解析几何第四版习题答案第四章[1]

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

§ 4.1柱面

1、已知柱面的准线为：

??

?=+-+=-+++-0

225

)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程

??

?=+-+=-+++-0

225

)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：02

3562

2

=----+z y yz z y

此即为要求的柱面方程。

（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线?

??==c z y

x 的直线方程为：

???

??=-=-=?

??

?

??=+=+=z z t y y t

x x z

z t y y t

x x 0

00000 而0M 在准线上，所以

??

?=+--+=-++-+--0

2225

)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232

22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。

2

而0M 在准线上，所以：

?

?

?+=-++=-)2(2)2(2

2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******

22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解：过

又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为：

???

??-=-=-=?

??

?

??+=+=+=t z z t y y t

x x t

z z t y y t x x 1

11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：

013112)(52

2

2

=-++---++z y x zx yz xy z y x

此即为所求的圆柱面的方程。

4、已知柱面的准线为{})(),(),()(u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X S ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：

S v u Y x +=)(

与

??

?

??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。

证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则，

S v M M ='

即

1、求顶点在原点，准线为01,0122

=+-=+-z y z x 的锥面方程。 解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：

z

Z y

Y x

X ==

设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：

0)()(22

2

=-+--y z y z z x

即：02

22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。

2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12

2

2

=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。

解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：

2

21

13

3++=++=--z Z y Y x X

令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使

???

??++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(30

00 将它们代入准线方程，并消去t 得：

0444410267532

2

2

=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x

此为要求的锥面方程。 4、求

对锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与顶点O 的母线为：

z

Z y

Y x

X ==

令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去t 得：

0=++zx yz xy

此即为要求的圆锥面的方程。

5、求顶点为)4,2,1(，轴与平面022=++z y x 垂直，且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。 解：轴线的方程为：

1

42

22

1-=-=-z y x

过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为：

0)1()2(2)3(2=-+-+-z y x

即： 01122=-++z y x 该平面与轴的交点为)9

37,920,911(

，它与)1,2,3(的距离为：

3

116)

19

37(

)29

20(

)39

11(

2

2

2

=

-+-+-=d

∴要求圆锥面的准线为：

的径矢为{}0000,,z y x =γ，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：

0()(1)v u v γγγ=+-

与

000()(1)()(1)()(1)x vx u v x y vy u v y z vz u v z

=+-??

=+-??=+-?

式中，v u ,为参数。

证明：对锥面上任一点),,(z y x M ，令O M γ=

，它与顶点A 的连线交准线于((),(),()M x u y u z u '=，即O M ()u γ'=

。

//AM AM ' ，且0AM '≠

（顶点不在准线上） AM v AM '∴=

即00(())v u γγγγ-=-

亦即0()(1)v u v γγγ=+-

此为锥面的矢量式参数方程。

若将矢量式参数方程用分量表示，即：

000{,,}{(),(),()}(1){,,}x y z v x u y u z u v x y z =+-

??

?

??-+=-+=-+=∴000

)1()()1()()1()(z

v u vz z y v u vy y x v u vx x 此为锥面的坐标式参数方程，v u ,为参数。

§ 4.3旋转曲面

1、求下列旋转曲面的方程： （1）；111112x y z -+-=

=-绕1

112x y z -==-旋转 （2）；1211x

y

z -==-绕1112x y z -==-旋转 （3）

1

1

3

3

x y z -==-绕z 轴旋转；

（4）空间曲线2221

z x

x y ?=??+=??绕z 轴旋转。

解：（1）设1111(,,)M x y z 是母线

1111

1

2

x y z -+-=

=

-上任一点，过1M 的纬圆为：

111222222111

()()2()0(1)(1)(1)(2)

x x y y z z x y z x y z ---+-=??++-=++-?

