组合数的两个性质

组合数的两个性质 作者：万连飞

教学目的：

1． 使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力； 2． 使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。 教学过程：

一、复习提问：

1． 组合数公式的两种形式是什么：

2． 利用组合数的公式的第二种形式计算 ，根据学生的回答，教师板书如下：

（1） 组合数公式： )!

(!!!

)1()1(m n m n m m n n n c

p

p c m n

m m

m n m n

-=

--???-=

=

}

(n,m ∈N,且m ≤N)

二、新课讲授：

1． 通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。

（1） 利用组合数的公式，考察：

c

9

11与

c

2

11，

c

7

10与

c

3

10，

c 67

与c 1

7

的关系，并能发现什么规律（可以逐个叫学生回答，板书）

∵

!210

11!2!9!119

11?==

c ，

又

!210112

11

?=c ， ∴

c

9

11

=

c

2

11

；

∵!

38

910!3!7!107

10??==c 又!389103

10

??=c

∴

c c 3

10

710=；

∵

!1!6!76

7=

c

又

!171

7=

c

∴c 6

7=c

1

7。

由不完全归纳可得：从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，等于从n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数。即 定理

1：c m

n

=

c

m n n

-，(n,m ∈N,且m ≤N)

(2)定理1的证明。要证明这个等式成立，即证明两个量相等。那么，证明两个量相等有声么方法呢（指明学生回答） 方法一：“若两个数都等于第三个数，则这两个数相等 ”。 我们知道，

)!(!!

m n m n c

m n

-=

，

!)!(!

)]!([)!(!m m n n m n n m n n c

m n n

-=

---=

-

显然，

!)!(!m m n n -等于!)!(!

m m n n -。于是可得下面的证明。

证明：∵)!(!!

m n m n c

m n

-=

，

又!)!(!

)]!([)!(!m m n n m n n m n n c

m n n

-=

---=

-，

∴

c m n

=c m n n

-。

（3）性质1的另一种解释：从n 个不同的元素中取出m 个元素，并成一组，那么，剩下的n-m 个元素也成一组；反之，从n 个不同的元素中取出n-m 个元素并组成一组，那么剩下的m 个元素也成一组。所以，它们的组合是一一对应的，故有从n 个不同的元素中取出m 个的组合数是c m

n 等于从 n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数c

m

n n

-，

即c m

n =

c

m n n

-。

（4）当 2

n m >

时，利用这个公式，可是

c

m n

的计算简化。如：

36218

92

97997

9=??=

==-c c c ，

4950

2199

1002

10098100=??=

=c c 。

（5） 注意：当m=n 时，公式

c m n =c m

n n

-变形为

c c n n

n 0

=，

又

c

n n

=1，所以规定：

c

n

0=1即 0！=1

（6）在这样的一组组合数：

c

n

0，

c

n

1，

c

n

2……

c

n n

2-，

c

n n

1-，

c

n n

中，性质1还说明了：与两端等距离的两个组合数相等。如：

c n

=c

n n

，

c n

1=c

n n

1-，

c n

2=c

n n

2-，……。

2． 用计算的方法验证下列各式成立，并加以证明。

（1）

（1）用计算的方法考察组合数：

c 3

5

与

c c 2

4

34+， c

5

8与c c 4

7

57+

的关系，你能由此发现什么规律吗（可指明学生回答，板书）

∵

10214

52

535=??=

=c c

10

642

41

42

43

4=+=+=+C C c c

∴

c 3

5

=

c c 2

4

34+

∵

56

3216

783

85

8=????=

=c c

5635213215

6721673

72

74

757=+=????+??=

+=+c c c c

∴c

5

8=c c 4

7

57+

规律：若n 、,m 是自然数，m ≤n ，则

c c c m n

m

n m n 1

1-++=，（或

c c c

m n m n m n

1

1

1---+=）

定理2

c c c m n

m

n m

n 1

1-++= (n,m ∈N,且m ≤N)

（2） 定理2的证明。要证明这个等式，只要根据组合数的公式变形即可。

证明：∵

)]!1([)!1(!)!(!!1---+

-=+-m n m n m n m n c

c m n

m n

)!1(!)

1(!)!1(!!)1(!m n m m m n n m n m m n m n n -++-+=

-++-+=

c m

n m n m n 1

)!1(!)!1(+=-++=

∴

c

m n 1+=

c

c m n

m n

1-+

（3）对于定理2，还可以这样解释：从1a ， 2a ，….，1

+n a 这n+1个不同的元素中

取出m 个元素的组合数c

m

n 1+，这些组合可以分成两类：一类含1a ，一类不含1a 。含1a 的组

合是从2a ，….，1+n a 这n 个不同的元素中取出m-1个元素的组合数为

c

m n

1-，不含1a 的组

合是从2a ，….，

1

+n a 这n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数为c

m

n 。再由加法原理，

得：

c

c c m n

m n

m n 11

-++=。

（3）定理2还说明了，把从n+1个不同的元素中取出m 个元素的组合数c

m

n 1+，等

于从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数c

m

n 与从n 个不同的元素中取出m-1个元素的组合数

c

m n

1-的和。这体现了组合数的可分解性，或组合数的可加性。

二、课堂练习： 1． 计算c 198200与

c c

2

99

399

+；

2． 求

c c

2

7

3

8

-；

3． 利用定理2证明：

c c c c

c c m n

m m m m m n m

n m

n 1

13

2

1

...++---=+++++

证明：c c c

m

n m n m n

11

11

-+-++=

c c c c c c c m n m

n m

n m

n m n m n m n 1

3

3211

2

21+----+---+++=++=

……

c c c

c c m

m

m m m n m n m n ++++++---=13

2

1

...

又证：将原式左边的各项写成：

c c c

m n m n m n 1

1

1

1

+-+--=，

c c c m n m n m

n 1

2

1

12+-+---=，

c c c m n m n m n 1

2

113+-+---=， ……

c c c m m m m m m 1

112

1

+++++-=，

c

c m m m m

11++=，

将上述的等式两边相加，得：

c c c c

c c m n

m m m m m n m n m n 1

13

2

1

...++---=+++++

四、作业:认真阅读课文,重点掌握组合数的两个性质的证明和利用性质计算组合数

的方法,并做下列练习: 1.求

c c c c c 5

5

4535251

5222++++

2. 证明: c c c

c c n m n n m n n n n n n n

1

1

12

1

+++++++=+???+++

3.书上