苏教版高二数学期末试卷及答案
江苏省2024届高二上数学期末统考试题含解析
江苏省2024届高二上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，半焦距为c ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，若12PF F △的面积为22c ，则该双曲线的离心率为（）A.3B.2D.2．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A x 和B x ，标准差分别为A S 和B S ，则（）A .A B A B x x S S >>B.,A B A Bx x S S <>C.A B A Bx x S S ><D.,A B A Bx x S S <<3．变量x ，y 满足约束条件10,1,1,x y y x -+⎧⎪⎨⎪-⎩则65z x y =+的最小值为()A.6- B.8-C.1- D.54．函数()210x y x x+=>的值域为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞C.[2,)+∞ D.(2,)+∞5．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若3721a a =，2810a a +=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（）A.30B.35C.40D.456．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A.120B.84C.56D.287．设x ∈R ，则x <3是0<x <3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8．某一电子集成块有三个元件a ，b ，c 并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为45，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）A.1231 B.48125C.1625 D.161259．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-= ，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅ 取得最小值时，点P 的坐标为（）A.114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,,144⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.()2,2,810．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1B.2C.3D.411．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A.1a b +＞ B.1a b -＞C.22a b ＞ D.33a b ＞12．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1OO ，2OO ，3OO ，4OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，16α≈o ，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（）A.0B.1C.2D.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
苏教版高中数学选修2-3-第二学期高二年级期末考试试题答案.docx
2010-2011学年第二学期高二年级期末考试 数学试卷答案 命题人葛寄宇（满分160分 时间 120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1.-2； 2.2； 3．725-；4.64； 5．3+ 6．1a =-；8. 4π； 9. 5；10.21；11.①、②；12.2222c b a ++；13.3；14．（0，1）二、解答题：15．解:(1)由已知:2cos tan 2sin bc A A bc A ⋅==∴sin A =∵锐角△ABC , ∴3A π=…………7分 (2)原式=cos5050sin 70(150)sin 70cos50︒-︒︒⋅-︒=︒⋅︒=2cos(5060)2cos110sin 70sin 70cos50cos50︒+︒︒︒︒⋅=︒︒=2sin 20cos 20sin 401cos50sin 40-︒︒-︒==-︒︒14分16．（1）证明：连接1A B ，交1AB 于点O , 连接OD . ∵O 、D 分别是1A B 、BC 的中点， ∴1A C ∥OD ． ………3分∵1AC ⊄平面1AB D ，OD ⊂平面1AB D ， ∴1A C ∥平面1AB D ． ………6分 （2）M 为1CC 的中点． ………7分 证明如下：∵在正三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，∴四C 11C边形11BCC B 是正方形．∵M 为1CC 的中点，D 是BC 的中点，∴1B BD BCM ∆≅∆，……9分 ∴1BB D CBM ∠=∠，1BDB CMB ∠=∠． 又∵112BB D BDB π∠+∠=，12CBM BDB π∠+∠=，∴1BM B D ⊥． …11分∵ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点， ∴AD BC ⊥．∵平面ABC ⊥平面11BB C C , 平面ABC I 平面11BB C C BC =，AD ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥平面11BB C C ． ∵BM ⊂平面11BB C C ，∴AD ⊥BM ． ……13分 ∵1AD B D D =I ， ∴BM ⊥平面1AB D ． ∵1AB ⊂平面1AB D ，∴1MB AB ⊥． …14分 17. （本小题满分15分）17.解：（1）由题意，得(,)M s t 在线段CD ：220(020)x y x +=≤≤上，即220s t +=， 又因为过点M 要分别修建与OA 、OB 平行的栈桥MG 、MK ，所以510s ≤≤211(10)(10)50,51022z s t s s s s =⋅=-=--+≤≤ 所以z 的取值范围是75502z ≤≤。
江苏高二高中数学期末考试带答案解析
江苏高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.六个数5，7，7，8，10，11的方差是_______．2.已知复数（是虚数单位），则=_______．3.命题“”的否定是____________．4.某工厂生产三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽出样本容量为的样本，样本中型产品有16件，则样本容量n为 .5.已知集合，，则________．6.如果执行下面的程序框图，那么输出的______．7.如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是________.8.已知一个质点在腰长为4的等腰直角三角形内随机运动，则某时刻该质点距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为_____9.口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.45，摸出红球或黄球的概率为0.65，则摸出红球或蓝球的概率为___．10.观察下列等式：，，，，……猜想：_____（）.11.已知条件条件且是的充分不必要条件，则a的取值范围可以是______．12.已知正数满足,则的最小值为______．13.点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是14.已知奇函数是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数k的值是．二、解答题1.已知复数满足 (为虚数单位)，复数的虚部为2，且是实数.(1)求及；(2)求及.2.从参加数学竞赛的学生中抽出20名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题：（1）这一组的频率和频数分别为多少？（2）估计该次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）；（3）若从第一组和第三组的所有学生中随机抽取两人，求他们的成绩相差不超过10分的概率．3.设命题：；命题：函数的定义域为R.(1)若且是真命题，求实数的取值范围；(2)若或是真命题，且是假命题，求实数的取值范围．4.若二次函数满足，且.(1)求的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)解关于的不等式.5.在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为(米/单位时间),单位时间内用氧量为 ;②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为.(1)将表示为的函数;(2)试确定下潜速度,使总的用氧量最少.6.已知函数，，，其中，且.⑴当时，求函数的最大值；⑵求函数的单调区间；⑶设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），使得成立，求实数的取值范围.7.（矩阵与变换）若点在矩阵的变换下分别得到点.（Ⅰ）求矩阵；（Ⅱ）若曲线C在的作用下的新曲线为，求曲线C的方程．8.（坐标系与参数方程）求直线（）被曲线所截的弦长。
江苏省苏州市2023~2024学年高二上学期期末考试数学试卷及答案