因1M 在母线上， 11112

1

1

x y z -∴

=

=

- (3)

从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：

2

2

2

5523122424242446230x y z xy yz xz x y z ++--+-+-+=

此为所求的旋转面的方程。

（3）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过该点的纬圆为：

1

222222111

(1)(2)

z z x y z x y z =??++=++?

又1M 在母线上，所以：

11111

3

3

x y z -=

=

- （3）

从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：

2

2

2

9()10690x y z z +---=

此为所求的旋转面方程。

（4）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为： 1222222111

(1)(2)

z z x y z x y z =??++=++?

又1M 在母线上，所以

2

112

2

11(1)1

(2)

z x x y ?=??+=??

从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：

22

1x y +=

2

11101z z x z ==≤∴≤≤

即旋转面的方程为：22

1x y += (01)z ≤≤ 2、将直线

1

x y z βα

-==绕z 轴旋转，求这旋转面的方程，并就,αβ可能的值讨论这是什

么曲面？

解：先求旋转面的方程式：

z

任取母线上一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为： 1222222111

(1)(2)

z z x y z x y z =??++=++?

又

1

110

1

x y z βα

-=

=

（3）

从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：

2

2

2

2

2

0x y z αβ

+--=

此即为所求旋转面的方程。

当0,0αβ=≠时，旋转面为圆柱面（以z 轴为轴）；

当0,0αβ≠=时，旋转面为圆锥面（以z 轴为轴，顶点在原点）； 当,0αβ≠时，旋转面变为z 轴；

当0,0αβ=≠时，旋转面为单叶旋转双曲面。

3、已知曲线Γ的参数方程为(),(),()x x u y y u z z u ===，将曲线Γ绕z 轴旋转，求旋转曲面的参数方程。

解：如图，设((),(),())M x u y u z u 为Γ上任一点，则对经过M 的纬圆上任一点(,,)p x y z ，

§4.4椭球面

1、做出平面20x -=与椭球面

22

2

2

14

94

x y

z

+

+

=的交线的图形。

解：平面20x -=与椭球面

222

2

14

9

4

x y

z

+

+

=的交线为：

2

2

39

442

y z x ?+=???=? ，即 22

1273

4y z

?+=???? ——椭 图形为

y

2、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面4x =的距离的一半，试求此动点的轨迹。 解：设动点(,,)M x y z ，要求的轨迹为∑，则

条两两相互垂直的射线，分别交曲面123,,p p p ，设112233,,op r op r op r ===，试证：

2

2

2

2

2

2

1

2

3

111111r r r a

b

c

+

+

=

+

+

证明：利用上题结果，有

22

2

2

2

2

2

1(1,2,3)i

i

i

i

i r a

b

c

λμν=

+

+

=

其中,,i i i λμν是i op

的方向余弦。

若将(1,2,3)i op i =

所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则123,,λλλ是坐标矢量关于

新坐标系的方向余弦，从而2221231λλλ++=，同理，

2221231μμμ++=，222

1231ννν++= 所以， 222

222

222

1231231232

2

2

2

2

2

1232

2

2

111111()()()

11

1

r r r a

b

c

a

b

c

λλλμμμννν++=+++

+++

++=

+

+

即：2

2

2

2

2

2

1

2

3

111111r r r a

b

c

++

=

+

+

5、一直线分别交坐标面,,yoz zox xoy 于三点,,A B C ，当直线变动时，直线上的三定点

,,A B C 也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点p ，它与三点的距离分别为,,a b c ，当直线按照这样的规定（即保持,,A B C 分别在三坐标面上）变动，试求p 点的轨

迹。

解：设112233(0,,),(,0,),(,,0)A y z B x z C x y ，则知：

21213312

21

,x z z y x y z z z z =

=

--

z z

212112

21

(

,

,0)x z z y C z z z z ∴--

又设(,,)p x y z ，,,pA a pB b pC c ===

22221

122

2

2

2222

2

2

21211221

()()(1)()()(2)()()(3)

x y y z z a x x y z z b x z z y x y z c

z z z z ?

