2019年中考数学真题分类专项训练图形的变换

2019年中考数学真题分类专项训练--图形的变换

一、选择题

1．（2019江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有

A．3种B．4种C．5种D．6种

【答案】D

2．（2019金华）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得

到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则FM

GF

的值是

A．52

2

-

B．2-1 C．

1

2

D．

2

2

【答案】A

3．（2019北京）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是

A．B． C．D．

【答案】C

4．（2019舟山）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″

的坐标是

A．（2，–1）B．（1，–2）C．（–2，1）D．（–2，–1）

【答案】A

5．（2019海南）如图，在Y ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为

A．12 B．15 C．18 D．21

【答案】C

6．（2019绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y=（x+5）（x–3）经变换后得到抛物线y=（x+3）（x–5），则这个变换可以是

A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位

C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位

【答案】B

7．（2019河北）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为

A．10 B．6 C．3 D．2

【答案】C

8．（2019贵阳）如图，在3×3的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是

A．1

9

B．

1

6

C．

2

9

D．

1

3

【答案】D

9．（2019福建）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A．等边三角形B．直角三角形

C．平行四边形D．正方形

【答案】D

10．（2019广东）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A．B．C．D．

【答案】C

11．（2019黑龙江）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是

A．B． C．D．

【答案】C

12．（2019吉林）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为

A．30°B．90°C．120°D．180°

【答案】C

13．（2019黄冈）已知点A的坐标为（2，1），将点A向下平移4个单位长度，得到的点A′的坐标是A．（6，1）B．（–2，1）C．（2，5）D．（2，–3）

【答案】D

14．（2019海南）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，–1），平移线段AB，使点A 落在点A1（–2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为

A．（–1，–1）B．（1，0）C．（–1，0）D．（3，0）

【答案】C

15．（2019湘西州）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）

【答案】B

16．（2019云南）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A．B．C．D．

【答案】B

17．（2019乐山）下列四个图形中，可以由下图通过平移得到的是

A．B．C．D．

【答案】D

二、填空题

18．（2019新疆）如图，在△ABC中，AB=AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为__________．

【答案】3 2

19．（2019海南）如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°<α<90°）得到AE，直角边AC 绕点A逆时针旋转β（0°<β<90°）得到AF，连接EF．若AB=3，AC=2，且α+β=∠B，则EF=__________．

【答案】13

20．（2019山西）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =10cm ，点D 为△ABC 内一点，∠BAD =15°，AD =6cm ，连接BD ，将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转，使AB 与AC 重合，点D 的对应点为点E ，连接DE ，DE 交AC 于点F ，则CF 的长为__________cm ．

【答案】10–26

21．（2019杭州）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF 、GH 折叠（点E 、H 在AD 边上，点F 、G 在BC 边上），使得点B 、点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A 点，D 点的对称点为D ￠点，若90FPG ??，A EP ￠△的面积为4，D PH ￠△的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于__________.

【答案】65+10

22．（2019温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC =OD =10分米，展开角∠COD =60°，晾衣臂OA =OB =10分米，晾衣臂支架HG =FE =6分米，且HO =FO =4分米．当∠AOC =90°时，点A 离地面的距离AM 为__________分米；当OB 从水平状态旋转到OB '（在CO 延长线上）时，点E 绕点F 随之旋转至OB '上的点E '处，则B 'E '–BE 为__________分米．

【答案】5+53，4．

三、解答题

23．（2019宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：

（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．

（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．

（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）

【答案】（1）如图1所示：6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；

（2）如图2所示：6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．

24．（2019安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格

线的交点）为端点的线段AB．

（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段C D．

（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可）

【答案】（1）如图所示：线段CD即为所求；

（2）如图：菱形CDEF即为所求，答案不唯一．

25．（2019黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．

（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；

（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；

（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．

解：（1）如下图所示，点A1的坐标是（–4，1）；

（2）如下图所示，点A2的坐标是（1，–4）；

（3）∵点A（4，1），∴OA=22

1417

+=，

∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是：

2

90(17)

?π?

=

17

4

π

．

26．（2019绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10．

（1）在旋转过程中，

①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．

②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．

（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，

此时∠AD 2C =135°，CD 2=60，求BD 2的长．

解：（1）①AM =AD +DM =40，或AM =AD –DM =20． ②显然∠MAD 不能为直角．

当∠AMD 为直角时，AM 2

=AD 2

–DM 2

=302

–102

=800， ∴AM =202或（–202舍弃）．

当∠ADM 为直角时，AM 2

=AD 2

+DM 2

=302

+102

=1000， ∴AM =1010或（–1010舍弃）．

综上所述，满足条件的AM 的值为202或1010． （2）如图2中，连接CD 1．

由题意得∠D 1AD 2=90°，AD 1=AD 2=30， ∴∠AD 2D 1=45°，D 1D 22， 又∵∠AD 2C =135°，∴∠CD 2D 1=90°， ∴CD 122212CD D D =+=6， ∵∠BAC =∠D 2AD 1=90°，

∴∠BAC –∠CAD 2=∠D 2AD 1–∠CAD 2，

∵AB =AC ，AD 2=AD 1， ∴△ABD 2≌△ACD 1， ∴BD 2=CD 1=30

6．

27．（2019金华）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =142，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90°得到EF ．

（1）如图1，若AD =BD ，点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点O ．求证：BD =2DO ． （2）已知点G 为AF 的中点．

①如图2，若AD =BD ，CE =2，求DG 的长．

②若AD =6BD ，是否存在点E ，使得△DEG 是直角三角形？若存在，求CE 的长；若不存在，试说明理由．

解：（1）证明：由旋转性质得：CD =CF ，∠DCF =90°． ∵△ABC 是等腰直角三角形，AD =BD ． ∴∠ADO =90°，CD =BD =AD ， ∴∠DCF =∠ADC ． 在△ADO 和△FCO 中，

AOD FOC ADO FCO AD FC ∠=∠??

