例谈数学思维的批判性
在数学教学中必须培养学生的批判性思维
数 学 教 学研 究
第 ２ ９卷 第 １ 期 ２ ｌ ２ ｏ ｏ年 ｌ ２月
在 数 学教 学 中必须 培养 学 生的批 判性 思 维
武 瑞 雪 黄 安 成 。
（ ． 苏 省 睢 宁县 城 北 中 学 ２ １ ０ ； １江 ２２０
２ 江苏 省睢 宁 县 高级 中学 ２ １ ０ ． ２ ０） ２
说 ， 缺乏批 判反 思和创 造精 神 ， 若 就不 可能产
何谓批 判性 思 维 ？虽 仁 者 见 仁 ， 智者 见
智， 说法纷纭 ． 基本 内容 已趋 于 一致 ， 但 即批 判性 思维是 指 对 所学 的 东西 的真 实性 、 确 精
性、 性质 与价 值进行 个 人的判 断 ， 而对做 从 什么和相信 什么作 出合 理决 策的思维 认知过
了 自然 科 学 的 发 展 ． 数 学 教 学 中 必 须 让 学 在 生 了 解 一 些 在 科 学 发 展 史 中源 于 批 判 性 思 维
须具 备 的五 大技 能之 一 ．
的 需 要
。 。
． ：
２ ３ 培 养 学 生 的 批 判 性 思 维 是 实 施 新 课 改 ．
普 通高 中新 《 学 课 程 标 准 》 目标 要 数 的
学 术 会 上 发 表 演 说 ， 结 Ｔ ｌ 总 ９ｊ 数 学 领域 纪
的就是思维 的 批判 性 ． 学 以严 谨 著 称 ， 眼 数 “ 里揉不进一 粒砂子 ” 所 以在数 学思维 的各种 ・ ， 品质 中， 批判 性处 于一种 特殊 与重要 的位置．
１ 对 批 判 性 思 维 的 深 入 理 解
的创造 、 明 ， 对 于 树 立他 们 的批 判精 神 ， 发 这 强 化他们 的批 判 意识 ， 发 他们 的创 造 能力 激
数学教学中学生思维品质的培养
浅谈数学教学中学生思维品质的培养思维品质是指智力活动特别是思维活动中智力特征在个体身上表现出来的敏捷性、灵活性、创造性、深刻性和批判性。
数学教学是培养儿童良好思维品质的主要载体。
教师应充分发掘教材的内在智力因素，科学地进行教学设计，在传授知识的同时重视学生良好思维品质的培养。
一、在数学教学中有意识地培养思维的敏捷性思维的敏捷性是指思维过程的速度，它是对一个问题进行周密分析，正确地判断推理，直截了当地触及问题的本质。
迅速解决问题。
简单地说就是速度要快又准确。
在教学中，教师要针对具体问题设计由易到难、由浅入深的练习来训练学生思维的敏捷性，还要设计一些善于“压缩”或“简化”思维过程的题目，促进学生思维敏捷性的发展。
如教学这样一道题：“小红家到学校的路的1／4是200米，小明家到学校的路的1，5是200米。
小红家到学校的路是小明家到学校路的几分之几?”按照一般的解题思路会列出：(200÷1，41÷(200÷1／5)=4／5。
通过教师启发诱导：小红家到学校路的1／4和小明家到学校路的1／5相等，都是200米。
学生立即顿悟，化繁为简，得出：1.5÷1／4=4／5。
这样缩短了思维过程，也缩短了思维时间，从而达到培养学生思维敏捷性的目的。
二、在数学教学中有意识地培养思维的灵活性思维的灵活性是指思维的灵活程度，善于打破常规，对一个问题从多角度、多方位去进行思维，使所学知识灵活运用，形成技能技巧，达到举一反三、触类旁通的效果。
在教学中，教师要创造情境，突出一个“活”字，设计一些一题多解、有难度和富有思考性能刺激学生灵活思维的素材，逐步养成学生灵活运用知识分析问题和解决问题的习惯。
