理科数学广州二模2012
2012年广州二模试题及答案(word整理版)
广东省广州市2012届高三毕业班4月综合测试（二）语文本试卷共8页，24小题，满分150分。
考试用时l50分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、本大题4小题，每题3分，共12分。
1．下列词语中加点的字，读音全都正确的一组是A．狡黠．(xiá) 盥．洗(huàn) 肖．像(xiào) 铩．羽而归(shā)B．木讷．(nà) 收讫．(qì) 塞．责(sâ) 栉．风沐雨(zhì)C．桎梏．(kù) 整饬．(chì) 辟．邪(bì) 岿．然不动(guī)D．哂．笑(shěn) 聒．噪(guō) 挑．灯(tiǎo) 怏．怏不乐（yàng）2．依次填入下列句中横线处的词语，最恰当的一组是①各级政府机关要按照国务院的决策，大力推进资源节约和循环利用工作，进一步传播节约理念，促进全社会转变生产方式和消费方式。
②美国罔顾钓鱼岛是中国固有领土的历史事实，抛出“《日美安保条约》适用于钓鱼岛”的言论，这一言论彻底暴露了其霸权主义的本质。
最新2012广东省高考数学模拟试题2
2012届广东省高考数学模拟试题〔理科〕本试卷共4页，21小题，总分值150分。
考试用时120分钟。
参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．已知a ∈、b 、c R ，则命题“假设a>b,则ac>bc 恒成立”的否认是 A ，假设a ≤b,则ac>bc 恒成立 B, 假设a ≤b,则ac ≤bc 恒成立 C 假设a>b,则ac>bc 恒成立 D,假设a>b,则ac>bc 恒成立2，设a,b 为两条直线，βα，为两个平面，以下四个命题，正确的命题是〔 〕A,假设a,b 与α所成的角相等，则a ∥b B,假设a ∥，αb ∥β，α∥β则a ∥b C,假设βα⊂⊂b a ，，a ∥b 则α∥β D,假设a ⊥α,b ⊥β,α⊥β则a ⊥b ３．数列}{n a 的通项公式是)(11+∈++=N n n n a n ，假设前n 项和为10，则项数n为〔 〕A ，121B ，120C ，99D ，114，如果一个空间几何体的正视图和侧视图均为等边三角形，俯视图为一个半径为3的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为〔 〕A ，π3B ，π3C ，π39 D,π33 5．函数1log 1log )(22+-=x x x f 假设1)2()(21=+x f x f (其中21,x x 均大于2)，则)(21x x f 的最小值 ( ) A, 53 B, 32 C,54 D,455-6,假设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-0001x y x y x ，则yx z 23+=的最大值为〔 〕A,9 B,1 C, 3 D,07，设函数2()(21)||1f x x a x =+++的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围〔 〕。
2012年广州二模理科数学(word版含答案)
试卷类型：B2012年广州二模 数 学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题。
每小题5分．满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知i 为虚数单位，复数1z a i =+，22z i =-，且12|z ||z |=，则实数a 的值为 A ．2 B ．-2 C ．2或-2 D ．±2或02．设集合A={(x ，y)|2x+y=6}，B={(x ，y)|3x+2y=4}，满足C ⊆(A B)的集合C 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 3．已知双曲线221x m y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是 A ． 4 B ．14C ．14-D ．-44．已知等差数列{n a }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为l5，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为A ．10B ．20C ．30D ．405．已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是A ．m l ⊥，l ∥α，l ∥βB ．m l ⊥，αβ =l ，m α⊂C ．m ∥l ，m α⊥，l β⊥D ．m ∥l ，l β⊥，m α⊂ 6．下列说法正确的是 A ．函数1f (x )x=在其定义域上是减函数B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“210x R ,x x ∃∈++>”的否定是“210x R ,x x ∀∈++<”D ．给定命题p 、q ，若p ∧q 是真命题，则⌝p 是假命题 7．阅读图l 的程序框图，该程序运行后输出的k 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．88．已知实数a ，b 满足22430a b a +-+=，函数1f (x)a s i n xbc o s x =++的最大值记为(a ,b )ϕ，则(a ,b )ϕ的最小值为A ．1B ．2C ．31+D ．3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)9．某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收人家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为l00的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是 . 10．(12x x-)6展开式中的常数项是 (用数字作答).11．已知不等式2|x |->1的解集与不等式20x ax b ++>的解集相等，则a b +的值为 。
2012年广东高考理科数学(全解析)逐题详解(纯净WORD)
正视图侧视图俯视图第6题图.2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.2012年12月26日星期三1．设i 为虚数单位,则复数56i i-=( )A.65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i --【解析】D ；()5656566511i ii i i i--+===----,故选D ．2．设集合{1,23,4,5,6}U =，,{1,2,4}M =,则M U =ð( ) A ．U B ．{1,3,5} C ．{3,5,6} D ．{2,4,6}【解析】C ；送分题,直接考察补集的概念,{}M 3,5,6U =ð,故选C ．3．若向量(2,3)B A = ,(4,7)C A = ,则BC =( )A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--【解析】A ；考察向量的运算法则,()()()2,34,72,4BC BA AC =+=+--=--,故选A ． 4．下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A ．ln(2)y x =+B ．y =C ．1(2xy =D ．1y x x=+【解析】A ；函数ln(2)y x =+的图像可由函数ln y x =的图像向左平移2个单位得到,显然满足题意.5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为( ) A ．12 B ．11 C ．3 D ．1- 【解析】B ；画出可行域如图所示,将“三角”区域的角点代入比较可知,当3,2x y ==时,3z x y =+取得最大值为11. 6．某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π 【解析】C ；三视图对应的实物图为“上部分为圆锥,下部分为圆柱”的几何体,易得圆锥的高为4,所以2213435573V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=.7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为0的概率是( ) A ．49B ．13C ．29D ．198．对任意两个非零的平面向量,αβ,定义αβαβββ⋅=⋅ .若平面向量,a b 满足0a b ≥> ,a 与b的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b和b a都在集合|2nn Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b = ( ) A ．12B ．1C ．32D ．52【解析】C ；因为||cos cos 1||b a b b a a a a θθ⋅==≤<⋅,且a b和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a = ,||12cos ||b a θ= ,所以2||cos 2cos 2||a ab b θθ==<,且22cos 1a b θ=> ,所以12a b <<,故有32a b = ,选C .