2020年高中数学第四章圆与方程章末检测新人教A版必修2
2019-2020年高中数学 4.1.2圆的一般方程练习 新人教A版必修2
2019-2020年高中数学 4.1.2圆的一般方程练习 新人教A 版必修2基础梳理1．圆的一般方程的定义．当D 2＋E 2－4F>0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程． 2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形．已知点M(x 0，y 0)和圆的方程x ＋y ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.则其位置关系如下表：练习1：二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0在什么条件下表示圆的方程？ 答案：A ＝C≠0，B ＝0且D 2＋E 2－4AF ＞0练习2：圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0的圆心为(1，－5)，半径为 ►思考应用1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？解析：圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2明确了圆心和半径，方程左边为平方和，右边为一个正数，且未知数的系数为1；一般方程体现了二元二次方程的特点，但未明确圆心和半径，需计算得到．当二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0中的系数A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF>0时，二元二次方程就是圆的一般方程．2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般步骤是什么？ 解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程．自测自评1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为(C ) A ．(4，－6)，r ＝16 B ．(2，－3)，r ＝4 C ．(－2，3)，r ＝4 D ．(2，－3)，r ＝16解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2，3)， 半径r ＝1242＋（－6）2＋12＝4.2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有(A )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．F ＝ED ．D ＝E ＝F解析：由题知圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，即－E 2＝－D2，∴D ＝E. 3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是(B )A ．RB ．(－∞，1)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：由D 2＋E 2－4F ＝(－4)2＋22－4×5k ＝20－20k >0得k <1.4．圆心是(－3，4)，经过点M (5，1)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0． 解析：圆的半径r ＝（－3－5）2＋（4－1）2＝73， ∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝73， 展开整理得，x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0为圆的一般方程． 5．指出下列圆的圆心和半径： (1)x 2＋y 2－x ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)； (3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：(1)⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝⎛⎭⎫12，0，半径r ＝12； (2)(x ＋a )2＋y 2＝a 2，圆心(－a ，0)，半径r ＝|a |； (3)x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，圆心(0，－a )，半径r ＝1＋a 2. 基础达标1．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5＝0表示的曲线是(C ) A ．两直线 B ．圆 C ．一点D ．不表示任何曲线2．x 2＋y 2－4y －1＝0的圆心和半径分别为(C )A ．(2，0)，5B ．(0，－2)，5C ．(0，2)， 5D ．(2，2)，5解析：x 2＋(y －2)2＝5，圆心(0，2)，半径 5.3．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是(C ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0解析：x 2＋2x ＋y 2＝0配方得(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，故所求直线为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.4．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是(A )A ．[0，2]B ．[0，1]C.⎣⎡⎦⎤0，12D.⎣⎡⎭⎫0，12 解析：l 必过圆心(1，2)，0≤k ≤2(几何意义知)． 5．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________． 解析：(x －3)2＋(y ＋2)2＝13，r ＝13，C ＝2πr ＝213π. 答案：213π6．(1)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，探求点M 的轨迹，然后求出它的方程；(2)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12时，M 点的轨迹又是什么？求出它的方程．解析：设M (x ，y )(1)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝1，化简得3x －2y ＋5＝0.所以M 的轨迹是直线，它的方程是3x －2y ＋5＝0；(2)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12，所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝12，化简得(x －6)2＋(y －23)2＝2089，故此时M 的轨迹是以(6，23)为圆心，半径为4313的圆，它的方程是(x －6)2＋(y －23)2＝2089.巩固提升7．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________________________________________________________________________．答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝98．求经过两点P (－2，4)，Q (3，－1)，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程． 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P (－2，4)，Q (3，－1)代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10. 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0.设x 1，x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根． 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. ∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. 9．已知点A 在直线2x －3y ＋5＝0上移动，点P 为连接M (4，－3)和点A 的线段的中点，求P 的轨迹方程．解析：设点P 的坐标为(x ，y )， A 的坐标为(x 0，y 0)．∵点A 在直线2x －3y ＋5＝0上， ∴有2x 0－3y 0＋5＝0. 又∵P 为MA 的中点，∴有⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－3＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋3. 代入直线方程得2(2x －4)－3(2y ＋3)＋5＝0， 化简得：2x －3y －6＝0即为所求．1．任何一个圆的方程都可写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有D 2＋E 2－4F >0时，方程才表示圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆．2．在圆的方程中含有三个参变数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．求圆的方程时是选用标准方程还是一般方程的依据：当给出的条件与圆心坐标、半径有关，或者由已知条件容易求得圆心和半径时，一般用标准方程．当上述特征不明显时，常用一般方程，特别是给出圆上三点，用待定系数法求圆的方程时，常用一般式，这样得到的关于D，E，F的三元一次方程组，要比使用标准方程简便得多．3．要画出圆的图象，必须知道圆心和半径，因此应掌握用配方法将圆的一般方程化为标准方程．。
高中数学第四章圆与方程章末复习与总结课件新人教A版必修2
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高中数学第四章圆与方程章末复习与总结课件
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(2)设点 P(a，b)满足条件，不妨设直线 l1 的方程为 y－b＝k(x －a)，k≠0，则直线 l2 的方程为 y－b＝－1k(x－a)．因为圆 C1 和 圆 C2 的半径相等，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等，即
译”了，必须结合图形，仔细观察分析，有时可能需要比较
“绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件
列出一个相对简洁的式子，但这样可以在很大程度上减少计算
量，大大降低出错的概率．
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【例 5】 已知三条直线 l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：
②当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y＋3＝k(x＋4)， 即 kx－y＋4k－3＝0.
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由题意可知|－k＋12＋＋k42k－3|2＋822＝52， 解得 k＝－43，即所求直线方程为 4x＋3y＋25＝0. 综上所述，满足题设的 l 方程为 x＝－4 或 4x＋3y＋25＝0.