如学习比和比例后，可设计这样的练习：“有一项工程，甲乙工效的比是4：3，已知甲单独做15小时完成，问乙单独做要多少小时完成?”启发学生开动脑筋用不同的方法解答，可得到以下解法：1.这项工程为“1”，已知甲单独做15小时完成的工效为1115，又知甲、乙的工效比是4：3，即乙的工效是甲的3／4，那么乙的工效是1／15×3／4。
例谈数学解题教学的三个基本功能
例谈数学解题教学的三个基本功能数学是一门需要深刻思考和理解的学科，但对于许多学生来说，它往往是充满挫败感和困惑的学科。
教师应该创造一种教学环境，让学生能够充分发掘自己的思维潜力。
这就需要数学教学具备一个良好的教学方法，而方法的核心就是解题能力的提高。
本文阐述了数学教学中解题教学的三个基本功能，它们是：启发性、探究性和透彻性。
一、启发性数学解题教学的第一个基本功能是启发性。
启发性的意思是通过激发学生内在思维的能力和理解力，让学生积极地去发现、研究和解决问题。
作为一个数学教师，应该注意到每个学生的学习愿望和兴趣。
教师应该积极鼓励学生进行自我发现，尝试使用自己的思维能力，从而发掘更多的知识。
启发性教学应该包括以下几个方面：1. 引导学生思考问题：在数学课堂上，教师应该引导学生思考问题，在问题方面放手让学生自由思考。
我们可以设置一些数学问题，从而引导学生在解决问题的过程中学习和发现真理。
2. 鼓励学生使用思维策略：教师应该通过演示和实际应用演示学生如何使用基本的思维策略来解决数学问题。
例如，让学生根据各种问题使用类比、逻辑、归纳等方法来解决问题，以鼓励学生更多地使用自己的思维策略来解决问题。
3. 提供学习资源：教师应该为学生提供各种学科相关的资源，例如书籍、文献参考、教学视频等。
这些资源可以帮助学生进一步学习和提高他们的解决问题的能力。
二、探究性数学解题教学的第二个基本功能是探究性。
探究性的意义是让学生能够理解、研究和解决更复杂、深入的数学问题。
探究性教学主要包括一下几个方面：1. 自主性和合作性：教师应该提供学生的探究问题，以让学生自主获取各种知识和技巧。
教师应该鼓励学生之间相互合作，通过“小组学习”等方式，让学生建立友好的交流、激励和批判性思维能力。
2. 独立性思维：教师应该让学生进行更自主的研究，并可以提供相关图书、视频、实践等资源来帮助学生独立思考、设计和测试数学方案。
3. 后续性思维：教师的探究性教学应该包括更深入、更广泛的数学问题。
在数学教学中培养学生思维的批判性
教学 研 究
在 数 学教 学 中培 养 学 生 思 维 的ｊ 性 比判
（江 苏省 雎 宁 高级 中学 ２ １ ０ ） 袁保金 ２ ２ ０ “ 日三 省吾身 ”虽 是 一条 古 训 ， 它 永 远 不 吾 但 会过 时 ， 含义 是人 每 天都 必须对 自己 的言语 、 为 行 还未认 识 的新数 ， 是 推 翻 了 他 老 师毕 达 哥 拉斯 于 的论 断“ 世界 上 只有整 数 和 分数 ” ．毕 达 哥拉 斯恼
析 和批判 能力 ， 高“ 疫力 ” 今 天的“ ” 提 免 ， 错 就避 免
了明天 的“ ． 别地 ， 错” 特 学生 的一 些“ 常见 病 ” “ 、 多 发 病”更是令 师 生大 感 “ 疼”的 事 ， 头 教者 应 带 领
果， 能使 我们真 正 深刻 理解 它 ， 由此 得 到许 多意 并 想 不到 的 收 获 ， 比直 接 运 用 它 有 益 得 多．若 没 远
线 的定义 也应 该作 相应 的修 正． 当今 ， 种课外 读 各 物、 教辅 资 料浩 如 烟 海 ， 中不乏 精 品 ， 良莠 不 其 但 齐、 鱼龙 混 杂 ， 有 不 少错 误 百 出 的次 品 ， 没 有 也 若
批 判意识 ， 将后 患 无穷 ， 从这 里 也可 见培 养学生 批 判意识 的重要 性．