?+-+-

=??-++-=???-+-

+=--??

又p 在A B 的连线上，111

1

21

y y z z x x y z z --∴=

=

--（4）

从（1）——（4）消去1122,,,y z x z ，得到

即：222

2

2

(1)1a a b

c

λ-

=

-

2

2

2

2

2

2

2

a c b

c

b a

λ-=

?

-

λ∴=±

满足要求的平

2、给定方程

2

2

2

1(0)x

y

z

A B C A B C λ

λ

λ

+

+

=>>>---

试问当λ取异于,,A B C 的各种数值时，它表示怎样的曲面？

解：对方程

2

2

2

1(0)x

y

z

A B C A B C λ

λ

λ

+

+

=>>>--- （*）

1o、当A λ>时，（*）不表示任何实图形；

2o、当A B λ>>时，（*）表示双叶双曲面； 3o、当B C λ>>时，（*）表示单叶双曲面； 4o、当C λ<时，（*）表示椭球面。 3、已知单叶双曲面

2

2

2

14

9

4

x

y

z

+

-

=，试求平面的方程，使这平面平行于yo z 面（或xoz 面）

且与曲面的交线是一对相交直线。

解：设所求的平面为x k =，则该平面与单叶双曲面的交线为：

（*） 222

1494

x y z

x k ?+-=?

??=?

亦即 222

1944y z k

x k ?-=-?

??=?

为使交线（*）为二相交直线，则须：2

104

k

-=，即2k =±

所以，要求的平面方程为：2x =±

同理，平行于xo y 的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：3y =± 4、设动点与(4,0,0)的距离等于这点到平面1x =的距离的两倍，试求这动点的轨迹。 解： 2220241160x y x +--= 此即为要求的射影柱面方程。

6、设直线l 与m 为互不垂直的两条异面直线，C 是l 与m 的公垂线的中点，,A B 两点分别在直线l ，m 上滑动，且90ACB ∠= ，试证直线A B 的轨迹是一个单叶双曲面。 证明：以l ，m 的公垂线作为z 轴，C 作为坐标原点，再令x 轴与l ，m 的夹角均为α，公垂线的长为2c ，若设tg αλ=，则l 0:y x l z c λ+=??=? 0:y x m z c λ-=??=-?

令11(,,)A x y c ，22(,,)B x y c -11220,0y x y x λλ+=-=

又A C C B ⊥，所以：222222222

11221212()()(2)x y c x y c x x y y c +++++=-+-+

亦即 2

12120x x y y c +-

= （2）

又设(,,)M x y z 为A B 上任一点，则

c

c z y y y y x x x x 21

211

21--=

--=

-- (3)

从（1）——（3）中消去2211,,,y x y x ，得：

222222222)1()1(c z y x λλλλλ=+---

即：

1112

22

22

22

22=+

--

-c

z c

y

c

x λ

λλ (4)

l 不垂直m ，1≠∴λ

（4）表示单叶双曲面，即AB 的轨迹是一单叶双曲面。 7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为：

??

?

??===ctgu z v u b y v u a x sin sec cos sec 与 ??

?

??===u c z v b t g u

y v a t g u

x s e c s i n c o s 解为：

z b

y a

x 22

22

2=+

令确定a 与b

)6,2,1( 和)1,1,3

1

(-均在该曲面上。

∴有：

??????

?=+=+219112412222b a

b

a 从而

5

61,

5

3612

2

=

=

b

a

所以要求的椭圆抛物面的方程为：z y x 25

65

362

2

=+

即：z y x 53182

2=+

2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：

（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹；

（2）与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为a 2，夹角为α2。

解：（1）取定平面为xoy 面，过定点且垂直于xoy 面的直线作为z 轴，则定点的坐标设为

),0,0(a ，而定平面即为0=z ，设比值常数为c ，并令所求的轨迹为∑，则

点c z

a z y x z y x M =-++?