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易错点 1 求解圆方程漏解致误
【例 6】 已知某圆圆心在 x 轴上，半径长为 5，且截 y 轴
所得线段长为 8，求该圆的标准方程．
(部编版)2020年高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程优化练习新人教A版必修2
4.1.2 圆的一般方程[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知圆的方程是x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是( ) A ．2x －y ＋1＝0 B ． 2x ＋y ＋1＝0 C ．2x －y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0解析：把x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0配方得(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，圆心为(1，－3)， 直线2x ＋y ＋1＝0过圆心． 答案：B2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有( ) A ．D ＝E B ．D ＝F C ．E ＝FD ．D ＝E ＝F解析：由已知D 2＋E 2－4F >0，可知方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线为圆．若圆关于y ＝x 对称，则知该圆的圆心在直线y ＝x 上，则必有D ＝E . 答案：A3．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：x 2＋2x ＋y 2＝0配方得(x ＋1)2＋y 2＝1， 圆心为(－1,0)，故所求直线为y ＝x ＋1， 即x －y ＋1＝0. 答案：C4．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0得C (－1,2)．∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 答案：C5．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，则y －4x －2的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，0 答案：B6．直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点Q 为(0,1)，则直线l 的方程为________________．解析：圆心P (－1,2)，AB 中点Q (0,1)，k PQ ＝2－1－1－0＝－1，∴直线l 的斜率k ＝1，故直线l 的方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝07．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0,1)，则点B 的坐标为________．解析：由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0得，(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，所以圆心C (1，－1)．设B (x 0，y 0)，又A (0,1)，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋0＝2，y 0＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝－3，所以点B 的坐标为(2，－3)． 答案：(2，－3)8．当动点P 在圆x 2＋y 2＝2上运动时，它与定点A (3,1)连线中点Q 的轨迹方程为________． 解析：设Q (x ，y )，P (a ，b )，由中点坐标公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋32y ＝b ＋12，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x －3b ＝2y －1，点P (2x －3,2y －1)满足圆x 2＋y 2＝2的方程， 所以(2x －3)2＋(2y －1)2＝2，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12，此即为点Q 的轨迹方程．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝129．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R)所表示的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．解析：(1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3) 2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，∴－17<t <1.(2)r ＝ －7t 2＋6t ＋1＝ －7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167， ∵37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1， ∴当t ＝37时，圆的面积最大，r max ＝477，所对应的圆的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·4t 2＋16t 4＋9<0时，点P 恒在圆内， ∴8t 2－6t <0，∴0<t <34.10．设△ABC 顶点坐标A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，其中a >0，圆M 为△ABC 的外接圆．(1)求圆M 的方程；(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由． 解析：(1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆M 过点A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)∴⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝03a ＋3aD ＋F ＝03a －3aD ＋F ＝0，解得D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a .∴圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a )y －3a ＝0. (2)圆M 的方程可化为(3＋y )a －(x 2＋y 2＋3y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3＋y ＝0x 2＋y 2＋3y ＝0，解得x ＝0，y ＝－3.∴圆M 过定点(0，－3)．[B 组 能力提升]1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A. π B ．4π C ．8π D ．9π 解析：设动点轨迹坐标为P (x ，y )， 则由|PA |＝2|PB |， 知x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，化简得(x －2)2＋y 2＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π. 答案：B2．在△ABC 中，若顶点B 、C 的坐标分别是(－2,0)和(2,0)，中线AD 的长度是3，则点A 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝3 B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝9(y ≠0)D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)解析：如图所示，BC 的中点D (0,0)，∵|AD |＝3，∴点A 在以D (0,0)为圆心，3为半径的圆上，且A 、B 、C 三点不共线．∴A 的轨迹方程是x 2＋y 2＝9(y ≠0)． 答案：C3．若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为________．解析：要使方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则应有a 2＋ (2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，解得－2<a <23.∴符合条件的a 只有一个，a ＝0，∴原方程只能表示一个圆．答案：1个4．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6.若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________________．解析：设圆心为M (x ，y )．由|AB |＝6，知圆M 的半径长r ＝3，则|MC |＝3， 即x －2＋y ＋2＝3，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝95．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解析：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42， 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285.因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.6．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解析：圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上， ∴－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2.①又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2，∴D 2＋E 2＝20.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限，∴－D2<0，即D >0.则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.。
