非齐次马尔科夫链遍历性的一些结果

随机过程 第五章 连续时间的马尔可夫链

第五章 连续时间的马尔可夫链 5.1连续时间的马尔可夫链 考虑取非负整数值的连续时间随机过程}.0),({≥t t X 定义5.1 设随机过程}.0),({≥t t X ,状态空间}0,{≥=n i I n ,若对任意 121...0+<<<≤n t t t 及I i i i n ∈+121,...,,有 })(,...)(,)()({221111n n n n i t X i t X i t X i t X P ====++ =})()({11n n n n i t X i t X P ==++ (5.1) 则称}.0),({≥t t X 为连续时间马尔可夫链. 由定义知,连续时间马尔可夫链是具有马尔可夫性的随机过程,即过程在已知现在时刻n t 及一切过去时刻所处状态的条件下,将来时刻1+n t 的状态只依赖于现在状态而与过去无关. 记(5.1)式条件概率一般形式为 ),(})()({t s p i s X j t s X P ij ===+ (5.2) 它表示系统在s 时刻处于状态i,经过时间t 后转移到状态j 的转移概率. 定义5.2 若(5.2)式的转移概率与s 无关,则称连续时间马尔可夫链具有平稳的或齐次的转移概率,此时转移概率简记为 ),(),(t p t s p ij ij = 其转移概率矩阵简记为).0,,()),(()(≥∈=t I j i t p t P ij 以下的讨论均假定我们所考虑的连续时间马尔可夫链都具有齐次转移概率.简称为齐次马尔可夫过程. 假设在某时刻,比如说时刻0,马尔可夫链进入状态i,而且接下来的s 个单位时间单位中过程未离开状态i,(即未发生转移),问随后的t 个单位时间中过程仍不离开状态i 的概率是多少呢?由马尔可夫我们知道,过程在时刻s 处于状态i 条件下,在区间[s,s+t]中仍然处于i 的概率正是它处于i 至少t 个单位的无条件概率..若记 i h 为记过程在转移到另一个状态之前停留在状态i 的时间,则对一切s,t 0≥有 },{}{t h P s h t s h P i i i >=>+> 可见,随机变量i h 具有无记忆性,因此i h 服从指数分布. 由此可见,一个连续时间马尔可夫链,每当它进入状态i,具有如下性质: (1) 在转移到另一状态之前处于状态i 的时间服从参数为i v 的指数分布;

第五章 连续时间的Markov链

第五章 连续时间的马尔可夫链 第四章我们讨论了时间和状态都是离散的M arkov 链，本章我们研究的是时间连续、状态离散的M arkov 过程，即连续时间的M arkov 链. 连续时间的M arkov 链可以理解为一个做如下运动的随机过程：它以一个离散时间M arkov 链的方式从一个状态转移到另一状态，在两次转移之间以指数分布在前一状态停留. 这个指数分布只与过程现在的状态有关，与过去的状态无关（具有无记忆性），但与将来转移到的状态独立. 5.1 连续时间马尔可夫链的基本概念 定义 5.1 设随机过程{(),0}X t t ≥，状态空间{,1}n I i n =≥，若对任意的正整数 1210n t t t +≤<<< 及任意的非负整数121,,,n i i i I +∈ ，条件概率满足 {}111122()|(),(),,()n n n n P X t i X t i X t i X t i ++==== {}11()|()n n n n P X t i X t i ++=== （5.1） 则称{(),0}X t t ≥为连续时间的M arkov 链. 由定义知，连续时间的M arkov 链是具有M arkov 性（或称无后效性）的随机过程，它的直观意义是：过程在已知现在时刻n t 及一切过去时刻所处状态的条件下，将来时刻1n t +的状态只依赖于现在的状态而与过去的状态无关. 记(5.1)式条件概率的一般形式为 {()|()}(,)ij P X s t j X s i p s t +=== （5.2） 它表示系统在s 时刻处于状态i ，经过时间t 后在时刻s t +转移到状态j 的转移概率，通常称它为转移概率函数.一般地，它不仅与t 有关，还与s 有关. 定义 5.2 若(5.2)式的转移概率函数与s 无关，则称连续时间M arkov 链具有平稳的转移概率函数，称该M arkov 链为连续时间的齐次（或时齐）M arkov 链. 此时转移概率函数简记为(,)()ij ij p s t p t =.相应地，转移概率矩阵简记为()(()),(,,0)ij P t p t i j I t =∈≥. 若状态空间{0,1,2,}I = ，则有 ()00010210 11 12 012() ()() ...()()()()()... ... .. ....()()( )...... .. .... ij n n n p t p t p t p t p t p t P t p t p t p t p t ?? ? ? ?== ? ? ?? ? （5.3） 假设在某时刻，比如说时刻0，M arkov 链进入状态i ，在接下来的s 个单位时间内过程 未离开状态i （即未发生转移），我们要讨论的问题是在随后的t 个单位时间中过程仍不离开状态i 的概率是多少？由M arkov 性知，过程在时刻s 处于状态i 的条件下，在区间[,] s s t +

