使用精确搜索算法确定步长的最速下降法
最优化方法第二章_线搜索算法_最速下降法
f x1 , x2 c, c>0,
2
改写为：
x12 2c 1
2 x2
2c 2
2
1
二、最速下降法
x2
这是以
2c
1
和
2c
2
为半轴的椭圆
2c
2c
2
2
从下面的分析可见 两个特征值的相对
x1
大小决定最速下降法的收敛性。
（1）当 1 2 时，等值线变为圆
2 2
4 f x , 2
2 x1 2 x2 4 f ( x) , 2 x1 +4x2
4 d = f x , 2
0 0
=40 2 20 3 令 0= ' ( ) 80 20, 得 0 =1/4,
一
一维搜索
二 三 四
下 降 算 法
五
最速下降法 Newton法 共轭梯度法
多尺度法 （拟Newton法）
二、最速下降法 假设 f 连续可微，取 线搜索方向
k
d f ( x )
k
步长k 由精确一维搜索得到。 从而得到第 k+1次迭代点，即
f ( x k k d k ) min f ( x k d k )
(推论)在收敛定理的假设下，若f (x)为凸函数，则最速下降 法或在有限迭代步后达到最小点；或得到点列 x k ，它的任 何聚点都是 f (x)的全局最小点。
二、最速下降法
最速下降法特征：相邻两次迭代的方向互相垂直。
令
( ) f ( x d ), 利用精确一维搜索，可得
最速下降法
最速下降法姓名：沈东东 班级：研1404 学号：1415033005一、最速下降法的原理目标函数:(1)n f R R n →>在决策变量的当前点()k n x R ∈处的一阶Taylor 展开式为()()()()()()()k k k T f x f x g x δδοδ+=++式中，()()k n g x R ∈为f 在点()k x 处的梯度向量。
当扰动量n R δ∈充分小时，有()()()()()()k k k T f x f x g x δδ+≈+设新的迭代点为(1)()k k x x δ+=+，于是得到(1)()()()()()k k k T f x f x g x δ+-≈为了使(1)k x +处的目标函数值比()k x 处有所下降，需要满足()()0k T g x δ<此外，梯度向量()()k g x 和扰动量δ的内积可以表示为()()()()cos k T k g x g x δδθ=式中，θ为两向量之间的夹角。
若要使目标函数值的下降量尽可能大，可知δ的方向应该为梯度方向的负方向，即cos 1θ=-。
函数f 在点()k x 处的负梯度方向称为该点的最速下降方向。
在每次迭代时都取最速下降方向作为搜索方向的方法就称为最速下降法。
二、最速下降法的特点1.若()k x 不是极小点，则f 在点()k x 处的最速下降方向总是下降方向。
2.如果每次迭代时都用精确搜索方法得到最佳步长作为搜索步长，则寻优过程中相邻的最速下降方向是正交的。
3最速下降法产生的迭代点序列在一定条件下是线性收敛的，其收敛性质与极小点*x 处的Hesse 矩阵有关。
三、最速下降法的计算步骤最速下降法的计算步骤如下：步骤1：已知待求问题的目标函数()f x ，选择初始点(0)x ，并设定精度要求tol ，令:0k =。
步骤2：计算()f x 在点()k x 处的梯度向量()()k g x ，得到最速下降方向()()()k k d g x =-。
《速下降法》课件
03速下降法的优缺点 优点计算效率高速下降法是一种迭代算法，可以在短时间内 计算出近似解，特别适合大规模优化问题。
收敛速度快
由于速下降法采用负梯度方向作为搜索方向 ，因此收敛速度通常较快。
易于实现
速下降法原理简单，实现起来较为方便，不 需要复杂的数学工具。
缺点
01
02
03
局部最优解
速下降法容易陷入局部最 优解，而非全局最优解。
根据计算出的梯度，可以确定参数的更新方向，即沿着梯度的负方向进行更新 。
使用学习率调整更新步长
在更新参数时，需要使用学习率来调整更新步长，以确保算法的收敛速度和稳 定性。
迭代优化
迭代更新参数
在速下降法中，需要反复迭代更新参数，直到达到预设的迭代次数或满足一定的 收敛条件。
收敛性判断
在迭代过程中，需要判断算法是否已经收敛，以决定是否继续迭代或终止算法。
对初值敏感
速下降法的收敛结果对初 值选择较为敏感，不同的 初值可能导致不同的结果 。
对参数敏感
速下降法的收敛速度和结 果对参数选择较为敏感， 需要仔细调整。
04
速下降法的改进方法
线搜索技术
精确线搜索
通过精确计算目标函数在搜索方向上的下降量，以确定步长 ，保证每一步都能使目标函数下降。
近似线搜索
采用近似方法计算目标函数在搜索方向上的下降量，以减少 计算量，提高算法的效率。
在深度学习中的应用
神经网络的参数优化
速下降法可以用于训练深度神经网络，通过迭代优化损失函数， 快速找到最优参数。
深度学习模型的收敛速度
速下降法可以加速深度学习模型的收敛速度，提高训练效率。
深度学习模型的泛化能力