【另解】C ；1||cos 2||k a a b b θ==,2||cos 2||k b b a a θ==,两式相乘得212cos 4k k θ=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12,k k 均为正整数,于是cos 122θ<=<,所以1224k k <<,所以123k k =,而0a b ≥> ,所以123,1k k ==,于是32a b = ,选C .二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________． 【解析】1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦；“|2|||x x +-”的几何意义为“点x 到2-和0的距离之差”,画出数轴,先找出临界“|2|||1x x +-=的解为12x =-”,然后可得解集为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.10．261()x x+的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）【解析】20；通项()621231661rrrr rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1233r -=得 3r =,此时对应系数为3620C =.11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =【解析】21n -；设公差为()0d d >,依题意可得()21214d d +=+-, 解得2d =(2-舍去),所以21n a n =-.12．曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________． 【解析】21y x =+；求导得231y x '=-,1|2x y ='=,由直线的点斜式 方程得()321y x -=-,整理得21y x =+.13．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为____．【解析】8；第一次循环得2,4,2s i k ===;第二次循环得4s =,6,3i k ==;第三次循环得第17题图B.第15题图AC PO8,8,4s i k ===,此时不满足8i <,输出8s =.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中x O y 中,曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎩⎨⎧==t y t x （t 为参数）和⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2cos 2y x (θ为参数),则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 .【解析】()1,1；对应的普通方程分别为y =222x y +=,联立得交点坐标为()1,1.15. (几何证明选做题)如图,圆O 的半径为1,,,A B C 是圆上三点,且满足︒=∠30ABC ,过点A 作圆O 的切线与O C 的延长线交 于点P ,则PA = ．,OA AC ,易得60,30AOC CAP ∠=︒∠=︒,在 直角三角形O A P 中,根据题中的数量关系易得PA =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()2cos()6f x x πω=+(其中R x ∈>,0ω)的最小正周期为π10．(Ⅰ) 求ω的值；(Ⅱ) 设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56(535f πα+=-,516(5)617f πβ-=,求cos()αβ+的值．【解析】(Ⅰ)由210ππω=得15ω=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知1()2cos()56f x x π=+,由56516(5,(535617f f ππαβ+=--=得3sin 5α=,8cos 17β=.又,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以4cos 5α=,15sin 17β=,所以324513cos()cos cos sin sin 858585αβαβαβ+=-=-=-17．（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所 示,其中成绩分组区间是:[)[)40,50,50,60,[)[)60,70,70,80,[)[]80,90,90,100.(Ⅰ) 求图中x 的值;(Ⅱ) 从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望． 【解析】(Ⅰ) 由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯= 解得0.018x =.(Ⅱ)成绩不低于80分的学生人数有()500.0180.0061012⨯+⨯=人. 成绩在90分以上（含90分）的人数有500.006103⨯⨯=人.P ABCDE第18题图随机变量ξ的可能取值为0,1,2,且 ()292126011C P Cξ===,()11392129122C C P Cξ===,()232121222C P Cξ===,所以ξ的分布列为ξ的数学期望0121122222E ξ=⨯+⨯+⨯=. 18．（本小题满分13分）如图所示,在四棱锥P A B C D -中,底面A B C D 为矩形,P A ⊥平面A B C D ,点E 在线段P C上,P C ⊥平面BD E ．(Ⅰ) 证明:B D ⊥平面PAC ；(Ⅱ) 若1PA =,2AD =,求二面角B P C A --的正切值．【解析】(Ⅰ)因为P A ⊥平面A B C D ,BD ⊂平面A B C D , 所以PA BD ⊥,又P C ⊥平面BD E ,BD ⊂平面BD E ,所以PC BD ⊥,因为PA PC P = ,所以B D ⊥平面PAC .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知B D ⊥平面PAC ,所以B D A C ⊥,又底面A B C D 为矩形,从而底面A B C D 为正方形,设AC BD O = ,连结O E ,则,,OE PC BO PC ⊥⊥所以B E O ∠为二面角B P C A --的平面角, 在R t P A C ∆中,由等面积法可得112233PA AC O E PC ⋅=⋅==,又BO =在R t B O E ∆中,tan 3B O B E O O E∠==所以二面角B P C A --的正切值为3．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,*n N ∈,且123,5,a a a +成等差数列.(Ⅰ) 求1a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211132na a a ++⋅⋅⋅+<.【解析】(Ⅰ)因为11221n n n S a ++=-+,当1n =时,1223S a =-,即2123a a -=,当2n =时,2327S a =-,即321227a a a --=,又()21325a a a +=+联立上述三个式子可得11a =. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知25a =当2n ≥时,由11221n n n S a ++=-+得1221n n n S a -=-+,两式相减整理得132nn n a a +=-,即11312222n n n n a a ++=⋅+,即11311222n n n n a a ++⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭,又2121311222a a ⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭, 所以12nn a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为首项为113122a +=,公比为32的等比数列, 所以133312222n nnn a -⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以32n n n a =-. (Ⅲ) 当1n =时,11312a =<显然成立,当2n =时,121113152a a +=+<显然成立.当3n ≥时,32(12)2n n n n n a =-=+-12211122222n n n nn n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+-122111222n n n n nC C C --=+⋅+⋅++⋅ 2222(1)n C n n >⋅=-又因为2522(21)a =>⨯⨯-,所以2(1),2n a n n n >-≥, 所以11111()2(1)21na n n n n<=---所以12311111111111131(1)1(1)2234122na a a a n nn++++<+-+-++-=+-<- .20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221(0)x y a b ab+=>>的离心率e =，且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程(Ⅱ) 在椭圆C 上,是否存在点(,)M m n ,使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点,A B ,且O AB ∆的面积最大？若存在,求出点M 的坐标及对应的O AB ∆的面积；若不存在,请说明理由.