∑∈2

22)

(),,(

即02)1(22222=+--++a az z c y x

此为的方程。

（2）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取x 轴，使其与二异面直线的夹角相等，则二异面直线的方程为：

???==?+a z x tg y 0α 与 ??

?-==?-a

z x tg y 0

α 设所求的轨迹为∑，则

α

α

α

α

α

α

2

2

2

2

2

2

2

2

11

1

11

1

),,(tg tg y x x a z tg a z y

tg tg y x x a z tg a z y

z y x M +-+

-+

--=

++

++

+?

∑

∈

解：略。

5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成：

???

?

???

===2

21sin cos u z v bu y v au x 与 ??

?

??=-=+=uv z v u b y v u a x 2)()

( 式中的v u ,为参数。 解：对方程

???

?

???

===2

21sin cos u z v bu y v au x

消去参数v u ,得：

z b

y a

x 22

22

2=+

这正是椭圆抛物面的方程。

对方程

??

?

??=-=+=uv z v u b y v u a x 2)()( 消去参数v u ,得：

z b

y a

x 22

22

2=-

这正是双曲抛物面的方程。

§ 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线

1、 求下列直纹面的直母线族方程：

（1）0222=-+z y x （2）axy z = 解：（1）从原方程得：222y z x -=- 即：y y z x z x ?-=-+))((

亦即：?

?

?-=-=+?

=--=+y t z x ty

z x t z

x y y

z x )( 为了避免取极限，将上方程写成：

??

?-=-=+sy

t z x ty

z x s )()( （1） 若将原方程变形为：2

2

2x z

y -=-，则可得到： ?

?

?-=-=+ux z y v vx

z y u )()( （2） 若令)(2

1s t u -=

，)(2

1s t v +=

，则（2）便是（1）

∴原曲面的直母线族是（1），其中t s ,不全为零。 （2）原方程变形为：ay x z =

亦即：

t ay x

z ==

???==∴t

ay xt

z （1） 由

ax y

z =

得： ??

?==s

ax sy z （2）

（1）（2）即这原曲面的两组直母线族方程。 2、 求下列直线族所成的曲面（式中的λ为参数） （1）

1

1

2

λλ-=

-=

-z y x ； （2）??

?=--=++4

42442z y x z y x λλλλ

解：（1）原方程等价于???=-=-λ

λz y x 2

从此式中消去λ，得：y x z +=2 此即为直母线（1）所形成的曲面。 （2）从原方程中消去λ得：

14

16

2

2

2

=-+

z

y

x

此即为（2）的直母线族所形成的曲面。 3、在双曲抛物面

z y

x

=-

416

2

2

上，求平行于平面0423=-+z y x 的直母线。

解：双曲抛物面

z y

x

=-

4

16

2

2

的两族直母线为：

??????

?=-=+z y x u u y x )24(2

4 及 ??????

?=+=-z y x v v y x

)2

4(2

4 第一族直母线的方向矢量为：},1,2{u - 第二族直母线的方向矢量为：},1,2{v 据题意，要求的直母线应满足：

2

4232104232=?

=-+?=?=--?v v u u

要求的直母线方程为：

??????

?=-=+z y x y x

2412

4 及 ??????

?=+=-22

422

4z y x y x

4、试证单叶双曲面12

22

22

2=-

+

c

z b

y a

x 的任意一条直母线在xoy 面上的射影，一定是其腰圆

的切线。

证明：单叶双曲面的腰圆为??

?

??==+0122

22z b

y

a x 两直母线为：

??????

?+=--=+)1(1)1(b y v c

z a x b

y v c z

a x 它在xoy 面内的射影为 ： ??

?