有批 判性 ， 学是 不会 取得 进展 的 ， 样 的例子 很 数 这
学 生“ 向顽 症宣 战 ” 以坚 韧 不 拔 的 意 志对 思 维 的 ， 惰性、 认知 的肤 浅 以及 “ 忽职 守 ”的草 率态 度 展 玩 开“ 不屈 不挠 的斗争 ” 不获 全胜 ， 不 “ ， 决 收兵” ． ！
例 １ 已 知 口 ｂ ｃｄ， ， ∈ Ｒ ， 口 ＋ ｂ ＝ ，，， ７ ｌ ＋ ｌ且 ２
数理逻辑课程中的思政元素：严谨思维与批判性思维的养成
批判性思维在数理 逻辑课程中的应用 ：通过分析和解决 数学问题，培养学 生的批判性思维能 力。
批判性思维在数理逻辑课程中的体现
逻辑推理：通过严谨 的逻辑推理，培养学 生的批判性思维能力
问题解决：引导学生 通过批判性思维解决
实际问题
独立思考：鼓励学生 独立思考，不盲目接
受权威观点
质疑精神：培养学生 的质疑精神，敢于质
思政元素可以培养学生的团队 协作能力和沟通能力，提高团 队合作效果。
思政元素在数理逻辑课程中的教育价值
培养严谨思维：通过数理 逻辑的学习，培养学生的 逻辑思维能力，使他们能 够严谨地思考和解决问题。
培养批判性思维：通过数 理逻辑的学习，培养学生 的批判性思维能力，使他 们能够独立思考，不盲目
接受任何信息。
培养社会责任感：通过数 理逻辑的学习，培养学生 的社会责任感，使他们能 够认识到自己的社会责任，
为社会做出贡献。
培养创新精神：通过数理 逻辑的学习，培养学生的 创新精神，使他们能够勇 于创新，不断探索新的知
识和技能。
思政元素在数理逻辑课程中的实践应用
严谨思维：通过逻辑推理和论证，培养学生严谨的思维习惯
严谨思维：通过逻 辑推理和论证，培 养学生严谨的思维 习惯
批判性思维：鼓励 学生质疑、分析和 评估，培养批判性 思维能力
社会责任感：通过 数理逻辑的学习， 让学生认识到逻辑 推理在社会生活中 的重要性，培养社 会责任感
创新精神：鼓励学 生探索新的逻辑方 法和理论，培养创 新精神
02 严谨思维的养成
教学设计：注重 培养学生的思辨 能力，通过案例 分析、讨论等方
式进行教学
评价机制：建立 多元化的评价体 系，包括课堂表 现、作业完成情 况、考试成绩等
小学数学批判性和敏捷性思维构建的策略
小学数学批判性和敏捷性思维构建的策略作者：曹恩伟来源：《基础教育研究》2013年第15期《义务教育数学课程标准》多次提到，要在小学教学中发展学生的数学思维，培养学生数学思考的能力。
数学思维包括哪些品质呢？笔者认为，在小学数学教学中，要积极培养和发展学生的数学思维，发展深刻性，有两个面向：批判性和敏捷性。
那么如何培养学生思维的批判性和敏捷性品质呢？根据多年的教学实践，笔者谈谈自己的体会。
一、思维的品质：批判性和敏捷性何谓数学思维的批判性？其具体表现是什么呢？通过教学实践，会发现有的学生善于进行思维判断，自控思维过程，不盲从，不轻信。
这种批判性的思维，其品质来源，与学生对思维活动各环节的自我调整和校正有密切关联，而这种校正又来自学生对问题本质的深刻认识和周密思考，最终作出全面正确的判断。
由此可知，思维品质的批判性是在深刻性的基础上发展起来的。
小学数学批判性思维的具体表现，从数学过程来看，就是一个学生能够精细地估计数学材料，准确选择推理条件；善于从正反两方面思考推理过程，并能及时调整和校正。
在数学推理的整个环节中，又能够做到从不同角度理解概念，从正反两方面区分相近概念；在运算法则、定律、性质等数学基础中很快找到适用的条件。
更加难能可贵的是，批判性思维的基本表现就是善于发现可能出现的错误倾向，并独立排除错误干扰。
比如在运算时能够排除无关因素的干扰，直奔着解决问题而来，进行辩证思索与分析，对解答结果能自觉作出估计和检验。
