值如下： （3） 可以进一步地简化为： （4） 协方差矩阵：
（5）其中，从而得到了协方差矩阵表达式。 如果所有样本的均值为一个零向量，则式（5）可以表达成： （6） 补充说明： 1、协方差矩阵中的每一个元素是表示的随机向量X的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方差，如元素C ij就是反映的随机变量X i, X j的协方差。
2、协方差是反映的变量之间的二阶统计特性，如果随机向量的不同分量之间的相关性很小，则所得的协方差矩阵几乎是一个对角矩阵。对于一些特殊的应用场合，为了使随机向量的长度较小，可以采用主成分分析的方法，使变换之后的变量的协方差矩阵完全是一个对角矩阵，之后就可以舍弃一些能量较小的分量了（对角线上的元素反映的是方差，也就是交流能量）。特别是在模式识别领域，当模式向量的维数过高时会影响识别系统的泛化性能，经常需要做这样的处理。 3、必须注意的是，这里所得到的式（5）和式（6）给出的只是随机向量协方差矩阵真实值的一个估计（即由所测的样本的值来表示的，随着样本取值的不同会发生变化），故而所得的协方差矩阵是依赖于采样样本的，并且样本的数目越多，样本在总体中的覆盖面越广，则所得的协方差矩阵越可靠。 4、如同协方差和相关系数的关系一样，我们有时为了能够更直观地知道随机向量的不同分量之间的相关性究竟有多大，还会引入相关系数矩阵。 二、相关矩阵 相关系数： 著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。 依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。 相关系数用r表示，它的基本公式（formula）为： 相关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1。其性质如下：