2019-2020学年高中数学必修二第四章《圆与方程》测试卷及答案
2019-2020学年高中数学必修二第四章《圆与方程》测试卷(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.圆心为(1,-7),半径为2的圆的方程是()A.(x-1)2+(y+7)2=4B.(x+1)2+(y-7)2=42+(y-7)2=2 D.(x-1)2+(y+7)2=2(x-1)2+(y+7)2=4.P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于()√74 B.3√10 C.√14 D.√531P2|=√(-1-2)2+(3-4)2+(5+3)2=√74.l:x-y=1与圆C:x2+y2-4x=0的位置关系是()B.相切C.相交D.无法确定C的圆心为C(2,0),半径为2,圆心C到直线l的距离d=|2-1|√2=√22<2,所以圆与直线相交.+y2=1与圆x2+y2=4的位置关系是()B.内含C.相交D.相切x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心距0<|2-1|=1,所.1)2+(y-1)2=1上的点到直线x+2y+2=0的最短距离为()51B.√5C.√5−1D.0(1,1),半径r为1,圆心到直线的距离d=√1+2=√5.因为√5>1,.所以最短距离为d-r=√5−1.C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是()B.直线C.线段D.圆圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),)2+(0-b)2=1,即(a-1)2+b2=1.的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆.C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y-1)2=2C.(x-1)2+(y+1)2=22+(y+1)2=2(a,-a),因为圆心到直线x-y-4=0与x-y=0的距离相等,√2=√2解得a=1.所以圆心坐标为(1,-1),半径r=2=√2.(x-1)2+(y+1)2=2.x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()B.-4C.-6D.-8(x+1)2+(y-1)2=2-a,因此圆心为(-1,1),半径r=√2-a.圆心到直线x+y+2=0的距离d=2=√2,又弦长为4,因此由勾股定理可得(√2)2+(42)2=√2-a)2,解得a=-4.故选B.9.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+2=0的距离为√2的点共有()B.2个C.3个D.4个(x+1)2+(y+2)2=(2√2)2,圆心(-1,-2)到直线x+y+2=0|-1-2+2|√2=√22,4个.M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是()A.0<k<√5B.−√5<k<0√13 D.0<k<5解析:圆x2+4x+y2-5=0可变形为(x+2)2+y2=9,如图所示.当x=0时,y=±√5,结合图形可得A(0,√5).∵k AM=√51=√5,∴k∈(0,√5).(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上) (3,4,5)关于原点的对称点的坐标是.P(3,4,5)与P'(x,y,z)的中点为坐标原点,所以点P'的坐标为(-3,-4,-5).-3,-4,-5)C1:(x+1)2+(y-1)2=1与圆C2:(x+5)2+(y+2)2=m2(m>0)外切,则m的值为.C1(-1,1),半径r1=1;22),半径r2=m,所以圆心距d=|C1C2|=√(-1+5)2+(1+2)2=5.又因为两圆外切,所以d=r1+r2.=1+m,即m=4.M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是.P在以MN为直径的圆上,且除去M,N两点,所以圆心坐标为(0,0),半径为2.所以x2+y2=4(x≠±2).2+y2=4(x≠±2)x2+y2=4与圆x2+y2-2ax+a2-1=0内切,则a=.O1(0,0),O2(a,0),半径分别为r1=2,r2=1.由两圆内切可得|O1O2|=r1-r2,即|a|=1,±1.1xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.mx-y-2m-1=0(m∈R)恒过点(2,-1),所以当点(2,-1)为切点时,半径最大,此时半径r=√2, (x-1)2+y2=2.x-1)2+y2=2(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(8分)已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l经过点P(2,3)且与圆M交于A,B两点,且|AB|=2√3,求直线l的方程.解:当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-3=k (x-2),即kx-y+3-2k=0.如图,作MC ⊥AB 于点C ,连接BM.在Rt △MBC 中,|BC|=12|AB|=√3,|MB|=2,故|MC|=√|MB |2-|BC |2=1. √k +1=1,解得k =34.故直线l 的方程为3x-4y+6=0.当直线l 的斜率不存在时,其方程为x=2,且|AB|=2√3,所以符合题意. 综上所述,直线l 的方程为3x-4y+6=0或x=2.分)求与直线y=x 相切,圆心在直线y=3x 上且截y 轴所得的弦长为2√2的圆的方程.O 1(x 0,3x 0),半径为r ,002=r,解得r =√2|x0|.又y 轴被圆截得的弦长为2√2,∴(√2)2+x 02=r2,∴2+x 02=2x 02,∴x0=±√2,∴r =2.即圆的方程为(x +√2)2+(y +3√2)2=4或(x −√2)2+(y −3√2)2=4.18.(9分)已知一个圆的圆心为A (2,1),且与圆x 2+y 2-3x=0相交于P 1,P 2两点.若|P 1P 2|=2,求这个圆的方(x-2)2+(y-1)2=r 2,即x 2+y 2-4x-2y+5-r 2=0.所以直线P 1P 2的方程为x+2y-5+r 2=0. 则点A (2,1)到直线P 1P 2|r 2-1|√5.又因为|P 1P 2|=2,所以当r=1时,易知符合题意,此时所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.当r ≠1时,由(r 2-1)25+1=r2,解得r 2=6或r 2=1(舍去).此时所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=6.故所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=1.19.(10分)在棱长为2的正方体OABC-O 1A 1B 1C 1中,P 是对角线O 1B 上任意一点,Q 为棱B 1C 1的中点.求|PQ|的最小值.OA ,OC ,OO 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. Q 是B 1C 1的中点,所以Q (1,2,2).点P 在xOy 平面上的射影在OB 上,在yOz 平面上的射影在O 1C 上 ,所以点P 的坐标(x ,y ,z )满足{x =y ,z =2-y ,则|PQ|=√(x -1)2+(x -2)2+(-x )2=√3x 2-6x +5=√3(x -1)2+2,当x=1时,即P (1,1,1)时,|PQ|取得最小值√2.20.(10分)已知点P (2,2),圆C :x 2+y 2-8y=0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点.(1)求点M 的轨迹方程;|OP|=|OM|时,求l 的方程及△POM 的面积.当C ,M ,P 三点均不重合时,∠CMP=90°,所以点M 的轨迹是以线段PC 为直径的圆(除去点即(x-1)2+(y-3)2=2(x ≠2,且y ≠2或x ≠0,且y ≠4).当C ,M ,P 三点中有重合的情形时,易求得点M 的坐标为(2,2)或(0,4). 综上可知,点M 的轨迹是一个圆,轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,√2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为−13,故l的方程为y=−13x+83.又易得|OM|=|OP|=2√2,点O到l的距离为4√105,|P M|=4√105,所以△POM的面积为165.。
高中数学第四章圆与方程章末综合提升课件新人教A版必修2
[跟进训练] 1．已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上，圆心的横坐标是整数且 与直线 4x＋3y－29＝0 相切，求圆的方程． [解] 设圆心为 M(m，0)(m∈Z)， 由于圆与直线 4x＋3y－29＝0 相切，且半径为 5， 所以|4m－5 29|＝5，即|4m－29|＝25， 因为 m 为整数，故 m＝1， 故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.
[跟进训练] 1．已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上，圆心的横坐标是整数且 与直线 4x＋3y－29＝0 相切，求圆的方程． [解] 设圆心为 M(m，0)(m∈Z)， 由于圆与直线 4x＋3y－29＝0 相切，且半径为 5， 所以|4m－5 29|＝5，即|4m－29|＝25， 因为 m 为整数，故 m＝1， 故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.
