一维非定常连续流动
一维不定常流-笔记
给出初始条件，可以求出函数 f1 x c0t and f 2 x c0t 的解。 3、求解球面声波：
0 2 t r 2 r r u 0 2 c 2 2 2 0 2 r 2 c u t r r r 0 0 t 0 r The form of the solution ' s results :
考虑粘性等耗散效应的流体动力学方程组是抛物型的， 不考虑耗散效应的理想流体方程组是双曲型的； 接触间断面：当间断面与其两边的流体以相同速度运动，即 D u1n u2 n 时，没有质量流穿过间断面； 满足的条件：
法向速度连续： u1n u2 n , 两侧压强相等： p1 p2 ,
第二章
对角部分， 弹性应力 pI , pI 耗散应力 非对角部分， 粘性应力、应力偏量
B-能量方程：
1 E e u 2 , 2 : Potential energy; e : inernal energy
当不考虑势能，动能时，介质的能量等于内能；
C C C p RT 2 0 RT 2 0 R Tw p0 RTw ;
10、间断面及其关系 在 粘性流体和热传导中，流体之间有内摩擦和热量的传递，即耗散效应， 致使各物理量随时间及位置的变化是连续的， 在理想流体中，忽略粘性和热传导，物理量的变化可能出现间断；
相比于平面波，球面波的区别：
f r c0t r
（1） ：平面波的振幅不随时间面改变，球面波振幅随着半径 r 的增大而衰减； Reason：初始给扰动的能量有限、确定的，在传播过程中，扰动的物质增多(或 表面积增大)，导致强度降低； （2） ：对动量方程作用，并积分时间项，得到：
3.2液体动力学
伯努利方程揭示了液体流动过程中的能量变化规律。它指出，对于流动的液体来说，如 果没有能量的输入和输出，液体内的总能量是不变的。它是流体力学中一个重要的基本方程。 它不仅是进行液压传动系统分析的基础，而且还可以对多种液压问题进行研究和计算。
3．2．4动量方程
动量方程是动量定律在流体力学中的具体应用。在液压传动中，要计算液流作用 在固体壁面上的力时，应用动量方程求解比较方便。 刚体力学动量定律指出，作用在物体上的外合力等于物体在力作用方向上单位时间内 动量的变化量，即：
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的一种具体表现形式。 如图2．9所示的液体在具有不同横截面的任意形状管道中作定常流动时，可任取1、2两 个不同的通流截面，其面积分别为A1和A2，在这两个截面处的液体密度和平均流速分别为ρ 1、 v1和ρ 2、v2，根据质量守恒定律，在单位时间内流过这两个截面的液体质量相等，即：
3．2 液体动力学 3．2．1 基本概念
1．理想液体、定常流动和一维流动 理想液体：一般把既无粘性又不可压缩的假想液体称为理想液体。
定常流动：液体流动时，如果液体中任一空间点处的压力、速度和密度等都不 随时间变化，则称这种流动为定常流动（或稳定流动、恒定流动）；反之，则称为 非定常流动。
一维流动：当液体整个作线形流动时，称为一维流动；当作平面或空间流动时 ，称为二维或三维流动。
式（2．17）就是仅受重力作用的实际液体在流管中作平行（或缓变）流动时的伯努利 方程。它的物理意义是单位重力液体的能量守恒。其中hw为单位重力液体从截面A1流到截面A2 过程中的能量损耗。 在应用上式时，必须注意p和z应为通流截面的同一点上的两上参数，特别是压力参数p 的度量基准应该一样，如用绝对压力都用绝对压力，用相对压力都用相对压力，为方便起见， 通常把这两个参数都取在通流截面的轴心处。 在液压系统的计算中，通常将式（2．17）写成另外一种形式，即：
一维非定常连续流动