随机过程与马尔可夫链习题答案

信息论与编码课程习题1——预备知识 概率论与马尔可夫链 1、某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课；若下雨且心情不好，则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%，该同学当天心情好的概率为20%，试计算该同学周一上课的可能性是多大？ 分析： 天气情况用随机变量X 表示，“0”表示下雨，“1”表示不下雨；心情好坏用Y 表示，“0”表示心情好用“0”表示，心情不好用“1”表示；是否上课用随机变量Z 表示，“0”表示上课，“1”表示不上课。由题意可知 已知[]5.00,0|0====Y X Z P ，[]5.00,0|1====Y X Z P []1.00,1|1====Y X Z P ，[]9.00,1|0====Y X Z P []4.01,1|0====Y X Z P ，[]6.01,1|1====Y X Z P []9.01,0|1====Y X Z P ，[]1.01,0|0====Y X Z P []3.00==X P ，[]7.01==X P []2.00==Y P ，[]8.01==Y P 即题目实际上给出了八个个条件概率和四个概率 [][][][]0,0|00|000===?==?===X Y Z P X Y P X P Z P [][][]0,1|00|10===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,0|01|01===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,1|01|11===?==?=+X Y Z P X Y P X P 由于X ，Y 相互独立，则有 [][][][]0,0|0000===?=?===X Y Z P Y P X P Z P [][][]0,1|010===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,0|001===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,1|011===?=?=+X Y Z P Y P X P []5.02.03.00??==Z P 1.08.03.0??+9.02.07.0??+1.08.07.0??+ =? 注意：全概率公式的应用 2、已知随机变量X 和Y 的联合分布律如又表所示， 且()Y X Y X g Z +==2 11,，()Y X Y X g Z /,22==，求： 1）1Z 的分布律与数学期望

马尔科夫链的介绍.doc

马尔可夫链（Markov Chain），描述了一种状态序列，其每个状态值取决于前面有限个状态[1]。马尔可夫链是具有马尔可夫性质的随机变量X_1,X_2,X_3...的一个数列。这些变量的范围，即它们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而X_n的值则是在时间n的状态。如果X_{n+1}对于过去状态的条件概率分布仅是X_n的一个函数，则P(X_{n+1}=x|X_1=x_1,X_2=x_2,...,X_n=x_n) = P(X_{n+1}=x|X_n=x_n). 这里x为过程中的某个状态。上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。 理论发展 马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。 马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。 物理马尔可夫链通常用来建模排队理论和统计学中的建模，还可作为信号模型用于熵编码技术，如算术编码（著名的LZMA数据压缩算法就使用了马尔可夫链与类似于算术编码的区间编码）。马尔可夫链也有众多的生物学应用，特别是人口过程，可以帮助模拟生物人口过程的建模。隐蔽马尔可夫模型还被用于生物信息学，用以编码区域或基因预测。 马尔可夫链最近的应用是在地理统计学(geostatistics)中。其中，马尔可夫链用在基于观察数据的二到三维离散变量的随机模拟。这一应用类似于“克里金”地理统计学(Kriging geostatistics)，被称为是“马尔可夫链地理统计学”。这一马尔可夫链地理统计学方法仍在发展过程中。 马尔可夫过程 马尔可夫过程的定义： ⑴设{(X(t),t∈T)}是一个随机过程，如果{X(t),t∈T)}在t0时刻所处的状态为已知时，与它在时刻t>t0之前所处的状态无关，则称{X(t),t∈T)}具有马尔可夫性。 ⑵设{X(t),t∈T)}的状态空间为S,如果对于任意的n≧2,任意的t1