苏州市2023～2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学2024.1注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3～请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：10x ++=的倾斜角为（）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2214x y -=的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O 的对称点为B ，则AF BF -=（）A ．-B ．C ．4-D ．43．若{},,a b c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．b c + ，b ，b c-B ．a ，a b + ，a b-C ．a b + ，a b - ，cD ．a b + ，a b c ++ ，c4．已知{}n a 是等比数列，若243a a a =，458a a =，则1a =（）A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：0mx y m +-=被圆M ：224210x y x y +--+=截得的最短弦的长度为（）A B ．2C ．D ．46．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知平面{}00P n P P α=⋅= ，其中点()01,2,3P ，法向量()1,1,1n =，则下列各点中不在平面α内的是（）A ．()3,2,1B ．()2,5,4-C ．()3,4,5-D ．()2,4,8-7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过()1,0A -，且与圆C ：()2219x y -+=相切，则圆心P 的轨迹是（）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、1R 为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、2R 为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且1235R R =，3AB CD =，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：221x y m m +=-，则下列说法正确的有（）A ．若1m >，则C 是椭圆B ．若2m >，则C 是椭圆C ．若0m <，则C 是双曲线D ．若1m <，则C 是双曲线10．已知数列{}n a 满足11a =，1n n a pa q +=+（p ，q ∈R ，*n ∈N ），设{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的有（）A ．若1p =-，3q =，则102a =B ．若1p =-，3q =，则1030S =C ．若2p =，1q =，则101024a =D ．若2p =，1q =，则102036S =11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知11AB AD AA ===，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，E 为棱1CC 上一点，且12C E EC =，则A ．1A E BD ⊥B ．1A E ⊥平面11BDD BC ．1BD =D ．直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，T 是C 的准线与x 轴的交点．若124k k =-，则（）A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在1k ，2k ，使得52AB =C ．AOB △面积的最小值为34D ．AF AT BFBT=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知荾形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程：______．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,2A ，记抛物线C ：24y x =上的动点P 到准线的距离为d ，则d PA -的最大值为______．15．已如圆台的高为2，上底面圆1O 的半径为2，下底面圆2O 的半径为4，A ，B 两点分别在圆1O 、圆2O 上，若向量1O A 与向量2O B的夹角为60°，则直线AB 与直线12O O 所成角的大小为______．16．函数[]y x =被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如：[]11-=-，[]4.24=．已知数列{}n a 的通项公式为()2log 21n a n =+⎡⎤⎣⎦，设{}n a 的前n 项和为n S ，则使得300n S ≤的最大正整数n 的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程；（2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()4211n n S n a =++（*n ∈N ）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF BE =，11B F C E ⊥．（1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥1A AEF -的体积最大时，求平面1A EF 与平面11ACC A 夹角的余弦值20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为（1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，11cos πn n a a n +=++（*n ∈N ）．（1）求2a ，3a 及{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22b =且2121k k b a --=，2223k k b b +=（*k ∈N ），记{}n b 的前n 项和为n S ，试求所有的正整数m ，使得2212m m S S -=成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：222212x y a a -=+的右焦点为()2,0F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以12A A 为直径的圆为圆O ．（1）当l 与圆O 相切时，求DE ；（2）求证：直线AQ 与直线2A P 的交点S 在圆O 内．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A 【解析】35πtan 36k αα==-⇒=，选A 2．【答案】D【解析】由双曲线的定义知24AF BF a -==，选D 3．【答案】C【解析】对于A ，()()12b bc b c ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向是b c + ，b ，b c - 共面对于B ，()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向量a ，a b + ，a b -共面对于D ，()()c a b c a b =++-+，所以三个向量a b + ，a b c ++ ，c 共面对于C ，若()()c x a b y a b =++- ，不存在实数x ，y 使得等式成立，所以a b + ，a b - ，c不共面选C4．【答案】A【解析】由224333a a a a a =⇒=，所以30a >，则31a =，由233453888a a a q q =⇒=⇒=，所以2q =所以31214a a q ==，选A 5．【答案】C【解析】直线l ：0mx y m +-=过定点()1,0A ，圆M ：()()22214x y -+-=，圆心()2,1M ，半径2R =因为点()1,0A 在圆M 内，由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时，弦长最短为==，选C6．【答案】B【解析】对于B ，若点()2,5,4P -，则()03,3,1P P =-，则033110n P P ⋅=-++=≠ ，所以点()2,5,4-不在平面a 内，选B 7．【答案】B【解析】因为点A 在圆C 内，所以圆P 内切与圆C ，由两圆内切的关系可知，3C P PC r r AP =-=-从而32AP PC AC +=>=，所以点P 轨迹是以AC 为焦点的椭圆8．【答案】A【解析】法1：不妨设13R =，25R =，CD m =，则3AB m =，253MB R AB m =-=-，132OM R MB m =-=-所以21324151MD R OM OC CD m R m m m ==++=-++=+=⇒=所以13a c OC R -===①，212329a AC MA OM OC R m R ==++=+-+=②联立①②解得92a =，32c =，所以椭圆离心率1e 3c a ==选A法2：13R =，25R =，设轨道Ⅱ得长轴和焦距分别为2a 和2c25AM DM R ===，3OB OC ==则()2AB AM MB AM OB OM OM=-=--=+()2CD MD MC MD OC OM OM=-=-+=-3AB CD =，得：1OM =则6OA OM AM a c =+==+，3OC a c==-()2a c a c +=-，得：3a c =，故1e 3=，选A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BC 10．【答案】AD【解析】若1p =-，3q =，则13n n a a ++=，213n n a a +++=，两式相减可得2n n a a +=，所以{}n a 为周期2的周期数列11a =，22a =，则1022a a ==，A 正确；()101255315S a a =+=⨯=，B 错误若2p =，1q =，则()1121121n n n n a a a a ++=+⇒+=+，因为112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a +=，则21n n a =-，所以1010211023a =-=，C 错误()10111021210212203612S -=-=-=-，D 正确故选AD11．【答案】ACD【解析】易知11A AB A AD ≌△△，所以11A D A B =，设AC BD O = ，O 为BD 中点，则1AO BD ⊥，因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，所以BD ⊥平面11A ACC ，1A E ⊂平面11A ACC ，所以1A E BD ⊥，A正确；对于B ，因为1123A E AA AB AD =-++，所以211111112221110333223A E AA AA AB AD AA AA AB AA AD AA ⎛⎫⋅=-++⋅-+⋅+⋅=-++=≠ ⎪⎝⎭，所以1A E 与1AA 不垂直，即1A E 与1BB不垂直所以1A E 与平面11BDD B 不垂直，B 错误对于C ，11111BD BA AA A D AB AA AD =++=-++，所以()()()2222211111222BD AB AA AD ABAA ADAB AA AB AD AA AD=-++=++-⋅-⋅+⋅111132222222BD =-⨯-⨯+⨯=⇒=C 正确对于D ，选项A 中已经证明BD ⊥平面11A ACC ，所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角即为直线1BD 与BD 所成角的余角，BD AD AB =-，而1BD = ，()()111BD BD AD AB AB AA AD ⋅=-⋅-++=所以111cos ,2BD BD BD BD BD BD ⋅==⋅，所以直线1BD 与BD 所成角为π4所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π4，D 正确故选ACD法2：{}1,,AB AD AA为空间基底来解决问题由题意知：1112AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=1111111233A E AE AA AC CE AA AB AD AA AA AB AD AA =-=+-=++-=+- DB AB AD =-，则：2211122033A E DB AB AD AA AB AA AD ⋅=--⋅+⋅= 2111111121033A E BB A E AA AB AA AD AA AA ⋅=⋅=⋅+⋅-=≠ 故A 正确，B 错误；111BD AD AB AD AA AB =-=+-，则：1BD == ，C 正确；显然有BD AC ⊥，且1BD =又()11110BD AA AD AB AA AD AA AB AA ⋅=-⋅=⋅-⋅= 故1BD AA ⊥，从而易得：BD是平面11ACC A 的一个法向量()()1111111112222BD BD AD AA AB AD AB ⋅=+-⋅-=--= 设1BD 与平面11ACC A 所成角为θ，则1sin cos ,BD BD θ== ，D 正确；因此，选ACD ．