一维非定常连续流动一维非定常流动是指气流的速度和热力学参数仅与时间t和一个坐标变量x有关的流动,也就是说,在某一时刻,在任何一个垂直于x轴的平面上,气流的速度和热力学参数是不变的;它包括连续流等熵波和间断流激波、接触面;下面主要介绍连续流;在进行讨论之前,首先假定气体为常比热完全气体或称量热完全气体,忽略气流的粘性和热传导作用,流动过程是等熵的;作为理解非定常连续流动的基础,首先介绍小扰动波的产生,传播及其简化分析;一、小扰动波1.产生小扰动是指气流的速度和热力学参量的相对变化量都很小,例如声波就是一种小扰动波,它以声速传播,因此,通常人们把小扰动在介质中的传播速度称为声速;对介质的扰动形式有很多,但总归起来不外乎速度不匹配和压力不平衡;下面将要介绍的是由于活塞运动引起速度不匹配所产生的波;在一个等截面无限长的圆管中,初始时刻,活塞及其两边的气体处于静止状态;设活塞在很短的时间内,速度增加至du;此后,它以匀速向右运动;这时,活塞左右两边的气体同时受到一个微弱的扰动：右边的气体被压缩,左边的气体变得稀疏,其效果以小扰动波的形式向两边传播;这种波通过以后,波后气体均以活塞的速度向右运动;同时,右边气体压力增加一个微量dp,左边气体减小一个微量dp,这两种波分别称为小扰动压缩波和小扰动稀疏波;上述两类小扰动波得传播过程在x,t图上的图示法如下压缩波通过以后,波后气流速度方向与波面传播方向一致,质点迹线靠近波面迹线；稀疏波通过以后,波后气流速度方向与波面传播方向相反,质点迹线偏离波面迹线;对于运动的气体,压缩波后气体被加速,稀疏波后气体被减速;2.传播定义向右为x轴的正方向,如果气体本身以u代数值的速度在运动,则波的传播速度为dxdt=u±a定义以速度u+a传播的波为“右行波”,以速度u-a传播的波行波”;对于右行波而言,气体质点一定从右边x轴正向进入波阵面,对于左行波而言,气体质点一定从左边x轴负向进入波阵面;2.小扰动波的简化物理分析以一道右行小扰动波为例进行分析;把坐标系取在波阵面上,则变成驻波,波前的气体以-a 的速度流进波面,而波后的气体以-a+du 的速度流出波面; 由连续性方程ρ(−a )=(ρ+dρ)(−a +du)略去二阶小量,得dρρ=du a小扰动波是一种等熵波,满足下列关系式：p =Cργ,p =ρRT 和a 2其微分形式为：dρρ=1γdp p=1γ−1dTT=2γ−1da a代入上式,可得du =2γ−1da对于左行波,则有du =−2γ−1da二、 特征线方法在可压缩流体中,有限幅值连续波流动所满足的方程一般是一组非线性偏微分方程,不能再采用小扰动线化方法,否则,将造成较大的误差;特征线法根据数学上特征线所具有的性质,运用数值解法或者图解法,为解决这类问题提供了一种比较简便而实用的计算方法;1. 基本方程连续性方程,在等截面管中ρt+x(ρu )=0动量方程,在忽略体积力和粘性力情况下u t+u ux =−1ρpx能量方程,忽略粘性和热传导作用,流动过程是等熵的,热力学第二定律可写成st+u sx =0 状态方程,对于多方气体来说,等熵关系为p =Cργ 有时为了便于应用,可将方程改写成统一用u ,a ,s 参量表示式;a t+u a x +γ−12a ux =0u t +u u x +2a γ−1ax −a 2γR sx =0st+u sx =0 2. 特征线及其相容关系假定上述方程组和x ,t 平面内沿着某一曲线x 0=x 0(t)上各点的u 0,a 0,s 0的值已知,如果不能单值地决定曲线x 0=x 0(t)附近任意点的u ,a ,s 的值,则表示x 0(t)是弱间断线,它就是所求的特征线; 特征线及其相容关系为 第一族特征线(dxdt )1=u +adu +2γ−1da =aγR ds第二族特征线(dxdt )2=u −adu −2γ−1da =−aγR ds第三族特征线(dxdt )s =uds =0 从公式可以看出,气体的流速和热力学参数的扰动沿着第第二族特征线以音速传播;熵的扰动沿着第三族特征线传播,而第三族特征线就是流体质点的运动轨迹,这就表明,对于某一个流体质点而言,在运动过程中熵值保持不变;在均熵条件下,st =0,sx =0,因而,在全流场的任何时刻都有ds =0;因此第三族特征线已经失去意义,第一族和第二族特征线简化为：第一族特征线(dxdt )1=u +adu +2γ−1da =0第二族特征线(dxdt )2=u −adu −2γ−1da =0此时特征线相容关系可以直接积分u +2γ−1a =K 1u −2γ−1a =K 2式中K 1和K 2称为黎曼不变量;(dxdt )1和(dxdt )2代表x ,t 平面上的两族特征线,称为物理平面上的特征线,见图1-3a ；K 1和K 2在u ,a 平面上构成两族特征线,称为状态平面特征线,见图1-3b;在x ,t 平面上,第一族特征线中的每一根,对应于一个确定的K 1值,第二族特征线中的每一根对应于一个确定的K 2值;物理平面特征线表达了小扰动波的位置随时间的变化关系,也就是小扰动波波阵面的运动迹线;其中,第一族特征线对应于右行波,第二族特征线对应于左行波;不过,此时的u ,a在不同的位置x 和时同的,可以应用节点法求解流场中气流的速度和音速; 根据K 1和K 2是否为绝维非定常均熵流动分为三类：第一类：K 1和K 2均为绝对常数K 10和K 20,此时u 和a 均为常数;第二类：K 1和K 2中有一个为绝对常数,称为简单波流动,这是流场中只有单向传播的波;第三类：K 1和K 2均不是绝对常数,称为双波流;在流场中既有左行波,也有右行波;三、 简单波假定黎曼不变量之一K 2在整个波区为绝对常数K 20,可以得到u =K 1+K 202a =γ−14(K 1−K 20)由于沿着第一族特征线,K 1保持不变,可知沿着第一族特征线流u 和a 等均为常数;dx dt=u +a =常数由此可以断定,第一族特征线一定是直线,沿着这一族特征线的根,流动参量保持不变,整个简单波流场只需用u ,a 平面上的一根特征线表示;1. 简单波的产生和分类简单波是由无穷多道小扰动波迭加而成的;在图1-5所示的一根两端敞开的无限长管中,活塞在静止气体中向右持续加速;活塞右边不断产生小扰动压缩波,当无穷多道压缩波通过后,波后气体压力、音速和质点速度便增加一个有限量;对于右行简单压缩波而言,由于小扰动压缩波连续通过时,后面压缩波的传播速度一定比前面的块,因而波面迹线第一族特征线为一族收敛的直线;同时,在活塞左边,连疏波,波面迹线第二族特征线为一族发散的直线;图1-5中各画出了四道小扰动压缩波和稀疏波的产生过程,其中1-4是一段曲线,表示活塞的加速过程,4点以后为直线,表示活塞作匀速运动,没有非定常波产生;简单波大致可分为四类：右行稀疏波,右行压缩波,左行稀疏波和左行压缩波;2. 简单波的基本关系跨过简单波波面迹线时气体参数之间的关系如下： 对于右行波x =(u +a )t +f(u)u −2γ−1a =K 20对于左行波x =(u −a )t +f(u) u +2γ−1a =K 10f(u)是速度的任意函数;若已知简单波波前气流参数u 1和a 1,求波后参数时,由K 10或K 20为常数可得u 2γ−1a =u 12γ−1a 1整理后得到a a 1=1±γ−12(u−u 1a 1)如果波前气体是静止的,u 1=0,则有a a 1=1±γ−12u a 1“+”号表示右行波,“−”号表示左行波;对于波后气流的温度、压力和密度变化,利用等熵关系得T T 1=(aa 1)2p p 1=(aa 1)2γγ−1 ρρ1=(aa 1)2γ−1四、 中心稀疏波在一维非定常简单波中,有一种比较特殊的情况,就是所谓“中心稀疏波”;它的一个重要特点是流场中的速度u 和音速a 等参数不是单独地依赖于x 和t ,而是依赖于它们的组合参数x/t ,这种运动通常称为“一维自模拟运动”;1. 中心稀疏波的产生假定活塞由静止突然向右加速至某一均匀速度,那么,在图中,活塞迹线1-4的长度便缩短为零,即图1-6;由图可见,由于活塞突然加速,在x ,t 图的坐标原点发出的所有压缩波汇聚成一道运动激波,向右传播;在活塞左边,同样由坐标原点发出一束左行稀疏波,把它称为中心稀疏波;波头与波尾之间的区域称为中心稀疏波区,波尾与活塞之间的区域属于均匀区,在该区中气流通过中心稀疏波区以后,被等熵地加速到等于活塞的速度；可以是亚音速的,等音速的,也可以是超音速的,究竟属于哪一种情况,完全由; 若要求通过稀疏波以等于音速u=a ,所需活塞的速度大小由方程2-15在波头和波尾之间积分来确定,即du =−2γ−1da ∫du u u 1=−2γ−1∫da aa 1所以U p =u =2γ+1a 1当活塞速度U p >2γ+1a 1时,波后气流将被加速到超音速,但是由于极限速度的存在,波后气流速度最大只能被加速到u max =2γ−1a 1逃逸速度;使波后气流速度达到逃逸速度的稀疏波称为“完全膨胀的稀疏波”; 2. 