【解析】(Ⅰ)依题意2223c e c a a==⇒=,所以222213b ac a =-=,设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点,则22221x y ab+=,所以222222(1)3y x a a y b=-=-,所以||PQ ===当1y =-时,||PQ3=,可得a =所以1,b c ==故椭圆C 的方程为2213xy +=.(Ⅱ)[韦达定理法]因为(,)M m n 在椭圆C 上,所以2213mn +=,2233m n =-,设11(,)A x y ,22(,)B x y由2211m x ny x y +=⎧⎨+=⎩，得2222()210m n x m x n +-+-=所以22222222244()(1)4(1)8(1)0m m n n n m n n n ∆=-+-=+-=->,可得21n <， 由韦达定理得12222m x x m n+=+,212221nx x m n-=+所以2212121212222111()1mx mx m x x m x x my y n n n m n---++-=⋅==+所以||AB ====设原点O 到直线A B 的距离为h ,则h =所以1||2O AB S AB h ∆=⋅=设221t m n=+,由201n <<,得22232(1,3)m n n +=-∈,所以,1(,1)3t ∈O AB S ∆==1(,1)3t ∈所以,当12t =时,OAB S ∆面积最大,且最大为12,此时，点M 的坐标为22⎛ ⎪⎝⎭或22⎛- ⎪⎝⎭或,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或22⎛-- ⎪⎝⎭. [垂径定理切入]因为点()n m P ,在椭圆C 上运动，所以2213mn +=,2233m n =-,圆心O 到直线1:=+ny mx l 的距离d =直线l 被圆O 所截的弦长为||AB ==所以1||2O AB S AB d ∆=⋅=,接下来做法同上.21．（本小题满分14分）设1a <，集合2{0},{23(1)60}A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>,D A B = . (Ⅰ) 求集合D (用区间表示）；(Ⅱ) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．【解析】(Ⅰ)由方程223(1)60x a x a -++=得判别式29(1)483(3)(31)a a a a ∆=+-=--因为1a <,所以30a -< 当113a <<时,0∆<,此时B R =,所以()0,D A ==+∞； 当13a =时,0∆=,此时{|1}B x x =≠,所以(0,1)(1,)D =+∞ ；当13a <时,0∆>,设方程223(1)60x a x a -++=的两根为12,x x 且12x x <,则 14x =,24x =,12{|}B x x x x x =<>或当103a <<时,123(1)02x x a +=+>,1230x x a =>,所以120,0x x >>此时,12(,)(,)D x x x =+∞)44=+∞当0a ≤时,1230x x a =≤,所以120,0x x ≤>此时,2(,))4D x =+∞=+∞.综上,1(0,),133(1)3(1)1(0,(),0443),04a a a D a a ⎧+∞<<⎪⎪⎪+-++=+∞<≤⎨⎪⎪+∞≤⎪⎩(Ⅱ) 2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--,1a <所以函数()f x 在区间[,1]a 上为减函数,在区间(,]a -∞和[1,)+∞上为增函数 当113a <<时,因为()0,D =+∞,所以()f x 在D 内的极值点为,1a ； 当13a =时,(0,1)(1,)D =+∞ ,所以()f x 在D 内有极大值点13a =；当103a <<时,)44D =+∞由103a <<,很容易得到144a <<<（可以用作差法，也可以用分析法）,所以()f x 在D 内有极大值点a ； 当0a ≤时,)4D =+∞由0a ≤,14>,此时()f x 在,内没有极值点.综上,当113a <<时,极值点为,1a ；当103a <≤时,极值点为a ；当0a ≤时,无极值点.。
广州市2012届高三年级调研测试答案(理科数学)
广州市2012届高三年级调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．10 10．5911．9 12．1-13. 14．1 15三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）因为3cos 5ADC ∠=，所以4sin 5ADC ∠==．…………………………………………………………2分 因为5sin 13BAD ∠=，所以12cos 13BAD ∠==．…………………………………………………………4分 因为ABD ADC BAD ∠=∠-∠，所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠∠-∠∠ ………………………………6分 412353351351365=⨯-⨯=．…………………………………………………………8分 （2）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin BD ADBAD ABD =∠∠，………………………………10分所以533sin 132533sin 65AD BAD BD ABD⨯⨯∠===∠．……………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区数量为24个．…………………………………………………………………………………2分 设这个社区能进入第二轮评比为事件A ，则()P A =24125025=． 所以这个社区能进入第二轮评比的概率为1225．……………………………………………………4分 （2）由表可知“居民素质”得分有1分、2分、3分、4分、5分，其对应的社区个数分别为()4a +个、()4b +个、个、个、9个．…………………………………………………………6分……………………………………8分因为“居民素质”得分的均值（数学期望）为，所以501675095501545015350425041=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯b a ．…………………………………10分 即25a b +=．因为社区总数为个，所以4750a b ++=．解得，．…………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：根据题意，在中，2==a AC ，2==CO AO ，所以，所以CO AO ⊥.………………………………………………………2分 因为是正方形ABCD 的对角线，所以．………………………………………………………………………………………3分 因为，所以.………………………………………………………………………………4分（2）解法1：由（1）知，CO OD ⊥，如图，以O 为原点，OC ，OD 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系O xyz -，…………………………………………………………5分则有()0,0,0O ，()D ，)C，()0,B ．设()00,0,A x z ()00x <，则()00,0,OA x z =，()OD =．………………………………6分 又设面ABD 的法向量为()111,,x y z =n ，则0,0.OA OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即010110,0.x x z z +=⎧⎪= 所以10y =，令10x z =，则10z x =-． 所以()00,0,z x =-n ．………………………8分 因为平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)=m ，且二面角A BD C --的大小为120，………………………………………………………………9分 所以1cos ,cos1202==m n ，得20203x z =． 因为2=OA ，所以22020=+z x ．解得26,2200=-=z x．所以,0,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………………10分 设平面ABC 的法向量为()222,,x y z =l，因为()26,2,,2,2BA BC ⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭，则0,0.BA BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ll ，即222220,0.x z ⎧+=⎪⎨+=令21x =，则3,122=-=z y ．所以(1,=-l ．…………………………………………………………………………………12分设二面角的平面角为θ，所以cos cos ,θ====l m ．……………………………………………13分 所以tan 3θ=． 14分解法2：折叠后在△ABD 中，BD AO ⊥，在△BCD 中，BD CO ⊥．……………………………5分 所以AOC ∠是二面角A BD C --的平面角，即120AOC ∠=．………………………………………6分 在△AOC 中，2==CO AO ，所以AC =．………………………………………………………………………………………7分如图，过点A 作CO 的垂线交CO 延长线于点H ， 因为BD CO ⊥，BD AO ⊥，且CO AO O =，所以BD ⊥平面AOC ．