例如解这道题：“一个平行四边形相邻两条边的长度分别是12cm和8cm，量得它的高是10cm，它的面积是（）平方厘米。
”题目看似主要是考查平行四边形面积计算知识，只要找到对应的底面和高就可以得出结论。
但在试题检测中，却少有学生能够找到答案。
大多得到的结果是120平方厘米或80平方厘米，其推理过程为：既然平行四边形的面积是底乘以高，那么用哪个乘都可以，所以结果就是两个中的任何一个都可以。
学生为何会犯这样的错误？原因在于思维模式被固定化了，只顾着考量平行四边形的面积问题，而忘记了三角形的相关知识。
论批判性思维在数学教学中的建构
任何个 体都 只 是某 种程 度 的每一 个发 展 阶段 、 每一 个 数学 问题 而言， 只有 有着 丰 富 、 特 的感应 、 独 联 个体 之 中 ，
ｚｏ ｇ ｉ ｘ ｅ ｉ ｓｉ ｅ ｕ ｈ ｎｘａ ｕ ｏｈ ｉ ｎ ｏ ｊ ａ ｐｘ
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中小学教师培训 ２ ０ ． ０６ ３
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论批判性思维在数学教学中的建构
（ 苏省通 州 高级 中学 ２ ６ ０ ） 江 ２ ３ ０ 中学 数 学 教 育 界 对 批 判性 思 维 想 和思 维 ， 生命 才会 有厚 度 。 想像 力 、 上 的批 判 性思维 者 。因此 ， 判性 思 批
维 训练 也就是 着 眼于学 生 “ 数学 文 化 的学生 多 了 ，灵 活运 用 的学 生少 了 ” 并 非矛 盾 ， 仅是 视角 不 同而 已。说 到
化” 这一终身发展需要 ， 通过优化其 这类 尴 尬局 面 ， 判性 思 维 的培育 理 底 ，批 判性 思 维既是 一 种思 维方 式 ， 批
学 生认 为教 育 家 的 问题 不 对 或 者 荒 念 界定 纷 繁 多歧 ， 有 “ 查 和评 价 既 探
。
１ 数 学 教学 的 旨归 在 于提 升 思 谬 。从这项 简 单 的调 查 中 ， ． 我们 可 以 ‘ 判 性 地 探 讨 他 人 的 主 张 及其 根 批
维 品质
看 出中国基础教育存在的问题 ： 学生 据 、 炼 自己的主 张 ’ 类 的思 考 ” 提 之 方
素质 的高低 。因此 ， 的思 维方式 必 存 在 明显 的“ 人 软肋 ” 也 大 有提 升 的必 识 总 是 不 断 地 为新 的数 学 领域 所 诠 ，
数学思维的智力品质
数学思维的智力品质数学思维具有自己独特的特点，它们是由所研究对象的特点，同时也是由研究的方法所决定的。
个人思维能力的发展，既服从于一般的规律性，又反应出个性的差异，这种个性差异体现在思维的智力特征方面就是思维的智力品质，它决定着思维的质量。
根据数学思维的特点，下面探讨几个对于数学思维而言较为重要的思维品质，它们是思维的深刻性，灵活性，独创性，广阔性，敏捷性，批判性。
一思维的深刻性思维的深刻性，又叫做抽象逻辑性，它是一切思维品质的基础。
思维深刻性的特点表现为洞察每一个研究对象的实质，以及揭示这些对象之间的互相联系；它具有从所研究的材料（已知条件，解法与结果）中暴露被掩盖住的个别特殊性的能力；它还具有组合各种具体模式的能力。
思维的深刻性常被称为分清实质的能力。
二思维的灵活性思维的灵活性是指能够根据客观条件的发展与变化，及时地改变先前的思维过程，寻找解决问题的新途径。