中心稀疏波的基本关系式中心稀疏波是简单波的一种特殊形式,因此,只要令简单波关系式中的任意函数f (u )=0,即可得到中心稀疏波的相应关系式; 对于右行波x =(u +a )tu −2γ−1a =K 20对于左行波x =(u −a )t +f(u)u +2γ−1a =K 10以左行中心稀疏波为例,可以直接解出u 和a 的表达式;u =2γ+1(xt +a 1) a =2γ+1a 1−γ−1γ+1xt由上述公式可见,u 和a 仅是x/t 的函数;根据中心系数波得基本关系式,可以确定整个波区的范围;波头前面气体u1=0,波尾通过以后,气体速度等于活塞速度,代入公式4-8,得到−a1≤xt ≤γ+12U p−a13.通过中心稀疏波时气体质点的加速度气体质点通过左行稀疏波时的速度由4-8确定; 加速度可表示为b=dudt =ut+u ux结合公式4-9,可得b=2a(γ+1)t。
流体力学第4章9
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通过流管中有效截面面积为A的流体体积流量和质量流量分 别积分求得，即
qV vdA
qm vdA
在工程计算中为了方便起见，引入平均流速的概念。平均 流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相 同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍
A
A
与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然
拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题 中还是方便的。
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第二节 流体运动的一些基本概念
一、流动的分类 （1）按照流体性质分为理想流体的流动和粘性流体的流动， 不可压缩流体的流动和可压缩流体的流动。 （2）按照运动状态分为定常流动和非定常流动，有旋流动 和无旋流动，层流流动和紊流流动，亚声速流动和超声速 流动
在流场中的一些点，流体质点不断流过空间点，空间点上 的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。
用欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用
下式的形式，即
D( ) ( ) (V )( ) Dt t
式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密
D( ) 度、温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。 称为 Dt ( ) 全导数， 称为当地导数， (V )( )称为迁移导数。 t
1、系统：包含确定不变的物质的任何集合。 系统以外的一切称为外界。 边界的性质： ① 边界随流体一起运动； ② 边界面的形状和大小可随时间变化； ③ 系统是封闭的，没有质量交换，可以有能 量交换； ④ 边界上受到外界作用在系统上的表面力；
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2、控制体：被流体所流过的，相对于某 个坐标系来讲，固定不变的任何体积。 控制面的性质： ① 总是封闭表面； ② 相对于坐标系是固定的； ③ 在控制面上可以有质量、能量交换； ④ 在控制面上受到控制体以外物体加在 控制体内物体上的力；
一维不定常流体运动
一维不定常流体运动【参考文献】L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Chapter 10.Ya. B. Zel ’dovich and Yu. P. Raizer, Physics of Shock Waves and High-Temperature Hydrodynamic Phenomena, Chapter 1.我们简要学习理想流体的一维不定常流动，可以帮助我们理解ICF 中的流体力学过程。
对于理想流体，在不出现参数发生跃变的情况下，流体的熵是个常数，即 0.u s t x ∂∂⎡⎤+=⎢⎥∂∂⎣⎦如果初始时刻流体的参数不依赖于空间变量，那么流体的熵始终保持不变。
