数学-论文数学中的对称美及应用

谈数学中的对称美与在解题中的应用

摘要本文首先讨论了数和式中的对称美.其次运用对称思想来解决数学问题.

在数学问题的解题过程中，巧妙地构造对称美，从整体上把握问题的实质，优化解题过程.先是就对称在微积分中的应用，列举了一些重要的结论及其在解题中的具体应用.再研究了几何图形中的对称美.然后讨论了数学中其它方面的对称美.特别是对称在记忆数学公式和数学方法中的应用.最后探讨了对称思想在数学教学中的应用，通过在数学教学中落实对称的数学美的思想方法，从而促进学生形成学习数学知识的良好的、积极的情感行为，更好地理解数学知识，提高学生解决数学问题的能力.

关键词：对称；数学美；轮换对称性；积分区间；对称性原理；数学思想

1引言

1.1对称美

对称性的感受逐惭成为一项美学准则，广泛应用于建筑、造型艺术、绘画以及工艺美术的装饰之中.你可以从许多中、外著名的建筑、艺术珍品中看到.天坛的建筑、天安门的建筑、颐和园长廊的建筑以及各种花瓶、古人饮酒的爵和各种花边等等是旋转对称、左右对称和平移对称的典型例子.这些对称美给人

以匀称、均衡、连贯、流畅的感受，因而体现着一种娴静、稳重、庄严.

在现实世界中,既有形态各异的自然对称,又有巧夺天工的人工对称,它们构成了一幅人与自然和谐的优美画卷.因此,对称是宇宙和自然界的基本属性,也是事物适应周围环境而生存发展和繁衍生息的自然规律,充分展现出事物协调环境、自我完善的、和谐的自然美.

1.2数学中的对称美

美，不仅存在于艺术、文学中，存在于大自然以及社会生活中，而且也存在于自然科学中，存在于数学之中.早在两千多年前，古代哲学家、数学家普洛克拉斯曾说过：“哪里有数，哪里就有美.”这就是说，数学中也充满了美的因素.

作为一门科学，数学在其内容结构上和方法上都具有自身的某种美，即数学美.数学美的内容非常丰富，包括普适美、对称美、简洁美、比例美、和谐美、奇趣美等特性.其中对称性是数学美的重要特性之一，正如德国著名的数学家和物理学家魏尔所说的：“美和对称性紧密相连”.数学对称美是数学美的重要组成部分,它普遍存在于初等数学与高等数学的各个分支，在数学研究中有着重要的作用,一直是数学们长期追求的目标，有时甚至把它作为一种尺度，是数学创造与发现的美学方法之一.

在数学中，不少的概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的.数学中众多的轴对称，中心对称图形和等量关系都被赋予了平衡、协调的对称美.对于数学概念，也是一分为二地成对出现的：整－分，奇－偶，和－差，曲－直，方－圆，分解－组合，平行－交叉，正比例－反比例……，都显得那么的稳定、和谐、协调、平衡，如此地奇妙动人.

2数和式的对称美

2.1数的对称美

在数学中，如果一个整数，它的各位数字是左右对称的，我们就称这个数是对称数.例如：1234321、123321等.

对称数可以分为奇位对称数和偶位对称数.奇位对称数是指位数是奇数的

对称数，奇位对称数位数最中间的那个数字称为对称轴数.偶位对称数是指位数是偶数的对称数，偶位对称数没有对称轴数.

产生对称数的方法有很多种：

(1)形如11、111、1111、……的数的平方数是对称数.如：

1×9+2=11

12×9+3=111

...............

123456789×9+10=1111111111

(2)某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进

行下去，也可得到对称数.

如：475

475+574=1049

1049+9401=10450

10450+05401=15851

15851也是对称数.

美的主要形式就是秩序，匀称和确定性，上面的几个式子就巧妙的体现了数和式中的对称美.可以看出，数学与美学是紧密相连，相辅相成的.

2.2式的对称美

如果在代数式中，把任意的两个字母对换，代数式仍然保持不变，像这样的代数式就称为是对称代数式或对称式.如：2232,2,33x y z x x y y x x y x y y +++++++,互换式子中的,x y ,得到的式子仍然成立.在对称式中，字母是对称的，地位是平等的.

在二项式定理：

00111222222110()n n n n k n k k n n n n n n n n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b -------+=+++++++

中，如果把当1,2,n n =的二项式展开式的系数列成如下：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

0n C 1n C 2n C 3n C n n C

这就是著名的“杨辉三角”，它是宋朝数学家杨辉的杰作.杨辉三角是我国数学发展史上的一个成就，它反映的就是数学美的对称性.

在代数学中，也存在着漂亮的对称式，如：初等对称多项式：

112212131112n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x σσσ-=+++??=+++++????

=?