思维灵活性有如下特点：（1）思维起点灵活，能从不同角度、方向、方面，运用多种方法解决问题；（2）思维过程灵活，从分析到综合，全面灵活地作出“综合分析”；（3）概括—迁移能力强，运用规律的自觉性高；（4）善于组合分析，伸缩余地大；（5）思维的结果往往是多种的合理而灵活的结论这种结果不仅有量的不同，而且有质的区别。
三思维的独创性独创性是指独立思考创造出有社会价值的具有新异性成分的智力品质。
其基本特征是“创造”。
思维的独创性是人类思维的高级形态，是智力的高级表现它有三个特点：一是独特性它具有个性的色彩，自觉而独立地操纵条件和问题，进而解决问题；二是发散性；三是新颖性。
四 思维的广阔性思维的广阔性是指思路宽广，善于多角度、多层次地进行探求。
面对具体问题，能够全面地认识问题，并能发现许多于此相关的问题，也就是说对一个数学问题从多方面考虑，思维呈现发散性的状态。
通常称为一题多解。
例 1 有十只小猴子一道去逛公园，途中有一人送一块大饼给它们吃，第一只小猴子抢先说：“我得吃大饼的一半”第二只小猴子紧接着说：“我吃剩下的一半”，第三只小猴子说：“我我要吃剩下的一半”，L L ，第十只小猴子说法相同。
大一学生数学批判性思维水平的调查与分析
｝ ，
ＣＡＲ Ｅ Ｈ Ｅ Ｒ ＯＲＩ ＺＯＮ 、 一
大 学 生数学 批 判性思 维水 平 的调 查 与分析
李 燕 谭 毓 澄
２ 不 同 性别 、级 别 （ 科 、专 科 ） ． 本 、类 别 （ 科 、 文科 ）学 理 时 间 内达 到 ， 因此 想通 过 对 刚 刚进 入 大 学 的 一 年级 新 生 批 判 性 生 数 学批 判 性 思 维 发展 的 差 异 性 分析 思维水平 的发展状况进行研 究 ，以期反思 中学的数学教育在培 为了研究学生 的性别 、级别 、类别对数学批 判性思维的影 养学 生批判性思维过程 中存在的 问题 ，为学生的批 判性思维培 响，首先检验数据是否符合正态分布 。若符合 ，则使用 Ｓ Ｓ 采 ＰＳ 养提 供一 些借鉴 。 用单 因素方差分析方法检验不 同性别、级 别、类别学生的批判 二 、研 究 方法 性思维 是否存在显著差异 ；若存在显著性差异，则进一步对此 １ 研 究工 具 ． 差异进 行独 立样本 Ｔ检验 。 采 用 自编 的 《 生数 学批 判性 思 维 水平 问卷 》 用于 测查 学 学 ， 对数据做柯 尔莫哥洛夫 一斯米诺夫检验 （— 检验 ） ＫＳ ，检验 生的批判性思维的技能和人格特质或倾向 。该问卷根据 已有 的 结果显 示该数据呈正态分布。对变量性别、级 别、类别对批判 ｝ ￣ 性思维结构研究，结合布卢姆 （ｌ ｍ）的 目标分类理论加 性思 维 的影 响进 行 的 单 因 素 方 差分 析 显 示 ： 性 别 、类 别 对 批 判 ＩＵ Ｌ Ｂｏ ｏ 以编制，采用五点量表形式 ，备选等级有升有 降。 性思维 的影响的差异均未达到统计学显著水平 （＞Ｏ．５ ，表 ｐ ０） 对问卷进 行预测 （ 剔除 无效试卷 ，实测 １０人 ） Ｏ ，用 Ｓ Ｓ 明不 同 性别 、类 别 学 生 在 ． ： 性思 维 方 面 无 显 著 差 异 。从 贡 献 ＰＳ ／Ｎ Ｉ Ｌ 软件 包对预测数据进行项 目分析 （ 独立样本 Ｔ 检验法 ） 并将题 的离 差平方和与均方来看 ，性别对批判性思维 的影响最小 ，由 ， 项的层面 归类 ，经专家检验 ，采用分层面单独 因素分析 法 ，结 数据 的均值 比较似乎表明女生的－ ：性思维水平稍高 ，理科学 ／Ｎ １ ￣ 果说明此 问卷 有较好的构想效度 。整个问卷的 Ｃｏｂ ｃ 系数 为 生的批 判性思维水平 比文科学生高 。级别对批判性思维的影响 ｒｎａｈ ０ ７ ５ ，具有较好的内部一致性 ，信度较好 。 ．