反刍式学习在数学中的应用
反例初中数学教学中的有效应用探析
反例初中数学教学中的有效应用探析发布时间：2022-03-15T04:47:52.439Z 来源：《中小学教育》2022年3月3期作者：周长慧[导读] 对于反例而言，其就是教师给学生展示出部分十分典型的问题，让学生对其进行分析、思考、研究。
在初中阶段的数学教学中，教师应用反例，能够辅助学生构成数学概念，同时，还可以让学生对各类知识进行巩固，让其思维得到极大地发展。
周长慧四川省内江市东兴区石子镇中心学校【摘要】对于反例而言，其就是教师给学生展示出部分十分典型的问题，让学生对其进行分析、思考、研究。
在初中阶段的数学教学中，教师应用反例，能够辅助学生构成数学概念，同时，还可以让学生对各类知识进行巩固，让其思维得到极大地发展。
【关键词】初中数学；反例；有效应用中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2022）03-144-01数学是一门逻辑性比较强的学科，初中数学教学对于学生的数学逻辑思维培养具有重要的意义，随着现如今教育的发展，学生的各阶段学习的分层也变得更加清晰，这也就直接导致了学生在知识掌握上方面的提升，也直接对初中教育提出了新的要求，需要学生在初中阶段的知识获得能够不断满足自身的学习需求。
“反例”在初中数学教学中的应用在很大程度上能够将学生传统的正面思考的方式做出改变，能够帮助学生做到对问题本质的全面看清，使得学生的数学能力及思维能力得到大幅度提升。
一、反例在初中数学教学中的概述反例在数学中常常被应用于证明题之中，即我们为了说明某个命题是假命题，通常可以举一个例子使它符合命题中所给的条件，但是却不符合命题中的结论，我们把这样的例子称之为反例。
在数学的发展历程中，由于很多命题无法直接从正面解决，但是通过举反例的方式可以较轻松的将问题解决，所以，在数学的教学中，反例教学也发挥着重要的作用。
如果要证明一个命题成立的时候，我们需要严格的推理过程，这时需要思维缜密、逻辑清晰，但是如果通过举反例的方法则会比较轻松的将一个命题否定掉。
初中数学课堂反例的应用
初中数学课堂反例的应用【摘要】在初中数学课堂中，反例是一种重要的教学方法。
它能帮助学生更深入地理解数学概念和方法，提高他们的逻辑思维能力。
通过介绍反例在数学教学中的重要性、定义与特点、应用场景以及如何引导学生运用反例进行数学推理，我们可以看到反例在培养学生数学思维能力中的作用。
在初中数学课堂中应充分利用反例的教学方法，让学生通过反例的应用更好地理解数学知识。
反例不仅有助于学生深入理解数学概念，还能提高他们的数学思维能力，使他们在解决问题时更具有逻辑性和创造性。
反例的应用在初中数学教学中是非常重要的。
【关键词】初中数学课堂、反例、应用、重要性、定义、特点、举例、场景、引导、学生、推理、逻辑思维能力、作用、教学方法、深入理解、数学概念、数学方法、思维能力、结论。
1. 引言1.1 初中数学课堂反例的应用在初中数学课堂中，反例是一种重要的教学工具，可以帮助学生更深入地理解数学概念和方法。
通过展示某个命题的反例，学生可以从错误的推理中找到规律，进而提高他们的逻辑思维能力。
在数学教学中，反例经常被用来强调一个重要的道理：不能仅仅通过一两个例子来得出结论，必须要有全面的证明。
通过研究反例，学生可以更加准确地理解数学定理和规律。
反例也可以帮助学生发现自己的观点和推理是否正确，从而培养他们批判性思维和判断能力。
通过引导学生使用反例进行数学推理，教师可以激发他们对数学的兴趣和好奇心。
学生在实践中运用反例推理，不仅可以提高他们的解决问题能力，还可以加深他们对数学知识的理解。
在初中数学课堂中，应该充分利用反例的教学方法，让学生通过反例的应用更好地掌握数学知识，提高数学思维能力。
2. 正文2.1 反例在数学教学中的重要性在数学教学中，反例的应用具有非常重要的意义。
通过反例的引导，可以帮助学生更深入地理解数学概念和方法，加强他们的逻辑思维能力。
反例可以帮助学生在探究数学规律过程中发现错误和漏洞。
在数学课堂上，教师可以通过提出一个命题并给出一个错误的例子，让学生发现其中的错误并找出真正的解决办法。
反例在初中数学教学中的作用