由题意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，解得 a＝－2. 因为圆心 C(－2，0)，半径 r＝2， 所以圆 C 的方程为(x＋2)2＋y2＝4. (2)由题意知，直线 l1，l2 的斜率存在且不为 0，设 l1 的斜率为 k， 则 l2 的斜率为－1k，
所以 l1：y＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＝0， l2：y＝－1k(x＋1)，即 x＋ky＋1＝0. 由题意，得圆心 C 到直线 l1，l2 的距离相等， 所以|－k22k＋＋1k|＝|－k22＋＋11|，解得 k＝±1， 所以直线 l1 的方程为 x－y＋1＝0 或 x＋y＋1＝0.
(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为 x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0. 点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得 λ＝43. 所以所求圆的方程为 x2＋y2＋4x－4y－5＋43(3x－2y－3)＝0，即 x2＋y2＋8x－230y－9＝0.
2020-2021学年高中数学人教A版 必修2第四章圆与方程测试卷(一)-学生用卷
2020-2021学年必修2第四章测试卷圆与方程（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．直线3410x y 与圆2220x y y 的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定2．若圆心坐标为(2,1)-的圆，被直线10x y --=截得的弦长为2，则这个圆的方程是（ ） A ．22(2)(1)4x y -+-= B ．22(2)(1)4x y ++-= C ．22(2)(1)9x y ++-=D ．22(2)(1)9x y -+-=3．圆()()221:111C x y -+-=与圆()()222:2536C x y ++-=的位置关系是（ ） A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切4．已知圆22420x y ax ay +++=与直线2100x y +-=相切，则圆的半径为（ ）A B ．2C ．D ．45．已知直线20x ay +-=与圆221x y +=相切，则a 的值是（ ）A ．1B ．1±C D ．6．方程(1)210()a x y a a --++=∈R 所表示的直线与圆22(1)25x y ++=的位置关系是（ ） A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定7．在坐标平面内，与点(1,2)A -距离为2，且与点(5,1)B 距离为1的直线共有（ ）条． A ．4B ．3C ．2D ．18．已知圆()221:1C x a y -+=和2222:240C x y by b +-+-=恰好有三条公切线，则的最小值（ ）A ．1+B ．2C ．2D ．49．已知P ，Q 分别是直线:20l x y --=和圆22:1C x y +=上的动点，圆C 与x 轴正半轴交于点(1,0)A ，则||||PA PQ +的最小值为（ ）AB ．2C 1-D 1-10．当曲线y =与直线240kx y k -+-=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（ ） A．3(0,)4B ．53,124C ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦D ．3(,)4+∞11．过直线0x y +=上一点P 做圆22(1)(5)2x y ++-=的两条切线1l ，2l ，切点为A 、B ，当直线1l ，2l 关于直线y x =-对称时，APB ∠=（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒12．已知半圆22:1(0)C x y y +=≥，A ，B 分别为半圆C 与x 轴的左、右交点，直线m 过点B 且与x 轴垂直，点P 在直线m 上（不与B 重合），纵坐标为t ，若在半圆C 上存在点Q 使π3BPQ ∠=，则t 的取值范围是（ ）A ．[,0)(0,3]3-B ．23[(0,]3C ．3[(0,]D ．23[(0,]二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知221:(1)(3)25C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于点(2,1)对称，则圆2C 的方程为 ．14．已知圆22:2410C x y x y +--+=内有一点(2,1)P 经过点P 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当弦AB 恰被点P 平分时，直线l 的方程为 ．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,)A a ，(3,4)B a +，若圆229x y +=上有且仅有四个不同的点C ，使得ABC △的面积为5，则实数a 的取值范围是 ．16．已知(0,0)O ，(2,2)A -，点M 是圆22(3)(1)2x y -+-=上的动点，则OAM △面积的最大值为 ．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知点(4,2)A 和(0,2)B ． （1）求直线AB 的斜率和AB 的中点M 的坐标； （2）若圆C 经过A ，B 两点，且圆心在直线23x y上，求圆C 的方程．18．（12分）已知过原点O 的动直线l 与圆22:(1)4C x y ++=交于A ，B 两点．若||AB =l 的方程．19．（12分）已知动点M 到点(2,0)A -与点(1,0)B 的距离之比等于2，记动点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点(4,4)P -作曲线C 的切线，求切线方程．20．（12分）已知直线:320l x y --=，圆22:(4)1M x y +-=，L 表示函数2y x =的图象： （1）写出圆M 的圆心坐标和半径； （2）写出圆心M 到直线l 的距离；（3）若点P 在圆M 上，点Q 在L 上，求||PQ 的最小值．21．（12分）如图，在平面直角坐标系内，已知点(1,0)A ，(1,0)B -，圆C 的方程为2266140x y x y +--+=，点P 为圆上的动点．（1）求过点A 的圆C 的切线方程；（2）求22||||AP BP +的最大值及此时对应的点P 的坐标．22．（12分）设圆221:(3)(2)4C xy ，圆222:(5)(4)25C xy．（1）判断圆1C 与圆2C 的位置关系；（2）点A 、B 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为直线y x 上的动点，求||||PA PB 的最小值．2020-2021学年必修2第四章测试卷圆与方程（一）答 案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】C【解析】由题意可知，圆2220x y y的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆心(0,1)到直线3410x y 的距离为|14|15，所以直线3410x y 与圆2220x y y的位置关系为相切．2．【答案】C【解析】由题，设圆的半径为r ，圆心到直线距离为d ，则d ==，所以弦长为2=，则29r =， 所以圆的方程为22(2)(1)9x y ++-=． 3．【答案】D【解析】圆1C 的圆心()1,1，半径11r =；圆2C 的圆心()2,5-，半径26r =，∴125C C ==，∴1221C C r r =-，∴两圆内切．4．【答案】A【解析】由题意知圆心坐标为(2,)a a --=1a =-，5．【答案】D【解析】因为直线20x ay +-=与圆221x y +=相切，所以圆心到直线的距离1d ==，所以23a =，a =6．【答案】C【解析】由题，直线为(1)210()a x y a a --++=∈R ，即(2)10a x x y +--+=，当2x =-时，3y =，即直线恒过(2,3)-，因为22(21)31025-++=<，所以(2,3)-在圆内，则过圆内一点的直线一定与圆相交． 7．【答案】A【解析】与点(1,2)A -距离为2，且与点(5,1)B 距离为1的直线， 即为分别以,A B 为圆心，以2,1为半径的圆的公切线，设圆22:(1)(2)4A x y -++=，圆22:(5)(1)1B x y -+-=，则圆A 的半径2A r =，圆B 的半径1B r =，53A B AB r r ==>+=，即两圆外离，故他们的公切线有4条． 8．【答案】B【解析】因为圆1C 与圆2C 有三条公切线，所以圆1C 与圆2C 外切，因为1(,0)C a ，11r =；2()0,C b ，22r =3=，所以229a b +=， 所以(),a b 的轨迹是圆心在原点、半径为3的圆，表示(),a b 与()3,4的距离，所以min 3532=-=．9．【答案】C【解析】圆22:1C x y +=的圆心(0,0)O ，半径1r =， 设(1,0)A 关于:20l x y --=的对称点为(,)B a b ，则1202211a bb a +⎧--=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，即(2,1)B -，连接BO ，交直线:20l x y --=为点P ， 则||||PA PQ +的最小值为||1BO r -=．