， 它在解题中也有广泛的应用.其中在运用初等对称多项式解题时联系最紧密的就是根与系数的关系定理：对于n 次多项式11110()n n n n f x a x a x a x a --=++

++的n 个根12,,,n x x x

有如下关系：

1122121311012(1)n n n n n n n n n n n a x x x a a

x x x x x x x x a a x x x a ---?+++=-???+++++=?????=-??

由此定理可以非常简便的求出关于多项式根的对称多项式的值.

例1.设1a ，2a ，3a 是方程0876523=-+-x x x 的三个根，计算：

))()((233121233222222121a a a a a a a a a a a a ++++++（*）

的值.

解：令3211a a a ++=σ. 3132212a a a a a a ++=σ， 3213a a a =σ， 则 561=σ,572=σ,5

83=σ. 再将（*）式化为初等对称多项式的多项式，得：

))()((233121233222222121a a a a a a a a a a a a ++++++

=323312221σσσσσ--=-

625

1679. 由上面的例子可以看出，对称性在数学中是广泛存在的，数学与对称是紧密相连的. 3对称美在数学中的应用

3.1对称在数学解题中的应用

解题是一门艺术，对称性是艺术的一个非常重要的要素，如果在解题的过程中注意到对称性，那么就可以减少一些繁琐的计算，化难为易，提高解题的效率，达到事半功倍的效果.微分与积分也是一对具有对称美的事物，而对称性的方法也是微积分计算中常用的方法.

3.1.1对称在微分学中的一些结论与应用

定理：（1）若(,)(,)u x y u y x =，则(,)(,)y x u x y u y x =；

(2) 若(,)(,)u x y u y x =-，则(,)(,)y x u x y u y x =-.

因此若求出x u ，则可直接写出y u ，xx u 与yy u 的关系，也是如此.

例2.设()xy u e x y =-，求出x u ，y u ，xx u ，yy u .

解：2()(1)xy xy xy x u e y x y e e xy y =-+=-+，

223(1)(2)xy xy xy xx u e y xy y e y e xy y y =-++=-+.

对称的有：2(1)xy y u e x xy =--，32(2)xy yy u e x x y x =--.

3.1.2对称在积分学中的一些结论和应用

3.1.2.1在重积分计算中，经常利用多元函数的轮换对称性来解题.

轮换对称性的定义:若积分区域或被积函数的表达式中,将其变量x,y,z 按下列次序:x →y;y →z;z →x 后,其表达式均不变,则称积分区域或被积函数关于变量x,y,z 具有轮换对称性.

定理1：(二重积分的坐标轮换对称性)

如果区域D 的边界曲线方程是关于x,y 地位对称，(,)f x y 在D 上连续,则

(,)(,)D D

f x y dxdy f y x dxdy =????

定理2：(三重积分的坐标轮换对称性)

如果有界闭区域Ω的边界曲面的方程关于x,y,z 地位对称,()f u 在Ω上连续,则

()()()f x dxdydz f y dxdydz f z dxdydz ΩΩΩ

==?????????.

由此，可以推广到：

定理3：(n 重积分的坐标轮换对称性)

如果n 维有界闭区域V 的边界曲面的方程关于12,,

,n x x x 地位对称，()

f u 在V 上连续,则 112()n f x dx dx dx ????=212()n f x dx dx dx ???

? =12()n n f x dx dx dx =???

? 例3.计算三重积分2()()f x dxdydz x y z dxdydz ΩΩ

=++??????，其中Ω是0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤所围成正方形(a 为一大于0的实数).

解：2222()(222)I x y z dxdydz x y z xy xz yz dxdydz

ΩΩ=++=+++++??????

中被积函数及积分区域都有轮换对称性.

所以 222x dxdydz y dxdydz z dxdydz ΩΩΩ

==?????????，

xydxdydz xzdxdydz yzdxdydz ΩΩΩ

==?????????，

故2(36)I x xy dxdydz Ω=+???260005(36)2a a a dz dy x xy dx a =+=

???.

3.1.2.2 利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性，可简化定积分的计算. 定理：设()f x 是[]b a ,上的连续函数，则通过变换x a b t =+-，可得：

()b

a f x dx ?=()

b a

f a b x dx +-?[]22()()a b a f x f a b x dx +=++-? 这就是积分区间的对称原理. 特别地，当()()f x f a b x =+-时，有()b a f x dx ?2

2()a b

a f x dx +=?.

例4.

求积分2

0π

?.

解：由于()f x =0,2π??????

上有界，且只有可去间断点2x π=,故定积分存在. 由积分区间对称原理可得：

原积分201121()2dx x ππ????=+??+-??

?

220011224dx dx ππ

π===??. 若被积函数是非奇非偶时，通过适当的换元或拆项等方法也可转化为对称区间的积分问题.

