重庆育才中学2019-2020学年高2020级高三下学期3月月考数学文科试题 及答案

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题

1．若集合M＝{x|log2x＜1}，集合N＝{x|x2﹣1≤0}，则M∩N＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|0＜x≤1} 2．设（i为虚数单位），则|z|＝（）

A．B．C．D．2

3．已知向量，，，则t＝（）A．B．C．D．

4．设a＝log56，b＝log0.32，c＝e﹣2，则（）

A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

A．B．C．0D．

6．设函数f（x）＝sin（2x+），则下列结论错误的是（）

A．f（x）的一个周期为π

B．f（x）的图象关于直线x＝对称

C．f（x）的一个零点为x＝﹣

D．f（x）在区间（0，）上单调递减

7．已知等差数列{a n}的前n项为S n，b n＝且b1+b3＝17，b2+b4＝68，则S10＝（）A．90B．100C．110D．120

8．已知直线m、n与平面α、β，下列命题正确的是（）

A．m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n

C．α∩β＝m，n⊥m且α⊥β，则n⊥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n

9．已知函数f（x）＝x2﹣ln|x|，则函数y＝f（x）的大致图象是（）A．B．

C．D．

10．中国明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天比第六天多走了（）

A．24里B．18里C．12里D．6里

11．过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30°的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）

A．B．C．D．

12．已知奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，若函数g（x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）恰有4个零点，则a的取值范围是（）

A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（0，1）

二、填空题

13．已知函数f（x）＝xlnx，则曲线y＝f（x）在点x＝e处切线的倾斜角的余弦值为．

14．设f（x）＝ln（x+），若f（a）＝，则f（﹣a）＝．

15．若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m﹣3，则此椭圆的离心率为．

16．已知函数，有下列四个命题：

①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）是单调函数；

③当x＞0时，函数f（x）＞0恒成立；④当x＜0时，函数f（x）有一个零点，

其中正确的是

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．如图，ABCD是边长为2的菱形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4．（1）求证：EF⊥AC；

（2）求几个体EFABCD的体积．

18．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a、b、c，且2a cos C＝2b﹣c．（1）求角A的大小；

（2）若AB＝3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．

19．在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽査了100人，将调查情况进行整理后制成如表：学校A B C D 抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915

（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）

假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的．

（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；

（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；

（Ⅲ）在表中从B，C两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好B，C 两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少？

20．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）经过点A（0，1），右焦点到直线x＝的距离为．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点A作两条互相垂直的直线l1，l2分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN恒过定点P（0，﹣）．

21．已知函数f（x）＝e x+x2﹣x，g（x）＝x2+ax+b，a，b∈R．

（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．

请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．

（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；

（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|，记f（x）的最小值为m．

（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；

（Ⅱ）若正实数a，b满足＝，求证：≥2m．

参考答案

一、选择题

1．若集合M＝{x|log2x＜1}，集合N＝{x|x2﹣1≤0}，则M∩N＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|0＜x≤1}