10．【答案】C【解析】如图，曲线y =()0,0O 为圆心，以2为半径的圆的y 轴下半部分，2,0A -（），2,0B （），直线240kx y k-+-=过定点2,4D --（），故40122BD k --==--．若直线240kx y k -+-=与圆相切时，圆心0,0O （）到直线的距离22421k d k -==+，解得34k =．结合图形，当曲线24y x =--与直线240kx y k -+-=有两个相异的交点时， 实数k 的取值范围是3,14⎛⎤⎥⎝⎦． 11．【答案】C【解析】显然圆心(1,5)-不在直线y x =-上，由对称性可知，只有直线y x =-上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y x =-， 从这点作切线才能关于直线y x =-对称，∴该点与圆心连线所在的直线方程为51y x -=+，即6y x =+， 与y x =-联立，可求出该点坐标为(3,3)-，∴该点到圆心的距离为22(13)(53)22-++-=， 由切线长，半径以及该点与圆心连线构成直角三角形， 又知圆的半径为2，∴两切线夹角的一半的正弦值为21222=， ∴60APB ∠=︒，故选C ． 12．【答案】A【解析】根据题意作出图象，当0t >时，设PT 与半圆相切于点T ，如图所示，12BPO BPT ∠=∠，若存在点Q 使得π3BPQ ∠=，则有21sin 21BO BPO PO t ∠==≥+，解得30t ≥>； 当0t <时，连结PA ，若存在点Q 使得π3BPQ ∠=， 则有2tan 3AB BPA BP t ∠==≥，解得230t >≥-， 综上所述，t 的取值范围为23[,0)(0,3]-．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】22(5)(1)25x y -++=【解析】由圆221:(1)(3)25C x y ++-=，可得1(1,3)C -，设2(,)C x y ，因为圆2C 与圆1C 关于点(2,1)对称，所以2C 与1C 关于点(2,1)对称，可得12523112xx y y -+⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩， 所以圆2C 的半径为5，圆心为2(5,1)C -， 圆2C 的方程为22(5)(1)25x y -++=． 14．【答案】1y x =-【解析】圆22:(1)(2)4C x y -+-=，弦AB 被P 平分，故PC AB ⊥， 由(2,1)P ，(1,2)C ，得1PC l k k ⋅=-，可得1l k =， 所以直线方程为1y x =-．15．【答案】55(,)33-【解析】AB 的斜率44303a a k +-==-，2222||(30)(4)345AB a a =-++-=+=，设ABC △的高为h ，则∵ABC △的面积为5，∴11||5522S AB h h ==⨯=， 即2h =，直线AB 的方程为43y a x -=，即4330x y a -+=， 若圆229x y +=上有且仅有四个不同的点C ，使得ABC △的面积为5， 则圆心O 到直线4330x y a -+=的距离22|3|54(3)a d ==+-， 应该满足321d R h <-=-=，即|3|15a <， 得|3|5a <，得5533a -<<．16．【答案】6【解析】如图，由题设，得圆心(3,1)C ，半径2r =22222OA =+=直线OA 的方程为0x y +=，则OAM △边OA 上的高h 就是点M 到直线OA 的距离， 圆心(3,1)C 到直线OA 的距离为222d ==， 可得圆22(3)(1)2x y -+-=上的点M 到直线OA 的距离的最大值为max 32h d r =+= 故OAM △面积的最大值max 112232622S OA h =⋅=⨯=．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）1ABk ，(2,0)M ；（2）225174()()339xy ． 【解析】（1）由已知可得2(2)140ABk ，4022Mx ，2202My ，∴AB 的中点M 的坐标为(2,0)．（2）∵圆C 经过A ，B 两点，∴圆心C 在线段AB 中垂线上， 由（1）可知1AB k ，则线段AB 中垂线的斜率1k，且过点(2,0)M ，则其方程为2y x ， 又圆心在直线23xy上，联立两直线方程可得223y x xy，解得圆心坐标为51(,)33C ， 又743r BC， ∴圆C 的标准方程为225174()()339xy． 18．【答案】33y x =±． 【解析】设圆心C 到直线l 的距离为d ，则22||151||()4242AB d CA =-=-=， 当l 的斜率不存在时，1d =，不合题意；当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx =22121k =+， 解得3k =故直线l 的方程为y x =． 19．【答案】（1）22(2)4x y -+=；（2）40x -=或3440x y ++=．【解析】（1）设动点M 的坐标为(,)x y ，则|||MA MB ==2=，化简得22(2)4x y -+=，因此，动点M 的轨迹方程为22(2)4x y -+=． （2）当过点P 的直线无斜率时，直线方程为40x -=，圆心(2,0)C 到直线40x -=的距离等于2，此时直线40x -=与曲线C 相切；当切线有斜率时，不妨设斜率为k ，则切线方程为4(4)y k x +=-，即440kx y k ---=，2=，解得34k =-． 所以，切线方程为3440x y ++=，综上所述，切线方程为40x -=或3440x y ++=．20．【答案】（1）(0,4)M ，1R =；（2）3；（31． 【解析】（1）∵圆22:(4)1M x y +-=，∴圆M 的圆心坐标(0,4)M ，半径1R =．（2）直线20l y --=，圆22:(4)1M x y +-=，∴圆心坐标(0,4)M ，∴圆心M 到直线l 的距离632d ===． （3）∵点Q 在L 上，L 表示函数2y x =的图象，∴设Q 的坐标为2(,)x x ，∵圆心坐标(0,4)M ，||QM ===≥，∴||||11PQ QM =-≥-，当且仅当P ，Q ，M 三点共线时等号成立，∴||PQ1-， 综上所述，||PQ1-． 21．【答案】（1）51250x y --=或1x =；（2）22max (||||)46AP BP +=+(3P +．【解析】（1）当k 存在时，设过点A 切线的方程为(1)y k x =-， ∵圆心坐标为(3,3)，半径2r =2=，解得512k =， ∴所求的切线方程为51250x y --=； 当k 不存在时方程1x =也满足，综上所述，所求的直线方程为51250x y --=或1x =． （2）设点(,)P x y ，则由两点之间的距离公式知22222||||2()22||2AP BP x y OP +=++=+，要22||||AP BP +取得最大值只要使2||OP 最大即可，又P为圆上的点，∴max (||)||22OP OC r =+==，∴222max (||||)22)246AP BP +=⨯+=+， 此时直线:OC y x =，由2266140y xx y x y =⎧⎨+--+=⎩，解得33x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩33x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴点P的坐标为(3++． 22．【答案】（1）内含；（2）7．【解析】（1）由已知得：圆221:(3)(2)4C x y，其圆心1(3,2)C ，半径12r ，圆222:(5)(4)25C xy ，其圆心2(5,4)C ，半径25r ，于是2212||(53)(42)22C C ，又∵12||3r r ，∴1212||||C C r r ，∴圆1C 与圆2C 的位置关系为内含． （2）易得直线y x 与圆1C ，2C 都相离，对于直线y x 上的任一点P ，要使||||PA PB 取得最小值可转化为求121212||||||||7PC PC r r PC PC 的最小值，由平面几何的知识易知1C 关于直线y x 对称的点为1(2,3)C ，则有11||||PC PC ， 当1C 与P ，2C 共线时，12||||PC PC 取得最小值，即直线y x 上一点到两定点距离之和取得最小值为12||72C C∴min12min12min (||||)(||||7)(||||7)PA PB PC PC PC PC12||7727C C ．。
2020人教版高中数学必修二检测：第四章 圆与方程 课后提升作业 二十五 4.1.2 Word版含解析