??=-++=0)1(12z v v

b y v v a x

（2） 将（2）的第一式代入（1）的第一式得：

44)]1(1

[22

2

=+-++b

y v v b y v v

即：0)

1(

)1

(

2

])1(1[

2

2

2

2

22

=-+-+

+

v v

y v v

b y v

v b

上述方程的判别式为：

0)

1(

)1(4)1(

42

2

2

2

22

2

=-+

-

-=

?v v

v

v b

v v

b

∴ （2）与（1）相比，证毕。

5、求与两直线

1

12

3

6-=

=

-z y x 与

21

42

83

-+=

-=

z y x 相交，而且与平面0532=-+y x 平

行的直线的轨迹。

解：设动直线与二已知直线分别交于),,(),,,(111000z y x z y x ，则

1

12

3

6000-==-z y x ，21

42

83

111-+=-=z y x

又动直线与平面0532=-+y x 平行，所以，0)(3)(21010=-+-y y x x

对动直线上任一点),,(z y x M ，有：

100

100

10z z z z y y y y x x x x --=--=--

从（1）——（4）消去111000,,,,,z y x z y x ，得到：z y

x

44

9

2

2

=-

6、求与下列三条直线

???==z y x 1， ??

?-=-=z

y x 1 与524132+=+=--z y x

都共面的直线所构成的曲面。 解：动直线不可能同时平行于直线??

?==z

y x 1及直线??

?-=-=z

y x 1

不妨设其与第一条直线交于),,1(λλp

注),,1(λλp 与第二条直线的平面为：0)()1(=+-+z y x λ 过p 与直线

5

24

13

2+=+=--z y x 的平面为0)]()1(3[)](3)1[(=++----+z y x z y x λ

动直线的方程为：??

?=++----+=+-+0

)]()1(3[)](3)1[(0

)()1(z y x z y x z y x λλ

从上式中消去参数λ，得：1222=-+z y x 此为所要求的轨迹方程。

7、试证明经过单叶双曲面的一 直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。 证明：单叶双曲面

12

22

22

2=-

+

c

z b

y a

x 的一族直母线为：

??????

?-=-+=+)

1()()

1()(b

y u c

z a x v b y v c z a x

u 过该族中一条直母线的平面为：0)]1()([)]1()([=---++

-+b

y u c

z a

x v t b

y v c

z a

x u s

即：0)1()(

)1()(

=---

++

-+b

y tu c

z a x tv b y sv c

z a x su （1）

另一族直母线为：??????

?+=--=+)

1()()

1()(b

y m c

z a x n b y n c

z a x m 过该族中一条直母线的平面为：0)]1()([)]1()([=+--+-

-+b

y m c

z a

x n l b

y n c

z a

x m k

即0)1()(

)1()(

=+--+-

-+b

y ml c

z a x nl b y kn c

z a x km （2）

对照（1）、（2）得，只要令v l t n u k s m ====,,,，得（2）便是（1）了 亦即过u 族每一直母线的任一平面都经过v 族中的一条直母线，

同理，对v 族的直母线也有类似性质。

对双曲抛物面：z b

y a

x 22

22

2=-

其族直母线为：

??????

?=-=+z b

y a x u u b

y a x )(2 （*） 取其中的一条（即取定u ），显然平面u b

y a

x 2=+

通过直母线（*）

，但该平面不通过v 族直母线中的任何一条，这是因为： v 族直母线

??????

?=+=-z v b

y a x w b

y a x

)( 的方向矢量为}2,1,1{ab

v

a b 而

02201111≠=?+?+?ab ab v a b b a ∴平面

u b

y a x 2=+不能通过v 族中的任何直母线。

8、试求单叶双曲面

12

22

22

2=-

+

c

z b

y a

x 上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。

解：由于过单叶双曲面上每点仅有一条u 母线和一条v 母线，

所以它的同族直母线不能相交，设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为： ??????

?-=-+=+)

1()()

1()(b y w c z a x u b y u c z a x

w ??????