在这种情况下，流体的密度仅依赖于压强，().p ρρ=就只考虑流体的连续性方程和动量方程，()0,10.u t x u u p u t x x ρρρ∂∂+=∂∂∂∂∂++=∂∂∂ 利用绝热方程，连续性方程的形式可以改写为， 210s u u u u t x x p t x u u p c t x xρρρρρ⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤++=++⎜⎟⎢⎥⎢⎥p x ∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎝⎠∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦=∂ 或10.p u p u c c t c x x ρ∂∂∂++=∂∂∂ 这个方程与动量方程结合，可以得到如下两个方程，1()()1()()u c u u c p t x c t x u c u u c p t x c t x ρρ∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤+−−+−=⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦0,0. 引入所谓的特征线，:,:,dx C u dt dx C u dt +−c c =+=− 那么沿着特征线C +，有如下方程， 10,du dp cρ+= 那么沿着特征线C −，有如下方程， 10,du dp cρ−= 引入所谓的Riemann 不变量，其定义为J ±dp d J u u c c ρρρ±=±=±∫∫，那么沿着特征线，是个常数。
无黏性流体的一维流动
项目一 文字样式
• 一、文字样式
• 文字样式可以理解为定义了一定的字体、大小、排列方式、显示效 果等一系列特征的文字。AutoCAD使用的字体是由一种形((SHAPE) 文件定义的矢量化字体，它存放在文件夹FONTS中。
• 二、设置文字样式
• 输入方式: • 莱单:格式→文字样式。 • 命令行:STYLE或DDSTYLE。
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项目五 尺寸标注
• 二、标注长度尺寸
• 1.线性标注 • 输入方式: • 莱单:标注→线性。 • 工具栏:标注→线性 。 • 命令行:DIMLINEAR 。 • 2.对齐标注 • 输入方式: • 莱单:标注→对齐。 • 工具栏:标注→对齐气 。 • 命令行:DIMALIGNED。
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项目五 尺寸标注
• 三、标注角度尺寸
• 输入方式: • 莱单:标注→角度。 • 工具栏:标注→角度 。 • 命令行:DIMANGULAR 。
• 在准一维流动中所研究的内容，除了一维流动所要研究的速度、压力 等参数沿管道或槽道轴线方向（也就是流动方向）的变化规律等问题 外，还要研究由于管道或槽道的过流截面面积流动方向的变化而造成 的过流流量、动量、动量矩和能量等的变化情况。
• 5.1.2 无黏性流体一维流动的基本方程
• 在这里和以后所说的一维流动均包括准一维流动。对于以流线或微元 流束的中心流线为坐标系的一维流动，其基本方程可以通过对第四章 已导出的微分形式基本方程的简化得到，对这类问题求解的关键是要 根据实际的流动状况来正确选择坐标系和正确运用简化条件。
• 在各种工业管道或槽道中的流动一般都不是一维流动，因为不管过流 截面多大，在整个截面上的流动参数分布一般是不均匀的。只有假定 截面上的流动参数均匀分布或者按截面平均计算流动参数，才可以将 管道或槽道中的流动看成一维流动这种一维流动通常称为准一维流动。
一维非恒定流1
6. 一维流动的数值模拟明渠非恒定流, 管道非恒定流特征线法, 差分法, 有限体积法6.1 特征线理论的基本思想例1：一维对流方程的初值问题0=∂∂+∂∂xu c t u (c = 常数) u (x ,0 ) = f (x )解析解为 u = f (x –ct ) —— 一个向右（c>0时）或向左（c<0时）传播的波形，c = 波的传播速度。