马尔可夫链模型讲解

马尔可夫链模型（Markov Chain Model） 目录 [隐藏] 1 马尔可夫链模型概述 2 马尔可夫链模型的性质 3 离散状态空间中的马尔可夫链模 型 4 马尔可夫链模型的应用 o 4.1 科学中的应用 o 4.2 人力资源中的应用 5 马尔可夫模型案例分析[1] o 5.1 马尔可夫模型的建立 o 5.2 马尔可夫模型的应用 6 参考文献 [编辑] 马尔可夫链模型概述 马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。 时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为 。 马尔可夫链是随机变量的一个数列。这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则 这里x为过程中的某个状态。上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。

马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。 马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。 马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程： 1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关； 2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下： 1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。本文中假定S是可数集(即有限或可列)。用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。 2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态 的个数。对于任意i∈s，有。 3）是系统的初始概率分布，q i是系统在初始时刻处 于状态i的概率，满足。 [编辑] 马尔可夫链模型的性质 马尔可夫链是由一个条件分布来表示的 P(X | X n) n+ 1 这被称为是随机过程中的“转移概率”。这有时也被称作是“一步转移概率”。二、三，以及更多步的转移概率可以导自一步转移概率和马尔可夫性质：

马氏链的应用

马氏链的应用 ----转移矩阵的应用 一摘要 随机过程，作为对一连串随机事件动态关系的定量描述，在自然科学、工程科学以及社会科学各领域具有重要应用。 数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。随机过程的概念很广泛，因而随机过程的研究几乎包括概率论的全部。虽然不能给出一个有用而又狭窄的定义，但是概率论工作者在使用随机过程这个术语时，通常想到的是其随机变量具有某种有意义的相互关系的随机过程。由于这些过程类在数学上和非数学上的应用中十分重要，用这种理论工具，可以对常见的过程进行分析，进行一系列随机计算，从而可以将随机过程这一理论工具应用到实际中去，可以进行预测与决策，是相关数学模型的理论基础。 马尔可夫链，因安德烈·马尔可夫得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来是无关的。马尔可夫链通常用来建模排队理论和统计学中的建模，还可作为信号模型用于熵编码技术，如算法编码。企业的经济活动分析在企业的经营管理中发挥着日益重要的作用，马氏链

对事后实事求是地分析、总结企业完成的经济活动和事前科学地预测、判断企业未来的经济活动都是必不可少的[2]。一般情况下，经济预测的定量方法要用到数学模型，而定性方法则不需要。马尔可夫链为经济领域中运用数学模型对定性问题进行预测提供了一种思路，丰富了经济预测方法的内容。企业是一个动态变化的系统，在这一系统中，有一些变量和因素会随时间的推移而不断的随机变化。而马尔可夫链预测法又是一种适用于随机过程的科学、有效的动态预测方法，它立足于当前通过市场调查等途径所获现实资料的基础上，运用马尔可夫链的基本原理和方法对数据资料进行运算得出预测结果，因此很适用于企业的经济预测。本文就是运用马尔可夫链理论建立了一系列预测模型，使之能够给企业提供更大的帮助。 二实验目的 通过对马氏链理论的叙述，对其深入了解，将其应用到实际生活中，解决一些相关的问题。比如单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。本文主要研究的是马氏链的转移矩阵问题，这在课本上有讲到。课本中例题也有讲到，通过多做习题，也可以加深对转移矩阵的理解。三理论分析