反例在初中数学教学中的作用发布时间：2021-11-02T03:14:07.750Z 来源：《当代教育家》2021年18期 作者： 柯世龙[导读] 初中数学教育对学生的数学逻辑思维培养起着重要作用，现今随着教育普及程度越来越高，各阶段教学分层也会更显著，初中生在知识掌握上也必将比之前的情况更好，而这在同时也要求初中教育必须不断进步，不断满足学生学习的需要。
泉州市德化第八中学
摘要：初中数学教育对学生的数学逻辑思维培养起着重要作用，现今随着教育普及程度越来越高，各阶段教学分层也会更显著，初中生在知识掌握上也必将比之前的情况更好，而这在同时也要求初中教育必须不断进步，不断满足学生学习的需要。在初中数学教学中，单一的教学内容及单调的教学方式往往会减弱学生的学习热情，而且容易使学生形成思维定势，不利于学生养成批判性思维及辩证逻辑思维，这对于学生的未来发展有很大的阻碍。反例在初中数学教学中的应用可以很大程度上打破传统的正面思考的方式，更全面地看清问题的本质，有利于学生数学能力及思维能力的培养。本文结合自己的教学实际，探析反例在初中数学教学中的作用，为广大同行提供借鉴。
关键词：初中数学；反例教学；作用
反例教学是指教师在教学时有意进行错误的教学示范，选择错误的教学例题，引导学生发现其中的错误，了解例题解题方式的不足，提出正确的解决方案，促进学生解题能力的提升。在传统的初中数学教学中，教师在进行教材内容的讲解时往往是按照自己的教学经验进行，有时教师的语言太过专业，学生听得稀里糊涂，无法准确了解教师的含义。同时教学方法过于简单单一，教学过程枯燥乏味，无法有效激发学生的学习兴趣，对学生的吸引度较低。而反例教学一改原有的教学模式，以错误的示范出发进行例题的讲解，打破了传统教学枯燥乏味的印象，使得教学过程更加趣味化，有效加深学生对相关知识点的印象。我们教师可以结合自己的教学实际，合理利用反例教学，使其能够在初中数学教学中发挥作用。
反例教学在小学数学课堂的巧妙应用
2020摘要：反例教学在数学课程中有十分重要的应用。
在小学数学教学中，学生经常出现混淆概念，对概念的真实意思迷惑不解的情况。
而概念知识的教学，是数学的基础和重点，在正面教学达不到理想教学效果的情况下，教师可以采用反例教学法，来帮助学生正确区分概念、破解思维定势、排除干扰条件，让学生把握知识的本质，逐步提高学生的理解能力，培养学生的发散式思维。
关键词：小学数学反例教学应用反例教学指的是教师在教学过程中，学生对例题有误解或者对知识点形成错误的认知，教师举出命题不成立的例子，反方向引导学生进行辨析。
数学具有极强的严谨性，这就对教师的创造力提出了很高的要求，对于存在误导性的知识点，教师要在教学过程中渗透反例教学，寻找适当的反例，分析解题的方法，来纠正学生的错误认知，引导学生深入理解和掌握概念。
一、正确区分概念，深化学生理解在小学数学中，有些概念知识过于抽象，凭借小学生薄弱的理解和感知能力，容易产生曲解。
而一旦出现较为相似的、互有关联的概念，学生也很容易混淆，从而导致解题出现各种错误。
教师可以运用反例，让学生独立思考、自己进行辨析和对比，便于其走出误区。
以反例来强化和突出教学概念，让学生深刻理解数学概念的本质和应用，达到直观教学所达不到的良好教学效果。
教学人教版小学数学三年级下册《小数的初步认识》一课时，教师引出了“小数的性质”这个概念，小数的性质即：在小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。
而学生似乎没有理解概念，教师让他们用小数的性质举例子，学生举不出例子。
随后，教师举出反例：在小数点的后面添上或者去掉0，小数的大小不变。
教师按此反例在黑板上板书：因为0.90＝0.9，所以0.9＝0.09＝0.90，学生很快就看出了端倪，认为0.09是9个0.01，而0.9是9个0.1，不可能相等。
然后，教师引导学生多观察一下教材上的小数性质，性质中的“小数的末尾”，不是小数点前的末尾，必须满足小数的末尾这个条件，才能保证小数的大小不变，0.9确实等于0.90，只是计数单位变了，大小完全一致。
浅论反例在初中数学教学中的应用
浅论反例在初中数学教学中的应用摘要：在初中教学中，反例的构建是教学中一种非常重要的教学手段和方式，反例教学有其极其重要的作用，它可以培养学生思维的缜密性、提高思维的全面性、培养学生思维的发散性以及思维的创新性。
关键词：初中数学反例教学重要性用命题形式给出一个数学问题，要判断它是错误的，只要列举一个满足命题的条件，但结论不成立的例子，就足以否定这个命题，这样的例子就是通常意义下的反例。