即：在x ～t 平面上，沿着斜率为 c dtdx=的直线（特征线）， u 保持不变。
特征线方程 c dt dx= 特征方程 0=dtdu例2： 方程 ()()()u t x c xu u t x b t u u t x a ,,,,,,=∂∂+∂∂ 沿着()()u t x a u t x b dt dx ,,,,=的方向上 ac x u b t u a a xu a b t u dt dx x u t u dt du =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=1两个常微分方程，一个自变量。
已知：某特征线的起点 u (x 0, t 0) = u 0取时间步长∆t ，特征线上下一个点为: t 1 = t 0 + ∆t ，t xxtx(t 0, x 0, u 0 )t u t x w x x ∆+=),,(00001 ()()t u t x a u t x c u u ∆+=00000001,,,,由此递推：t i+1 = t i + ∆t ，()t u t x w x x i i i i i ∆+=+,,1, ()()t u t x a u t x c u u i i i i i i i i ∆+=+,,,,1 （显格式）也可以用隐格式： ()t u t x w x x i i i i i ∆+=++++1111,,，()()t u t x a u t x c u u i i i i i i i i ∆+=+++++++1111111,,,,或： ()()()[]t u t x w u t x w x x i i i i i i i i ∆θ+θ-+=++++1111,,,,1()()()()()t u t x a u t x c u t x a u t x c u u i i i i i i i i i i i i i i ∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ+θ-+=+++++++1111111,,,,,,,,1 （ θ∈[0，1] ）特征线法体现了双曲型方程的波的传播性质。
空气动力学考前知识精析
流场：运动流体所占据的空间。
非（定）常流动：流线的形状和位置（不）随时间变化的流动。
流线：在稳定流动中，流场中每点都与速度矢量相切的曲线。
迹线：流体微团在流场中的运动的轨迹。
流管：通过流场中任一闭合曲线C（不是流线且包含流量）上各点作流线，由这些流线所围成的管子。
流谱：由许多流线及涡线组成的反映流体流动全貌的图形。
全压：静压（P）与动压(PV^2/2)之和。
粘性流体：有粘性的实际流体。
理想流体：粘性系数等于零的流体。
附面层：流体绕固态物体流动时在紧挨着物体壁面附近形成的粘性流体薄层。
转捩点：层流附面层与紊流附面层之间有一个过渡区，通常把它看成是一点。
分离点：附面层气流开始离开翼面的点。
相对弯度：最大弧高中的弧度与弦长的比。
相对厚度：翼型的最大厚度与弦长的比。
展弦比：展长与平均弦长之比。
根尖比：翼根弦长与翼尖弦长之比。
后掠角：机翼上有代表性的等百分弦线（如：前缘线、1/4弦线、后缘线）在XOZ平面上的投影与OZ轴之间的夹角。
迎角：翼弦与相对气流方向之间的夹角。
压力中心：机翼升力的作用点（升力作用线与翼弦的交点）。
压力系数：剩余压力与远前方气流动压之比。
剩余压力：气流静压与大气压力之差。
临界迎角：升力系数最大的迎角。
零升迎角：升力系数等于零的迎角。
升力系数斜率：增加单位迎角时的升力系数的增量。
摩擦阻力：气流与飞机表面发生摩擦形成的阻力。
压差阻力：由于空气粘性作用导致机翼前后压力不等而形成的阻力。
诱导阻力：由升力诱导而产生的阻力。
翼尖涡：由于空气的粘性作用及旋涡的相互作用，旋涡面在翼后不远处卷成两个大涡索。
侧滑：飞机对称面同相对气流方向不一致的飞行。
侧滑角：相对气流方向同飞机对称面之间的夹角。
升阻比：同一迎角下升力与阻力的比值。
总空气动力：飞机升力和阻力的合力。
有利迎角：升阻比最大的迎角。
飞机极线：横坐标表示阻力系数，纵坐标表示升力系数，迎角为参变量，把升力系数和阻力系数随迎角变化的规律用一条曲线表示出来，这条曲线叫做飞机极线。
