电流的磁场教案5

第十章 稳恒电流的磁场基 本 要 求一、理解磁感应强度、磁通量、磁矩等概念。

二、掌握反映稳恒电流磁场特性的两个基本定律，即高斯定理和安培环路定理。

三、掌握运用毕奥—萨伐尔定律和安培环路定理求载流导体周围磁场的基本方法。

四、掌握洛仑兹公式和安培定律，并能运用它们计算运动电荷和载流导线在磁场中所受的力以及载流线圈在磁场中所受的磁力矩。

五、掌握载流导线和载流线圈在磁场中运动时，磁力做功的计算方法。

内 容 提 要一、磁感应强度B磁感应强度可以用磁场力的三个公式（运动电荷所受的磁场力公式、电流所受的磁场力公式、载流线圈所受的磁力矩公式）定义。

例如从安培力的角度，B 定义为单位电流元在该处所受的最大安培力。

()IdldF B max安=二、磁力线 磁通量磁力线的特征 1. 闭合曲线；2. 与电流相互套连；3. 方向与电流的方向服从右手螺旋定则。

磁通量的定义式S B d d Φm ⋅=⎰⋅=Sm d ΦS B三、磁场的基本规律 1、毕−萨定律24r πId d r l B ⨯=真空磁导率 m /A T 10470⋅⨯=-πμ 磁介质的相对磁导率 r μ磁介质的绝对磁导率（简称磁导率） r μμμ0= 2、叠加原理∑=ii B B ， ⎰=B B d利用毕−萨定律和叠加原理，原则上可以求任意电流的磁场分布。

3、B 的高斯定理 (磁通连续方程)⎰=⋅Sd 0S B4、安培环路定理真空中∑⎰=⋅内Id Lμl B有磁介质时∑⎰=⋅I d Ll HH B μ=四、几种典型电流的磁感应强度一段载流直导线 ()210c o s c o s 4φφ-=r πIμB 无限长载流直导线 rπIμB 20=无限长均匀载流薄圆筒 rπIμB B 2,00==外内 无限长载流密绕直螺线管，细螺绕环 0,0==外内B nI μB 圆电流圈的圆心和轴线上 ()23220轴线022/x R πISμB R I μB +==，中心五、磁力公式1、运动电荷所受的磁场力(洛仑兹力) B v f ⨯=q 洛2、电流所受的磁场力（安培力）电流元所受的磁场力 B l F ⨯=Id d 电流L 所受的磁场力 ⎰⨯=LId B l F3、载流线圈的磁矩和载流线圈受受的磁力矩载流线圈的磁矩 S p I m = 载流线圈受的磁力矩 B p M ⨯=m解题方法与例题分析一、运用毕−萨定律和叠加原理，求磁感应强度B解题思路：先将载流导线分割成电流元，任一电流元在空间某点产生的磁感应强度用B d 表示,根据场的叠加原理求得整个导线的磁感应强度⎰=B B d 。

解题时，要选择适当的坐标系，把矢量积分⎰=B B d 化为分量式，统一变量，确定积分限再积分。

如果载流导线由几个电流组成, 则载流导线的磁感应强度是几个电流产生的磁感应强度的叠加，即∑=ii B B ，这种方法叫叠加法。

因此，必须记住典型电流的磁感应强度B 的公式，明确公式中各个字母的确切涵义。

例1 如图10—1所示，求O 点的磁感应强度B 。

解 无限长直导线在O 点的磁感应强度大小为RIB πμ201=（方向垂直纸面向里） 圆环在O 点的磁感应强度大小为RIB 202μ=（方向垂直纸面向里）O 点的磁感应强度的大小为RIR I B B B 220021μπμ+=+=（方向垂直纸面向里） 例2 在截面均匀铜环上任意两点用两根长直导线沿半径方向引到很远的电源上，求环中心处的磁感应强度。

解 如图10—2所示的电流系统在环中心处O 点激发的磁感应强度，为如图所示的五段电流所产生的磁感应强度的叠加。

O 点在直电流 I AE 与 I FB 所在延长线上。

0==∴FB AE B B又O 点离I EF 很远，此电流的磁场可不计。

I 1电流在O 点的磁场2100114R dl I B L ⋅=⎰πμ21104R L I πμ= B 的方向⊗I 2电流在O 点的磁场2200224R dl I B L ⋅=⎰πμ22204R L I πμ= B 的方向⊙由电阻定理知，ACB 和ADB 的电阻R 1和R 2与其长度 L 1 和 L 2间有2121L L R R =又R 1和R 2并联，故有R 1I 1=R 2I 221B B B-=∴0)(422112=-=L I L I R πμ 即环中心处的磁感应强度为0。

例3 在xy 平面内，有一宽度为L 的“无限长”载流薄金属板，沿x 方向单位长度上的电流（线电流密度）为δ。

试求：（1）x 轴上P 点的磁感应强度的大小和方向；（2）当d >> L 时，结果又如何？解 （1）此题可用典型电流的磁场的叠加计算，把薄板分成C图10— 2L图10—3宽dx 的无数窄长条，每一个窄长条可视为无限长直导线。

在x 处取宽度为dx 的无限载流窄长条，其电流为dx dI δ=在P 点的磁感应强度为)(2/0x d L dI dB -+=πμ)(2/0x d L dx -+=πδμ⊗方向：整个载流金属板在P 点的磁场为⎰=dB B ⎰-+=L x d L dx 00)(2πδμd Ld +=ln20πδμ ⊗方向：（2）L d >>当时，)1ln(dL+⋅⋅⋅-+-=3)/(2)/(32d L d L d LdL B πδμ20=∴例4 有一闭合回路由半径为a 和b 的两个同心共面半圆连接而成，如图10—4所示，其上均匀分布线密度为λ的电荷。