………………………………………………………………………………8分 因为AH ⊂平面AOC ，所以BD AH ⊥．又CO AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ．……………………………………9分 过点作A 作AK BC ⊥，垂足为K ，连接HK ，因为BC AH ⊥，AK AH A =，所以BC ⊥平面AHK ．…………………………………10分 因为HK ⊂平面AHK ，所以BC HK ⊥．所以AKH ∠为二面角A BC D --的平面角．……………………………………………………11分 在△AOH 中，60AOH ∠=，AO =AH =2OH =，所以CH CO OH =+==12分 在Rt △CHK 中，45HCK ∠=，所以232==CH HK ………………………………………13分 在Rt △AHK 中，tan AKH ∠=362326==KH AH ．所以二面角的正切值为314分 19．（本小题满分14分）（1）由题设知，2A ⎛⎫⎪⎭，)1F ，……………………………………………1分由112OF AF +=0，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-22222222a a a a ．……………………………………3分 解得62=a ．所以椭圆M 的方程为126:22=+y x M ．…………………………………………………………4分 （2）方法1：设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ，则()()-⋅-=⋅ ………………………………………………………………6分()()NF NP NF NP =--⋅-……………………………………………………………7分2221NP NF NP =-=-．………………………………………………………………8分从而求⋅的最大值转化为求2的最大值．………………………………………………9分 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00,y x P ，…………………………………………………10分所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………11分因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x NP ．……………………………12分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，2取得最大值12．……………………………13分所以⋅的最大值为11．………………………………………………………………………14分方法2：设点112200(,),(,),(,)E x y F x y P x y ， 因为,E F 的中点坐标为(0,2)，所以2121,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ ………………………………………………6分所以10201020()()()()PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--……………………………………………7分 10101010()()()(4)x x x x y y y y =---+---222201011044x x y y y y =-+-+-22220001114(4)x y y x y y =+--+-．…………………………………………………9分因为点E 在圆N 上，所以2211(2)1x y +-=，即2211143x y y +-=-．………………………10分因为点P 在椭圆M 上，所以2200162x y +=，即220063x y =-．…………………………………11分所以PE PF ⋅200249y y =--+202(1)11y =-++．……………………………………………12分因为0[y ∈，所以当01y =-时，()min11PE PF⋅=．………………………………14分方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，………………………………6分由⎩⎨⎧=-++=1)2(222y x kx y ，解得112+±=k x ．………………………………………………………7分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………8分所以002PE x y ⎛⎫=-+-⎪⎭，00,2PF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭……………………………………………………9分 所以11)1(21)2(1)2(11202020222022++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x ． ……………………………………………………10分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，⋅取得最大值11．…………………………11分②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为0x =， 由22(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1y =或3y =．不妨设，()0,3E ，()0,1F ．………………………………………………………………………12分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．所以()00,3PE x y =--，()00,1PF x y =--． 所以2220000432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++．因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，⋅取得最大值11．…………………………13分综上可知，⋅的最大值为11．………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）方法1：假设存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =． ①……………………………………1分由11a =，23a =，且112n n n a a a +-=+，得35a =，411a =．所以1213b a a λλ=+=+，23253b a a λλ=+=+，343115b a a λλ=+=+，………………2分 所以()()()2533115λλλ+=++，解得1λ=或2λ=-．…………………………………………………………………………………3分 当1λ=时，1n n n b a a +=+，11n n n b a a --=+，且1214b a a =+=，有()1111122n n n n n n n n n n n a a a b a ab a a a a -+---+++===++()2n ≥．………………………………………………4分 当2λ=-时，12n n n b a a +=-，112n n n b a a --=-，且12121b a a =-=， 有()11111222122n n nn n n n n n n n a a a b a a b a a a a -+---+--===---()2n ≥．…………………………………………5分 所以存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列．当1λ=时，数列{}n b 为首项是4、公比是2的等比数列；当2λ=-时，数列{}n b 为首项是1、公比是1-的等比数列．……………………………………6分 方法2：假设存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列， 设1nn b q b -=()2n ≥，……………………………………………………………………………………1分 即()11n n n n a a q a a λλ+-+=+，………………………………………………………………………2分 即()11n n n a q a q a λλ+-=-+．………………………………………………………………………3分与已知112n n n a a a +-=+比较，令1,2.q q λλ-=⎧⎨=⎩………………………………………………………4分 解得1λ=或2λ=-．…………………………………………………………………………………5分 所以存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列．当1λ=时，数列{}n b 为首项是4、公比是2的等比数列；当2λ=-时，数列{}n b 为首项是1、公比是1-的等比数列．……………………………………6分（2）解法1：由（1）知111422n n n n a a -+++=⨯=()1n ≥，……………………………………7分当n 为偶数时，()()()()1234561n n n S a a a a a a a a -=++++++++…………………………8分2462222n =++++…………………………………………………………9分()22414124143nn +⎛⎫- ⎪⎝⎭==--．…………………………………………………10分 当n 为奇数时，()()()123451n n n S a a a a a a a -=+++++++………………………………11分351222n =++++…………………………………………………………12分()1228141125143n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=--．