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一维非定常连续流动
一维非定常流动是指气流的速度和热力学参数仅与时间t 和一个坐标变量x 有关的流动，也就是说，在某一时刻，在任何一个垂直于x 轴的平面上，气流的速度和热力学参数是不变的。
它包括连续流（等熵波）和间断流（激波、接触面）。
下面主要介绍连续流。
在进行讨论之前，首先假定气体为常比热完全气体（或称量热完全气体），忽略气流的粘性和热传导作用，流动过程是等熵的。
作为理解非定常连续流动的基础，首先介绍小扰动波的产生，传播及其简化分析。
一、 小扰动波
1. 产生
小扰动是指气流的速度和热力学参量的相对变化量都很小，例如声波就是一种小扰动波，它以声速传播，因此，通常人们把小扰动在介质中的传播速度称为声速。
对介质的扰动形式有很多，但总归起来不外乎速度不匹配和压力不平衡。
下面将要介绍的是由于活塞运动引起速度不匹配所产生的波。
在一个等截面无限长的圆管中，初始时刻，活塞及其两边的气体处于静止状态。
设活塞在很短的时间内，速度增加至du 。
此后，它以匀速向右运动。
这时，活塞左右两边的气体同时受到一个微弱的扰动：右边的气体被压缩，左边的气体变得稀疏，其效果以小扰动波的形式向两边传播。
这种波通过以后，波后气体均以活塞的速度向右运动。
同时，右边气体压力增加一个微量dp ，左边气体减小一个微量dp ，这两种波分别称为小扰动压缩波和小扰动稀疏波。
上述两类小扰动波得传播过程在(x ，t )图上的图示法如下
压缩波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向一致，质点迹线靠近波面迹线；稀疏波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向相反，质点迹线偏离波面迹线。
对于运动的气体，压缩波后气体被加速，稀疏波后气体被减速。
2.传播
定义向右为x 轴的正方向，如果气体本身以u （代数值）的速度在运动，则波的传播速度为
定义以速度(u+a)传播的波为“右行波”，以速度(u-a)传播的波为“左行波”。
对于右行波而言，气体质点一定从右边（x轴正向）进入波阵面，对于左行波而言，气体质点一定从左边（x轴负向）进入波阵面。
2.小扰动波的简化物理分析
以一道右行小扰动波为例进行分析。
把坐标系取在波阵面上，则变成驻波，波前的气体以(-a)的速度流进波面，而波后的气体以(-a+du)的速度流出波面。
由连续性方程
略去二阶小量，得
小扰动波是一种等熵波，满足下列关系式
：
，
和。
其微分形式为：
代入上式，可得
对于左行波，则有
二、特征线方法
在可压缩流体中，有限幅值连续波流动所满足的方程一般是一组非线性偏微分方程，不能再采用小扰动线化方法，否则，将造成较大的误差。
特征线法根据数学上特征线所具有的性质，运用数值解法或者图解法，为解决这类问题提供了一种比较简便而实用的计算方法。
1.基本方程
连续性方程，在等截面管中
动量方程，在忽略体积力和粘性力情况下
能量方程，忽略粘性和热传导作用，流动过程是等熵的，热力学第二定律可写成
状态方程，对于多方气体来说，等熵关系为
有时为了便于应用，可将方程改写成统一用u，a，s参量表示的形式。
2.特征线及其相容关系
假定上述方程组和(x，t)平面内沿着某一曲
线上各点的
u0，a0，s0的值已知，如果不能单值地决定曲
线附近任意点
的u，a，s的值，则表
示是弱间断线，它就是所求的特征线。
特征线及其相容关系为第一族特征线
第二族特征线
第三族特征线
从公式可以看出，气体的流速和热力学参数的扰动沿着第一族和第二族特征线以音速传播。
熵的扰动沿着第三族特征线传播，而第三族特征线就是流体质点的运动轨迹，这就表明，对于某一个流体质点而言，在运动过程中熵值保持不变。
在均熵条件下
，
，，因而，在全流场的任何时刻都
有。
因此第三族特征线已经失去意义，第一族和第二族特征线简
化为：
第一族特征线
第二族特征线
此时特征线相容关系可以直接积分
式
中
和
称为黎曼不变量。
和代表(x ，t )平面上的两族特征线，称为物理平面上的特征
线，见图(1-3a )
；
和
在(u ，a )平面上构成两族特征线，称为状态平