马尔科夫链决策方法

马尔科夫预测与决策法

马尔科夫预测与决策法——是应用随机过程中马尔科夫链的理论和方法研究分析有关经济现象变化规律并借此对未来进行预测和决策的一种方法。 池塘里有三张荷叶，编号为1，2，3，假设有一只青蛙随机地在荷叶上跳来跳去。在初始时刻t ，它在第二张荷叶上。在时 ，它有可能跳到第一张或者第三张荷叶上，也有可能在原刻t 1 地不动。我们把青蛙某个时刻所在的荷叶称为青蛙所处的状态。这样，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态有关，与它以前所处的状态无关。实际上青蛙在一段时间内在荷叶间跳或不跳的过程就是一个马尔科夫过程。 2010年6月6日Sunday2

马尔可夫性与转移概率矩阵 一个过程或系统在未来时刻的状态只依赖于现状时刻的状态，而与以往更前的时刻无关，这一特性就成为无后效性（无记忆性）或马尔可夫性（简称马氏性）。换一个说法，从过程演变或推移的角度上考虑，如果系统在时刻的状态概率，仅依赖于当前时刻的状态，而与如何达到这个状态的初始概率无关，这一特性即马尔可夫性。 2010年6月6日Sunday3

设随机变量序列，{X ,X2, ···,X n, ···},它的状态集合记为 1 S= {s1,s2 , ···, s n, ···} 若对任意的k和任意的正整数i , i2 , ···,i k, i k+1,有下式成 1 立： P{X k+1= s ik+1| X1= s i1, X2= s i2, ···X k= s ik} = P{X k+1= s ik+1| X k= s ik} ,X2, ···,X n, ···} 为一个马尔可夫则称随机变量序列{X 1 链（Markov chains）。 2010年6月6日Sunday4

第十一章 马尔科夫链

第十一章 马尔科夫链 1、设有独立重复试验序列{,1}n X n ≥。以1n X =记第n 次试验时事件A 发生，且 {1}n P X p ==；以0n X =记第n 次试验时事件A 不发生，且{0}1n P X q p ===-。求： k 步转移概率矩阵。 解： {,1}n X n ≥是齐次马尔科夫链。由独立性知： 1111{|}{}n n n n n n P X i X i P X i ++++====。 又由重复性知，有 , 1,{},0.ij n p j p P X j q j =?===? =? 故 000110 11P ,p p q p p p q p ???? ==?????? ?? P P ,q p q p q p q p q p q p ??????==? ??????????? () P k k q p PP P q p ??==? ??? 。 2、若顾客的购买是无记忆的。现在市场上供应A,B,C 三个不同厂家生产的50g 袋装味精。用1,2,3n n n X X X ===分别表示事件“顾客第n 次购买A,B,C 三厂的味精”， 则{}n X 是一个马氏链。已知顾客第一次购买三种味精的概率依次为0.2，0.4，0.4。又知道一般顾客 购买的倾向表如下：0.80.10.10.50.10.40.50.30.2?? ? ? ??? 。求： 1）顾客第二次购买各厂味精的概率。 2）经过三次购买后的倾向表。3）长时间的购买活动后，A ，B ，C 三厂的市场占有率如何？ 解：1）因为 ，转移概率矩阵为 0.8 0.10.10.5 0.10.40.50.3 0.2P ?? ?= ? ?? ? ， 且初始状态为 123(,,)(0.2,0.4,0.4).u u u u ==, 顾客第二次购买的各厂味精的概率分别为： 0.80.1 0.1 (0.2,0.4,0.4)0.5 0.10.4(0.56,0.18,0.26) 0.50.30.2P ?? ?== ? ?? ? 2）、经过三次购买后的倾向表为： 30.8 0.10.10.722 0.1280.150 30.50.10.40.6950.1340.1710.50.3 0.20.695 0.1420.163P ???? ? ? == ? ? ? ?? ?? ? 3）、设其极限分布为012(,,)ππππ=，由P ππ=得，长时间的购买活动后，A ，B ，C 三

