2015年高三物理一轮复习专题(四)圆周运动、天体运动要点

2015高考物理复习（五） 圆周运动 天体运动一、匀速圆周运动1．匀速圆周运动(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动．(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动． (3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心． 2．描述圆周运动的物理量定义、意义 公式、单位线速度①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量(v ) ②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切①v ＝Δs Δt ＝2πrT②单位：m/s 角速度①描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω) ②中学不研究其方向①ω＝ΔθΔt ＝2πT②单位：rad/s 周期和转速①周期是物体沿圆周运动一周的时间(T ) ②转速是物体单位时间转过的圈数(n )，也叫频率(f )①T ＝2πrv单位：s②n 的单位：r/s 、r/min ，f 的单位：Hz向心加速度 ①描述速度方向变化快慢的物理量(a ) ②方向指向圆心①a ＝v 2r＝r ω2②单位：m/s 2二、匀速圆周运动向心力1.作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．2．大小：F ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2r ＝m ωv ＝4π2mf 2r .3．方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力． 4．来源向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供.三、离心现象1.定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势． 3．受力特点当F ＝mr ω2时，物体做匀速圆周运动； 当F ＝0时，物体沿切线方向飞出；当F ＜mr ω2时，物体逐渐远离圆心，F 为实际提供的向心力，如图所示．四、竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆”模型1．模型条件(1)物体在竖直平面内做变速圆周运动．(2)“轻绳模型”在轨道最高点无支撑，“轻杆模型”在轨道最高点有支撑． 2．模型特点五、万有引力定律及其应用1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小轻绳模型 轻杆模型常见类型过最高点的 临界条件由mg ＝m v 2r得v 临＝gr 由小球恰能做圆周运动即得v 临＝0讨论分析(1)过最高点时，v ≥gr ，F N ＋mg ＝m v 2r，绳、轨道对球产生弹力F N(2)不能过最高点v ＜gr ，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v ＝0时，F N ＝mg ，F N 为支持力，沿半径背离圆心(2)当0＜v ＜gr 时，－F N ＋mg ＝m v 2r ，F N 背离圆心，随v 的增大而减小(3)当v ＝gr 时，F N ＝0 (4)当v ＞gr 时，F N ＋mg ＝m v 2r，F N 指向圆心并随v 的增大而增大与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比．2．表达式：F ＝Gm 1m 2r 2G 为引力常量：G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2.3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离． 六、环绕速度1.第一宇宙速度又叫环绕速度．2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度． 3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度． 4．第一宇宙速度的计算方法．(1)由G Mm R 2＝m v 2R 得v ＝GMR. (2)由mg ＝m v 2R得v ＝gR .注意 ：1.第二宇宙速度(脱离速度)：v 2＝11.2 km/s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．2．第三宇宙速度(逃逸速度)：v 3＝16.7 km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．七、卫星运行参量的分析与计算1．利用万有引力定律解决卫星运动的一般思路(1)一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． (2)两组公式G Mm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2r ＝ma mg ＝GMmR2(g 为星体表面处的重力加速度)2．卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫v ＝GM rω＝GM r 3T ＝4π2r3GM a n＝G Mr2⇒当r 增大时⎩⎪⎨⎪⎧v 减小ω减小T 增大a n减小3．地球同步卫星的特点轨道平面一定 轨道平面与赤道平面重合高度一定 距离地心的距离一定，h ＝4.225×104km ； 距离地面的高度为3.6×104km环绕速度一定 v ＝3.08 km/s ，环绕方向与地球自转方向相同角速度一定 ω＝7.3×10－5rad/s周期一定 与地球自转周期相同，常取T ＝24 h向心加速度大小一定a ＝0.23 m/s 24.卫星的可能轨道(如图4－4－1所示)卫星的轨道平面一定过地球的地心图4－4－1典型例题图4－3－2【典例1】 如图4－3－2所示为皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径是4r ，小轮的半径是2r ，b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中皮带不打滑，则( )．