苏教版高二数学必修五全册教案

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等比数列

教学目标：

灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.

教学重点：

.等比中项的理解与应用.

2.等比数列定义及通项公式的应用.

教学难点：

灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

等比数列定义，等比数列通项公式

Ⅱ.讲授新课

根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?

若a，A，b成等差数列a＝a＋b2，A为等差中项.

那么，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等

比数列，……

则即Ga＝bG，即G2＝ab

反之，若G2＝ab，则Ga＝bG，即a，G，b成等比数列∴a，G，b成等比数列G2＝ab

总之，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G＝±ab，另外，在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap ＋aq，那么，在等比数列中呢？

由通项公式可得：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ap＝a1qp －1，aq＝a1•qq－1

不难发现：am•an＝a12qm+n－2，ap•aq＝a12qp+q－2

若m＋n＝p＋q，则am•an＝ap•aq

下面看应用这些性质可以解决哪些问题?

［例1］在等比数列{an}中，若a3•a5＝100，求a4.

分析：由等比数列性质，若m＋n＝p＋q，则am•an ＝ap•aq可得：

解：∵在等比数列中，∴a3•a5＝a42

又∵a3•a5＝100，∴a4＝±10.

［例2］已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证{an•bn}是等比数列.

分析：由等比数列定义及通项公式求得.

解：设数列{an}的首项是a1，公比为p；{bn}的首项为b1，公比为q.

则数列{an}的第n项与第n＋1项分别为a1pn－1，a1pn 数列{bn}的第n项与第n＋1项分别为b1qn－1，b1qn.

数列{an•bn}的第n项与第n＋1项分别为a1•pn－1•b1•qn－1与a1•pn•b1•qn，即为

a1b1n－1与a1b1n

∵an+1an•bn+1bn＝a1b1（pq）na1b1（pq）n－1＝pq

它是一个与n无关的常数，

∴{an•bn}是一个以pq为公比的等比数列.

特别地，如果{an}是等比数列，c是不等于0的常数，那么数列{c•an}是等比数列.

［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数.

解：设m，G，n为此三数

由已知得：m＋n＋G＝14，m•n•G＝64，

又∵G2＝m•n，∴G3＝64，∴G＝4，∴m＋n＝10 ∴m＝2n＝8或m＝8n＝2

即这三个数为2，4，8或8，4，2.

评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径.

Ⅲ.课堂练习

课本P50练习1，2，3，4，5.

Ⅳ.课时小结

本节主要内容为：

若a，G，b成等比数列，则G2＝ab，G叫做a与b的等比中项.

若在等比数列中，m＋n＝p＋q，则am•an＝ap•aq

Ⅴ.课后作业

课本P52习题

5，6，7，9

等比数列

．已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（

）

A.5

B.10

c.15

D.20

2．在等比数列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝

a1a2a3a4a5，则m等于

（

）

A.9

B.10

c.11

D.12

3．非零实数x、y、z成等差数列，x＋1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（

）

A.10

B.12

c.14

D.16

4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.

5．在数列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.

6．设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，yx能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.

7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差

数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.

等比数列答案

．已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（

）

A.5

B.10

c.15

D.20

分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a1和q，再求a3＋a5的方法是不行的，而应寻求a3＋a5整体与已知条件之间的关系.

解法一：设此等比数列的公比为q，由条件得a1q•a1q3＋2a1q2•a1q4＋a1q3•a1q5＝25

即a12q42＝25，又an＞0，得q＞0

∴a1q2＝5

解法二：∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25

由等比数列性质得a32＋2a3a5＋a52＝25

即2＝25，又an＞0，∴a3＋a5＝5

评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的.

2．在等比数列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于

（

）

A.9

B.10

c.11

D.12

解：∵am＝a1a2a3a4a5＝a15q1+2+3+4＝a15q10＝a15q11－1

又∵a1＝1，∴am＝q11－1，∴m＝11.

答案：c

3．非零实数x、y、z成等差数列，x＋1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（

）

A.10

B.12

c.14

D.16

解：由已知得2y＝x＋zy2＝（x＋1）zy2＝x（z＋2）

2y＝x＋zy2＝（x＋1）zz＝2x

2y＝3xy2＝（x＋1）2x

y＝12

答案：B

4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.

解：设所求的四个数分别为a，x－d，x，x＋d

则（x－d）2＝ax

①a＋（x－d）＋x＝19

②（x－d）＋x＋（x＋d）＝12

③

解得x＝4，代入①、②得（4－d）2＝4aa－d＝11

解得a＝25d＝14或a＝9d＝－2

故所求四个数为25，－10，4，18或9，6，4，2.

5．在数列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.

分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.

解：由题意知：2bn＝an＋an＋1

①an＋12＝bnbn＋1

②

∴an+1＝bnbn＋1，an＝bnbn－1

代入①得2bn＝bnbn＋1＋bnbn－1

即2bn＝bn＋1＋bn－1

∴{bn}成等差数列，设公差为d

又b1＝2，b2＝a22b1＝92，

∴d＝b2－b1＝322－2＝22

∴bn＝2＋22（n－1）＝22（n＋1），bn＝12（n＋1）2，当n≥2时，an＝bnbn－1＝n（n＋1）2

③

且a1＝1时适合于③式，故anbn＝nn＋1.

评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.

6．设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，yx能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.

分析：先由x＞y＞2，可知x－y＜x＋y＜xy，下来只需讨论yx和x－y的大小关系，分成两种情况讨论.

解：∵x＞y＞2，x＋y＞x－y，xy＞x＋y，而yx＜1＜x －y

当yx＜x－y时，由yx，x－y，x＋y，xy顺次构成等比数列.

则有yx•xy＝（x－y）（x＋y）（x＋y）2＝（x－y）xy

解方程组得x＝7＋52，y＝5＋722

∴所求等比数列为22，2＋322，12＋1722，70＋9922.

当yx＞x－y时，由x－y，yx，x＋y，xy顺次构成等比数列

则有yx•xy＝（x＋y）2yx（x＋y）＝（x－y）xy 解方程组得y＝112

，这与y＞2矛盾，故这种情况不存在.

7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.

分析一：从后三个数入手.

解法一：设所求的四个数为（x－d）2x，x－d，x，x＋d，根据题意有

（x－d）2x＋（x＋d）＝21（x－d）＋x＝18，解得x ＝12d＝6或x＝274d＝92

274

∴所求四个数为3，6，12，18或754，454，274，94.

分析二：从前三数入手.

解法二：设前三个数为xq，x，xq，则第四个数为2xq －x.

依题设有xq＋2xq－x＝21x＋xq＝18

，解得x＝6q＝2或x＝454q＝35

故所求的四个数为3，6，12，18或754，454，274，94.

分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.

解法三：设欲求的四数为x，y，18－y，2－x，由已知得：

y2＝x（18－y）2（18－y）＝y＋（21－x），解得x＝3y ＝6或x＝754y＝454

∴所求四数为3，6，12，18或754，454，274，94.