连续时间马尔可夫链

5 连续时间马尔可夫链 5.1引言 本章中我们考虑与离散时间马尔可夫链类似的连续时间马尔可夫链。如离散情形一样，它们由马尔可夫性刻画，即已知现在的状态时将来与过去独立。 在5.2节中。我们定义连续时间马尔可夫链且把它们与第四章的离散时间马尔可夫链相联系。在5.3节中，我们引入一类重要的连续时间马尔可夫链，即所谓生灭过程。这些过程可用作在任何时刻其总量的变化仅为一个单位的群体的模型。在5.4节中，我们导出两组描述系统的概率规律的微分方程——向前与向后方程。5.5节的内容是确定连续时间马尔可夫链的有关的极限（或长时间后的）概率。在5.6节中，我们考虑时间可逆的问题。其中，我们证明一切生灭过程是时间可逆的，而后阐明这事实对于排队系统的重要性。在这一节中也提供了时间可逆性对随机群体模型的应用。在5.7节中，我们阐明逆向链的重要性，即使过程不是时间可逆的。利用它我们研究排队网络模型。导出爱尔朗消失公式，分析共用加工系统。5.8节中我们表面如何“一致化”马尔可夫链——对于数值计算有用的一种技巧。 5.2连续时间马尔可夫链 考虑取非负整数值的连续时间随机过程t,0 X t，与第四章中给出的离散时间马尔可夫链的定义类似，过程t,0 X t称为连续时间马尔可夫链，如 果对一切,0 s t及非负整数,i j，x u，0u s，有 |X,X,0 P X t s j s i u x u u s P X t s j X s i | 换言之，连续时间马尔可夫链是具有马尔可夫性的随机过程，即已知现在s时是状态及一切过去的状态的套件下在将来时刻t s的状态的条件分布只依赖现在的状态而与过去独立。若又有| P X t s j X s i与s无关则称连续时间马尔可夫链具有平稳的或其次的转移概率。将假定我们所考虑的马尔可夫链都有平稳转移概率。 假设在某时刻，比如说时刻0，马尔可夫链进入状态i，而且假设在接下来的s个单位时间中过程未离开状态i（即未发生转移）。在随后的t个单位时间中过程仍不离开状态i的概率是多少呢？为了回答这个问题。注意到因为在时间s 过程处于状态i，从马尔可夫性得在区间,s s t中它仍然处于状态i的概率正是 记过程在转移到他处于状态i至少t个单位时间的（无条件）概率。也即若以 i 另一状态之前停留在状态i的时间，则对一切,0 s t有 | P s t s P t i i i

基于马尔科夫链在金融中的应用

基于马尔科夫链在金融中的应用 摘要：讨论了我国金融的发展现状及趋势，针对金融中常见的经济问题，建立相应的马尔可夫链模型，并运用马尔可夫链的相关理论为金融的经济活动进行了定量的研究，同时也阐述了马尔可夫链在经济预测中的基本思想、应用、模型预测的结果说明。实例表明，马尔可夫链模型及方法在金融活动分析中是可行和适用的，可广泛应用于解决金融中常见的预测及决策问题。 关键词：马尔可夫链；市场预测；平均利润预测；转移概率矩阵 1引言 马尔可夫链最初由俄国数学家Markov于1906年的研究而得名,Kolmogorov，Feller和Doob等数学家继续发展了这一理论，它是随机过程的重要组成部分，同时它在自然科学、工程技术、金融及经济管理等各领域中都有着广泛的应用[1]。随着我过社会主义市场经济的不断发展，科学技术的进步，经济管理体制改革的深入和金融经营机制的转变，金融不仅要利用经济活动分析这一管理经济的重要方法，分析金融的生产经营活动，而且还要分析金融的经济环境，了解国内外市场情况和社会需求的变化，以便随着其不断变化，及时调整生产经营活动，增强竞争力，从而使金融能够适应商品经济的要求而健康发展。因此，金融的经济活动分析在金融的经营管理中发挥着日益重要的作用，它对事后实事求是地分析、总结金融完成的经济活动和事前科学地预测、判断金融未来的经济活动都是必不可少的[2]。一般情况下，经济预测的定量方法要用到数学模型，而定性方法则不需要。马尔可夫链为经济领域中运用数学模型对定性问题进行预测提供了一种思路，丰富了经济预测方法的内容。金融是一个动态变化的系统，在这一系统中，有一些变量和因素会随时间的推移而不断的随机变化。而马尔可夫链预测法又是一种适用于随机过程的科学、有效的动态预测方法，它立足于当前通过市场调查