A ．a 点和b 点的线速度大小相等B ．a 点和b 点的角速度大小相等C ．a 点和c 点的线速度大小相等D ．a 点和d 点的向心加速度大小相等解析 皮带不打滑表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮带移动的距离相等，即a 、c 两点的线速度大小相等，选项A 错、C 对；b 、c 、d 三点同轴转动，角速度大小相等，故ωc ＝ωb ，又v a ＝v c ，r c ＝2r a ，且v ＝r ω，故ωa ＝2ωc ，ωa ＝2ωb ，选项B 错；设a 点线速度大小为v ，c 点线速度也为v ，而d 点线速度则为2v ，所以a a ＝v 2r，a d ＝v 24r＝v 2r，选项D 对．答案 CD反思总结 常见的三种传动方式及特点1．皮带传动：如图4－3－3甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即v A ＝v B .图4－3－32．摩擦传动：如图4－3－4甲所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即v A ＝v B .图4－3－43．同轴传动：如图4－3－4乙所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA ＝ωB .【跟踪训练】图4－3－51．(2013·桂林模拟)如图4－3－5所示，B 和C 是一组塔轮，即B 和C 半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为R B ∶R C ＝3∶2，A 轮的半径大小与C 轮相同，它与B 轮紧靠在一起，当A 轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B 轮也随之无滑动地转动起来．a 、b 、c 分别为三轮边缘的三个点，则a 、b 、c 三点在运动过程中的( )．A ．线速度大小之比为3∶2∶2B ．角速度之比为3∶3∶2C ．转速之比为2∶3∶2D ．向心加速度大小之比为9∶6∶4 答案 D2．(2013·福建卷，20)如图4－3－19所示，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O 点，下端系一质量m ＝1.0 kg 的小球．现将小球拉到A 点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过B 点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C 点．地面上的D 点与OB 在同一竖直线上，已知绳长L ＝1.0 m ，B 点离地高度H ＝1.0 m ，A 、B 两点的高度差h ＝0.5 m ，重力加速度g 取10 m/s 2，不计空气影响，求：图4－3－19(1)地面上DC 两点间的距离s ； (2)轻绳所受的最大拉力大小．解析 (1)小球从A 到B 过程机械能守恒，有mgh ＝12mv 2B ①小球从B 到C 做平抛运动，在竖直方向上有H ＝12gt 2②在水平方向上有，s ＝v B t ③ 由①②③式解得s ≈1.41 m(2)小球下摆到达B 点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有F －mg ＝m v 2BL⑤由①⑤式解得F ＝20 N 根据牛顿第三定律F ′＝－F 轻绳所受的最大拉力为20 N. 答案 (1)1.41 m (2)20 N【典例2】 (2012·福建卷，20)如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R ＝0.5 m ，离水平地面的高度H ＝0.8 m ，物块平抛落地过程水平位移的大小s ＝0.4 m ．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g ＝10 m/s 2.求：(1)物块做平抛运动的初速度大小v 0； (2)物块与转台间的动摩擦因数μ.解析 (1)物块做平抛运动，在竖直方向上有H ＝12gt 2①在水平方向上有s ＝v 0t ，② 由①②式解得v 0＝s g 2H代入数据得v 0＝1 m/s.(2)物块离开转台时，由最大静摩擦力提供向心力，有F f m ＝m v 20R ③F f m ＝μN ＝μmg ④由③④式得μ＝v 20gR，代入数据得μ＝0.2.答案 (1)1 m/s (2)0.2【跟踪短训】3．铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h 的设计不仅与r 有关．还与火车在弯道上的行驶速度v 有关．下列说法正确的是( )．A ．速率v 一定时，r 越小，要求h 越大B ．速率v 一定时，r 越大，要求h 越大C ．半径r 一定时，v 越小，要求h 越大D ．半径r 一定时，v 越大，要求h 越大 解析火车转弯时，圆周平面在水平面内，火车以设计速率行驶时，向心力刚好由重力G 与轨道支持力F N 的合力来提供，如图所示，则有mg tan θ＝mv 2r ，且tan θ≈sin θ＝hL ，其中L 为轨间距，是定值，有mg h L ＝mv 2r，通过分析可知A 、D 正确． 答案 AD图4－3－7【典例3】 如图4－3－7所示，2012年8月7日伦敦奥运会体操男子单杠决赛，荷兰选手宗德兰德荣获冠军．若他的质量为60 kg ，做“双臂大回环”，用双手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动．此过程中，运动员到达最低点时手臂受的总拉力至少约为(忽略空气阻力，g ＝10 m/s 2)( )．A ．600 NB ．2 400 NC ．3 000 ND ．3 600 N审题指导关键点：运动员以单杠上某一点为圆心做圆周运动属于竖直面内圆周运动的杆模型牛顿第二定律和机械能守恒定律⎩⎪⎨⎪⎧F N －mg ＝mv 2R牛顿第二定律方程mg ·2R ＝12mv 2机械能守恒方程自己试一试哟！解析 设运动员在最低点受的拉力至少为F N ，此时运动员的重心的速度为v ，设运动员的重心到手的距离为R ，由牛顿第二定律得：F N －mg ＝m v 2R又由机械能守恒定律得：mg ·2R ＝12mv 2由以上两式代入数据得：F N ＝5mg ，运动员的重力约为G ＝mg ＝600 N ，所以F N ＝3 000 N ，应选C.