……………………………………………13分 故数列{}n a 的前n 项和()()22124,3125,3n n n n S n ++⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数，为奇数.………………………………………14分注：若将上述和式合并，即得()()21112432nn n S +⎡⎤--=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．解法2：由（1）知()1121n n n a a ++-=-()1n ≥，…………………………………………………7分所以()11111112222n n n n n n n a a +++++-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭()1n ≥，……………………………………………………8分当2n ≥时，31121212132122222222n n n n nn a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111122111111226212n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=+--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭．因为11122a =也适合上式，……………………………………………………………………………10分 所以2n n a =11111262n -⎡⎤⎛⎫+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1n ≥．所以()11213nn n a +⎡⎤=+-⎣⎦．…………………………………………………………………………11分 则()()()()()()12323411222211113nn n S +⎡⎤=+++++-+-+-++-⎣⎦，………………12分()()()()()111412131211nn ⎡⎤----⎢⎥=+⎢⎥---⎢⎥⎣⎦……………………………………………………………13分()()21112432nn +⎡⎤--=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．…………………………………………………………………14分解法3：由（1）可知，()111142,211.n n n n n n a a a a -+-+⎧+=⨯⎪⎨-=⨯-⎪⎩…………………………………………………7分 所以()11213nn n a +⎡⎤=+-⎣⎦．…………………………………………………………………………8分则()()()()()()()()12345112121212121213n n nn n S -+⎡⎤=-+++-+++++-++-⎣⎦，……9分当n 为偶数时，()2345112222223n n n S +=++++++………………………………………10分()()241211243123nn +-=⨯=--．……………………………………………11分当n 为奇数时，()23451122222213n n n S +⎡⎤=++++++-⎣⎦………………………………12分()()2412111253123nn +⎡⎤-⎢⎥=⨯-=--⎢⎥⎣⎦．………………………………………13分故数列{}n a 的前n 项和()()22124,3125,3n n n n S n ++⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数，为奇数.………………………………………14分注：若将上述和式合并，即得()()21112432nn n S +⎡⎤--=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．21．（本小题满分14分）解：（1）22()2221af x x x a ax '=+--+()()222144221x ax a x a ax ⎡⎤+--+⎣⎦=+．……………1分 因为2x =为()f x 的极值点，所以()20f '=．…………………………………………………2分即22041aa a -=+，解得0a =．……………………………………………………………………3分又当0=a 时，()(2)f x x x '=-，从而2()x f x =为的极值点成立．……………………………4分（2）因为()f x 在区间[)3,+∞上为增函数，所以()()()2221442021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦'=≥+在区间[)3,+∞上恒成立．…………………5分①当0=a 时，()(2)0f x x x '=-≥在[3,)+∞上恒成立，所以()[3,)f x +∞在上为增函数，故0=a符合题意．………………………………………………………………………………………………6分 ②当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必须有10ax +>2对3x ≥恒成立，故只能0a >， 所以222(14)(42)0[3,)ax a x a x +--+≥∈+∞对上恒成立．…………………………………7分令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为114x a=-，……………………………8分因为0a >所以1114a -<，从而()0[3,)g x ≥+∞在上恒成立，只要(3)0g ≥即可， 因为()3g =24610a a -++≥，a ≤≤．………………………………………………………………………9分因为0a >，所以0a <≤．综上所述，a 的取值范围为30,4⎡⎢⎣⎦．………………………………………………………10分 （3）若12a =-时，方程3(1)(1)+3xb f x x --=可化为，x b x x x =-+--)1()1(ln 2． 问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0,+∞上有解，即求函数32ln )(x x x x x g -+=的值域．…………………………………………………………11分 以下给出两种求函数()g x 值域的方法：方法1：因为()()2ln g x x x x x =+-，令2()ln (0)h x x x xx =+->，则xx x x x x h )1)(12(211)(-+=-+=' ，…………………………………………………………12分 所以当01,()0x h x '<<>时，从而)1,0()(在x h 上为增函数，当0)(,1<'>x h x 时，从而),1()(+∞在x h 上为减函数，…………………………………………13分 因此()(1)0h x h ≤=． 而0x >，故()0b x h x =⋅≤，因此当1x =时，b 取得最大值0．…………………………………………………………………14分方法2：因为()()2ln g x x x x x =+-，所以2321ln )(x x x x g -++='．设2()ln 123p x x x x =++-，则21621()26x x p x x x x--'=+-=-．当106x +<<时，()0p x '>，所以()p x 在⎛ ⎝⎭上单调递增；当16x +>时，()0p x '<，所以()p x 在16⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；因为()10p =，故必有106p ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，又22441233210p e e e e ⎛⎫=-++-<-< ⎪⎝⎭，因此必存在实数0211,6x e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭使得0'()0g x =，00,()0x x g x '∴<<<当时，所以()0()0,g x x 在上单调递减； 当0)(,10>'<<x g x x 时，所以()0(),1g x x 在上单调递增； 当()1,'()0,()1,x g x g x ><+∞时所以在上单调递减；又因为)41(ln )(ln ln )(232+≤-+=-+=x x x x x x x x x x x g ，当10,ln 04x x →+<时，则()0g x <，又(1)0g =． 因此当1x =时，b 取得最大值0. …………………………………………………………………14分。
2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)(理科数学)
3 3 3 3 (C4 C3 C3 4 3 3) A3 42 6 252
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题， 每小题5分，满分30分。
9.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积 为 .
2 2 2 2 2
3
2
1 4 3 V (2 2) 3 3 3
2
2
10.已知2 ( kx 1)dx 4, 则实数k的取值范围为
2
2
.
2
2 1 1 2 kx x 1 (2k 2) k 1 1 (kx 1)dx 2 2 3 k 1 2 3 2
2
k 1 4,
。
a1 1, a2 5 1 4, a3 12 1 4 7, a4 22 1 4 7 10
3 2 1 k 3， k2 2 3
2 实数k的取值范围是 ， 2 3
11.已知幂函数y ( m 5m 7) x
2
m2 6
在区间(0, )上单调
递增，则实数m的值为
.