?+=--=+)

1()()

1()(b y t c

z a x v b y v c z a x t 将两方程化为标准式，得：

)

(2)

(2)

(2

2

2

2

w u

c uw

w

u

z y

w u

a uw

w

u

a x

+--

=

=

-+-

)

(2)

(2)

(2)

(222

2222

2t v c vt t v a z bvt

y t v a vt

v t a x +--

=

-=

-+-

由此求出二直线的交点坐标为：

ut

vw wt uv c z ut

vw ut vw b y ut

vw wt uv a x +-=

+-=

++=

)(,)(,)(

又二直线垂直，

0))((4))((2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=+++---∴t v w u c uvwt b t v w u a

2

2

2222222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

222222

22)

()

2)(()

(4)(2)())(()

()(2)())(()

()(2)()()()

()

()()(ut vw uvwt t u v w c b a ut vw uvwt

b uvwt

c b a t u w v b t u v w c a ut vw uvwt

c b a t u w v b c a t w v u ut vw uvwt

c b a t w v u c t u w v b t w v u a ut vw wt uv c ut vw b wt uv a z

y x +++-+=

++--++++-=

+--+++++=

+--++++++=

+-+-++=

++∴

2

2

2

c b a -+=

即222222c b a z y x -+=++

又交点在单叶双曲面上，所以：12

22

22

2=-

+

c

z b

y a

x

故交点的轨迹为??

?

??-+=++=-+c b a z y x c

z

b y a x 2222222

22221 9、试证明双曲抛物面

)(22

22

2b a z b

y a

x ≠=-

上的一两条直母线直交时，其交点必在一双曲

线上。

证明：由于过双曲抛物面上一点仅有一条u 族直母线，也仅有一条v 族直母线，所以同族的直母线不能相交。

设两相交的直母线为：

?

?

?=--=-+00

2abz uay ubx abu ay bx 其方向矢量为}2,,{u b a - 与 ?

??=-+=--00

2abz uay ubx abu ay bx 其方向矢量为}2,,{v b a

由二直线直交，所以：)(4

10

42

22

2a b uv uv b a -=

?=+- （*）

二直母线的交点坐标为： ??

?

??=-=+=uv z v u b y v u a x 2)()( 但由（*）式有：???

????-=-=-22

22222

22a b z a b b

y a x （* *）

（* *）为一双曲线方程，∴交点在一双曲线上。

10、已知空间两异面直线间的距离为a 2，夹角为α2，过这两条直线分别作平面，并使这

两平面相互垂直，求这样两平面交线的轨迹。

解：建立坐标系：取二异面直线的公垂线作为z 轴，公垂线的中点为原点O ，让x 轴与二异面直线夹角相等，则二直线方程为：

???==?+a z x tg y 0α 与 ??

?-==?-a

z x tg y 0

α 过这两直线的平面为：

0)()(:1=?++-x tg y u a z αλπ 0)()(:2=?-++x tg y m a z l απ

二平面的交线为：??

?=?-++=?++-0

)()(0)()(x tg y m a z l x tg y u a z ααλ （1）

21ππ⊥

0)1(2

=-+∴αλtg um l

（2）

当二异面直线不直交时，1≠αtg ，从（1）（2）中消去m l u ,,,λ，得：

1)

1()

1(2

22

2

2

2

2

2=+

--

-a

z tg a y

ctg a x

αα ——单叶双曲面

此为要求的轨迹方程。

当二异面直线直交时，则1=αtg ，此时，（1）（2）变为：

??

?=-++=++-0

)()(0

)()(x y m a z l x y u a z λ )1(' 0=l λ )2('

当0=λ时，)1('为??

?=-++=+0

)()(0

x y m a z l x y

它的轨迹为平面0=+x y 。

当0=l 时，)1('为?

??=-=++-00

)()(x y x y u a z λ

它的轨迹为平面0=-x y

从而当二异面直交时，动直线（1）的轨迹为二平面：

0=+x y 与 0=-x y