答案 C反思总结 竖直面内圆周运动的求解思路(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同． (2)确定临界点：v 临＝gr ，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是F N 表现为支持力还是拉力的临界点．(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况． (4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F 合＝F 向．(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程．图4－3－8[跟踪训练]4.如图4－3－8所示，两段长均为L 的轻质线共同系住一个质量为m 的小球，另一端分别固定在等高的A 、B 两点，A 、B 两点间距也为L ，今使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时速率为v ，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点时速率为2v ，则此时每段线中张力大小为( )．A.3mg B ．23mg C ．3mgD ．4mg解析 当小球到达最高点时速率为v ，有mg ＝m v 2r，当小球到达最高点速率为2v 时，应有F ＋mg ＝mv2r，所以F ＝3mg ，此时最高点各力如图所示，所以F T ＝3mg ，A 正确．答案 A【典例4】 为了实现人类登陆火星的梦想，近期我国宇航员王跃与俄罗斯宇航员一起进行“模拟登火星”实验活动．已知火星半径是地球半径的12，质量是地球质量的19，自转周期也基本相同．地球表面重力加速度是g ，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是h ，在忽略自转影响的条件下，下述分析正确的是( )．A ．王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的49B ．火星表面的重力加速度是23gC ．火星第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的23D ．王跃以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度是32h解析 当我国宇航员王跃在地球表面时，根据万有引力定律及牛顿第二定律可得GMm r 2＝mg ＝ma ＝mv 2r ，同理可得王跃在火星表面时F 万′＝GM ′m r ′2＝mg ′＝ma ′＝mv ′2r ′，可得王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的49，A 项对；火星表面的重力加速度是g ′＝49g ，B 项错；火星的第一宇宙速度v ′＝ M ′r Mr ′v ＝23v ，故C 项对；由0－v 2＝－2gh 可得王跃以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度h ′＝g g ′h ＝94h ，D 项错． 答案 AC总结：星体表面上的重力加速度问题 计算重力加速度的方法(1)在地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)：mg ＝G mM R 2，得g ＝GM R2(2)在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′，mg ′＝GmM R ＋h2，得，g ′＝GM R ＋h2所以g g ′＝R ＋h 2R 2(3)其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相应分析【跟踪训练】5．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)( )．A.14 B ．4倍 C ．16倍D ．64倍解析 天体表面的重力加速度：g ＝GM R 2，又知ρ＝3M 4πR 3，所以M ＝9g 316π2ρ2G 3，故M 星M 地＝⎝ ⎛⎭⎪⎫g 星g 地3＝64.答案 D【典例5】 (2013·大纲，18)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103km.利用以上数据估算月球的质量约为( )． A ．8.1×1010kg B ．7.4×1013kg C ．5.4×1019kgD ．7.4×1022kg解析 天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力．“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：GMm r 2＝4π2mr T 2，得M ＝4π2r3GT 2，其中r ＝R ＋h ，代入数据解得M ＝7.4×1022kg ，选项D 正确．答案 D总结：天体质量和密度的估算 1．天体质量及密度的估算 (1)天体质量的估算：①已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 得M ＝4π2r3GT 2，只能用来求中心天体的质量．②已知天体表面重力加速度、天体半径和引力常量，由mg ＝G Mm R 2得M ＝R 2gG.(2)天体密度估算一般在质量估算的基础上，利用M ＝ρ×43πR 3进行．2．估算天体问题应注意三点(1)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h ，公转周期为365天等． (2)注意黄金代换式GM ＝gR 2的应用． (3)注意密度公式ρ＝3πGT2的理解和应用．【跟踪训练】6．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )．A.mv 2GN B ．mv 4GNC ．Nv 2GmD ．Nv 4Gm解析 设卫星的质量为m ′，由万有引力提供向心力，得G Mm ′R 2＝m ′v 2R ，①m ′v 2R＝m ′g ，②由已知条件：m 的重力为N 得N ＝mg ，③由③得g ＝N m ，代入②得：R ＝mv 2N，代入①得M ＝mv 4GN，故A 、C 、D 三项均错误，B 项正确．答案 B6．已知引力常量为G ，那么在下列给出的各种情境中，能根据测量的数据估算出火星的平均密度的是( )．