当回路以匀角速度ω绕过O 点垂直于回路平面的轴转动时，求圆心O 点处的磁感强度的大小。

解 B =B 1+B 2+B 3 B 1、B 2分别为带电的大半圆线圈和小半圆线圈转动产生的磁感应强度，B 3为带电线段b －a 转动产生的磁感应强度。

ππλω21bΙ=， bΙB 2101μ=ππλωμ220⋅=b b 40λωμ=ππλω22aΙ=， ππλωμ2202⋅=a a B 40λωμ=4021λωμ==∴B B图10—4()πλω223dr d Ι=dr rB ba ⎰⋅=πλωμ22203a b ln 20πλωμ= B =B 1+B 2+B 3⎪⎭⎫⎝⎛+=a b ln 20ππλωμ例5 一半径为R 2的带电薄圆盘，其中半径为R 1的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为σ；其余部分均匀带负电荷，面电荷密度为–σ。

当圆盘以角速度ω旋转时，测得圆盘中心点O 的磁感应强度为0，问R 1与R 2满足什么关系？解 当带电圆盘转动时，可看作无数个圆电流的磁场在O 点的叠加，半径为r ，宽为dr 的圆电流dI =σ·2πrdrω/2π =σωrdr磁场 dB = μ0dI/2r =μ0σωdr /2 阴影部分产生的磁场感应强度为⎰=+10021R dr B σωμ21R σωμ= 其余部分)(2121211200⎰-==-R R R R dr B σωμσωμ 122,R R B B ==-+则有已知二、用安培环路定理求磁感应强度解题思路：先对磁场的对称性进行分析，选择适当的闭合回路（规定闭合回路绕行正方向）使B 能从积分号中提出，所选的闭合回路必须满足下列条件：1. 闭合回路必须通过待求磁感应强度的那一点；2. 闭合回路上各点的磁感应强度大小相等，方向与回路上该点的切线方向一致。

或者回路上一部分满足上述条件，而其他部分的磁感应强度等于0或与回路垂直，使这部分回路上各处0=⋅l B d例6 如图10—6所示，一均匀密绕的环形螺线管，匝数为N ，通电电流为I ，其横截面积为矩形，芯子材料的磁导率为μ ，圆环内外半径分别为R 1和R 2 ，求：（1）芯子中的B 值和芯子截面磁通量。

（2）在r <R 1和r >R 2处的B 值。

解 （1）由安培环流定理NI r H dl H L=⋅=⋅⎰π2rNI H π2=∴，RNIH B πμμ2==⎰⋅=dS B m φ12ln 2R R NIb πμ= 由安培环路定理知，在r<R 和r>R 处0=H 0=∴B例7 如图10—7所示，有一很长的同轴电缆，由一圆柱形导体（半径为r 1）和一与其同轴的导体圆筒（内外半径为r 2 、r 3）组成。

电流I 从一导体流进，从另一导体流出，电流都是均匀的分布在导体横截面上，求：（1）磁场强度的分布；（2）通过横截面（图中阴影区域）长度为l 的磁通量。

解 （1）设电缆为“无限长”，由于磁场分布的对称性，可用安培环路定理计算该磁场分布。

以截面与轴的交点为圆心、r 为半径作圆。

取此圆为闭合回路，绕行正方向如图所示。

此回路上H 的大小相等，方向与圆相切，根据安培环路定理有⎰∑=⋅I d l H∵⎰⋅=⋅r H d π2l H ∴ rI H π2∑=①当10r r <<时，闭合回路所包围的电流为I r r r r I I 212221=⋅=∑ππ ∴212r Ir H π=②当21r r r <<时 ∵ I I =∑ ∴r IH π2=③当32r r r <<时∵ )(2222223r r r r I I I ---=∑ ∴)1(22223222r r r r r I H ---=π ④当3r r >时 ∵0=-=∑I I I ∴0=H（2）阴影区域内各点的磁场强度H 都与该区域截面正交，则通过该区域内的磁通量为1200ln 222121r rIl ldr r I Bldr BdS d Φr r r r m πμπμ====⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰S B例8 一对同轴的无限长空心导体圆筒，内、外半径分别为R 1和l图10—8R 2（筒壁厚度可以忽略不计），电流I 沿内筒流去，沿外筒流回，如图10—8所示。

（1）计算两圆筒间的磁感应强度；（2）求通过长度为l 的一段截面（图中的斜线部分）的磁通量。

解 （1）由安培环路定理⎰=⋅=⋅I r B dl B 02μπrIB πμ20=（2）在截面上r 处，取宽为dr ，长l 的窄条，其面积dS =ldr ，则 dS B d m ⋅=φldr rI⋅=πμ20rdr r Il d sR R m m ⎰⎰==∴2120πμφφ120ln2R R r Il πμ= 三、求磁力、磁力矩和磁力的功1. 求磁场对载流导线的作用力，先用安培定理计算导线上任一电流元所受的作用力B l F ⨯=Id d ，再用力的叠加原理⎰=F F d 求得整个导线所受的力。

注意：如果导线上各电流元所受的作用力F d 的方向不同时，应选取恰当的坐标系把矢量积分⎰=F F d 化为分量式：⎰=x x dF F ，⎰=y y dF F ，⎰=z z dF F进行计算。

2. 求平面线圈在均匀磁场中所受的力矩有两种方法：① 先求出各电流元受力F d ，由力矩的定义得电流元受的力矩F r M d d ⨯=，再用积分求得整个线圈所受的磁力矩⎰=M M d②利用公式B P M ⨯=m ，求力矩。