苏教版高二数学期末试卷及答案

东台市2007-2008学年度第一学期期末考试

高 二 数 学 试 题

（考试时间120分钟 卷面总分160分）

一、填空题（每题5分，计70分）

1．函数y =的定义域是 。

2．在△ABC 中，已知7,a b c ===，它的最小内角为 度。 3．在等差数列{}n a 中，已知151

,,566

n a d S =

=-=-，则n a = 。 4．命题“集合A 中至少有一个元素是集合B 的元素”的否定是

。 5．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A （0，4）、B （-2，0）、C （2，0），则△ABC 内任一点M （x ，y ）所满足的条件为 （并排写）。 6．函数ln x

y x

=

的导数是 。 7．已知方程22

1||12x y m m

+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 。

8．与双曲线22

1916

x y -=有公共的渐近线，且经过点（-3，的双曲线方程为 。 9．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，则公比q = 。 10．（文）已知数列

1157

,,,221854

--，则可以写出它的一个通项公式n a = 。

（理）平面α的法向量为(,,)e A B C =，且经过点000(,,)P x y z ，则该平面可以用方程 来表示。 11．已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成的四边形的周长等于长轴长，则椭圆的离心率为 。

12．曲线3

2

32y x x x =-+的一条切线的斜率是-1，则切点坐标为 。

13．（文）已知点A 在抛物线2

2y x =上，且到焦点F 与到点B （2，1）的距离之和最小，则点A 的坐标为 。

（理）直线y x k =+与抛物线2

2y x =相交于点A 、B ，且OA ⊥OB ，则k = 。 14．已知半圆上一点到直径两端点距离之和的最大值为4，则该圆的半径为 。

二、解答题（共90分） 15．本题15分

把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，

（1）若∠ABC=120，如何锯断木条，才能使第三条边AC 最短？ （2）对于一般情况∠ABC>90，（1）中结论成立吗？说明理由。

16．本题14分

（文）已知函数3

2

()32f x x ax bx =-+在点1x =处有极小值-1，试确定a 、b 的值，并求出()f x 的单调区间。

（理）如图，已知△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直，AB=BC=BD ，∠CBA=∠DBC=120， 求（1）AD 与BC 所成的角；

（2）AD 和平面BCD 所成的角；

（3）二面角A-BD-C 的大小的余弦值。

17．本题15分

已知数列}{n a 满足212+++=n n n a a a ),3,2,1( =n ,它的前n 项和为n S ，且53=a ，

366=S ．（1）求n a ；（2）已知等比数列}{n b 满足a b b +=+121，4354a a b b +=+)1(-≠a ，设数列}{n n b a ⋅的前n 项和为n T ，求n T ．

18．本题15分

某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防，规定每人每天早晚八时各服一片，现知该药片每片含药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60％，在体内的残留量超过386毫克，就将产生副作用.

(１) 某人上午八时第一次服药，问到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留多少？

(２) 长期服用的人这种药会不会产生副作用？

19．本题16分

如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22m ，要求通行车辆限高 4.5m ，隧道全长2.5km ，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。

（1）若最大拱高h 为6m ，则拱宽l 应设计为多少？ （2）若最大拱高h 不小于6m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使建造这个隧道的土方工程量最小（半椭圆面积公式为4

S l π=

h ）？

20．本题15分

已知函数x

a

x x f +

=)(的定义域为),0(∞+，且222)2(+=f . 设点P 是函数图象上的

任意一点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M 、． （1）求a 的值；

（2）问：||||PN PM ⋅是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；

（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值．

高二数学参考答案

一、填空题

1．[]2,6- 2．30 3．（文）既不充分又不必要（理）充分不必要

4． 集合A 中的所有元素都不是集合B 中的元素 5．0,240,240y x y x y >-+>+-<

6．21ln x y x -'= 7．3112

m m <-<<

或 8．221169y x -= 9．

10.（文）3-

≤m ≤3

（理）()000()()0A x x B y y C z z -+-+-=

12.()1,0 13.（文）1

(,1)2

（理）-2 14.

二、解答题 15、（1）设AB=x ,则BC=30-x

2

2

2

(30)2(30)cos120AC x x x x =+--- 5分

=2

(15)675x -+ 8分

∴当x=15时，第三边最短； 9分

（2）2

2

2

(30)2(30)cos AC x x x x α=+--- 12分 =（2+2cos α）2

(15)x -+900225(22cos )α-+ 14分

∴当x=15时，第三边最短；结论成立。 15分

16、（文）（1）2

()362f x x ax b '=-+ 3分

3620

1321a b a b -+=⎧⎨

-+=-⎩

6分

∴11

,32

a b =

=- 8分 （2）2

()321f x x x '=-- 9分 增区间[)1,+∞，1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝

⎦ 减区间1,13

⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

14分

（理）（1）AD BC ⊥ 6分

（2）45 10分