12．【答案】ABD【解析】()11,A x y ，()22,B x y ，则1212121244y y k k x x y y ===-得：2121y y p =-=-，故直线AB 过焦点F ，选项AD 正确22AB p ≥=，故选项B 正确；设直线AB 的倾斜角为θ，则2112sin 2sin 2AOBp S θθ==≥△，选项C 错误；（或注意到当AB 为通径时，213224AOB p S ==<△，故选项C 错误）因此，选ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】2214x y +=（答案不唯一）14．【答案】5【解析】由抛物线的定义知，d PF =，所以()()2221205d PA PF PA AF -=-≤=-+-=当点P 位于射线AF 与抛物线交点时，取最大值515．【答案】3π【解析】法1：AB 在12O O 上的投影向量为12O O ，故212124AB O O O O ⋅== ()221122124416216AB AO O O O BO A O B =++=++-⋅=设直线AB 与直线12O O 所成角为θ，则12121cos 2AB O O AB O O θ⋅== ，即3πθ=法2：如图，12O A O C ∥，则260BO C ︒∠=，2BO C △为等边三角形，点A 在圆2O 上的射影为D ，则D 为2O C 中点，所以224223BD =-=，2AD =，在Rt ADB △中tan 3BDBAD AD∠==，则π3BAD ∠=即AB 与12O O 所成角为π3法3：以2O 为原点建系，()10,0,2O ，()0,2,2A ，()23,2,0B 故12121241cos ,242AB O O AB O O AB O O ⋅===⨯，即所成角为π3．16．【答案】59【解析】12k a k -=，()122log 211k k a k +⎡⎤=+=+⎣⎦故122k k n -≤<时，n a k =，共11222k k k ---=项其和为()()1121222k k k k k k --⋅=-⋅--⋅()()()()1021121021212021222121k k k k S k k k --=⋅--⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+-⋅--⋅=-⋅+6321321300k S S -==>又3263n ≤<时，6n a =，故60303S =，59297S =因此，所求正整数n 的最大值为59.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）因为E 为BD 中点，()2,0B ，()0,1D ，所以11,2E ⎛⎫⎪⎝⎭．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB CD ∥，由()1,1A --，()2,0B ，得13AB k =，所以13CD AB k k ==．由l CD ⊥知直线l 的斜率为3-，所以直线l 的方程为()1312y x -=--，即所求直线l 的方程为6270x y +-=．（2）因为四边形ABCD 为平行四边形，且()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ，设(),C m n ，由BC AD = 得212,m n -=⎧⎨=⎩解得()3,2C ，又由1BD BC k k ⋅=-得BC BD ⊥，且BC =，所以点C 为圆心，与直线BD 相切的圆的标准方程为()()22325x y -+-=．18．【解析】（1）令1n =得11a =因为()4211n n S n a =++（*n ∈N ），所以()114211n n S n a --=-+（2n ≥，*n ∈N ），两式相减得()()142121n n n a n a n a -=+--（2n ≥，*n ∈N ），即()()12321n n n a n a --=-．所以12123n n a n a n --=-（2n ≥，*n ∈N ），所以3212135211323n n a a a n a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-，即121n a n a =-，所以21n a n =-（2n ≥，*n ∈N ），又11a =，所以21n a n =-（*n ∈N ）．（2）由（1）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111111121335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19．【解析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，因为90BAC ∠=︒，所以AB ，AC ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系（如图），设1AA a =（0a >），AF BE λ==（02λ<<）又2AB AC ==，所以可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()10,0,A a ，()12,0,B a ，()10,2,C a ，()2,0,0E λ-，()0,,0F λ，所以()12,,B F a λ=-- ，()12,2,C E a λ=---，因为11B F C E ⊥，所以110B F C E ⋅= ，所以22420a λλ--+=，所以2a =，即该直三棱柱的高为2．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，有1AA ⊥平面AEF ，又90BAC ∠=︒，由（1）知12AA =，AE BE λ==（02λ<<），所以()111112333A AEF AEF V S AA λλ-=⋅=⋅-≤△，当且仅当1λ=时取“＝”即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥1A AEF -的体积最大．此时()1,0,0E ，()0,1,0F ，()10,0,2A ，所以()11,0,2A E =- ，()10,1,2A F =-，设()1,,n x y z =是平面1A EF 的一个法向量，则11110,0,A E n A F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20,x z y z -=⎧⎨-=⎩取1z =，得()12,2,1n = ，又平面11ACC A 的一个法向量为()21,0,0n =，所以12121222cos ,313n n n n n n ⋅===⨯⋅，因为平面1A EF 与平面11ACC A 的夹角θ为锐角，所以2cos 3θ=．20．【解折】（1）由题意2c =c ==，又因为2a b =，所以4a =，2b =，所以C 的标准方程为221164x y +=．（2）设直线l ：12y x m =+（0m ≠），()11,A x y ，()22,B x y ，()33,P x y ．将12y x m =+代入C ：221164x y +=中，化简整理得222280x mx m ++-=，于是有2122123240,2,28,m x x m x x m ⎧∆=->⎪+=-⎨⎪=-⎩所以12AB x =-===因为点O 关于l 的对称点为P ，所以333302,0001,222y x y x m -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩解得334,58.5x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即48,55P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为P 在C 上，所以2248551164m m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得22517m =．又因为点O 到直线l的距离d ==，所以由对称性得2OAB OAPB S S AB d ==⋅=四边形△22==第二问法2：设l：12y x m=+，OP：2y x=-，则(),2P x x-，0x≠=，0x≠，解得45mx=-，则48,55m mP⎛⎫- ⎪⎝⎭代入C：221612525m m+=，得：22517m=，则5OP==22222222804160y x mx mx mx y=+⎧⇒++-=⎨+-=⎩A Bx x-==A BAB x=-=故110111217S AB OP=⋅=．21．【解析】（1）将2,3n=代入11cosπn na a n+=++，得21a=，33a=，令2,21n k k=-，得2122k ka a+=+，221k ka a-=，所以21212k ka a+-=+，又11a=，从而()2112121ka k k-=+-=-，所以22121k ka a k-==-，从而,,1,.nn nan n⎧=⎨-⎩为奇数为偶数（2）由212121k kb a k--==-，又22b=，2223k kb b+=，所以{}2k b是以2为首项、3为公比的等比数列，所以1223kkb-=⋅，所以()()*1*2,21,23,2,nnn n k kbn k k-⎧=-∈⎪=⎨⎪⋅=∈⎩NN因为2212m mS S-=，所以221m mb S-=．因为()()21122113212422m m m mS b b b b b b b b b----=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()11223112131231mmm mm---+-=+=+--，所以1122331m m m--⋅=+-，即1231m m-=-当1m=时，1231m m-=-无解；当1m >时，因为()22211112230333mm mm m m m -+---++-=<，所以当且仅当2m =时，2113m m --取最大值1，即1231m m -=-的解为2m =．综上所述，满足题意的m 的值为2．第2问法2：（2）212121k k b a k --==-，2223k k b b +=，22b =，则2223k kb b +=故{}2n b 是首项为2，公比为3的等比数列，则1122323n n n b b --=⋅=⋅()()21321242m m m S b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()222133113m m m m ⋅-=+=+--2212m m S S -=，即()2222m m m S S b =-，即222m mS b =213143m m m -+-=⋅，即1231m m -=-令()2113n n f n --=，则()()2221212231333nn nn n n n n f n f n -+--+++-=-=1n =时，()()10f n f n +->，即()()12f f <2n ≥时，()()10f n f n +-<，即()()()234f f f >>>⋅⋅⋅()10f =，2n ≥时，()()21f n f <=故满足方程1231m m -=-的正整数m 只有2即使得2212m m S S -=成立的正整数m 为222．