m 5m 7 1, m 5m 6 0,(m 2)(m 3) 0
a 1 1 a 1 2
1 x 2
a 1 1
2 a1
13.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在 沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来 表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类， 如图2中的实心点个数1， 5， 12， 22，…,被称为五角形数，其 中第1个五角形数记作a1 =1, 第2个五角形数记作a2 =5, 第3个 五角形数记作a3 =12, 第4个五角形数记作a4 =22, 规律继续下去，则a5 , 若an 145, 则n , 若按此
2012年广州市普通高中毕业班理科数学综合测试(一)
试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2012.3本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12nx x x x n+++= . 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．22．已知全集U =R ，函数y =A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合B ，则集合()U A B = ðA ．()2,1--B ．(]2,1--C ．(),2-∞-D ．()1,-+∞ 3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为 A ．3 B ．6 C ．12D ．244．已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定5．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．8D ．67．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．238．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为 A ．252 B ．216 C ．72D ．42二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分（一）必做题（9～13题） 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．10．已知()211d 4kx x +⎰2≤≤，则实数k 的取值范围为 ．11．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为 ．12．已知集合{}1A x x =≤≤2，{}1B x x a =-≤，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为 ．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．512122图2图1 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）设3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17．（本小题满分12分）如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求a 的值； （2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）．（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，PD =．（1）证明△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．图4 甲组 乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 6 图5PACD图319．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()252123n n n b a n n +=++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu rg ≤15，求2212S S -的取值范围．21．（本小题满分14分）设函数()e xf x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++L （*n ∈N ）． （1）证明：()f x 1()g x ≥；（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（3）证明：()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （*n ∈N ）．2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．9 10．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．3 12．[]1,2 13．35，10 14． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分 tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==-………………………………………………………………………4分（2）解：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………5分()tan α=+π……………………………………………………………………6分tan 2α==．……………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分 因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以cos α=，sin α=10分 所以cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+ ………………………………………………………11分⎛=+= ⎝⎭．……………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，……………………………1分 解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……………………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==.所以随机变量X 随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分 6817164==.…………………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥．……………………10分因为AB BC ==4=AC，所以BE ==3分 因为PD ⊥AC ，所以△PCD为直角三角形． 因为PD =，3CD =，所以PC ===4分连接BD ，在Rt△BDE 中，因为BE =，1DE =， 所以BD ===5分因为PD ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ． 在Rt △PBD 中，因为PD =，BD， 所以PB ===．…………………………………………………6分在PBC ∆中，因为BC =PB =PC =所以222BC PB PC +=．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥， 所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC=，所以AC BE ⊥． 因为AB BC ==4=AC，所以BE ==3分连接BD ，在Rt△BDE 中，因为90BED ∠=o，BE =，1DE =，所以BD ===4分在△BCD 中，因为3CD =，BC =，BD ，所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．……………………………………………………………5分因为PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC PD ⊥．…………………………………………………………………………………………6分 因为BD PD D = ，所以BC ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分由（1）知，△ABC 的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=．…………………………………………9分 BPACDE因为PD =，所以13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯133=⨯=10分 由（1）知PBC ∆为直角三角形，BC，PB =所以△PBC的面积11322PBC S BC PB ∆=⨯⨯==．……………………………………11分 因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，即133AH ⨯⨯=所以AH =．……………………………………………………………12分 在Rt △PAD中，因为PD =，1AD =，所以2AP ===．………………………………………………………13分因为3sin 2AH APH AP ∠=== 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分 解法2：过点D 作DM AP ∥，设DM PC M = ，则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PD PB P = ，所以BC ⊥平面PBD ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD ．过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，则DN ⊥平面PBC ．所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分 在Rt△PAD 中，因为PD =，1AD =， 所以2AP ===．………………………………………………………11分因为DM AP ∥，所以DM CD AP CA =，即324DM =，所以32DM =．………………………………12分 由（1）知BD =，PB=PD ，所以PD BD DN PB ⨯===13分 BP A CDMN因为2sin 32DN DMN DE ∠===所以直线AP 与平面PBC14分 解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，……………………………………8分 在△PCG中，PB BG BC === 所以90CPG ∠=o，即CP PG ⊥．在△PAC中，因为PC =2PA =，4AC =， 所以222PA PC AC +=， 所以CP PA ⊥． 因为PA PG P =I ，所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分 过点A 作AK PG ⊥于点K ， 因为AK ⊂平面PAG ， 所以CP AK ⊥． 因为PG CP P =I ，所以AK ⊥平面PCG ．所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分 由（1）知，BC PB ⊥， 所以PG PC ==．在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，所以2AG BE ==12分 在△PAG 中，2PA =，AG =PG =所以222PA AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分因为sin AG APK PG ∠===． 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分 解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分BPACDEGK则()0,2,0A -，)B，()0,2,0C，(0,P -．于是(AP =，PB =，(0,3,PC =设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即0,30.y y +==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC 的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，则sin cos 3AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n ． 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………1分则)B，()0,2,0C ，(0,P -．于是(BP =- ，()2,0BC =．因为(()0BP BC =-=，所以BP BC ⊥ ．所以BP BC ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 （2）由（1）可得，()0,2,0A -．于是(AP = ，PB =，(0,3,PC =．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，AA则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即0,30.y y +==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，则sin cos AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n ． 所以直线AP 与平面PBC14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有45323224,22.a a a a a +⎧=⎪⎨⎪=⎩即3452322,2.a a a a a =+⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………2分 所以234111222112,2.a q a q a q a q a q ⎧=+⎪⎨=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 由于10a ≠，0q ≠，解之得11,21.2a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11,21.a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………………………………………………5分又10,0a q >>，所以111,22a q ==，…………………………………………………………………6分 所以数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．…………………………………………………7分（2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=⋅++()()25121232n n n n +=⋅++．………………………………8分所以21121232n n b n n ⎛⎫=-⋅⎪++⎝⎭ 111(21)2(23)2n nn n -=-++．…………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++L()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232nn =-+． 故数列{}n b 的前n 项和()113232n nS n =-+．………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=2b =．所以双曲线C 的方程为2214y x -=．……………………………………………………………………3分 （2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分 整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k+=-．…………………………………………………………………………………7分 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）， 则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分 因为APAT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=． 即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分 证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分 联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分 将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =． 所以121x x ⋅=．…………………………………………………………………………………………8分 （3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =--- ，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤ ，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．……………………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =． 设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--． 设()45t t f t =--，则()()()222241t t f t t t-+'=-+=， 当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x ()()2212max21S S f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）证明：设11()()()1xx f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1xx e ϕ'=-．………………………………………………………………………………………1分当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分 因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥．即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥．………………………………………………………………………………………3分 （2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．………………………………………………………………………4分用数学归纳法证明如下：①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，…………………………………5分令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-， 由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．…………………………………………………………6分 即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>， 因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>． 从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->． 即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +．由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．………………………………………………………8分 （3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ． 令1x =，得()()11=e n g f <．所以()1e n g <．……………………………………………………………………………………………9分再证对任意正整数n ，()1232222112341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112!3!!n =+++++ ． 要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立． 即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立．……………………………………10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………………………………11分则()()()1111!1!1222k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为111101111112211121C C C 2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭，…12分 所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………………13分这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．……………………………………14分方法2（基本不等式法）：12n +≤，……………………………………………………………………………………11分12n +≤，……，12n +≤， 将以上n 个不等式相乘，得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………13分所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．……………………………………14分。
2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)(理科数学)
x = 1+ s ∴ y = 2− x y = 1− s
2
x = t + 2 2 ⇒ y = ( x − 2) 2 y = t
∴ 2 − x = ( x − 2) , 解得：x = 2或x = 1
∴ A(1,1), B(2, 0),| AB |= 2
小题， 三、解答题：本大题共6小题，满分 分，解答须 解答题：本大题共 小题 满分80分 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 写出文字说明、证明过程或演算步骤。
π
3π 16.已知函数f ( x ) = tan(3 x + ).(1)设α ∈ π， 4 2
π
,
π 若f ( + ) = 2, 求 cos α − 的值. 3 4 4 3π π α π (2) f + = tan α + + = tan(α + π ) = tan α = 2 4 4 3 4 sin α 3π 2 2 ∴ = 2, 又 Q sin α + cos α = 1且考虑到α ∈ π， cos α 2
∴ (C + C + C + 4 × 3 × 3) ⋅ A = 42 × 6 = 252
3 4 3 3 3 3 3 3
小题， 小题， 二、填空题：本大题共7小题，考生作答 小题， 填空题：本大题共 小题 考生作答6小题 每小题5分 满分30分 每小题 分，满分 分。
9.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积 如 为 .
