高二数学组合苏教版
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高二数学组合苏教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
组合
二. 本周知识要点:
1. 理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合.
2. 明确组合与排列的区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问题.
3. 了解组合数的意义,理解排列数m
n A 与组合数m n C 之间的联系,掌握组合数公式,能运
用组合数进行计算.
4. 利用排列组合的知识,以及两个基本原理解决较综合的记数问题.
三. 本周知识要点:
示例1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?
示例2:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 1. 组合的概念:一般地,从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同.
2. 组合数的概念:从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,叫做从n
个不同元素中取出m 个元素的组合数...
.用符号m n C 表示. 3. 组合数公式:(1)(2)(1)!
m m n n
m m A n n n n m C A m ---+==
或)!
(!!
m n m n C m
n -=
),,(n m N m n ≤∈*且
4. 组合数性质
1) 组合数的性质1:m n n m n C C -=. 规定:10
=n C ; 2) 组合数的性质2:m n C 1+=m n C +1-m n
C
【典型例题】
例1. 计算:(1)4
7C ; (2)710C ;
(1)解: 4
77654
4!
C ⨯⨯⨯=
=35;
(2)解法1:7
1010987654
7!
C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
=120.
解法2:7
1010!10987!3!3!
C ⨯⨯===120.
例2. 100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
(1)一共有多少种不同的抽法;
(2)抽出的3件都不是次品的抽法有多少种?
(3)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (4)抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种?
解:(1)3100161700C =;(2)398152096C =;(3)12
298247539506C C =⨯=; (4)解法一:(直接法)12212982989506989604C C C C +=+=; 解法二:(间接法)33100981617001520969604C C -=-=.
例3. 4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组,问组成方法共有多少种?
解法一:(直接法)小组构成有三种情形:3男,2男1女,1男2女,分别有3
4C ,1
624C C ⋅,2614C C ⋅,所以,一共有34C +1624C C ⋅+2
6
14C C ⋅=100种方法. 解法二:(间接法)10036310=-C C .
例4. 现有8名青年,其中有5名能胜任英语翻译工作;有4名青年能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任),现在要从中挑选5名青年承担一项任务,其中3名从事英语翻译工作,2名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法?
解:我们可以分为三类:
①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有2
324C C ; ②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有1334C C ; ③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有2334C C , ∴一共有2324C C +1
33
4C C +2334C C =42种方法.
例5. 某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内,其中A 校定为第一志愿;再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内,其中B 、C 两校必选,且B 在C 前问:此考生共有多少种不同的填表方法?
解:先填第一档次的三个志愿栏:因A 校定为第一档次的第一志愿,故第一档次的二、
三志愿有26A 种填法;再填第二档次的三个志愿栏:B 、C 两校有2
3C 种填法,剩余的一个
志愿栏有13A 种填法由分步计数原理知,此考生不同的填表方法共有26A 23C 1
3270A =(种)
.
例6. 高二(1)班有30名男生,20名女生.从50名学生中选3名男生,2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员,共有多少种不同的选法?
解:325
3020592568000C C A =
例7. 身高互不相同的7名运动员站成一排,
(1)其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种?
(2)其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种?
解:(1)(法一):设想有7个位置,先将其他4人排好,有4
7A 种排法;再将甲、乙、
丙三人自左向右从高到矮排在剩下的3个位置上,只有1种排法,根据分步计数原理,一共
有47840A =种方法.
(法二):设想有7个位置,先将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在其中的3个位置上,
有37C 种排法;将其他4人排在剩下的4个位置上,有44A 种排法;根据分步计数原理,一共有3474840C A =种方法.
(2)(插空法)先将其余4个同学进行全排列一共有4
4A 种方法,再将甲、乙、丙三名
同学插入5个空位置中(但无需要进行排列)有35C 种方法.根据分步计数原理,一共有44A 35240C =种方法.
【模拟试题】
1. 判断下列问题哪个是排列问题,哪个是组合问题:
(1)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?
(2)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?
2. 7名同学进行乒乓球擂台赛,决出新的擂主,则共需进行的比赛场数为( ) A . 42 B . 21 C . 7 D . 6
3. 如果把两条异面直线看作“一对”,则在五棱锥的棱所在的直线中,异面直线有( ) A . 15对 B . 25对 C . 30对 D . 20对
4. 设全集{},,,U a b c d =,集合A 、B 是U 的子集,若A 有3个元素,B 有2个元素,且{}A
B a =,求集合A 、B ,则本题的解的个数为 ( )
A . 42
B . 21
C . 7
D . 3
5. 有两条平行直线a 和b ,在直线a 上取4个点,直线b 上取5个点,以这些点为顶点作三角形,这样的三角形共有( )