A ．在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出下落的高度H 和时间tB ．发射一颗贴近火星表面绕火星做圆周运动的飞船，测出飞船的周期TC ．观察火星绕太阳的圆周运动，测出火星的直径D 和火星绕太阳运行的周期T D ．发射一颗绕火星做圆周运动的卫星，测出卫星绕火星运行的轨道半径r 和卫星的周期T解析 根据H ＝12g ′t 2可得，g ′＝2H t 2，根据GM ＝g ′R 2，M ＝43πR 3ρ可得ρ＝3H 2πGRt 2，因为火星半径未知，所以测不出火星的平均密度，选项A 错误；根据G MmR2＝m ⎝⎛⎭⎪⎫2πT 2R 和M ＝ρV ＝ρ43πR 3，解得ρ＝3πGT 2，选项B 正确；已知火星的直径D 和火星绕太阳运行的周期T ，测不出火星的质量，也就测不出火星的平均密度，选项C 错误；已知卫星绕火星运行的轨道半径r 和卫星的周期T ，根据G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，可得火星的质量为M ＝4π2r3GT 2，但火星的半径未知，测不出火星的平均密度，选项D 错误．答案 B【典例6】 (2013·海南卷，5)“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍，下列说法中正确的是( )．A ．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍B ．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍C ．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的17D ．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的17解析 由万有引力提供向心力可知G Mm r 2＝m v 2r ＝mr ω2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2＝ma ，整理可得周期T ＝4π2r3GM，线速度v ＝GMr ，角速度ω＝GM r 3，向心加速度a ＝GMr2，设地球的半径为R ，由题意知静止轨道卫星的运行半径是r 1＝7R ，中轨道卫星的运行半径是r 2＝4.4R ，由比例关系可得静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的734.43≈2倍，故A 正确；同理可判断出选项B 、C 、D 均错误．答案 A反思总结 人造卫星问题的解题技巧(1)利用万有引力提供向心力的不同表述形式：①G Mm r 2＝ma n ；②a n ＝v 2r ＝r ω2＝4π2T2r(2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律．①卫星的a n 、v 、ω、T 是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化．②a n 、v 、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径r 和中心天体质量共同决定． 【跟踪短训】7．(2013·广东卷，14)如图4－4－2所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )．图4－4－2A ．甲的向心加速度比乙的小B ．甲的运行周期比乙的小C ．甲的角速度比乙的大D ．甲的线速度比乙的大解析 根据G Mmr 2＝ma 得a ＝GM r 2，故甲卫星的向心加速度小，选项A 正确；根据G Mm r2＝m ⎝⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，得T ＝2πr 3GM ，故甲的运行周期大，选项B 错误；根据G Mm r2＝m ω2r ，得ω＝GM r 3，故甲运行的角速度小，选项C 错误；根据G Mm r 2＝mv 2r，得v ＝GMr，故甲运行的线速度小，选项D 错误． 答案 A【典例7】 如图4－4－4所示，双星系统中的星球A 、B 都可视为质点，A 、B 绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，A 、B 之间距离不变，引力常量为G ，观测到A 的速率为v 、运行周期为T ，A 、B 的质量分别为m 1、m 2.(1)求B 的周期和速率．(2)A 受B 的引力F A 可等效为位于O 点处质量为m ′的星体对它的引力，试求m ′.(用m 1、m 2表示)解析 (1)设A 、B 的轨道半径分别为r 1、r 2，它们做圆周运动的周期T 、角速度ω都相同，根据牛顿第二定律有F A ＝m 1ω2r 1，F B ＝m 2ω2r 2，即r 1r 2＝m 2m 1.故B 的周期和速率分别为：T B ＝T A ＝T ，v B ＝ωr 2＝ωm 1r 1m 2＝m 1v m 2. (2)A 、B 之间的距离r ＝r 1＋r 2＝m 1＋m 2m 2r 1，根据万有引力定律有F A ＝G m 1m 2r 2＝G m 1m ′r 21， 所以m ′＝m 32m 1＋m 22.答案 (1)T m 1v m 2 (2)m 32m 1＋m 22图4－4－4【跟踪训练】8.(2013·山东卷，20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )．A.n 3k 2T B ．n 3k T C ．n 2kT D ．n kT 解析 双星间的万有引力提供向心力．设原来双星间的距离为L ，质量分别为M 、m ，圆周运动的圆心距质量为m 的恒星距离为r .对质量为m 的恒星：G Mm L2＝m ⎝⎛⎭⎪⎫2πT 2r对质量为M 的恒星：G Mm L 2＝M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2(L －r )得G M ＋m L 2＝4π2T 2L ，即T 2＝4π2L 3G M＋m则当总质量为k (M ＋m )，间距为L ′＝nL 时，T ′＝n 3kT ，选项B 正确． 答案 B反思总结 双星系统问题的误区(1)不能区分星体间距与轨道半径：万有引力定律中的r 为两星体间距离，向心力公式中的r 为所研究星球做圆周运动的轨道半径．(2)找不准物理现象的对应规律．。