∠=∠??=?

，

∴DO=CO．

∴BD=CD=2DO．

（2）①如图1，分别过点D，F作DN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M，连结BF. ∴∠DNE=∠EMF=90°.

又∵∠NDE=∠MEF，DE=EF，

∴△DNE≌△EMF，∴DN=EM.

又∵BD=72，∠ABC=45°，∴DN=EM=7，

∴BM=BC–ME–EC=5，∴MF=NE=NC–EC=5.

∴BF=52.

∵点D，G分别是AB，AF的中点，

∴DG=1

2

BF=

5

2

2．

②过点D作DH⊥BC于点H.

∵AD=6BD，AB2，∴BD2.

i）当∠DEG=90°时，有如图2，3两种情况，设CE=t. ∵∠DEF=90°，∠DEG=90°，点E在线段AF上.

∴BH=DH=2，BE=14–t，HE=BE–BH=12–t.

∴DH HE

EC CA

=，即

212

14

t

t

-

=，解得t=6±22.

∴CE=6+22或CE=6–22.

ii）当DG∥BC时，如图4.

过点F作FK⊥BC于点K，延长DG交AC于点N，延长AC并截取MN=N A.连结FM.

则NC=DH=2，MC=10.

设GN=t，则FM=2t，BK=14–2t.

∵△DHE∽△EKF，∴KE=DH=2，∴KF=HE=14–2t，

∵MC=FK，∴14–2t=10，解得t=2.

∵GN=EC=2，GN∥EC，

∴四边形GECN是平行四边形，

而∠ACB=90°，

∴四边形GECN是矩形，∴∠EGN=90°.

∴当EC=2时，有∠DGE=90°.

iii）当∠EDG=90°时，如图5.

过点G，F分别作AC的垂线，交射线AC于点N，M，过点E作EK⊥FM于点K，过点D作GN的垂线，交NG 的延长线于点P，则PN=HC=BC–HB=12，

设GN=t，则FM=2t，∴PG=PN–GN=12–t.

由△DHE∽△EKF可得：FK=2，

∴CE=KM=2t–2，

∴HE=HC–CE=12–（2t–2）=14–2t，

∴EK=HE=14–2t，

AM=AC+CM=AC+EK=14+14–2t=28–2t，

∴MN=1

2

AM=14–t，NC=MN–CM=t，

∴PD=t–2，

由△GPD∽△DHE可得PG PD HD HE

=，

即122 2142

t t

t

--

=

-

，

解得t1=10–14，4=10+14（舍去）。

.CE=2t–2=18–214.

所以，CE的长为：6–22，6+22，2或18–214.

28．（2019福建）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．

（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；

（2）若α=60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．

解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，

∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，

∵CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=1

2

（180°–30°）=75°，

∴∠ADE=90°–75°=15°；（2）证明：如图2，

∵点F是边AC中点，∴BF=1

2 AC，

∵∠ACB=30°，∴AB=1

2

AC，∴BF=AB，

∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，

∴DE=BF，△ACD和△BCE为等边三角形，

∴BE=CB，

∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，

易证得△CFD≌△ABC，

∴DF=BC，∴DF=BE，

而BF=DE，

∴四边形BEDF是平行四边形．

29．（2019台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD 于点F，AP=FD．

（1）求AF

AP

的值；

（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证：MF=PF；

（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ=AP，连接BQ，BN．将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上．请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由．

解：（1）设AP=FD=a，∴AF=2–a，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，

∴△AFP∽△DFC，

∴AP AF

CD FD

=，即

2

2

a a

a

-

=，

∴a 5=-1，∴AP =FD 5=-1，

∴AF =AD –DF =35-，∴

51

AF AP -=

． （2）证明：如图，在CD 上截取DH =AF ，

∵AF =DH ，∠PAF =∠D =90°，AP =FD ， ∴△PAF ≌△FDH （SAS ），∴PF =FH ， ∵AD =CD ，AF =DH ，∴FD =CH =AP 5=

1，

∵点E 是AB 中点，∴BE =AE =1=EM ，∴PE =PA +AE 5=

∵EC 2=BE 2+BC 2=1+4=5，∴EC 5=

∴EC =PE ，CM 5=

1，∴∠P =∠ECP ，

∵AP ∥CD ，∴∠P =∠PCD ， ∴∠ECP =∠PCD ，且CM =CH 5=

-1，CF =CF ，

∴△FCM ≌△FCH （SAS ），∴FM =FH ，∴FM =PF ．

（3）若点B '在BN 上，如图，以A 原点，AB 为y 轴，AD 为x 轴建立平面直角坐标系，

∵EN ⊥AB ，AE =BE ，∴AQ =BQ =AP 5=1，

由旋转的性质可得AQ =AQ '5=

-1，AB =AB '=2，Q 'B '=QB 5=1，

∵点B （0，–2），点N （2，–1），∴直线BN 解析式为：y 1

2

=x –2， 设点B '（x ，

1

2

x –2）， ∴AB '2

2

122x x ??=+-= ???

2， ∴x 85=

，∴点B '（85，6

5

-）， ∵点Q '51，0），

∴B 'Q '2

836515525??=--+≠ ??

?1，

∴点B 旋转后的对应点B '不落在线段BN 上．