速下降法可以通过优化模型参数，提高深度学习模型的泛化能力。
机器学习算法系列最速下降法牛顿法拟牛顿法
机器学习算法系列最速下降法牛顿法拟牛顿法最速下降法、牛顿法和拟牛顿法都是常用的机器学习优化算法。
它们在求解函数最小化问题中起到关键作用。
1. 最速下降法（Gradient Descent）：最速下降法是一种基于函数梯度的迭代优化算法。
其核心思想是沿着负梯度方向以步长α更新参数，直到达到收敛条件。
最速下降法的步骤如下：1）选择初始参数值；2）计算目标函数的梯度；3）沿着负梯度方向更新参数；4）重复步骤2和步骤3，直到达到停止条件。
最速下降法的优点是简单易实现，但它可能会面临局部最小值的问题，收敛速度较慢。
2. 牛顿法（Newton's Method）：牛顿法是一种二阶优化算法，利用目标函数的一阶和二阶导数信息来更新参数。
它通过二阶导数矩阵（即Hessian矩阵）来指导方向和步长的选择。
牛顿法的步骤如下：1）选择初始参数值；2）计算目标函数的一阶和二阶导数；3）解线性方程（Hessian矩阵和梯度的乘积）；4）更新参数；5）重复步骤2-步骤4，直到达到停止条件。
牛顿法的优点是收敛速度快，但它需要计算二阶导数矩阵，计算量较大，且可能收敛到非全局最小值。
3. 拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）：拟牛顿法是一种基于牛顿法思想的近似优化算法。
与牛顿法不同，拟牛顿法通过正定矩阵来近似二阶导数矩阵，从而避免了计算复杂的二阶导数矩阵。
拟牛顿法最经典的算法是BFGS算法（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno），它通过近似更新逆Hessian矩阵的方式来求解优化问题。
拟牛顿法的步骤如下：1）选择初始参数值和初始逆Hessian矩阵的估计；2）计算目标函数的梯度；3）更新参数；4）更新逆Hessian矩阵的估计；5）重复步骤2-步骤4，直到达到停止条件。
拟牛顿法的优点是避免了计算二阶导数矩阵，计算复杂度相对较低，且具有较好的收敛性质。
总结来说，最速下降法适用于简单的优化问题，牛顿法适用于二次型问题，而拟牛顿法在保持收敛速度的同时减少了计算复杂度。
最速下降法
随着人工智能、模糊控制、模式识别、人工网络等新技术的应用和发展。
可以让它们与广义预测控制相结合，建立高精度、多模态的预测模型。
使广义预测控制在异常情况下可以稳定运行，推进广义预测控制的进一步发展。
2.2.1最速下降法最速下降法是无约束最优化中是比较有效的方法，它是以d}=一可(x})作为下降方向的算法。
其迭代格式为xx+i=xx一。
*Of (xk)上式中，一般通过精确线搜索准则求得步长因子。
*，当然也不排除可以利用非精确线搜索准则来求得步长因子。
*。
不管最速下降法采取何种线搜索准则，它均具有全局收敛性，但是这也不能直接就认为最速下降算法就是一个良好的优化算法。
在实际试验中，有很多优化问题利用最速下降法并不是下降的特快，反而下将的十分缓慢。
这是因为出现了锯齿现象:就是在计算过程中，最速下降法开始几步还是挺快的，但是当目标函数f (x)的等高线接近于一个球的时候，就出现了类似锯齿现象，前进十分缓慢，降低了算法的效能。
2.2.12.2.2牛顿法牛顿法也是无约束最优化问题中的一种经典算法，它是利用目标函数.f (x)的二次泰勒展开式，并将二次泰勒展开式进行极小化。
其迭代格式为x}+}=xA十d}(2-5)其中步长因子。
、=l} d、为02f (x} )d + Of (xA ) = 0的解。
当目标函数f(x)是正定二次函数的时候，牛顿法可以一步达到最优解;当目标函数f (x)是非二次函数的时候，牛顿法经过有限次迭代之后就不能确保求得目标函数f (x)的最优解。
我们知道目标函数f (x)在极小点附近是很接近于二次函数的，所以，假如初始点非常靠近无约束最优化问题((1-1)的最优解x的时候，并且}Z.f (x.)正定的时候，那么牛顿法就会有很快的收敛速度，而由此算法产生的点列也具有了超线性收敛速度，同时还在一定条件下具有二次收敛性;假如初始点与无约束最优化问题(1-1)的最优解x’相距比较远的时候，这时的}Z.}(x})就不一定是正定的了，也就存在了一个问题，那就是此时的牛顿方向就不一定是下降方向，有可能是上升方向，此时由此算法产生的点列可能也就不收敛于无约束最优化问题((1-1)的最优解了。
精确步长的最速下降法解决二次正定优化问题
ep=1e-5;xm=[-30,100]';
g1=subs(df,{x1,x2},{xm(1,1),xm(2,1)});
k=0;
while(norm(g1)>ep)
p=-g1;
xm=xm+p;
g1=subs(df,{x1,x2},{xm(1,1),xm(2,1)});
1）给出初始点 ，允许误差 ， ；
2）计算 ，若 ，Stop 令 ；
3）由一维搜索确定步长因子 ，使得
4）令 ， ，go to 2).