课后提升作业二十五圆的一般方程(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.以圆x2+2x+y2=0的圆心为圆心，半径为2的圆的方程为( )A.(x+1)2+y2=2B.(x+1)2+y2=4C.(x-1)2+y2=2D.(x-1)2+y2=4【解析】选B.圆x2+2x+y2=0的圆心坐标为(-1，0)，所以所求圆的方程为(x+1)2+y2=4.2.方程x2+y2-2ax+2=0表示圆心为C(2，0)的圆，则圆的半径r= ( )A. B.2 C. D.4【解析】选A.方程配方得(x-a)2+y2=a2-2，由于圆心C(2，0)，所以a=2，因此r==.3.两圆x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-6x=0的圆心连线方程为( )A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0【解析】选C.两圆的圆心分别为(2，-3)，(3，0)，直线方程为y=(x-3)，即3x-y-9=0.5.如果圆x2+y2+ax+by+c=0(a，b，c不全为零)与y轴相切于原点，那么( )A.a=0，b≠0，c≠0B.b=c=0，a≠0C.a=c=0，b≠0D.a=b=0，c≠0【解析】选B.符合条件的圆的方程为+y2=，即x2+y2+ax=0. 所以b=0，a≠0，c=0.6.若直线3x+y+a=0始终平分圆x2+y2+2x-4y=0的周长，则a的值为( )A.-1B.1C.3D.-3【解题指南】直线平分圆的周长，说明直线一定过该圆的圆心，把圆心坐标代入直线方程即可求出a的值.【解析】选B.因为圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(-1，2)，所以3x+y+a=0过点(-1，2)，即-3+2+a=0，所以a=1.7.当点P在圆x2+y2=1上运动时，它与定点Q(3，0)连接的线段PQ中点的轨迹方程是( )A.x2+y2+6x+5=0B.x2+y2-6x+8=0C.x2+y2-3x+2=0D.x2+y2+3x+2=0【解题指南】设出PQ中点的坐标(x，y)，然后用x，y表示出点P的坐标，将P点坐标代入圆的方程即可.【解析】选C.设PQ中点坐标为(x，y)，则P (2x-3，2y)，代入x2+y2=1，得4x2+4y2-12x+8=0，即x2+y2-3x+2=0.8.(2016·北京高一检测)若方程x2+y2+(λ-1)x+2λy+λ2=0表示圆，则λ的取值范围是( )A.(0，+∞)B.C. D.R【解析】选C.D2+E2-4F=(λ-1)2+4λ2-5λ2>0，解不等式得λ<.二、填空题(每小题5分，共10分)9.圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3，则m的值为________.【解析】因为(x+1)2+(y-2)2=5-m，所以r==，所以m=.答案：10.已知圆C：x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l：x-y+2=0的对称点都在圆C上，则圆心为________，半径为________.【解析】由题意可得圆C的圆心在直线x-y+2=0上，将代入直线方程得-1-+2=0，解得a=-2.故圆C的方程为x2+y2+2x-2y-3=0.即(x+1)2+(y-1)2=5，因此圆心为(-1，1)，半径为.答案：(-1，1)三、解答题(每小题10分，共20分)11.已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程.【解析】圆心C，因为圆心在直线x+y-1=0上，所以---1=0，即D+E=-2.①又因为半径长r==，所以D2+E2=20.②由①②可得或又因为圆心在第二象限，所以-<0，即D>0.则故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.12.点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点的轨迹方程.(2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点的轨迹方程.【解析】(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为(2x-2，2y).因为点P在圆x2+y2=4上，所以(2x-2)2+(2y)2=4，故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4，故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.。
高中数学必修2：第四章-圆与方程测试(含解析)
第四章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切解析将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.∴两圆的圆心距(0－3)2＋(0－4)2＝5，又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案 C2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0解析依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y＋2 1＋2＝x－12－1，即3x－y－5＝0.答案 A3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为() A．1，－1 B．2，－2C ．1D ．－1解析 圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1.答案 D4．经过圆x 2＋y 2＝10上一点M (2，6)的切线方程是( ) A ．x ＋6y －10＝0 B.6x －2y ＋10＝0 C ．x －6y ＋10＝0D ．2x ＋6y －10＝0解析 ∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62， ∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63. 故切线方程为y －6＝－63(x －2)． 即2x ＋6y －10＝0. 答案 D5．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析 由题意可设所求的直线方程为y ＝－x ＋k ，则由|k |2＝1，得k ＝±2.由切点在第一象限知，k ＝ 2.故所求的直线方程y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.答案 A6．关于空间直角坐标系O －xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法： ①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确的个数是()A．2 B．3C．4 D．5解析点P到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确．答案 A7．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1处，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2>1，又圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1＝r，∴直线与圆相交．答案 B8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是()A．4 B．3C．2 D．1解析两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4，∴|O1O2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r1＋r2＝5.∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案 B9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0解析依题意知直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案 A10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A．9π B．πC．2π D．由m的值而定解析∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2.∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.∴圆的面积S＝π×12＝π.答案 B11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1解析 设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案 C12．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，512) B ．(512，＋∞) C ．(13，34]D ．(512，34] 解析 如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)， 直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)， 当直线l 与半圆相切时，有 |－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512. 当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34. 因此，k 的取值范围是512<k ≤34. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．解析 圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5， ∴所求的最小值为4. 答案 414．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________． 解析 r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案 (x －1)2＋(y －1)2＝215．