３ ０ 的差 异 达 到 统 计 学 显 著水 平 （＜Ｏ ０ ） 因 此进 一 步 对 本 科 、专 ｐ ．１ ， 下面 是 研 究 中 用到 的 变量 及 它们 的代 码 ： 科学生 的批判性思维、批判性思维技能及倾 向的差异性进行独 Ｊ —— 批判性思维技能的子技能 “ 受干扰地判断识别 立样本 Ｔ检验 ，结果显示 ：本科 、专科学生的批判性思维及技 Ｎ１ 不 能均值存在显著性差异 ，本科学生的批 判性思维较高 ，且主要 所给 信 息 ”得 分 ； Ｊ２ Ｎ ——批判性思维技能的子技能 “ 转化 问题 ”得分 ； 表现在批判性思维技 能方面 ，在批 判性思维倾向方面未显 示显 Ｊ３ Ｎ —— 批判性思维技能的子技能 “ 在特定情境条件下确 著性差异 。我们认为 ，主要是 因为我们测查的是 数学批 判性思 维水平 ，数学知识基础 （ 包括技能 ）是数学批判性思维的较大 定 问题 ”得 分 ； Ｊ４ Ｎ —— 批判性思维技能的子技能 “ 综合信息有根据地推 的影响 因素 ，理科学生的数学掌握水平相对比文科学生高 ，而 本科学生也 比专科学 生高。但各类学生 的批判性思维倾 向均无 理 ”得 分 ； Ｊ５ Ｎ ——批 判性思维技能的子技能 “ 多角度判别一致性” 得 显著差异 ，似乎表明批判性思维技能不能直接导致倾 向 ，若属 实 的话 ，这可 以成为学生的批判性思维倾向相对较低 的原 因之 分； 长期 以来获得知识和技能一直是教育工作者公认 的教育 目 Ｊ Ｎ—— 批判性思维技能的子技能 “ 转化问题 ”得分 ；
高校数学教学中批判性思维的培养
高校数学教学中批判性思维的培养【摘要】批判性思维与创造性思维并称为推动未来知识社会的两大主要动力。
现在社会，批判性思维被确立为教育特别是高等教育的目标之一，它要求学生对所学知识的真实性、精确性、性质及价值进行个性判断，提倡怀疑精神，不迷信书本、不盲从权威，有一个明辨是非的智慧头脑。
【关键词】批判性思维高校数学教学【中图分类号】o13 【文献标识码】a 【文章编号】2095-3089（2013）01-0145-01一、概述批判性思维（criticalthinking），是指“对于某种事物、现象和主张发现问题所在，同时根据自身的思考逻辑作出主张的思考”。
[1]目前，国内高校虽积极提倡素质教育，但传统教育观念仍占很大比重。
传统教育是一种占有式教育，即以教师和教材为主，教师作为教育活动的主宰者，是知识的占有者和传授者。
这种传统教育严重抑制学生个性的发挥，使学生盲目听从、缺乏批判精神和创新精神。
而数学是一门理性的科学，追求符号语言的简洁性、逻辑的严密性，是培养学生批判性思维重要的载体，所以在高校数学的教育中开展批判性思维培养对提高大学生的综合素质和创新能力有着举足轻重的意义。
当前大学生的数学批判性思维意识严重缺乏。
在认识方面，追求真理的主动意识差，习惯不辨真伪而被动接受；在表述方面，缺乏严谨意识，没有质疑提问的习惯，易回避疑点；在学习方面，认识能力较差，完全迷信书本和权威，严重缺乏批评性思维。
二、培养大学生批判性思维的意义好的批判性思维者，是指能够整合批判性思维的各种技能并加以有效运用，增强在其他学科学习和日常生活中运用这些有力工具的自信心、自觉性和具备良好判断力的人。
高校中培养大学生批判性思维无论对大学生能力、个性的全面发展，还是对整个社会创新能力的提高以及大学教育改革，都具有重要的理论意义和实践指导价值。
[2]（一）批判性思维的培养是高校执行素质教育的必然要求。
素质教育的核心是培养学生批判性思维能力，即有效理解、评价及运用知识的各种能力。