【分析】化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N即可．

解：集合M＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，

集合N＝{x|x2﹣1≤0}＝{x|﹣1≤x≤1}，

则M∩N＝{x|0＜x≤1}．

故选：D．

2．设（i为虚数单位），则|z|＝（）

A．B．C．D．2

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．解：设＝＝＝＝﹣+i，

∴|z|＝＝，

故选：A．

3．已知向量，，，则t＝（）

A．B．C．D．

【分析】根据题意，求出向量的坐标，进而由向量平行的坐标表示方法计算可得答案．解：根据题意，向量＝（2，3），＝（1，t﹣3），则＝（3，t），

又由，则2t＝9，解可得t＝；

故选：B．

4．设a＝log56，b＝log0.32，c＝e﹣2，则（）

A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c

【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．

解：∵log56＞log55＝1，∴a＞1，

∵log0.32＜log0.31＝0，∴b＜0，

∵0＜e﹣2＜1，∴0＜c＜1，

∴a＞c＞b，

故选：C．

5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

A．B．C．0D．

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

解：当i＝1时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝2；

当i＝2时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝3；

当i＝3时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝3；

当i＝4时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝5；

当i＝5时，执行完循环体后：S＝0，满足继续循环的条件，故i＝6；

当i＝6时，执行完循环体后：S＝0，满足继续循环的条件，故i＝7；

当i＝7时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝8；

当i＝8时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝9；

当i＝9时，执行完循环体后：S＝，不满足继续循环的条件，

故输出结果为，

故选：A．

6．设函数f（x）＝sin（2x+），则下列结论错误的是（）

A．f（x）的一个周期为π

B．f（x）的图象关于直线x＝对称

C．f（x）的一个零点为x＝﹣

D．f（x）在区间（0，）上单调递减

【分析】根据正弦函数的周期性、单调性以及图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解：对于函数f（x）＝sin（2x+），它的周期为＝π，故A正确；

令x＝，求得f（x）＝1，为函数的最大值，故f（x）的图形关于直线x＝对称，故B正确；

令x＝﹣，求得f（x）＝0，故f（x）的一个零点为x＝﹣，故C正确；

在区间（0，）上，2x+∈（，），故函数f（x）没有单调性，故D错误，故选：D．

7．已知等差数列{a n}的前n项为S n，b n＝且b1+b3＝17，b2+b4＝68，则S10＝（）A．90B．100C．110D．120

【分析】等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再由等差数列求和公式计算可得所求值．

解：等差数列{a n}的公差设为d，前n项为S n，b n＝且b1+b3＝17，b2+b4＝68，可得+＝17，+＝68，

解得a1＝0，d＝2，

则S10＝10a1+×10×9d＝0+45×2＝90，

故选：A．

8．已知直线m、n与平面α、β，下列命题正确的是（）

A．m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n

C．α∩β＝m，n⊥m且α⊥β，则n⊥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n

【分析】利用空间中线线、线面、面面的判定定理及其性质定理，即可得出结论．解：对于A，m⊥α，n∥β且α⊥β，则m∥n，故不正确；

对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，

且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题正确；

对于C，若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，利用面面垂直的性质定理即可得出：n⊥α，因此不正确；

对于D，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

A1D1∥平面ABCD，AD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥AD；

EP∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，EP∩PQ＝P；

A1D1∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，A1D1与PQ异面．

综上，直线m，n与平面α，β，m∥α，n∥β且α∥β，

则直线m，n的位置关系为平行或相交或异面．

故选：B．

9．已知函数f（x）＝x2﹣ln|x|，则函数y＝f（x）的大致图象是（）A．B．

C．D．

【分析】判断f（x）的奇偶性和单调性，计算极值，从而得出函数图象．

解：f（﹣x）＝（﹣x）2﹣ln|﹣x|＝x2﹣ln|x|＝f（x），

∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除D；

当x＞0时，f（x）＝x2﹣lnx，f′（x）＝2x﹣＝，

∴当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，排除C，

当x＝时，f（x）取得最小值f（）＝﹣ln＞0，排除B，

故选：A．

10．中国明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天比第六天多走了（）

A．24里B．18里C．12里D．6里

【分析】由题意可得：该人每天所走的路程为等比数列{a n}，其中S6＝378，q＝．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．

解：由题意可得：该人每天所走的路程为等比数列{a n}，其中S6＝378，q＝．

∴＝378，解得a1＝192，

∴a4﹣a6＝192×＝18里．

故选：B．

11．过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30°的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）

A．B．C．D．

【分析】画出大圆，过半径的中点A做截面与半径所得直线成30°的角，可得线线角为30°，如图可得AE的值，在三角形ACO中，由余弦定理可得AC，进而可得截面圆的半径，进而求出所得截面的面积与球的表面积的比值．