把积分区间的对称性原理推广到二元函数积分中，可以得到结论：

结论1：设D 关于y 轴对称,则

(,)D f x y dxdy ??12(,)(,)0(,)D f x y dxdy f x y x f x y x ??=???

??若关于变量为偶函数若关于变量为奇函数’ 其中1D 是D 的右半部分:1{(,)|(,),0}D x y x y D x =∈≥且.

结论2：设D 关于x 轴对称,则

(,)D f x y dxdy ??12(,)(,)0(,)D f x y dxdy f x y y f x y y ??=???

??若关于变量为偶函数若关于变量为奇函数’ 其中1D 是D 的上半部分:1{(,)|(,),0}D x y x y D y =∈≥且.

结论3：设D 关于x 轴和y 轴均对称，且(,)f x y 关于变量x 和变量y 均为偶函数，则

1

(,)4(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =????

其中1D 是D 在第一象限的部分：1{(,)|(,),0,0}D x y x y D x y =∈≥≥且. 结论4：设D 关于原点对称,则

(,)D f x y dxdy ??122(,)2(,),(,)(,)0(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y f x y f x y ?=--=?=??--=-?

????如果如果 其中1{(,)|(,),0}D x y x y D x =∈≥且,2{(,)|(,),0}D x y x y D y =∈≥且.

结论5：设D 关于直线y=x 对称，则

(,)(,)D D

f x y dxdy f y x dxdy =????

特别地，当12(,)()()f x y f x f y =时,1212()()()()D D

f x f y dxdy f y f x dxdy =????.

例5.计算二重积分2(751)D

I x x y d σ=+++??,其中22:1D x y +≤.

解：D 关于x 轴和y 轴均对称,而75x y 和分别关于变量x 和y 为奇函数,故

(75)0D

x y d σ+=??,

所以：22(1)D D D

I x d x d d σσσ=+=+??????212005(cos )4d r rdr πθθππ=+=??. 同样地，将它应用到三重积分中.

例6.计算三重积分()x z dxdydz Ω

+???,其中Ω是由曲面

z =

z =所围成的区域.

解:Ω关于坐标面x=0对称,且关于变量x 为奇函数,故0xdxdydz Ω

=???.

所以()x z dxdydz zdxdydz ΩΩ+=??????2124000cos *sin 8d d r r dr πππθ???==

???. 例10.计算三重积分222222ln(1)1V

z x y z dxdydz x y z ++++++???, 其中{}222(,,)|1V x y z x y z =++≤.

解:积分区域V 是以原点O(0,0,0)为中心的单位球域,所以V 关于xoy 平面对称，被

积函数222222

ln(1)(,,)1z x y z f x y z x y z +++=+++是关于z 的奇函数, 故由对称性知222222ln(1)01V

z x y z dxdydz x y z +++=+++???. 由上可见，在解决微积分问题时，巧妙应用对称性的观点去解题，可以使运算过程更加的快捷、流畅，计算结果更加的精确.

3.2 对称在数学中的其他应用

对称是形式美的显著特征,就数学而言,不仅让枯燥抽象的数学公式变得容易记忆,而且也是数学命题证明必不可少的一种方法.

3.2.1利用对称性记忆公式

在数学分析中,斯托克斯公式有一种形式表示法:

sin sin sin c s Pdx Qdy Rdz ds x y z P Q R αβγδδδδδδ?? ? ?++= ? ???

??? 其中P,Q,和R 为连续可微函数,S 为逐片光滑的有界双侧曲面,C 为包围S 的逐段光滑的简单闭曲线,(sin ,sin ,sin )αβγ为曲面S 在点(,,)x y z 处的单位法向量,方向为逆时针,这个公式的右边是用第一型曲面积分表示的,被积函数是一个三阶行列式.

若取xy 平面上的平面区域D 作曲面S,并取上侧,则斯托克斯公式右侧的三阶行列式为001x y x y z P Q P Q R δδδδδδδδδδ???? ? ? ?= ? ? ? ???

?? 于是斯式公式就变成了格林公式,由此可见,格林公式是斯式公式的特例. 类似地,奥式公式可表示为

(sin ,sin ,sin )(,,)(,,)(,,)S V P Q R ds P Q R dv x y z

δδδαβγδδδ=????? 其中S 是包围V 的逐片光滑曲面,P,Q,R 在S+V 上是连续可微的,(sin ,sin ,sin )αβγ为曲面S 上点(,,)x y z 处的单位法向量.

不难看出,斯式公式和奥式公式都是由三个矢量(P,Q,R),(sin ,sin ,sin )αβγ,及(,,)x y z

δδδδδδ所决定的.

上述一些形式上的对称性,是数学分析中追求对称形式美的有利证据.一些望而生怯的公式由于有了对称美,变得非常容易记忆了.