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２００１年第１期数学通报 ｌ７
例谈数学思维的批判性
陈金辉 （江西玉山一中３３４７ｏ０）
发展中学生的数学思维能力．特别是对思维
品质的培养，是中学数学教学的一项重要任务．近
年来，高考中也注意了“加强对思维品质的考查”，
“无疑，对学生思维的灵活性、批判性、创新性等思
维品质的考查是命题人员的新的探索与追求”．①
所谓思维的批判性，就是善于发现问题，提出
疑问，辨别是非的一种思维品质、批判性的思维是
种实事求是、周到缜密的思维．
例１判断命题：“设两曲线Ｃ【： （ ，ｖ）：
０和ｃ２：＾（ ，Ｙ）＝０有交点，则经过ｃ】和Ｃ２交
点的曲线的方程是ｆｌ（ ，ｙ）＋Ａ （ ，ｙ）＝Ｏ（＊），
其中 ∈Ｒ”的真假．
这是一个假命题，但不少参考书都作为真命
题加以“证明”．笔者曾叫学生阅读这类“证明”，不
少同学看了都有疑问：为什么两曲线Ｃｌ和ｃ２的
交点Ｐ（ ０，Ｙ０）的坐标是方程（＊）的解，就说经
过点Ｐ的曲线一定是方程（＊）的曲线呢？这与课
本上关于曲线的方程的论述不符合呀！这正是培
养学生思维的批判性的良好的开端，笔者因势利
导，提出能否有新的“证明”或否定命题？同学们
的思维一下子就活跃起来了，有很多同学都举出
了反例将该命题否定了．如：
设Ｃ】： ＋ ＝０，Ｃ２： —ｙ＝０，则它们的
交点为原点０（Ｏ，Ｏ），但方程 ＋ｖ＋Ａ（ —ｙ）：
Ｏ（Ａ∈丑）却不是经过点Ｏ的曲线 ＝ 的方程．
进一步讨论，若方程（＊）是直线系或圆系的
方程，那么命题正确吗？结果还是不正确，但稍加
修改就正确了，即在直线系或圆系中仅缺少一条
Ｃ，而已．
思维的批判性不但在数学概念和命题的教学
中需要重视，在解题教学中更需着重培养
倒２设，（ ）＝∞ ＋ ＋ｃ（８≠０），已知
当ｌ Ｉ≤１时，Ｉｆ（ ）Ｊ≤１恒成立，证明当ｌ ｌ≤
２时，ｌ ）１≤７恒成立．
笔者对学生先作分析启发：只须证
＊）在区
间［一２，２］上的最值∈［一７，７］．而二次函数在某
区间的最值必在区间的端点或抛物线的顶点处
（若顶点在区间内）取得，故只须证：
１厂（２）１＝１ ４ｎ＋２ ＋ｃ ｌ≤７ （１）
Ｉ
２）Ｉ＝Ｉ ４ｏ一２ｂ＋ｃ Ｉ≤７ （２）
Ｊ 一麦）Ｉ＝Ｉ ≤ （』 ｂ ≤２）（３）
而这叉须从已知条件中推得ｎ，６，ｃ的取值范围
再加以证明．同学们很快从已知得到
ｌ ｌ厂（０）ｌ＝Ｉ ｃ ｌ≤１
Ｉ １）Ｉ：ＩⅡ＋６＋１２ Ｉ≤１
Ｊ ｌ厂（一１）‘ｌ＝Ｉ口一６＋ｃ ｌ≤１
进一步叉可推得 ｌ ６ Ｉ≤１和Ｉ口Ｊ≤２．
这些条件能否推出所需的三个结果呢？先试
（１）式，若简单地放大ｌｆ（２）ｌ≤４ｌⅡＩ＋２ｌ ６ ｌ＋
Ｉ ｃ ｌ≤ｌ１是无法推得（１）式的．有同学马上发现
若能从已知条件推出ｌ ４ ｌ≤ｌ就好证了
那么这个发现有价值吗？猜想ｌⅡＩ≤１是否
正确？同学们各抒己见，讨论很热烈．终于有人发
现存在。＝２的函数＊）＝２ｘ —１符合已知条
件，把这个猜想否定了．这种批判性的思维非常宝
贵，笔者在加以肯定的同时叉指出；现在必须对
４ｎ＋２６＋ｃ进行重新组合变形，是否有更有力的
条件加以利用？同学们大多能发现Ｉ口＋６＋ｃ Ｉ≤
１比ｌ口ｌ≤２更有用，用它能解决ｌ ｎ ｆ≤２无法解
决的矛盾，于是有
Ｉｆ（２）ｌ＝ｌ ４（８＋６＋ｃ）一２ｂ一３ｃ Ｉ
≤４ Ｉ ８＋６＋ｃ Ｉ＋２ Ｉ ６ Ｉ＋３ Ｉ ｃ Ｉ≤９
虽有进步，但仍无法证得（１）式．这种变形虽解决
了主要矛盾，但６和ｃ的系数变得太大，次要矛盾
上升为主要矛盾．两方面兼顾得
≤２ Ｉ口＋６＋ｃ Ｉ＋２ ＩⅡＩ＋Ｉ ｃ Ｉ≤７
就圆满地证得了（１）式 同理可证得（２）式．