面特征线，见图(1-3b )。
在(x ，t )平面上，第一族特征线中的每一根，对应于一个确定
的
值，第二族特征线中的每一根对应于一个确定
的
值。
物理平面特征线表达了小扰动波的位置随时间的变化关系，也就是小扰动波波阵面的运动迹线。
其中，第一族特征线对应于右行波，第二族特征线对应于左行波。
不过，此时的u ，a 均不是常数。
在不同的位置x 和时间t ，u 和a 是不同的，可以应用节点法求解流场中气流的速度和音速。
根
据
和
是否为绝
一维非定常均熵流动分为三
类： 第一类：和均为绝对常数（
和
），此时u 和a 均为常数。
第二类：
和
中有一个为绝对常数，称为简单波流动，这是流场中
只有单向传播的波。
第三类：
和
均不是绝对常数，称为双波流。
在流场中既有左行波，
也有右行波。
三、 简单波
假定黎曼不变量之一
在整个波区为绝对常数
，可以得到
由于沿着第一族特征线，保持不变，可知沿着第一族特征线流动参
数u 和a 等均为常数。
由此可以断定，第一族特征线一定是直线，沿着这一族特征线的任何
一根，流动参量保持不变，整个简单波流场只需用(u ，a )平面上的一根特征线表示。
1.简单波的产生和分类
简单波是由无穷多道小扰动波迭加而成的。
在图(1-5)所示的一根两端敞开的无限长管中，活塞在静止气体中向右持续加速。
活塞右边不断产生小扰动压缩波，当无穷多道压缩波通过后，波后气体压力、音速和质点速度便增加一个有限量。
对于右行简单压缩波而言，由于小扰动压缩波连续通过时，后面压缩波的传播速度一定比前面的块，因而波面迹线（第一族特征线）为一族收敛的直线。
同时，在活塞左边，连续产生小扰动稀疏波，波面迹线（第二族特征线）为一族发散的直线。
图(1-5)中各画出了四道小扰动压缩波和稀疏波的产生过程，其中1-4是一段曲线，表示活塞的加速过程，4点以后为直线，表示活塞作匀速运动，没有非定常波产生。
简单波大致可分为四类：右行稀疏波，右行压缩波，左行稀疏波和左行压缩波。
2.简单波的基本关系
跨过简单波波面迹线时气体参数之间的关系如下：
对于右行波
对于左行波
是速度的任意函数。
若已知简单波波前气流参数u 1和a 1，求波后参数时
，由
或
为常数可得
整理后得到
如果波前气体是静止的
，
，则有
“+”号表示右行波，
“”号表示左行波。
对于波后气流的温度、压力和密度变化，利用等熵关系得
四、 中心稀疏波
在一维非定常简单波中，有一种比较特殊的情况，就是所谓“中心稀疏波”。
它的一个重要特点是流场中的速度u 和音速a 等参数不是单独地依赖于x 和t ，而是依赖于它们的组合参数x/t ，这种运动通常称为“一维自模拟运动”。
1. 中心稀疏波的产生
假定活塞由静止突然向右加速至某一均匀速度，那么，在图中，活塞迹线1-4的长度便缩短为零，即图(1-6)。
由图可见，由于活塞突然加速，在(x ，t )图的坐标原点发出的所有压缩波汇聚成一道运动激波，向右传播。
在活塞左边，同样由坐标原点发出一束左行稀疏波，把它称为中心稀疏波。
波头与波尾之间的区域称为中心稀疏波区，波尾与活塞之间的区域属于均匀区，在该区中气流通过中心稀疏波区以后，被等熵地加速到等于活塞的速度；可以是亚音速的，等音速的，也可以是超音速的，究竟属于哪一种情况，完全由活塞的速度决定。
若要求通过稀疏波以后，气流的速度等于音速(u=a )，所需活塞的速度大小由方程(2-15)在波头和波尾之间积分来确定，即
所以
当活塞速
度时，波后气流将被加速到超音速，但是由于极
限速度的存在，波后气流速度最大只能被加速
到(逃逸速
度)。
使波后气流速度达到逃逸速度的稀疏波称为“完全膨胀的稀疏波”。
2.中心稀疏波的基本关系式
中心稀疏波是简单波的一种特殊形式，因此，只要令简单波关系
式中的任意函
数，即可得到中心稀疏波的相应关系式。
对于右行波
对于左行波
以左行中心稀疏波为例，可以直接解出u和a的表达式。
由上述公式可见，u和a仅是x/t的函数。
根据中心系数波得基本关系式，可以确定整个波区的范围。
波头前面气体u1=0，波尾通过以后，气体速度等于活塞速度，代入公式(4-8)，得到
3.通过中心稀疏波时气体质点的加速度
气体质点通过左行稀疏波时的速度由(4-8)确定。
加速度可表示为
结合公式(4-9)，可得。