解：画大圆O，设半径为R，取半径OB的中点A，过A做截面，CD为直径，取中点E，连接OE，OE⊥截面CD，由题意可得∠OAE＝30°，

所以AE＝OA＝＝，

在三角形OAC中，OC2＝OA2+AC2﹣2?OA?AC?cos∠OAC，即R2＝（）2+AC2﹣2?AC?cos150°，

整理可得：4AC2+2?AC﹣3R2＝0，

解得：AC＝＝R，

所以CE＝AC+AE＝R+R＝R，

所以所得截面的面积与球的表面积的比为＝，

故选：C．

12．已知奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，若函数g（x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）恰有4个零点，则a的取值范围是（）

A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（0，1）

【分析】由函数的奇偶性、单调性得：x2﹣2|x|+a＝0有4个根，

由二次方程的区间根问题得：x2﹣2x+a＝0有2个不等正根，即，解得：0＜a＜1，得解．

解：由奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，

令f（x2）+f（a﹣2|x|）＝0，

由函数g（x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）恰有4个零点，

则x2﹣2|x|+a＝0有4个根，

则x2﹣2x+a＝0有2个不等正根，

即，

解得：0＜a＜1，

即a的取值范围是0＜a＜1，

故选：D．

二、填空题

13．已知函数f（x）＝xlnx，则曲线y＝f（x）在点x＝e处切线的倾斜角的余弦值为．【分析】求导f′（x），求出切线的斜率；从而求切线的倾斜角．

解：∵f（x）＝lnx+1，f′（e）＝lne+1＝2；

故曲线y＝f（x）在x＝e处的切线的倾斜角θ的正切函数值为：tanθ＝2．

所以曲线y＝f（x）在点x＝e处切线的倾斜角θ的余弦值为：cosθ＝

＝＝．

故答案为：．

14．设f（x）＝ln（x+），若f（a）＝，则f（﹣a）＝．【分析】可求出f（﹣x）＝﹣f（x），从而可求出f（﹣a）＝﹣f（a）＝．

解：＝；

∴．

故答案为：．

15．若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m﹣3，则此椭圆的离心率为．

【分析】根据题意，按椭圆的焦点位置分2种情况讨论，结合椭圆的定义分析可得m的

值，即可得椭圆的标准方程为：+＝1，据此求出a、b、c的值，由椭圆的离心率公式计算可得答案．

解：根据题意，对于椭圆，分2种情况讨论：

①，椭圆的焦点在x轴上，有4＞m，则a＝＝2，

若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m﹣3，

则有2a＝m﹣3＝4，解可得m＝7，

又由4＞m，

m＝7不合题意，舍去；

②，椭圆的焦点在y轴上，有4＜m，则a＝，

若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m﹣3，

则有2a＝m﹣3＝2，

解可得：m＝9或m＝﹣1（舍）

故m＝9，

椭圆的标准方程为：+＝1，

则a＝3，b＝2，则c＝，

则椭圆的离心率e＝；

故答案为：．

16．已知函数，有下列四个命题：

①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）是单调函数；

③当x＞0时，函数f（x）＞0恒成立；④当x＜0时，函数f（x）有一个零点，

其中正确的是③④

【分析】直接利用函数的性质来判定函数的定义域，奇偶性，及利用函数的求导求出函数的单调区间，利用分类讨论思想的应用求出函数的零点．

解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．

由于函数f（﹣x）＝，且f（x）+f（﹣x）＝2x2≠0，所以函数f（x）不为奇函数．故①错误．

对于②，函数f（x）＝，

当x＞0时，，所以＝，

令h（x）＝2x3﹣1+lnx，则h（1）＝1＞0，h（）＝．

所以，存在，使得h（x0）＝0，

所以x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，所以函数为单调递减函数．

当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数为单调递增函数．故②错误．

对于③，由②知：当x＝时，f（x）在（0，+∞）上有最小值．

且，

所以，

则x＝x0时，y＝，

由于，

整理得，

则，

所以当x＞0时，f（x）＞0恒成立．故③正确．

对于④：当x＜0时，，且f（﹣1）＝1＞0，f（）＝，

所以函数f（x）在区间（﹣1，﹣）内有一个零点．故④正确．

故答案为：③④

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．如图，ABCD是边长为2的菱形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4．（1）求证：EF⊥AC；