对（３）式有
ｌ生 ｆ＝ 去·－－ｂ２￣１ ｃ ｔ＋ ·
≤ｚ
也须经周密的思维才能找到正确的证法，这里关
键是要利用条件ｌ ｌ≤２
思维的批判性是对思维训练的深化过程 掌
握事物的本质因素，才能获得真才实学．
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１８ ２００１年第１期数学通报
半角的正弦、余弦和正切
朱恒元 （浙江省义乌中学３２２Ｏ０９）
１ 教材所处的地位及前后联系
“半角的正弦、余弦和正切”是三角函数恒等
变换的重要依据．它是在两角和的三角函数韵基
础上进一步发展而来的，是倍角公式的变形．它和
其他三角公式一样，是三角函数式恒等变换的不
可缺少的工具．
２教学目的
１．掌握半角公式的结构特点与推导方法．
２．理解公式的内在联系，会根据已知条件确
定半角公式中的符号．
３．能根据题目的特点合理地、熟练地运用公
式）
４．通过对“半角”概念相对性、两组公式的等
价性、两式成立的条件性等的分析与讨论，发展学
生的求同和求异的思维能力，培养学生联系与转
化的辩证思想．
３教材的重点 难点
由于半角公式的结构有些相仿，学生不易记
准，特别是ｓ ，ｃ 公式中根号前正负号的选择是
教学重点，另外半角的正切公式的灵活选用也是
教学的另一个重点．
对于半角正切的三个公式，形式多样、变化技
巧强，学生不易接受．尤其是对公式的等价性的理
解要透过现象看本质，这就成了教学的难点．
４教法
整堂课围绕“以复习为基础，以过程为主线，
以思维为中心．以训练为手段”开展教学，力求体
现结构的完整性，即教学环节完整、知识结构完
整、知识理解完整；注重学生的参与度，通过紧凑
的安排，设计三个层次，组织学生全神贯注地参
与，通过提问、板演、讨论等多种形式，让学生直接
参加课堂括动．将教与学融为一体．具体说明如
Ｆ：
４．１ 强化意识
新课引人前，作一个具体数值的练习：已知
々 ， 一、
ｃｏｓ２０＝詈， ∈１ ０，号】，求ｅｏＭ０和ｃｏｓ０的值．使
学生明确：正反两个方向使用二倍角公式，单角函
数与倍角函数可相互导出．由单角函数求倍角函
数，直接代人公式不需考虑值的符合，反之，可得
到方程，但涉及开方运算，需考虑符号．这样由特
殊到一般进行教学符合学生认知规律，也可强化
处理符号意识，显露本节课的重点．
４．２主动获取
在推导半角公式过程中，让学生全面考虑
Ｓ２。， 。， 所有公式，在观察、分析、讨论的基础
上，主动提出由 。公式变形得出半角公式．
４．３激荡思维
找出ｓ ，ｃ 与 形式差异， 的右端不是
最简根式，可以化简，从而激荡起学生思维浪花：
怎么办？学生最初可能得到ｔｇ詈＝±
ｌ￣［１ｔｇ２＝ ，通过讨论寻找
出处理双重符号的三种方法：（Ｉ）按詈所在象限
ｓｉｎ要
讨论；（ＩＩ）根据乘除符号法则，知— 和ｓｉｎ
ｃ０
号ｃ０ｓ薹同号，ｌ￣ｐｔｇ２和ｓｉｎ 同号；（Ⅲ）由ｔｇ詈－
ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ２
２≥０知ｔｇ号和ｓｉｎ 同号．此时瓜熟
蒂落，顺理成章地引出教材中带有技巧性的证明
方法．课堂教学中如果径直给出这种证法，无疑是
奉送真理，并不十分可取．因为对前者的讨论可以
培养学生的思维品质是一项长期的工作，在
中学数学教学中的地位尤为重要，需要多学科协
同合作，本文仅从两个方面的作些初步尝试，不当
之处望同行斧正
参考资料：
１晨旭．稳中求进，注重考查睡力数学通报．１ｇｇｏ年第７期
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