在数学教学中，我对反例教学的感触也非常深刻，我觉得反例教学既有重要的作用，也有其在实施的过程中需要注意的环节。
现结合教学实际谈谈初中数学教学中反例教学的重要性。
1、实施反例教学要注意的问题1.1注意反例教学的引入根据学生年龄、生理及心理特征，以及所学知识结构的不完整性，有时还不具备独立系统地推理论证的能力，思维受到一定的局限，考虑问题可能还会不够全面，在教学过程中要注意反例教学引入的合理性和可行性。
1.2 注意反例教学的构建教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了一种探索情景，又由于在通常情况下，许多反例的构建不是惟一的，这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解，并调动他们全部的数学功底，充分展开想象，因此，构建反例的过程也是学生思维发挥和训练过程。
例如在讲授《实数》一节时，我曾安排了这样一个思考题：两个无理数的和是否一定是无理数？学生们马上举出几个反例如π与-π；它们的和都等于零是有理数。
这些反例的共同特征是：互为相反数的两无理数和为有理数。
在此问题的基础上，教师可以进一步地追问：两个无理数的积是否一定是无理数？两个有理数的和或者积是否一定是有理数？一个无理数与一个有理数的和是否一定是无理数？一个无理数与一个有理数的积是否一定是无理数？通过对这些问题作更多更深入的一些研究，这不仅可以培养学生思维的发散性，还可以加深对有理数、无理数概念的理解，弄清有理数和无理数之间的关系。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用随着教育教学理念的不断深入，教学方法也在不断创新和改进。
在数学教学中，传统的教学方法主要以讲述、讲解和练习为主，学生往往是被动接受知识。
而反例教学方法的运用可以有效地激发学生的兴趣，提高他们的思维能力和创造力。
下文将探讨反例在初中数学教学中的运用，并分析其优点和挑战。
1. 引发思考：在教学中引入反例，可以引发学生对数学知识的思考。
在教学小数乘法时，可以引导学生找出一些特殊的乘法算式，使学生通过这些反例来思考为什么会出现这样的结果。
这样既可以帮助学生理解乘法的规律，又可以激发他们对数学问题的兴趣。
2. 强化概念：通过引入反例，可以帮助学生更加深刻地理解数学概念。
在教学平行线的性质时，可以引入一些关于平行线的反例，让学生通过这些反例来发现平行线的性质，从而更加深刻地理解平行线的定义和性质。
3. 开展讨论：通过引入反例，可以引导学生展开讨论，让他们通过讨论和分析来发现问题的本质。
在教学方程的解时，可以引入一些特殊的方程，让学生通过这些反例来思考为什么会出现这样的结果，从而引发学生的讨论和探讨。
二、反例在初中数学教学中的优点1.激发学生的兴趣。
通过引入反例，可以打破传统的教学模式，让学生在学习数学知识时更加活跃和积极。
2.提高学生的思维能力。
通过引入反例，可以让学生更加深入地思考数学问题，从而提高他们的思维能力和创造力。
4.促进学生独立思考。
通过引入反例，可以引导学生独立思考和分析问题，从而培养他们良好的学习习惯和解决问题的能力。
1.教师的引导能力。
引入反例需要教师具有一定的教学经验和引导能力，能够及时解答学生的疑惑，引导他们正确地分析和理解反例。
2.学生的接受能力。
有些学生可能对引入反例的教学方法产生抵触情绪，需要教师有耐心去引导他们，让他们慢慢接受和理解这种教学方法。
3.教学时间的限制。
由于课堂时间有限，教师需要合理安排引入反例的时间和方法，让学生在有限的时间内获得最大的收获。
巧用反例教学,优化数学教学