（2）求几个体EFABCD的体积．

【分析】（1）如图，连接BD，利用线面垂直的性质定理可得：EB∥FD，即可得出E，F，D，B四点共面，利用线面垂直的性质定理、判定定理即可证明结论．

（2）由EB∥FD，EB⊥BD，可得四边形EFDB为直角梯形，利用菱形的性质、梯形的面积计算公式、四棱锥的体积计算公式即可得出．

解：（1）证明：如图，连接BD，∵FD⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，

∴EB∥FD，∴E，F，D，B四点共面，

∵AC?平面ABCD，∴AC⊥EB．

设DB∩AC＝O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥DB．

∵DB∩EB＝B，∴AC⊥平面EFDB，

∵EF?平面EFDB，∴AC⊥EF．

（2）∵EB∥FD，EB⊥BD，∴四边形EFDB为直角梯形，

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，BD＝2，，

∴梯形EFDB的面积，

∵AC⊥平面EFDB，

∴V几何体EFABCD＝V四棱锥C﹣EFDB+V四棱锥A﹣EFDB＝．

18．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a、b、c，且2a cos C＝2b﹣c．（1）求角A的大小；

（2）若AB＝3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．

【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简方程，即可求角A的余弦值，得到A的值；

（2）在△ABD中，由余弦定理可得3AD的值，进而求得AC＝2AD＝8，利用三角形的面积公式即可计算得解．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）∵2a cos C＝2b﹣c，由正弦定理可得：sin A cos C+sin C＝sin B，

∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C．

∴sin C＝cos A sin C，

∵sin C≠0，

∴cos A＝，

∴由A∈（0，π），可得角A＝；…6分

（2）在△ABD中，AB＝3，BD＝，cos A＝，

由余弦定理可得：13＝9+AD2﹣3AD，解得：AD＝4（负值舍去），…9分

∵BD为AC边上的中线，

∴D为AC的中点，

∴AC＝2AD＝8，

∴S△ABC＝AB?AC?sin A＝＝6．…12分

19．在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽査了100人，将调查情况进行整理后制成如表：

学校A B C D 抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915

（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）

假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的．

（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；

（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；

（Ⅲ）在表中从B，C两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好B，C 两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少？

【分析】（Ⅰ）根据抽查比例进行计算即可．

（Ⅱ）根据古典概型的概率公式进行计算即可．

（Ⅲ）利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可．

解：（I）A学校高中生的总人数为50÷＝1000人．

A学校参与“创城”活动的人数为1000×＝800人

（II）设恰好该生没有参与“创城”活动这一事件为M，则P（M）＝．（II）B校这5人分别记为A1，A2，A3，A4，A5，

C校这1人记为B，任取2人共有A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A1B，A2A3，A2A4，A2B，A2A5，A3A4，A3B，A3A5，A4A5，A4B，A5B，15种情况，

设事件N为抽取2人中B，C两校各有1人参与”创城”活动，

则P（C）＝＝．

20．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）经过点A（0，1），右焦点到直线x＝的距离为．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点A作两条互相垂直的直线l1，l2分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN恒过定点P（0，﹣）．

【分析】（1）由题意知得b，，结合隐含条件求得a，则椭圆C的标准方程可求．

（2）设直线l1的方程为y＝kx+1，联立直线方程与椭圆方程，求得M坐标，同理求得N 的坐标，推导出直线MP与直线NP的斜率相等，从而得到M，N，P三点共线，并证明直线MN恒过定点P（0，﹣）．