【解析】（1）因为()2,0F ，所以()2224a a ++=．所以21a =，所以圆O 的半径1r =．由题意知l 的斜率存在，设l ：()2y k x =-（0k ≠）．当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d r =，1=，解得33k =±由()222,0,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()22223440k x k x k --+=，即2210x x +-=，解得1D x =-，12E x =，所以D E DE x =-=（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，由()222,1,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()222234430k x k x k --++=，此时0k ≠，0∆>，21224303k x x k +=<-，解得203k <<，且21222212224124,3343154,33k x x k k k x x k k ⎧+==+⎪⎪--⎨+⎪==+⎪--⎩所以()1212514x x x x =+-，因为()11,0A -，()21,0A ，所以1AQ ：()2211y y x x =++，2A P ：()1111yy x x =--，联立1AQ ，2A P 方程，消去y 得()()()()()()2121121212121221112221111222x y k x x x x x x x x x y k x x x x x x ++-+--+===------+．所以()()121212121212211221125931223224443531221221444x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+----+--===---++---+-++，即131x x +=--，所以12x =．将12x =代入2A P 方程得()1121y y x -=-，即()111,221y S x ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭．因为11x <-，所以()()()()()2211121111313132310,214141441x x y x x x x -⎛⎫+⎡⎤-⎛⎫===+∈ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪---⎝⎭-⎣⎦⎝⎭所以()221111221y x ⎛⎫-⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，即直线1AQ ，2A P 的交点S 在圆O 内．法2：（1）2224a a ++=，得：21a =，故C ：2213y x -=()2,0F ，圆O 半径为1，设l ：2x my =+1=，得：23m =()22222311212003x my m y my y x =+⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩231D E y y m -=-，则243331D E DE y m =-==-；（2）证：设l ：2x my =+，33,,33m ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11,P x y ，()22,Q x y ()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩1221231m y y m -+=-，122931y y m =-，显然有()121234my y y y =-+()1212211212222y y x y x y my y y y ++=++=，21121222x y x y y y -=-()()()2212122112122112121211211311:1221321:11212A P y y y x y x y y y A Q y x x x x y x y y y y y y y A P y x y k x x ⎧⎧-⎪⎪++-=+===⎪⎪+⎪-++-⇒⎨⎨⎪⎪=-=-=-⎪⎪--⎪⎩⎩即211,22A P S k ⎛⎫-⎪⎝⎭，双曲线的渐近线斜率为2A P k <所以1OS =<，因此，点S 在圆O 内。
江苏高二高中数学期末考试带答案解析
江苏高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.若集合，则▲．2.若函数的最小正周期为，则▲．3.命题“若，则”的否命题为▲．4.函数的单调递增区间为_▲__．5.，则= ▲．6.将函数的图象向左平移1个单位，所得函数的解析式为▲．7.设的内角所对的边长分别为，则“”是“为锐角三角形”成立的▲条件（填充分不必要；必要不充分；充要；既不充分也不必要）．8.满足的锐角▲．9.若函数在处取得极值，则实数▲．10.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是▲．11.已知，且，则▲．12.设的内角所对的边长分别为，且则的值为__▲__．13.已知函数为奇函数，则的取值范围是▲．14.设函数，若有三个不同的根，则实数的取值范围是▲．二、解答题1.本小题满分14分）已知．（1）求的值；（2）求的值．2.（本小题满分14分）已知命题：方程有两个不相等的负实数根；命题：函数无零点．（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若或为真，且为假，求实数的值的集合．3.（本小题满分15分）已知函数，．（1）求的值；（2）证明；（3）若，，求的值．4.（本小题满分15分）如图，某市拟在道路AE的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段ABC，该曲线段为函数()，的图象，且图象的最高点为；赛道的中间部分为千米的水平跑道；赛道的后一部分为以O为圆心的一段圆弧．（1）求的值和角的值；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，如图示，矩形的一边在道路AE上，一个顶点在扇形半径OD上．记，求当“矩形草坪”的面积最大时的值．5.（本小题满分16分）已知f (x)、g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h (x) = m f(x)+ng(x)，那么称h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个函数.设f (x)=x2+ax，g(x)=x+b(R)，=2x2+3x-1，h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个二次函数. （1）设，若h (x)为偶函数，求；（2）设，若h (x)同时也是g(x)、l(x) 在R上生成的一个函数，求a+b的最小值；6.（本小题满分16分）已知函数（1）若函数在处的切线方程为，求的值；（2）任取，且，恒有，求的取值范围；（3）讨论方程的解的个数，并说明理由。
高中数学：2022-2023学年江苏省苏州市高二(下)期末数学试卷(含参考答案)
2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知M，N是全集U的非空子集，且N⊆∁U M，则（）A．N⊆M B．M⊆∁U N C．∁U M＝∁U N D．M⊆N2．（5分）已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（）A．13B．23C．1D．24．（5分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x，y，z（单位：本）．现了解到：①x＞y＞z＞0；②4z＞x+y，则这些数学专著至少有（）A．9本B．10本C．11本D．12本5．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）从x到x+Δx的平均变化率为f(x+Δx)−f(x)Δx=√x+Δx+√x−1x2+x⋅Δx，则f（x）的单调增区间是（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（2，+∞）6．（5分）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型y＝ae bx（其中e ＝2.71828⋯）拟合，设z＝lny，得到数据统计如下表：已知回归方程z=0.52x+1.44，则m的值约为（）A．1.96B．2C．6.9D．7.47．（5分）已知A，B为某随机试验的两个事件，A为事件A的对立事件．若P(A)=23，P(B)=58，P(AB)=12，则P(B|A)=（）A．38B．58C．14D．348．（5分）已知实数a，b，c满足a＝1.110，5b＝3a+4a，c＝e a﹣a，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省 高二数学下学期期末考试试题 文(含解析)苏教版
高二下学期期末考试文科数学试卷一、填空题1．函数()cos 2f x x =的最小正周期是 ． 210y ++=的倾斜角是 ．3．复数2ii -的虚部是 ．4．ABC ∆中，“6A π=”是“1sin 2A =”的 条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）． 5．幂函数()()f x xR αα=∈过点(，则()4f = ．6．)2lg 2lg 2lg5lg51++-= ．7．如果复数z 满足2z i -=，那么1+z 的最大值是 ．8．函数()ln xf x x =的单调递增区间是 ．9．圆()()22:112C x y -++=，过点()2,3的直线l 与圆相交于,A B 两点，90ACB ∠=,则直线l 的方程是 ．10．已知:q 不等式240x mx -+≥对x R ∈恒成立，若q ⌝为假，则实数m 的范围是 ． 11．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边BC 上的四等分点，则tan EAF ∠= ．C12．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，02)ϕ<π≤在R 上的部分图象如图所示，则()f x = ．13．已知函数y=f(x)(x∈(0，2))的图象是如图所示的圆C 的一段圆弧．现给出如下命题：①(1)0f '=；②()0f x '≥；③()f x '为减函数；④若()()0f a f b ''+=，则a+b=2． 其中所有正确命题的序号为 ．14．有n 个小球，将它们任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，再将其中一堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，如此下去，每次都任选一堆，将这堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，直到不能再分为止，则所有乘积的和为 ． 二、解答题15．已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}|||1B x x a =-<,U R =．（1）当3a =时，求A B ； （2）若U A C B ⊆，求实数a 的取值范围．16．已知,αβ均为锐角，且4cos 5α=，1tan()3αβ-=-． （1）求cos()αβ-的值； （2）求sin β的值．17．已知函数1()21xf x m =++，R m ∈． （1）若12m =-，求证：函数()f x 是R 上的奇函数；（2）若函数()f x 在区间(1,2)上没有零点，求实数m 的取值范围．18．已知ABC ∆中，M 是BC的中点，AM ，设内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c，且cos cos A C =（1）求角A 的大小； （2）若角,6B π=求ABC ∆的面积； （3）求ABC ∆面积的最大值．19．在矩形ABCD 中，以DA 所在直线为x 轴，以DA 中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点B 的坐标为(3,2)，E 、F 为AD 的两个三等分点，AC 和BF 交于点G ，BEG ∆的外接圆为⊙H ．（1）求证：EG BF ⊥； （2）求⊙H 的方程；（3）设点(0,)P b ，过点P 作直线与⊙H 交于M ，N 两点，若点M 恰好是线段PN 的中点，求实数b 的取值范围．20．已知函数),0,(ln )1(2)(2>∈∈--=*a R a N k x a x x f k 且（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若2014=k 时，关于x 的方程ax x f 2)(=有唯一解，求a 的值；（3）当2013=k 时，证明: 对一切),0(+∞∈x ，都有)21(2)(2ex e a x x f x ->-成立．参考答案一、填空题1．π解：函数()cos 2f x x =的最小正周期是2||T πω==π。
