第六节极限存在准则两个重要极限

a
准则I
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件
(1) g(x)f(x)h(x)
(2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A
准则 I
如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件
(1)ynxnzn(n=1 2 3 )
(2)
lim
n
yn
l ( 1 i 1 ) x e m l 1 i ( x ) ( 1 x m ) e ] ( ( x ) 0 ) [
x x
例 例3 5 求 l ( 1 1 ) x i m x x
解 令t=-x 则x 时 t 于是
x l ( 1 i 1 x ) x m t l ( 1 i 1 t ) t m t l ( 1 i 1 1 ) t m 1 e t
移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而 对有界数列只可能后者情况发生
x1 x2x3 x4x5 xn
AM
准则 设函f数 (x)在点 x0的某个左领域内 且单 有调 界
则f(x)在x0的左极f(限 x0)必定存. 在
第二个重要极限
设 x n ( 1 1 n ) n 可以证明(1)xnxn+1 nN (2)xn3 根据准则II 数列{xn}必有极限, 此极限用e来表示, 即
原式 lim t t0 sint
sin t 1
t
例 解例2 3 l x 求 0 l x 1 i 0 c x 1 2 m c x x 2 i o x l x 0 2 i s x m s 2 2 m o 2 x i 1 2 l x n 0 s i ( x 2 ) 2 2 x m s in 1 2 l x 0 s x 2 x i 2 1 2 1 2 i m 1 2 n 2 2
l ( 1 1 ) n e im n n 我们还可以证明
l ( 1 1 ) x e im x x 这就是第二个重要极限
1
注: 在 极 限 l1 i ( x m ) ( x ) 中 ] 只 [ 要 ( x ) 是 无 穷 小 就 有
1
l 1 ( x ) i ( x ) e m ] [
( x )
这是因为 令u=a(x) 则u0 于是
l s ( x ) i l s i u m 1 i n i m n ( x ) u 0 u
例1. 求
解:
lim
x0
tan x
x
xl im 0sixnxc1oxs
limsinx lim 1 1 x0 x x0 cosx
例2. 求
解: 令 tarcsxi,n则 xsitn,因此
或 l ( 1 1 i ) x l ( 1 m 1 i ) x ( 1 ) m x x x x [ l ( 1 1 ) x ] i 1 e 1 m x x
l ( 1 i 1 ) x e m l 1 i ( x ) ( 1 x m ) e ] ( ( x ) 0 ) [
第六节极限存在准则 两个重要极限
一 、准则I及第一个重要极限 二、准则II及第二个重要极限
一、准则I及第一个重要极限
准则 I 如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 )
(2)
lim
n
yn
a
lim
n
zn
a
那么数列{xn }的极限存在
且
lim
n
xn
当nN时 , 恒有 a y n x n z n a ,
即 xna成,立
lim
n
xn
a.
第一个重要极限
证: 当 x(0,2)时，
BD
1
x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即 亦故即有
12sinx 12tanx
sx i x n ta x( n 0 x 2 )
显然有
cosxsinx1 x
(0x2)
注
注 当0 x 时
2 01 co x s 1 co xs
2sin2 x 2 x 2 x 2
222 li(m 1co x) s0
x 0
返回
第一个重要极限
l s x 1 i i m x 0 x
注: 在 极 限 l s i ( x ) 中 i m 只 要 n ( x ) 是 无 穷 小 就 有 ( x ) l s ( x ) 1 i i m n
例4
3x3 x 1
lim
x
2x2
1
sin
x
解
lim
x
3x3 2x2
x 1
sin
1 x
limx(3x2 1)sin1 x 2x2 1 x
(3x21) 1 1
lim
(sin / )
x 2x21 x x
3 2
二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限
准则II的几何解释 以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向
a
lim
n
zn
a
那么数列{xn }的极限存在
且
lim
n
xn
a
证 y n a ,z n a ,
0 , N 1 0 ,N 2 0 ,使得
当 n N 1 时恒 y n a 有 ,当 n N 2 时恒 zn a 有 ,
取 N max{N1, N2},上两式同时成立,
即 a y n a ,a zn a ,
x x
1
例6 lim(1sin 2x)x
Leabharlann Baidu
x0
1
1 sin2x
解: lim(1sin 2x)x lim[(1sin2x)sin2x] x
x0
x0
e2.
练习
1. lim ( x 2 )x e 2 .
x x
2. lim( x3 2)x2 1 .
x x
3
作业：p-55 习题1-6 1 （3），（5），（6） 2 （3），（4） 4 （1）, (2)