3.2.2数列解题中的的对称思想

在数列解题中,存在着大量的对称思想,无论是等差数列还是等比数列,都含有丰富的对称之美.

我们知道：只要m n p q +=+，其中,,,m n p q N ∈，就有

（ⅰ）

m n p q a a a a +=+（等差数列） （ⅱ）m n p q a a a a =（等比数列）

利用这个数量关系来处理有关数列问题，常常能化繁为简.

例11.（１）已知

{}n a 为等差数列，且23101148a a a a +++=，求67?a a += （２）已知{}n a 为等比数列，2435460,225n a a a a a a a >++=，求35?a a += 解：（１）∵21131067()()482()a a a a a a +++==+,∴6724a a +=

（２）∵2224333465,a a a a a a a a ===,∴

223355225a a a a ++= ∵20a >,∴355a a +=

例12.在等差数列中，

69121520a a a a +++=，求20S . 解：∵

691215651202()2()a a a a a a a a +++=+=+ ∴201202()20S a a =+=

由此可以看出，如果在等差数列中，由条件不能具体的求出

1a 和d ，但可以求出1a 和d 的组合式，而所求的量往往可以用这个组合式来表示，那么就用“整体代值”的方法将值求出，同样的方法也可以用在等比数列中.

3.3 对称美与数学教学

人们常说：“成功的教学给人以一种美的享受”.而长期以来，在数学教学中，人们总是重视基础知识和基本技能的传授与训练，而忽视了美育的渗透，不善于发现数学本身所特有的美，不注意用数学美来感染诱发学生的求知欲望，激发他们的学习兴趣，不重视引导学生发现数学美，鉴赏数学美，以致使一些学生感到数学抽象枯燥，失去学好的信心.心理学研究表明：没有丝毫兴趣的强制性学习，将会扼杀学生探求真理的欲望.因此，只有学生热爱数学，才能产生

积极而又持久的求学劲头.

我国数学家徐利治认为：“数学教学的目的之一是使学生获得对数学的审美能力，即能增进学生对数学美的主观感受能力.”数学的教学过程不仅仅是学生个体的认识过程和发展过程，而且也是在教师指导下的一种特殊审美过程.因此在教学过程中，应当把数学美的内容通过教学过程的设计向学生揭示出来，从而使学生认识到数学的内容是美的，并且充分运用数学美的诱发力引起学生浓厚的学习兴趣、强烈的求知欲望，使抽象、高深的数学知识得以形象化、趣味化，使学生从心理上愿意接近它、接受它，直到最终热爱它.

对称美是数学中最普遍的一种美.图形的对称、式子的对称和解题方法的对称等，都能给人以匀称的美感，用对称的观点去处理数学问题，往往可以从问题的一部分联想起与此对称的另一部分，从而采取补全的方法，使之构成一种整体的对称美，使问题化繁为简，化难为易.

在数学教学过程中，充分发掘教材中的对称式的美，运算中的对称美、函数中的对称美、几何图形中的对称美，激发学生对数学美的体验，使学生从数学的显性美提高到对数学隐性美的认识，从感性认识上升到理性认识，使学生对所学的知识更易于接受，便于理解，培养学生爱好数学、认识数学美的兴趣.

在数学问题的求解过程中，充分运用对称的数学美的思想方法，可以使学生感受到对称美，增强求知欲，使数学问题的解决更加简捷明快，从而提高了学生的直觉思维能力和形象思维能力，开拓解题新思路，进而提高了学生解决问题的能力和对数学思想方法的领悟，使学生由此而产生学习数学的兴趣.在数学解题过程中,若能积极挖掘问题中隐含的对称性,巧妙地利用对称性,可使复杂的问题变得条理清楚,脉络分明,能化难为易、化繁为简.例如对于数列中的若干项的和或积的问题,如果能对其结构进行对称性的分析,将数学的对称美与题目的条件或结论相结合,就能构建一组互相关联的对偶式,从而确定解题的总体思路或入手方向.其实质是让美的启示、美的追求在解题过程中成为宏观指导力量,使问题的解决过程更加简洁明快.

数学中蕴涵着丰富的美，除了对称美以外，还有很多.把数学美的和谐对称、简单统一等特征融贯在教学的整个过程中，可以发展学生思维的灵活性、发散性、深刻性、独创性等诸方面的能力就得到培养和提高.使学生在美的享受中，获得知识，理解知识，掌握知识.

结术语数学并不等于美学，但是数学中却真实地蕴藏着丰富的美学内

涵，而对数学内在美的追寻探索，又会使人们更迅速、更确切的洞悉数学的真谛.对称美是数学美的重要特征之一，对称美是一个广阔的主题，数学则是它根本.我们应该更深刻地掌握我们的所学专业知识，积极地去理解数学，学好数学，这样才能更好的走向工作岗位，取得成功.

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