2022-2023学年全国高中高二下数学苏教版期末试卷(含解析)
2022-2023学年全国高二下数学期末试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 若，，则（ ）A.或B.C.D.2. 在平行六面休中，若，则等于（ ）A.B.C.D.3. 现有名队员，名老队员（男女）和名新队员（男女），从中选出男女队员参加辩论比赛．要求其中有且仅有名老队员，则不同的选法有（ ）A.种B.种C.种D.种4. 根据气象资料记载：一年中下雨天数的比例：威海为，淄博为，两地同时下雨为，假A ={x|−2x −3<0}x 2B ={x|x >1}(A)∩B =∁R {x|x >1x ≤−1}{x|1<x <3}{x|x >3}{x|x ≥3}ABCD −A'B'C'D'=x +2y +3z AC'−→−AB −→−BC −→−C'C −→−x +y +z 116765623732141312189101120%15%6%设某一天威海下雨，则这一天淄博也下雨的概率为（ ）A.B.C.D.5. 是的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6. 函数 的零点个数为 A.B.C.D.7. 设，，，则 A.B.C.D.8. 设函数，则不等式的解集是（ ）A.B.C.6%15%30%40%a >b >0≥a +b 2ab −−√f(x)={ln x −+2,x >0,x 22x +1,x ≤0()123a =3log 12b =()130.2c =213()a <b <cc <b <ac <a <bb <a <cf (x)=x lg −1−x 1+x 14−x 2−−−−−√f (x +1)≤f (−)1212[−1,0)[−3,+∞)(−4,−3]∪[−1,0)(−∞,−3]∪[−1,+∞)D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是（ ）附：若随机变量服从正态分布，则A.若红玫瑰的日销售量范围在 ）的概率是，则红玫瑰的日销售量的平均数约为B.白玫瑰的日销售量比红玫瑰的日销售量更集中C.红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售量更集中D.白玫瑰的日销售量范围在的概率约为10. 已知的二项展开式中二项式系数之和为，则下列结论正确的是( )A.二项展开式中各项系数之和为B.二项展开式中二项式系数最大的项为C.二项展开式中无常数项D.二项展开式中系数最大的项为11. 设{，，}是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ）A.，，可以为任意向量B.对空间任一向量，存在唯一有序实数组，使＝C.若，，则D.{，，}可以作为构成空间的一组基底12. 某学校共有个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择到每个餐厅概率相同)，则下列结论正确的是( )A.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为B.四人去了同一餐厅就餐的概率为C.四人中恰有人去了第一餐厅就餐的概率为(−∞,−3]∪[−1,+∞)N (μ,)302N (280,)402X N (μ,)σ2P (μ−σ<X <μ+σ)≈0.6826(μ−30,2800.6826250(280,320)0.3413(2x +)1x −√n 6472990x32240x 3(x,y,z)x +y +z⊥⊥⊥+2+2+26518112962252162D.四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设的分布列为又设，则等于________.14. 已知命题“，使得”是真命题，则实数的最大值是________.15. 已知函数，若，则实数的取值范围为________．16. 四棱锥中，底面，底面是正方形，且＝，＝，是的重心，则与面所成角的正弦值为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为”．问题：已知二项式，若________（填写条件前的序号），求展开式中二项式系数最大的项；求展开式中含项的系数．（注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分） 18. 流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：年龄患病人数求关于的线性回归方程；23ξξ1234P 16161313η=2ξ+5E (η)p :∀x ≥32x −1≥m m f(x)=x |x |+3xf(a)+f(−2)<0a 2a P −ABCD PD ⊥ABCD ABCD PD 1AB 3G △ABC PG PAB θ6422(1+3x)n (1)(2)x 2(x)23456(y)2222171410(1)y x (2)计算变量，的相关系数（计算结果精确到），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若，则，相关性很强；若，则，相关性一般；若，则，相关性较弱．）参考数据：参考公式：，，相关系数. 19. 第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法（修订草案）》中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取户居民进行调查，得到如下的列联表已知在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由；已知在试点前分类意识强的户居民中，有户自觉垃圾分类在年以上，现在从试点前分类意识强的户居民中，随机选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为，求的分布列及数学期望参考公式 ,其中.下面的临界值表仅供参考：20. 年“双十一”购物节之后，某网站对购物超过元的名购物者进行年龄调查，得到如下统计表：分组编号年龄分组购物人数（1）从这名购物者中随机抽取人，求该购物者的年龄不低于岁的概率；（2）从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取人进一步做调查问卷，再从这人中随机抽取人中奖求中奖的人中年龄在,内各有一人的概率．21. 如图，在三棱柱中，，，，分别是，的中点.(2)x y r 0.01|r|∈[0.75,1]x y |r|∈[0.3,0.75)x y |r|∈[0,0.25]x y ≈5.47730−−√==b ^(−)(−)∑i=1n x i x ¯¯¯y iy ¯¯¯(−∑i=1n x i x ¯¯¯)2−n ∑i=1n x i y i x ¯¯¯y ¯¯¯−n ∑i=1n x 2i x ¯¯¯2=−a ^y ¯¯¯b ^x ¯¯¯r =(−)(−)∑i=1n x i x ¯¯¯y i y ¯¯¯∑i=1n (−)x i x ¯¯¯2∑i=1n (−)y i y ¯¯¯2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√.502×2.5010.58.(1)2×299.5%(2)93129312X X .:=K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)n =a +b +c +d 20201000200001[20,30)55002[30,40)45003[40,50)3a 4[50,60)30005[60,70]4a20000150[50,70]7722[50,60)[60,70]ABC −A 1B 1C 1AB =AC M N D ，A 1B 1A 1C 1BC求证：；若三棱柱是直三棱柱，，求二面角的正弦值.22. 已知函数在区间上有两个不同的零点，.求实数的取值范围；求证：.(1)AD ⊥MN (2)ABC −A 1B 1C 1AB =A ，∠ABC =A 1π6M −AD −N f (x)=−ax (a ∈R)e x−1(0,2)x 1x 2(1)a (2)>x 1x 21a参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二下数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】左侧图片未给出解析．【解答】解：由于，，所以或，所以．故选．2.【答案】B【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】由题意，，结合条件，求出，，，即可得出结论．【解答】解：由题意，，∵，∴，，，∴．A ={x|−2x −3<0}x 2={x|−1<x <3}A =∁R {x|x ≤−1x ≥3}(A)∩B ={x|x ≥3}∁R D =++AC'−→−AB −→−BC −→−CC'−→−x y z =++AC'−→−AB −→−BC −→−CC'−→−=x +2y +3z AC'−→−AB −→−BC −→−C'C −→−x =1y =12z =−13x +y +z =1+−=121376故选：．3.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】分两类，即选出的队员为名女老队员和名女新队员，名新男队员，和选出的队员为名男老队员和名女新队员，然后求出各个的选法，由此即可求解．【解答】解：选出的队员为名女老队员和名女新队员，名新男队员，共有种选法，选出的队员为名男老队员和名女新队员，共有种选法，所以共有种选法.故选.4.【答案】C【考点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】根据题意，易得某一天威海下雨的概率为，淄博下雨的概率为，进而根据根据相互独立事件概率的乘法公式可得答案．【解答】解：根据题意，易得某一天威海下雨的概率为，淄博下雨的概率为，根据相互独立事件概率的乘法公式可得，两地同时下雨的概率为，故选．