1
x +1 y = log 2 ( x + 2)的定义域为集合B，则集合(CU A) I B = (D ) C .( −∞ , −2) D.( −1, +∞ )
2012广州市高考模拟考理科数学卷后三题详解
19. 易知 nn a 21= n n n n n n n n n n n n b b b b T n n b b b b n n n n n n n n n b 21)32(13121)32(121)12(121912171217121512151213121)32(121)12(121)32)(12()12()32(221)32)(12(5232113232121011⋅+-=++++=∴⋅+-⋅+=⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-⋅=⋅+-⋅+=⋅+++-+=⋅+++=--20. 由条件可知)0,1(),0,1(B A -为双曲线两顶点，所以双曲线中a=1, 焦点在x 轴 又142,552222=-∴=-==∴==y x C a c b c a c e 方程为 (2)设),(),,(2211y x T y x P1)0,0(x )1()1()1()1()]1()1)][(1()1[()]1()1()][1()1([)1()1()1()1()1)(1()1)(1()1(4)1(411)3((3) 11(2) 14(1) 1421211212211211212212212122212222212122222121222221222211221122222121=⇔>>+-+=+-+⇔+-++++=+-++++⇔+-+=+-+⇔+-=+-⇔+=+⇔⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+=+=-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x y x y x y x y k k x y y x y x AT AP 得由(3) ]1,0[S ,1S 04)2()()4(5424)2()()1(521),2()(,0)(' 2)2,1()(,0)(' 21,41)(' ,4)()4(5)4(5)1()1(441S ,21||21S ,||21214151)1(41)1)(1(2221222121212121221212122212221222221112221121212121212111的取值范围为递增且连续在时当递减且连续在时当记点为双曲线在第一象限上-≤-<∴=≥≥=⇔≤≤=≥>=⇔≤<∴+∞∴<>∴<<<-=+=+-=+-=---=-=-======≤<∴≤⇔≤--+=-+=+-+=⋅∆∆S S f x f f x f x f f x x f x f x x f x f x xx f x x x f x x x x x x y y S y y OB S y y AB S S x P x x x y x y y x x POB TAB21.)()(0)1(0)0()(,0)0()(0;),0()(,0)(''0;)0,()(,0)(''01)(''),1()()()(,1))()()()(')()()()()(',)()()!1(!2!110)(')!1(1n!1n ,!!3!211)(1111111111111111232x g x f x e F x F R x F x F x x F x ，F x x F x ，F x e x F x e x g x f x F n I x F x g x f x F x g x f x F x f e x f e x f x g n x x x x g n n x x x x x g x x x n n n n n x x n n n n n ≥⇔≥+-⇔=≥∈∀==∴+∞>>-∞<<-=+-=-===-=∴-=====-+++++=∴-=⋅++++=----都有有最小值时递增在时递减在时时成立都有时当可知对一切正整数综合由数学归纳法也都成立即时是连续函数递增且在即时则成立都有当时设成立即有时是连续函数递增且在时由于)()(0,)))()(0)0()(0)(),0()()0( 0)()()()(')(')(')()()(,1])(g f(x)0,))(g f(x) 0)0()(0)(),0()(,1))1()2(111111111k 11111x g x f ，x n ii i ，x g x f F x F x x F x F x x F x g x f x g x f x F x g x f x F k n x x k n ii ；x F x F x x F x F n i n k k k k k k k k k k k >>>=>>∴+∞>>=-=-=∴-=+=>>=>=>>∴+∞=+++++++++(3)由(2)知1)1()()(0e g x f x ，g x n n <⇔<>时!112!21!ln )ln 3ln 2ln 1(ln 21ln ]1ln [ln 21]2ln )1[ln(21)]2ln(3[ln 21)]1ln(2[ln 21)ln 1(ln 2121ln ]1ln [ln 2121ln 12121]2ln )1[ln(2121ln )1(22)1(21)]2ln(3[ln 2121ln )2(32)2(321)]1ln(2[ln 2121ln )1(22)1(221)ln 1(ln 2121ln 12121n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒=++++≥+∴+++-++-++-+++≥+∴+≥+⇒⋅≥+=++-≥+⇒⋅-≥+-=+-+≥+⇒-⋅≥-+=+-+≥+⇒-⋅≥-+=++≥+⇒⋅≥+=+。
2012年广州市普通高中毕业班综合测试(理科)(一)
试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2012.3本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12nx x x x n+++=.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．22．已知全集U =R ，函数y =的定义域为集合A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合B ，则集合()U AB =ð（ ）A ．()2,1--B ．(]2,1--C ．(),2-∞-D ．()1,-+∞ 3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为（ ） A ．3 B ．6 C ．12D ．244．已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定5．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．8D ．67．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．238．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为（ ）A ．252B ．216C ．72D ．42二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分（一）必做题（9～13题） 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．10．已知()211d 4kx x +⎰2≤≤，则实数k 的取值范围为 ． 11．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为 ．12．已知集合{}1A x x =≤≤2，{}1B x x a =-≤，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为 ．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．512122图2图1 俯视图 正(主)视图侧(左)视图（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）设3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17．（本小题满分12分）如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求a 的值； （2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）．（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，PD =．（1）证明△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．图4 甲组 乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 6 图5PACD图319．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()252123n n n b a n n +=++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设T A B ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu rg ≤15，求2212S S -的取值范围．21．（本小题满分14分）设函数()e xf x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++L （*n ∈N ）． （1）证明：()f x 1()g x ≥；（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（3）证明：()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （*n ∈N ）．2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．9 10．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．3 12．[]1,2 13．35，10 14． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分 tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==-………………………………………………………………………4分（2）解：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………5分 ()tan α=+π……………………………………………………………………6分 tan 2α==．……………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ②由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分 因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以cos 5α=-，sin 5α=-．…………………………………………10分 所以cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+ ………………………………………………………11分525210⎛=-⨯+-⨯=- ⎝⎭．……………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，……………………………1分 解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……………………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分这两名同学成绩之差的绝对值的所有情况如下表：所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==.所以随机变量X 随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分 6817164==.…………………………………………………………………………………………12分 ……………………10分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC，所以BE ===3分因为PD ⊥AC ，所以△PCD 为直角三角形．因为PD =3CD =，所以PC ===4分连接BD ，在Rt△BDE 中，因为BE =1DE =，所以BD ===5分因为PD ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ． 在Rt△PBD 中，因为PD=，BD =所以PB ===6分在PBC ∆中，因为BC =PB =PC =所以222BC PB PC +=．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥， 所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分 记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为ABBC =，所以AC BE ⊥． 因为AB BC ==4=AC，所以BE ===3分连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=o，BE =，1DE =，所以BD ===4分在△BCD 中，因为3CD =，BC =BD =所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．……………………………………………………………5分 因为PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC PD ⊥．…………………………………………………………………………………………6分 因为BD PD D =，所以BC ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分BPACD E（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分由（1）知，△ABC的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=．