【解答】（1）解：由题意知，b＝1，，

又a2＝1+c2，解得a2＝4．

∴椭圆的标准方程为．

（2）证明：设直线l1的方程为y＝kx+1，

联立，得（4k2+1）x2+8kx＝0，

解得，x2＝0，

∴，．

同理可得，，

则＝，，

∴k MP＝k NP，

故直线MN恒过定点P（0，﹣）．

21．已知函数f（x）＝e x+x2﹣x，g（x）＝x2+ax+b，a，b∈R．

（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．

【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；

（2）构造函数h（x）＝f（x）﹣g（x），然后对h（x）求导，结合导数与单调性的关

系对a进行分类讨论即可求解．

解：（1）因为f'（x）＝e x+2x﹣1，所以f'（0）＝0．又f（0）＝1，

所以该切线方程为y＝1

（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b，则h（x）≥0恒成立．

易得h'（x）＝e x﹣（a+1）．

（i）当a+1≤0时，h'（x）＞0，此时h（x）在R上单调递增．

①若a+1＝0，则当b≤0时满足h（x）≥0恒成立，

此时a+b≤﹣1；

②若a+1＜0，取x0＜0且，

此时，所以h（x）≥0不恒成立，不满足条件．

（ii）当a+1＞0时，

令h'（x）＝0，得x＝ln（a+1）．由h'（x）＞0，得x＞ln（a+1）；

由h'（x）＜0，得x＜ln（a+1）．

所以h（x）在（﹣∞，ln（a+1））上单调递减，在（ln（a+1），+∞）上单调递增．要使h（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b≥0恒成立，必须有当x＝ln（a+1）时，h（ln（a+1））＝（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0恒成立．

所以b≤（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）．

故a+b≤2（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣1

令G（x）＝2x﹣xlnx﹣1，x＞0，则G'（x）＝1﹣lnx．

令G'（x）＝0，得x＝e．由G'（x）＞0，得0＜x＜e；

由G'（x）＜0，得x＞e．

所以G（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，

所以当x＝e时，G（x）的值最大，G（x）max＝e﹣1．

从而，当a＝e﹣1，b＝0时，a+b的值最大，为e﹣1．

综上，a+b的最大值为e﹣1

请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．

（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；

（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．

【分析】（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝0，展开可得：

＝0，化为直角坐标方程．

曲线C的参数方程是（α为参数），利用平方关系消去参数α可得普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，可得直线l被曲线C截得的弦长＝2．（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得各弦中点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可．

解：（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝0，展开可得：

＝0，化为：y﹣x＝0．

曲线C的参数方程是（α为参数），消去参数α可得：x2+（y﹣2）2＝4，圆心C（0，2），半径r＝2．

∴圆心C到直线l的距离d＝＝1，

∴直线l被曲线C截得的弦长＝2＝2＝2．

（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），

代入圆C的方程可得：（2x）2+（2y﹣2）2＝4，化为：x2+y2﹣2y＝0，

可得ρ2﹣2ρsinθ＝0，即ρ＝2sinθ，即为各弦中点轨迹的极坐标方程．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|，记f（x）的最小值为m．

（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；

（Ⅱ）若正实数a，b满足＝，求证：≥2m．

【分析】（Ⅰ）由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；

（Ⅱ）首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式．解：（Ⅰ）①当x＞1时，f（x）＝（x﹣1）+（x+2）＝2x+1≤5，

即x≤2，∴1＜x≤2；

②当﹣2≤x≤1时，f（x）＝（1﹣x）+（x+2）＝3≤5，

∴﹣2≤x≤1；

③当x＜﹣2时，f（x）＝（1﹣x）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1≤5，

即x≥﹣3，∴﹣3≤x＜﹣2．

综上所述，原不等式的解集为{x|﹣3≤x≤2}；

（Ⅱ）∵f（x）＝|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，

当且仅当﹣2≤x≤1时，等号成立．

∴f（x）的最小值m＝3．

∴≥，即，

当且仅当即3a＝2b时，等号成立．

又，

∴a＝，b＝时，等号成立．

∴≥2m．