3、代码
syms x1 x2
f= 10.5*x1^2+4*x1*x2-7.5*x2^2+2*x1+3*x2;
v=[x1,x2];
df=jacobian(f,v);
df=df.';
k=k+1;
运算次数
234
最优解
X1=-8.3097x2=-0.9122
函数最小值
729.7610
5、计算结果的分析
这次试验用最速下降法可以使一些复杂难以计算的问题找到一种有效的解，通过计算机多次运算得出结果。使问题简单化。
6、计算中出现的问题，解决方法及体会
这一次的实验让我了解到了精确步长的最速下降法解决二次正定优化问题这个对于我们实际运用也很有用的算法，但是学到的知识，更在于能运用到实践生活中，希望我能将所学到的知识灵活运用。
最优化理论与算法实验报告(一)
实验名称
精确步长的最速下降法解决二次正定优化问题
实验时间
姓名
专业班级
学号
成绩
1、实验目的和内容
实验内容：用最速下降法求解
最速下降法和牛顿法
f ( x ) ≈ P( x ) = f x
由 P′( x ) = 0 ，即
( )
(k )
+ f ′ x (k ) x − x (k ) +
( )(
)
f ′′ x (k ) x − x (k ) 2
( )(
)
2
f ′ x (k ) +
( )
f ′′ x (k ) × 2 × x − x (k ) = 0 ， 2
T
3
[ 0, 2] itrcount= H= 4 0 g= -4 -2 t= x= 5/18 1 0 2
10/9 5/9 看看前后梯度是否正交,g0'*g1=-8.881784e-016 itrcount= 2 H= 4 0 0 2 g= 4/9 -8/9 t= 5/12 x= 25/27 25/27 看看前后梯度是否正交,g0'*g1=1.387779e-016 itrcount= 3 H= 4 0 0 2 g= -8/27 -4/27 t= 5/18 x= 245/243 235/243 看看前后梯度是否正交,g0'*g1=7.979728e-017
T
0 2
1 1 看看前后梯度是否正交,g0'*g1=0.000000e+000
例子 2： 试用最速下降法求下列函数的极小点，已知 ε = 0.1 ：
f ( x ) = 2( x1 − 1) + ( x2 − 1)
2
2
初始解： x = (0,0) 程序运行结果： gfun = [ 4*x1-4] [ 2*x2-2] Hfun = [ 4, 0]
P k = −∇f X k
( )
( )
在射线 X 上做直线搜索，以确定搜索步长 tk 。 满足条件：
最优化方法-最速下降法
计算步骤
设f (X )是可微函数，精度要求为
X f ( ) K 1
，
X 0 为初始点。
(1)计算梯度
f
(
X
)
k
，初始k=0；
(2)
Pk
f
(
X
)
k
(3)求解 k
min f ( X k Pk)
s.t. 0
设 k 是一维搜索的最优解；
(4)求下一个点
评价
由例题中可以发现两次迭代的搜索方向满足：
P P P P T 0, T 0,...,
01
12
即相邻两个搜索方向 PK 与 PK1 正交，这是最速下降
法的搜索方向的基本形质。因此，最速下降法的迭代
路线呈锯齿形，尤其是在极小点附近，锯齿现象尤为
严重，从而影响了迭代速度。
评价
锯齿现象
最优化技术
第三章 7节 最速下降法
主要内容
1原 理
2 计算步骤
3 例题分析 4评 价
原理
定义：用来求解无约束多元函数 min f（x）
极小化问题的一种迭代算法。
拓展：
最速下降法又称梯度法，是 1847 年由著名数学家
Cauchy 给出的，它是解析法中最古老的一种，其他解析 方法或是它的变形，或是受它的启发而得到的，因此它是 最优化方法的基础。
X
)
0
(1,1)T
3-最优步长
2
X P ( ) f 5
0
0 2
1
0
应用一维搜索技术，解得函数最小值点 0 =0.2
举例分析
4-下一搜索点
X1
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数学与计算科学学院
实验报告
实验项目名称使用精确搜索算法确定步长的最速下降法所属课程名称最优化方法
实验类型算法编程
实验日期201
班级
学号
姓名
成绩
令,k:=k+1
【实验结论】
最小值：0.0006096631611
最优解时：x1=0.0329218107
X2=-0.008230452675
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致.
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求.
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识.
4．实验环境：实验用的软、硬件环境.
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容.概括整个实验过程.
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作.对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明.对于创新性实验，还应注明其创新点、特色. 6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析.
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论.
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议.
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价.。