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．解析 已知方程配方，得(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．答案 ②16．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9相交于A ，B 两点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积为________．解析 圆心坐标(2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线x －2y －3＝0的距离d ＝5，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝4.又原点(0,0)到AB 所在直线的距离h ＝35，所以△AOB 的面积为S ＝12×4×35＝655.答案 655三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． 解 解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1.即x2＋y2－4x＝0.①当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝12|OA|＝2，由圆的定义，知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)．18．(12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．解由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB的方程为2(m＋1)x－2y－m2－1＝0.∵A，B两点平分圆N的圆周，∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)．∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0.解得m＝－1.故圆M的圆心M(－1，－2)．19．(12分)点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．解把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.如图所示，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.所以，|C 1C 2|＝(－3＋1)2＋(1＋2)2＝13.因此，|MN |的最大值是13＋5.20．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．解 如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2.设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2. ∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2.化简得点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510.21．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2，3)， (1)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求PQ 的斜率；(2)若点M 是圆C 上任意一点，求|MQ |的最大值、最小值；(3)若N (a ，b )满足关系：a 2＋b 2－4a －14b ＋45＝0，求出t ＝b －3a ＋2的最大值．解 圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0可化为(x －2)2＋(y －7)2＝8. (1)点P (m ，m ＋1)在圆C 上，所以m 2＋(m ＋1)2－4m －14(m ＋1)＋45＝0，解得m ＝4，故点P (4,5)．所以PQ 的斜率是k PQ ＝5－34＋2＝13；(2)如图，点M 是圆C 上任意一点，Q (－2,3)在圆外， 所以|MQ |的最大值、最小值分别是 |QC |＋r ，|QC |－r . 易求|QC |＝42，r ＝22， 所以|MQ |max ＝62，|MQ |min ＝2 2.(3)点N 在圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上，t ＝b －3a ＋2表示的是定点Q (－2,3)与圆上的动点N 连线l 的斜率． 设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0. 当直线和圆相切时，d ＝r ，即|2k －7＋2k ＋3|k 2＋1＝22，解得k ＝2±3.所以t ＝b －3a ＋2的最大值为2＋ 3.22．(12分)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1. (1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．解 (1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5.消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上． (2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0， ∵上式对于任意k ≠－1恒成立，∴⎩⎨⎧2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0.解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)． (3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径． 即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∴k ＝5±3 5.。
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1.1.1 集合的含义与表示章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间两点A (3，－2,5)，B (6,0，－1)之间的距离为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 解析：|AB |＝－2＋－2－2＋＋2＝49＝7.答案：B2．方程x 2＋y 2－4x ＋4y ＋10－k ＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜2 B ．k ＞2 C ．k ≥2D ．k ≤2解析：若方程表示圆，则(－4)2＋42－4(10－k )＞0， 解得k ＞2. 答案：B3．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C. 答案：C4．直线4x －3y －2＝0与圆x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－12＝0总有两个交点，则a 应满足( ) A ．－3＜a ＜7 B ．－6＜a ＜4 C ．－7＜a ＜3D ．－21＜a ＜19解析：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－12＝0， 配方得(x －a )2＋(y ＋2)2＝16， 圆心为(a ，－2)，半径r ＝4. 若直线与圆总有两个交点， 则|4a ＋6－2|5＜4，∴|4a ＋4|＜20，∴|a ＋1|＜5.∴－6＜a ＜4. 答案：B5．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或2解析：当k ＝3时，两直线平行；当k ≠3时，由两直线平行，斜率相等，得3－k 4－k＝k －3，解得k ＝5. 答案：C6．直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系为( )A ．相交或相切B ．相交或相离C ．相切D ．相交解析：解法一 因为直线y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0， 而点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0在圆x 2＋y 2＝1内，所以直线和圆相交．解法二 圆C 的圆心(0,0)到直线y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12k k 2＋1，因为d 2＝14k 2k 2＋1<14<1，所以直线与圆相交． 答案：D7．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时，它与定点Q (3,0)连线的中点M 的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1解析：设M (x ，y )，则P (2x －3,2y )． 因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 故有(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案：C8．已知直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A.32B.34 C ．