5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断B 11112111=3C 1312=6C 12C 233+6=9B 0.20.150.20.150.2×0.15=0.3=30%C基本不等式【解析】由基本不等式可知：“，是正数”能推得“”，但由“”不能推出“，是正数”，由充要条件的定义可得答案．【解答】解：由基本不等式可知：能推得，当且仅当时取到等号，但由不能推出，例如取，，显然有成立，此时不是正数．故是的充分不必要条件.故选.6.【答案】D【考点】根的存在性及根的个数判断函数的零点与方程根的关系【解析】本题考查函数零点个数问题思路：数形结合等价转哈为找图像交点个数问题【解答】解：对于函数的零点个数，可转化为方程的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数，如图．由图象可得两个函数有两个交点．又一次函数的根的个数是：.故函数的零点个数为.故选．a b ≥a +b 2ab −−√≥a +b 2ab −−√a b a >b >0≥a +b 2ab −−√a =b ≥a +b 2ab −−√a >b >0a =1b =0≥1+021×0−−−−√b a >b >0≥a +b 2ab −−√A f (x)=ln x −+2(x >0)x 2ln x =−2(x >0)x 22x +1=0(x ≤0)−12f(x)3D7.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】利用指数函数和对数函数的性质，结合中间值求解即可.【解答】解：∵，，，故.故选.8.【答案】C【考点】函数单调性的性质奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知是定义域为的偶函数，因为函数与在上单调递增，且，，所以在上单调递减，在上也是单调递减，所以在上单调递减，所以等价为且，解得或．所以不等式的解集是．a =3<1=0log 12log 120<<=1()130.2()130c =>=121320c >b >a A f (x)(−1,1)m(x)=x n (x)=lg =lg(−1)1+x 1−x 21−x (0,1)m(x)>0n (x)>0y =x lg =−m(x)n (x)1−x 1+x (0,1)h (x)=−14−x 2−−−−−√(0,1)f (x)(0,1)f (x +1)≤f (−)1212−1<x +1<112|x +1|≥|−|1212−4<x ≤−3−1≤x <0f (x +1)≤f (−)1212(−4,−3]∪[−1,0)C故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C,D【考点】正态分布的密度曲线【解析】由已知结合原则求得，判断A 正确；比较方差的大小判断C 正确，B 错误；再由原则求得白玫瑰日销售量范围在的概率判断D 正确．【解答】解：若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则，即．∴红玫瑰日销售量的平均数约为，故正确；∵红玫瑰日销售量的方差，白玫瑰日销售量的方差，红玫瑰日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差，则红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故正确，错误；白玫瑰日销售量范围在的概率，故正确．故选．10.【答案】A,D【考点】二项展开式的特定项与特定系数二项式定理的应用【解析】由二项式系数之和为，可得，得，所以二项式为，然后写出二项式展开式的通式公式，然后逐个分析判断．【解答】C σμσ（280，320）（μ−30，280）0.6826μ+30=280μ=250250A =900σ21=1600σ22C B （280，320）P =（μ＜X ＜μ+σ）=P （μ−σ＜X ＜μ+σ）≈0.341312D ACD 64=642n n =6(2x +)1x−√6=T r+1C r 6(2x)6−r()1x −√r 2x +)1n解：因为的二项展开式中二项式系数之和为，所以，得，所以二项式为，则二项式展开式的通式公式.对于，令，可得二项展开式中各项系数之和为，故正确；对于，第项的二项式系数最大，此时，则二项展开式中二项式系数最大的项为，故错误；对于，令，则，所以二项展开式中的常数项为，故错误；对于，令第项的系数最大，则解得，因为，所以时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为，故正确．故选．11.【答案】B,D【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的正交分解及其坐标表示【解析】根据{，，}是空间的一组基底，利用空间向量基本定理，对选项中的命题判断正误即可．【解答】对于，{，，}是空间的一组基底，则，，，不是任意向量；对于，根据空间向量的基本定理知，存在唯一有序实数组，，使＝；对于，由，，能得出与所确定的平面，但与，所以错误；对于，设（）（）（）＝＝；由向量相等的定义知，，解得＝＝＝，所以{，，，正确；12.【答案】A,C,D(2x +)1x−√n64=642nn =6(2x +)1x−√6==T r+1C r 6(2x)6−r()1x−√rC r 626−r x6−r32A x =1=72936AB 4r =3==160T 4C 3626−3x 6−×332x32B C 6−r =032r =4=60C 4626−4x 6−×432C D r {≥,C r 626−r C r−1626−(r−1)≥,C r 626−r C r−1626−(r+1)≤r ≤5373r ∈N ∗r =2==240T 3C 2624x 3x 3D AD A B (x y x +z C ⊥⊥C D x +y +z +(2x +y)x y z 0+2+5D【考点】相互独立事件的概率乘法公式条件概率与独立事件【解析】此题暂无解析【解答】解：四名同学每人随机选择一家餐厅就餐，一共有种等可能方法，对于，四人去了四个不同餐厅就餐有种等可能，则其概率为，故正确；对于，四人去了同一餐厅就餐有种等可能，则其概率为，故错误；对于，四人恰好有人去了第一餐厅就餐有种等可能，则其概率为，故正确；对于，因为选择到每个餐厅概率相同，则符合等概率二项分布~，则四人中去每个餐厅就餐的人数的期望是相等的，则，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】由随机变量的概率分布列先求出 ，再由数学期望的性质能求出的值．【解答】解：由随机变量的概率分布列，得：，64A A 46P ==A 4664518A B A 16P ==A 16641216B C 2C 2452P==C 24526425216C D X B(4,)16E(X)=4×=1623D ACD 323ξE (ξ)E (2ξ+5)ξE (ξ)=1×+2×+3×+4×=16161313176(2ξ+5)=2E (ξ)+5=2×+5=1732.故答案为：．14.【答案】【考点】全称命题与特称命题命题的真假判断与应用【解析】将原题等价为在恒成立，即可求解【解答】解：命题“，使得”是真命题，∴在恒成立，∵，∴.故答案为：.15.【答案】【考点】已知函数的单调性求参数问题奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】由题，可先用单调性的判断规则判断出单调性，利用奇偶性定义得出函数的奇偶性，由此将不等式转化为，解不等式即可得出所求．【解答】解：函数则 ，即函数为奇函数，且在上单调递增，若，则，E (2ξ+5)=2E (ξ)+5=2×+5=1763233235m ≤(2x −1)minx ∈[3,+∞)p :∀x ≥32x −1≥m m ≤2x −1x ∈[3,+∞)2x −1≤5m ≤55(−2,1)f(+2)+f(3x)<0x 2+2<−3x x 2f (x)=x|x|+3x ={−+3x,x <0，x 2+3x,x ≥0，x 2f (−x)=−f (x)f (x)R f (a)+f (−2)<0a 2f (−2)<−f (a)=f (−a)a 2−2<−a2所以，解得：.故答案为：．16.【答案】【考点】直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：若选填条件①，即展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为，则，即．若选填条件②，即展开式中前三项的二项式系数之和为，则，即．当时，展开式共项，∴二项式系数最大的项为第项，即．∴的展开式的通项公式为，令，则展开式中的系数为．【考点】二项式系数的性质二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：若选填条件①，即展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为，则，即．−2<−a a 2−2<a <1(−2,1)64==644n2n 2n n =622++=22C 0n C 1n C 2n n =6(1)n =674=⋅=540T 4C 36(3x)3x 3(2)(1+3x)6==T k+1C k 6(3x)k C k 63k x kk =2x 2=135C 263264==644n2n 2n n =6若选填条件②，即展开式中前三项的二项式系数之和为，则，即．当时，展开式共项，∴二项式系数最大的项为第项，即．∴的展开式的通项公式为，令，则展开式中的系数为．18.【答案】解：由题意得，，由公式求得，，∴.，∵，∴说明负相关.又，∴说明相关性很强.【考点】线性相关关系的判断求解线性回归方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，，由公式求得，，∴.22++=22C 0n C 1n C 2n n =6(1)n =674=⋅=540T 4C 36(3x)3x 3(2)(1+3x)6==T k+1C k 6(3x)k C k 63k x kk =2x 2=135C 2632(1)=4x ¯¯¯=17y¯¯¯==−3.2b ^(−)(−)∑i=1nx i x ¯¯¯y i y ¯¯¯(−∑i=1nx i x ¯¯¯)2=−b =17+3.2×4=29.8a^y ¯¯¯x¯¯¯=−3.2x +29.8y ^(2)r =(−)(−)∑i=1nx i x ¯¯¯y i y ¯¯¯∑i=1n (−)x i x ¯¯¯2∑i=1n(−)y i y ¯¯¯2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√==−3210×108−−−−−−−√−16330−−√≈−0.97r <0x,y |r|∈[0.75,1]x,y (1)=4x ¯¯¯=17y¯¯¯==−3.2b ^(−)(−)∑i=1nx i x ¯¯¯y i y ¯¯¯(−∑i=1n x i x ¯¯¯)2=−b =17+3.2×4=29.8a ^y ¯¯¯x¯¯¯=−3.2x +29.8y^−)(−)n，∵，∴说明负相关.又，∴说明相关性很强.19.【答案】解：根据在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为,可得分类意识强的有户，故可得 ×列联表如下：因为 的观测值，所以有的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．在从试点前分类意识强的户居民中，选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为,则 .