…………………………………………9分因为PD =13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯133=⨯=10分 由（1）知PBC ∆为直角三角形，BC =PB =所以△PBC的面积11322PBC S BC PB ∆=⨯⨯==．……………………………………11分 因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，即1333AH ⨯⨯=，所以3AH =．……………………………………………………………12分 在Rt △PAD中，因为PD =，1AD =，所以2AP ===．………………………………………………………13分因为3sin 23AH APH AP ∠===． 所以直线AP与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分 解法2：过点D 作DM AP ∥，设DMPC M =，则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PD PB P =，所以BC ⊥平面PBD ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD ．过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，则DN ⊥平面PBC ．所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分 在Rt△PAD 中，因为PD =，1AD =， 所以2AP ===．………………………………………………………11分因为DM AP ∥，所以DM CD AP CA =，即324DM =，所以32DM =．………………………………12分 由（1）知BD=，PB =PD =所以2PD BD DN PB ⨯===．……………………………………………………………13分 BP A CDM N因为2sin 332DN DMN DE ∠===， 所以直线AP 与平面PBC所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分 解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，……………………………………8分 在△PCG中，PB BG BC ===所以90CPG ∠=o，即CP PG ⊥．在△PAC中，因为PC =2PA =，4AC =， 所以222PA PC AC +=， 所以CP PA ⊥． 因为PA PG P =I ，所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分 过点A 作AK PG ⊥于点K ， 因为AK ⊂平面PAG ， 所以CP AK ⊥． 因为PG CP P =I ，所以AK ⊥平面PCG ．所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分 由（1）知，BC PB ⊥， 所以PG PC ==在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，所以2AG BE ==12分 在△PAG 中，2PA =，AG =PG =所以222PA AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分 因为sin AG APK PG ∠===． 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分 解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分BPACD EGK则()0,2,0A -，)B，()0,2,0C，(0,P -．于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,30.y y +=-=⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC 的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ， 则sin cos AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n． 所以直线AP 与平面PBC 14分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………1分则)B，()0,2,0C ，(0,P -．于是(BP =-，()2,0BC =． 因为()()2,1,32,2,00BP BC =---=，所以BP BC ⊥．所以BP BC ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 （2）由（1）可得，()0,2,0A -． 于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，AA则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.y y +-==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC所成的角为θ，则sin cos 3AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n． 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有45323224,22.a a a a a +⎧=⎪⎨⎪=⎩即3452322,2.a a a a a =+⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………2分 所以234111222112,2.a q a q a q a q a q ⎧=+⎪⎨=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 由于10a ≠，0q ≠，解之得11,21.2a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11,21.a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………………………………………………5分又10,0a q >>，所以111,22a q ==，…………………………………………………………………6分 所以数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．…………………………………………………7分（2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=⋅++()()25121232n n n n +=⋅++．………………………………8分所以21121232n n b n n ⎛⎫=-⋅⎪++⎝⎭ 111(21)2(23)2n nn n -=-++．…………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++L()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232n n =-+． 故数列{}n b 的前n 项和()113232n nS n =-+．………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，，所以1=2b =． 所以双曲线C 的方程为2214y x -=．……………………………………………………………………3分 （2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分 整理，得()22224240kxk x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k +=-．…………………………………………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分 因为APAT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=． 即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分 所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分 证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分 联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦， 解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =． 所以121x x ⋅=．…………………………………………………………………………………………8分 （3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤． 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．……………………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =． 设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--． 设()45t tf t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=，当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x =()()2212max21S S f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）证明：设11()()()1xx f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1xx e ϕ'=-．………………………………………………………………………………………1分当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分 因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥． 即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥．………………………………………………………………………………………3分（2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．………………………………………………………………………4分用数学归纳法证明如下：①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，…………………………………5分令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-， 由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．…………………………………………………………6分 即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>， 因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>． 从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->． 即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +．由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．………………………………………………………8分 （3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ． 令1x =，得()()11=e n g f <．所以()1e n g <．……………………………………………………………………………………………9分再证对任意正整数n ，()1232222112341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112!3!!n =+++++． 要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立． 即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立．……………………………………10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………………………………11分则()()()1111!1!1222k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为111101111112211121C C C2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭，…12分所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………………13分这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． ……………………………………14分方法2（基本不等式法）：12n +≤，……………………………………………………………………………………11分 12n +≤， ……，12n +≤， 将以上n 个不等式相乘，得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………13分所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． ……………………………………14分。