2 5 D.655解析：该圆的圆心为A (2，－3)，半径长r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为2r 2－d 2＝29－5＝4.因为原点到直线的距离为|0－0－3|1＋4＝35，所以S ＝12×4×35＝655.答案：D9．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( )A.132 B.534 C.532 D.532解析：利用中点公式，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，由两点间距离公式计算知|PC |＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋－2＝4＋14＋9＝532. 答案：D10．若过定点M (－1,0)且斜率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( ) A ．0＜k ＜ 5 B ．－5＜k ＜0 C ．0＜k ＜13D ．0＜k ＜5解析：圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0可变形为(x ＋2)2＋y 2＝9，如图所示．当x ＝0时，y ＝±5，结合图形可得A (0，5)， ∵k AM ＝51＝5， ∴k ∈(0，5)． 答案：A11．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程是( ) A ．2x －y －1＝0 B ．2x －y －1＝0(x ≠1) C ．x －2y －1＝0(x ≠1)D ．x －2y －1＝0解析：圆心为(2m ＋1，m )，r ＝|m |(m ≠0)． 不妨设圆心坐标为(x ，y )，则x ＝2m ＋1，y ＝m ，∴x －2y －1＝0. 又∵m ≠0，∴x ≠1，故选C. 答案：C12．过点P (2,3)向圆x 2＋y 2＝1作两条切线PA 、PB ，则弦AB 所在直线的方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．2x ＋3y －1＝0 C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0解析：圆x 2＋y 2＝1的圆心为坐标原点O ，以OP 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.显然这两个圆是相交的，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134，得2x ＋3y －1＝0，这就是弦AB 所在直线的方程． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．圆心为点(2，－3)，且被直线2x ＋3y －8＝0截得的弦长为43的圆的标准方程为____________．解析：∵圆心(2，－3)到直线距离d ＝|4－9－8|4＋9＝1313＝13，∴R 2＝d 2＋(23)2＝13＋12＝25， ∴R ＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝2514．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于点A 、B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为____________．解析：依题意得圆心坐标为(－1,2)，且直线l 与由圆心与点(0,1)确定的直线相互垂直，因此直线l 的斜率等于1，又该直线l 经过点(0, 1)，所以直线的方程是y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝015．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________．解析：设M (0，y,0)，由1＋y 2＋4＝1＋(－3－y )2＋1，可得y ＝－1，故M (0，－1,0)． 答案：(0，－1,0)16．点P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10＝0的距离的最小值为________． 解析：点P 到直线3x －4y －10＝0距离的最小值为圆心到直线的距离减半径．d min ＝1032＋42－1＝105－1＝1. 答案：1三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知圆M ：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0相交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标． 解析：由圆M 和圆N 的方程易知两圆的圆心分别为M (m ，－2)，N (－1，－1)． 两圆方程相减得直线AB 的方程为 2(m ＋1)x －2y －m 2－1＝0. ∵A 、B 两点平分圆N 的圆周，∴AB 为圆N 的直径，直线AB 过点N (－1，－1)． ∴2(m ＋1)×(－1)－2×(－1)－m 2－1＝0. 解得m ＝－1.故圆M 的圆心为M (－1，－2)．18．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C于A ，B 两点．(1)当直线l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程．解析：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因为直线l 过点P ，C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，直线l 垂直于PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y－6＝0.19．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R)． (1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长． 解析：(1)直线l 可变形为y －1＝m (x －1)，因此直线l 过定点D (1,1)，又12＋－2＝1<5，所以点D 在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交． (2)由题意知m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝m ， 又k ＝tan 120°＝－3，即 m ＝－ 3.此时，圆心C (0,1)到直线l ：3x ＋y －3－1＝0的距离d ＝|－3|32＋12＝32，又圆C 的半径r ＝5， 所以|AB |＝2r 2－d 2＝25－⎝⎛⎭⎪⎫322＝17. 20．(本小题满分12分)已知圆C 的方程为：x 2＋y 2－4mx －2y ＋8m －7＝0，(m ∈R)． (1)试求m 的值，使圆C 的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C 相切，且过点(4，－3)的直线方程． 解析：配方得圆的方程为(x －2m )2＋(y －1)2＝4(m －1)2＋4. (1)当m ＝1时，圆的半径最小，此时圆的面积最小． (2)当m ＝1时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 当斜率存在时设所求直线方程为y ＋3＝k (x －4)， 即kx －y －4k －3＝0.由直线与圆相切，所以|2k －1－4k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝－34.所以切线方程为y ＋3＝－34(x －4)，即3x ＋4y ＝0.又过(4，－3)点，且与x 轴垂直的直线x ＝4，也与圆相切． 所以所求直线方程为3x ＋4y ＝0及x ＝4.21.(本小题满分13分)如图所示，圆O 1和圆O 2的半径长都等于1，|O 1O 2|＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程． 解析：以O1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，得|PM |2＝2|PN |2. 因为两圆的半径长均为1， 所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 即(x －6)2＋y 2＝33，所以所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.22．(本小题满分13分)已知：以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．解析：(1)证明：∵圆C 过原点O ，∴r 2＝OC 2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t2＋4t2.令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝12t .解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 点到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C点到直线y＝－2x＋4的距离d＝95>5，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.。