故则的分布列为∴【考点】离散型随机变量的分布列及性质离散型随机变量的期望与方差(2)r =(−)(−)∑i=1nx i x ¯¯¯y i y ¯¯¯∑i=1n (−)x i x ¯¯¯2∑i=1n(−)y i y ¯¯¯2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√==−3210×108−−−−−−−√−16330−−√≈−0.97r <0x,y |r|∈[0.75,1]x,y (1)5010.582922K 2k==≈9.934≥7.87950(20×16−5×9)225×25×29×21605060999.5%(2)9312X X =0,1,2,3P(X =0)==,P(X =1)==,C 36C 39521C 26C 13C 391528P(X =2)==,P(X =3)==,C 16C 23C 39314C 33C 39184X X 0123P 5211528314184E(X)=0×+1×+2×+3×=1.5211528314184独立性检验【解析】此题暂无解析【解答】解：根据在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为,可得分类意识强的有户，故可得 ×列联表如下：因为 的观测值，所以有的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．在从试点前分类意识强的户居民中，选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为,则 .故则的分布列为∴20.【答案】∵参与调查的总人数为人，由表中数据可得＝，解得＝，∴从这名购物者中随机抽取人，该购物者的年龄不低于岁的概率为：＝＝＝．由（1）知这名购物者中，年龄在的有人，年龄在的有人，从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取人，则年龄在的抽取人，用，，，表示，年龄在的抽取人，用，，表示，在这人中，随机抽取人中奖的所有可能情况有种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，中奖的人中年龄在,内各有一人包含的基本事件有种，分别为：，，，，，，，，，，，，(1)5010.582922K 2k==≈9.934≥7.87950(20×16−5×9)225×25×29×21605060999.5%(2)9312X X =0,1,2,3P(X =0)==,P(X =1)==,C 36C 39521C 26C 13C 391528P(X =2)==,P(X =3)==,C 16C 23C 39314C 33C 39184X X 0123P 5211528314184E(X)=0×+1×+2×+3×=1.5211528314184200005500+4500+3a +3000+4a 20000a 10002000150P 10.3520000[50,60)3000[60,70]4000[50,70]7[60,70]4A B C D [50,60)3a b c 7221AB AC AD Aa Ab Ac BC BD Ba Bb Bc CD Ca Cb Cc Da Db Dc ab ac bc 2[50,60)[60,70]12Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc Da Db Dc∴从这人中随机抽取人中奖，中奖的人中年龄在,内各有一人的概率为＝．【考点】古典概型及其概率计算公式列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】（1）先求出＝，由此能求出从这名购物者中随机抽取人，该购物者的年龄不低于岁的概率．（2）这名购物者中，年龄在的有人，年龄在的有人，从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取人，则年龄在的抽取人，用，，，表示，年龄在的抽取人，用，，表示，在这人中，随机抽取人中奖，利用列举法能求出中奖的人中年龄在,内各有一人的概率．【解答】∵参与调查的总人数为人，由表中数据可得＝，解得＝，∴从这名购物者中随机抽取人，该购物者的年龄不低于岁的概率为：＝＝＝．由（1）知这名购物者中，年龄在的有人，年龄在的有人，从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取人，则年龄在的抽取人，用，，，表示，年龄在的抽取人，用，，表示，在这人中，随机抽取人中奖的所有可能情况有种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，中奖的人中年龄在,内各有一人包含的基本事件有种，分别为：，，，，，，，，，，，，∴从这人中随机抽取人中奖，中奖的人中年龄在,内各有一人的概率为＝．21.【答案】证明：∵是的中点，，∴.∵，分别是的中点，∴.在三棱柱中，，∴，∴.解：如图，设，作，722[50,60)[60,70]P a 1000200015020000[50,60)3000[60,70]4000[50,70]7[60,70]4A B C D [50,60)3a b c 722[50,60)[60,70]200005500+4500+3a +3000+4a 20000a 10002000150P 10.3520000[50,60)3000[60,70]4000[50,70]7[60,70]4A B C D [50,60)3a b c 7221AB AC AD Aa Ab Ac BC BD Ba Bb Bc CD Ca Cb Cc Da Db Dc ab ac bc 2[50,60)[60,70]12Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc Da Db Dc 722[50,60)[60,70]P (1)D BC AB =AC AD ⊥BC M N ，A 1B 1A 1C 1MN//B 1C 1ABC −A 1B 1C 1BC//B 1C 1MN//BC AD ⊥MN (2)A =2A 1AH//BC由知，∴.由已知得，，两两互相垂直，由得，.以为坐标原点，，，所在方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，，，，，，，，，∴，，.设平面的一个法向量为，则，，∴取，解得∴是平面的一个法向量，同理可求得平面的一个法向量.设二面角的平面角的大小为，则.∵，∴，∴二面角的正弦值是.【考点】用空间向量求平面间的夹角空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】证明：∵是的中点，，∴.(1)AD ⊥BC AD ⊥AH AH AD AA 1∠ABC =π6∠BAH =π6∠BAD =π3A AH AD AA 1x y z A −xyz A(0,0,0)(0,0,2)A 1D(0,1,0)B(,1,0)3–√(,1,2)B 13–√C(−,1,0)3–√(−,1,2)C 13–√M(,,2)3–√212N(−,,2)3–√212=(0,1,0)AD −→−=(,,2)AM −→−3–√212=(−,,2)AN −→−3–√212ADM =(x,y,z)n →⊥n →AD −→−⊥n →AM −→− y =0，x +y +2z =0，3–√212z =−3–√{x =4，y =0，=(4,0,−)n →3–√ADM ADN =(4,0,)m →3–√M −AD −N θ|cos θ|==|⋅|m →n →||||m →n →13190<θ<πsin θ==1−θcos 2−−−−−−−−√83–√19M −AD −N 83–√19(1)D BC AB =AC AD ⊥BC ，A B A C∵，分别是的中点，∴.在三棱柱中，，∴，∴.解：如图，设，作，由知，∴.由已知得，，两两互相垂直，由得，.以为坐标原点，，，所在方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，，，，，，，，，∴，，.设平面的一个法向量为，则，，∴取，解得∴是平面的一个法向量，同理可求得平面的一个法向量.设二面角的平面角的大小为，M N ，A 1B 1A 1C 1MN//B 1C 1ABC −A 1B 1C 1BC//B 1C 1MN//BC AD ⊥MN (2)A =2A 1AH//BC (1)AD ⊥BC AD ⊥AH AH AD AA 1∠ABC =π6∠BAH =π6∠BAD =π3A AH AD AA 1x y z A −xyz A(0,0,0)(0,0,2)A 1D(0,1,0)B(,1,0)3–√(,1,2)B 13–√C(−,1,0)3–√(−,1,2)C 13–√M(,,2)3–√212N(−,,2)3–√212=(0,1,0)AD −→−=(,,2)AM −→−3–√212=(−,,2)AN −→−3–√212ADM =(x,y,z)n →⊥n →AD −→−⊥n →AM −→− y =0，x +y +2z =0，3–√212z =−3–√{x =4，y =0，=(4,0,−)n →3–√ADM ADN =(4,0,)m →3–√M −AD −N θcos θ|==⋅|→→则.∵，∴，∴二面角的正弦值是.22.【答案】解：由，得，设，，即直线与曲线在上有个交点，又，当时，，单调递减，时，，单调递增．所以，而，当时，，所以．证明：，由，得，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增．因为，为的两个零点，不妨设，则，且取对数原不等式等价于，等价于，等价于，即证，因为，所以，所以，即证，即，即，，，设，，易知，|cos θ|==|⋅|m →n →||||m →n →13190<θ<πsin θ==1−θcos 2−−−−−−−−√83–√19M −AD −N 83–√19(1)f (x)=0a =e x−1x h(x)=e x−1x x ∈(0,2)y =a y =h (x)(0,2)2(x)=h ′(x −1)e x−1x 2x ∈(0,1)(x)<0h ′h (x)x ∈(1,2)(x)>0h ′h (x)(x)=h (1)=1h min h (2)=e 2x ∈(0,1)h (x)∈(1,+∞)a ∈(1,)e 2(2)(x)=−a f ′e x−1(x)=0f ′x =1+ln a x ∈(0,1+ln a)(x)<0f ′f (x)<0(0,1+ln a)x ∈(1+ln a,2)(x)>0f ′f (x)(1+ln a,2)x 1x 2f (x)<x 1x 20<<1+ln a <<2x 1x 2{=a ,e −1x 1x 1=a ,e −1x 2x 2{−1=ln a +ln ,x 1x 1−1=ln a +ln ,x 2x 2ln +ln >−ln a x 1x 2+−2−2ln a >−ln a x 1x 2+>2+ln a x 1x 2>1+1+ln a −=1−ln x 1x 2x 21+ln a <<2x 2ln(1+ln a)<ln <ln 2x 21−ln 2<1−ln <1−ln(1+ln a)<1x 20=f()<f(1−ln )x 1x 2−(1−ln )>0e −ln x 2e −1x 2x 2x 21−(1−ln )>0e −1x 2x 2+ln >1e 1−x 2x 2∈(1+ln a,2)x 2m(x)=+ln x e 1−x (x)=m ′−x e x−1xe x−1>x(x >1)e x−1(x)>0′m(x)(0,+∞)故，在上单调递增，故，故．所以．【考点】由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得，设，，即直线与曲线在上有个交点，又，当时，，单调递减，时，，单调递增．所以，而，当时，，所以．证明：，由，得，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增．因为，为的两个零点，不妨设，则，且取对数原不等式等价于，等价于，等价于，即证，因为，所以，所以，即证，即，即，，，设，，(x)>0m ′m(x)(0,+∞)m(x)>m(1+ln a)>m(1)=1ln +ln +ln a >0x 1x 2>x 1x 21a(1)f (x)=0a =e x−1x h(x)=e x−1x x ∈(0,2)y =a y =h (x)(0,2)2(x)=h ′(x −1)e x−1x 2x ∈(0,1)(x)<0h ′h (x)x ∈(1,2)(x)>0h ′h (x)(x)=h (1)=1h min h (2)=e 2x ∈(0,1)h (x)∈(1,+∞)a ∈(1,)e 2(2)(x)=−a f ′e x−1(x)=0f ′x =1+ln a x ∈(0,1+ln a)(x)<0f ′f (x)<0(0,1+ln a)x ∈(1+ln a,2)(x)>0f ′f (x)(1+ln a,2)x 1x 2f (x)<x 1x 20<<1+ln a <<2x 1x 2{=a ,e −1x 1x 1=a ,e −1x 2x 2{−1=ln a +ln ,x 1x 1−1=ln a +ln ,x 2x 2ln +ln >−ln a x 1x 2+−2−2ln a >−ln a x 1x 2+>2+ln a x 1x 2>1+1+ln a −=1−ln x 1x 2x 21+ln a <<2x 2ln(1+ln a)<ln <ln 2x 21−ln 2<1−ln <1−ln(1+ln a)<1x 20=f()<f(1−ln )x 1x 2−(1−ln )>0e −ln x 2e −1x 2x 2x 21−(1−ln )>0e −1x 2x 2+ln >1e 1−x 2x 2∈(1+ln a,2)x 2m(x)=+ln x e 1−x (x)=m ′−x e x−1xe x−1>x(x >1)x−1易知，故，在上单调递增，故，故．所以．>x(x >1)e x−1(x)>0m ′m(x)(0,+∞)m(x)>m(1+ln a)>m(1)=1ln +ln +ln a >0x 1x 2>x 1x 21a。
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东台市2007-2008学年度第一学期期末考试
高 二 数 学 试 题
（考试时间120分钟 卷面总分160分）
一、填空题（每题5分，计70分）
1．函数y =的定义域是 。
2．在△ABC 中，已知7,a b c ===，它的最小内角为 度。
3．在等差数列{}n a 中，已知151
,,566
n a d S =
=-=-，则n a = 。
4．命题“集合A 中至少有一个元素是集合B 的元素”的否定是。
5．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A （0，4）、B （-2，0）、C （2，0），则△ABC 内任一点M （x ，y ）所满足的条件为 （并排写）。
6．函数ln x
y x
=
的导数是 。
7．已知方程22
1||12x y m m
+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 。
8．与双曲线22
1916
x y -=有公共的渐近线，且经过点（-3，的双曲线方程为 。
9．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，则公比q = 。
10．（文）已知数列
1157
,,,221854
--，则可以写出它的一个通项公式n a = 。
（理）平面α的法向量为(,,)e A B C =，且经过点000(,,)P x y z ，则该平面可以用方程 来表示。
11．已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成的四边形的周长等于长轴长，则椭圆的离心率为 。
12．曲线3
2
32y x x x =-+的一条切线的斜率是-1，则切点坐标为 。
13．（文）已知点A 在抛物线2
2y x =上，且到焦点F 与到点B （2，1）的距离之和最小，则点A 的坐标为 。
（理）直线y x k =+与抛物线2
2y x =相交于点A 、B ，且OA ⊥OB ，则k = 。
14．已知半圆上一点到直径两端点距离之和的最大值为4，则该圆的半径为 。
二、解答题（共90分） 15．本题15分
把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，
（1）若∠ABC=120，如何锯断木条，才能使第三条边AC 最短？ （2）对于一般情况∠ABC>90，（1）中结论成立吗？说明理由。
16．本题14分
（文）已知函数3
2
()32f x x ax bx =-+在点1x =处有极小值-1，试确定a 、b 的值，并求出()f x 的单调区间。
（理）如图，已知△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直，AB=BC=BD ，∠CBA=∠DBC=120， 求（1）AD 与BC 所成的角；
（2）AD 和平面BCD 所成的角；
（3）二面角A-BD-C 的大小的余弦值。
17．本题15分
已知数列}{n a 满足212+++=n n n a a a ),3,2,1( =n ,它的前n 项和为n S ，且53=a ，
366=S ．（1）求n a ；（2）已知等比数列}{n b 满足a b b +=+121，4354a a b b +=+)1(-≠a ，设数列}{n n b a ⋅的前n 项和为n T ，求n T ．
18．本题15分
某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防，规定每人每天早晚八时各服一片，现知该药片每片含药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60％，在体内的残留量超过386毫克，就将产生副作用.
(１) 某人上午八时第一次服药，问到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留多少？
(２) 长期服用的人这种药会不会产生副作用？
19．本题16分
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22m ，要求通行车辆限高 4.5m ，隧道全长2.5km ，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。
（1）若最大拱高h 为6m ，则拱宽l 应设计为多少？ （2）若最大拱高h 不小于6m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使建造这个隧道的土方工程量最小（半椭圆面积公式为4
S l π=
h ）？
20．本题15分
已知函数x
a
x x f +
=)(的定义域为),0(∞+，且222)2(+=f . 设点P 是函数图象上的
任意一点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M 、． （1）求a 的值；
（2）问：||||PN PM ⋅是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；
（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值．
高二数学参考答案
一、填空题
1．[]2,6- 2．30 3．（文）既不充分又不必要（理）充分不必要
4． 集合A 中的所有元素都不是集合B 中的元素 5．0,240,240y x y x y >-+>+-<
6．21ln x y x -'= 7．3112
m m <-<<
或 8．221169y x -= 9．
10.（文）3-
≤m ≤3
（理）()000()()0A x x B y y C z z -+-+-=
12.()1,0 13.（文）1
(,1)2
（理）-2 14.
二、解答题 15、（1）设AB=x ,则BC=30-x
2
2
2
(30)2(30)cos120AC x x x x =+--- 5分
=2
(15)675x -+ 8分
∴当x=15时，第三边最短； 9分
（2）2
2
2
(30)2(30)cos AC x x x x α=+--- 12分 =（2+2cos α）2
(15)x -+900225(22cos )α-+ 14分
∴当x=15时，第三边最短；结论成立。
15分
16、（文）（1）2
()362f x x ax b '=-+ 3分
3620
1321a b a b -+=⎧⎨
-+=-⎩
6分
∴11
,32
a b =
=- 8分 （2）2
()321f x x x '=-- 9分 增区间[)1,+∞，1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦ 减区间1,13
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
14分
（理）（1）AD BC ⊥ 6分
（2）45 10分
（3）5
-
14分 （第一问中含建立坐标系2分）
17、（1）{}n a 为等差数列 2分 21n a n =- 5分 （2）
{}n b 为等比数列 ∴0a ≠ 6分
1
n n b a -= 9分 1
(21)n n n a b n a -=-
2
1(21)1
2(1)1n n n a n a T a a
--+=--- 15分 18、：（1）设人第n 次服药后，药在体内的残留量为n a 毫克.则
4.1220%)601(220,220121⨯=-⨯+==a a a ， 1分 2.343%)601(22023=-⨯+=a a ， 3分
（2）由12200.4(2)n n a a n -=+≥， 6分
111001100
0.4()(2)33
n n a a n --
=-≥可得 9分 ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
-∴31100n a 是一个以数311001-
a 为首项，0.4为公比的等比数列， 10分 04.0)3
1100(3110011<⋅-=-
∴-n n a a ， 13分 3863
1100
<<
∴n a ， ∴ 不会产生副作用． 15分
19、（1）设椭圆方程为22
221x y a b
+= 1分
点（11，4.5）及6b h ==代入得7
a =
5分 ∴拱宽33.3l m ≈ 7分
（2）由椭圆方程得22
2211 4.51a b
+=， 8分
因为222211 4.52114.5a b ab ⋅⋅+≥即99ab ≥ 13分
∴2,l a h b ==
99
4
2
2
S lh ab π
π
π=
=
≥
15分 20、（1）∵ 2
2
222)2(+
=+
=a f ，∴ 2=a . 3分 （2）设点P 的坐标为),
(00y x ，则有
002x x y +
=，00>x ，
0||PN x = 4分
由点到直线的距离公式可知：01
||PM x =
=， 7分 故有1||||=⋅PN PM ，即||||PN PM ⋅为定值，这个值为1. 8分 （3）由题意可设),(t t M ，可知),
0(0y N .
∵ PM 与直线x y =垂直，∴ 11-=⋅PM k ，即
100-=--t
x t
y ，解得 )(2
1
00y x t +=
，又0002x x y +=，∴ 0022x x t +=. ∴22
212
+=
∆x S OPM ， 11分 2
2
2120+
=
∆x S OPN ， 12分 ∴ 212)1
(2120
20+≥++=
+=∆∆x x S S S OPN OPM OMPN ， 15分 当且仅当10=x 时，等号成立．
∴ 此时四边形OMPN 面积有最小值21+． 16分。