教学感悟２０２４年１月下半月㊀㊀㊀巧用反例教学,优化数学教学◉江苏省江阴市华士实验中学㊀张㊀云㊀㊀摘要:教学中,教师通常惯性使用正序的方法帮助学生构建知识体系,这种方法容易让学生陷入被动式学习状态．对于一些问题以逆向思维作为引导,用反例来判断命题的真假,反而能达到良好的教学效果．本文中从深化学生对概念的理解㊁突破学生的思维定式㊁减少计算错误的发生㊁提升学生的思维品质等方面,对巧用反例教学㊁优化数学教学展开阐释．关键词:反例教学;概念;计算;思维㊀㊀纵观世界数学的发展史,发现反例对数学的发展有着显著的推动作用,如非欧几何的产生与无理数的发现等都与反例有着直接的联系．事实告诉我们,反驳与证明是推动数学发展的原动力[１]．因此,我们在教学中,应将目光锁定反例教学,充分利用反例激发学生的质疑精神,提高学生的数学综合能力．近年来,笔者在教学实践中,运用反例教学法获得了一定的教学效益,特将该教学技巧与作用进行整理与分析,提出几点拙浅的看法．１深化学生对概念的理解概念是数学学习的基础．吃不透概念,就如同一座高楼大厦没有打好地基一样,缺乏稳固性．只从正面去教授概念,学生难以发现概念的特殊之处与存在的陷阱．遇到考查概念内涵的练习,便会被变化多端的描述与情境变化干扰,导致各种错误的产生．若采用反例教学的方式,则能深化学生对概念的理解程度,不论情境发生怎样的变化,都能一眼找出概念的内涵．案例１㊀ 负数 的概念教学负数是刚步入初中阶段学习的一个概念,教材运用了半列举的模式阐释负数的意义,如１１．８％,９,９．５这些大于０的数为正数,－７．８％,－３,－１０．５这些在正数前添加了 － 号的数为负数．从字面上来看,这个解释没有问题,但学生理解的时候容易产生偏差,有些学生会简单地理解为数字前只要有 － 号,就是负数．为了深化学生对负数概念的理解,笔者尝试用反例教学法,提出 －(－２)属于正数的范畴还是负数的范畴 的问题．学生看到此问,立马认识到负数概念中的内涵(正数前面有 － 号)．因此,要从负数的内涵上理解其概念,才不会出现偏差．反例的运用,让学生认识到看似理所当然的概念,并非那么简单．对于概念的理解,需做到 咬文嚼字 的程度,要仔细琢磨概念中每一个字词的意义．有时,看似随意的描述,可能含有很多丰富的内涵．反例在概念教学中的应用,能让学生逐渐形成科学严谨的学习态度与思维方式,在对概念的理解与应用中树立反例意识,从而完善对概念的理解．２突破学生的思维定式随着教学手段的进步,试题也越发变得灵活,对学生的解题能力也提出了更高的要求．但学生在学习中常会受之前认知水平与解题经验的影响,形成思维定式,解决一些繁杂的问题时会产生困扰．实践证明,反例教学的模式能有效地打破学生的思维定式,启发学生产生新的解题思路与方法,提高解题能力．案例２㊀ 二次函数增减性 的教学问题㊀说说函数y ＝８x ２的增减性．不少学生受之前所学一次函数y ＝a x ＋b (a ʂ０)的影响,心理上产生了思维定势,觉得a ＝８＞０,所以函数y ＝８x ２呈递增性．为了突破思维定式对学生认知的影响,笔者利用反例教学的方式,让学生自主发现其中的奥秘,提出 当x １＝３,x ２＝－６时,对应的函数值y １,y ２分别是多少的问题．学生通过分析发现,二次函数与一次函数有着显著的差异,它的增减性不能以未知数的系数作为参考,而应以它的图象在坐标系中的对称轴作为讨论界限．用反例法突破学生的思维定式,并非绝对的摒弃常规的正序思维,而是针对一些特殊的问题采用反例法教学,这样教学效果更为明显．其实,日常教学中仍然是常规思维训练运用得更多,在此基础上灵活运用０９２０２４年１月下半月㊀教学感悟㊀㊀㊀㊀反例法教学,能让学生学会从不同的视角或层面看待问题,从而开拓视野,拓宽思维,为解题思路的拓展提供帮助．３减少计算错误的发生运算能力是数学学习的基本技能,它决定了学生在数学道路上能走多远．不论多巧妙的解题思路,若没有精准的计算作为保障,只能无奈地以失败告终．因此,没有较强的运算能力,就无法谈及解题能力的发展．而初中数学中的计算与小学相比,变得繁杂了许多,学生在计算上丢分的现象屡见不鲜．怎样利用反例教学法提高学生的运算能力,避免因计算错误而导致失分的现象,是笔者近些年一直在探索的问题之一．实践中,笔者发现激发学生的潜能,提升他们的计算能力,反例教学法具有无可替代的重要作用．案例３㊀ 完全平方公式 的教学不少学生对于字母化的公式容易产生认识上的偏差,而完全平方公式又是初中阶段非常重要的一个乘法公式．因此,教师可用实际数字代替字母让学生进行反例训练,如区别(８＋５)２和８２＋５２的结果是否一致等．学生通过具体数字的计算,明确用字母所表达的完全平方差公式的意义,避免大脑形成错误的记忆而导致运算的失败．有些教师受传统思想的干扰,习惯性地使用题海战术来训练学生的计算能力,认为熟能生巧是提高运算能力的基本手段．众所周知,大量刷题只能形成一种惯性的解题思维,离深刻理解算理与灵活运用算法还有很大的差距．将反例教学灵活地运用到计算训练中,可以达到减负增效的效果,也能让学生快速找出错误发生的原因．因此,重点突出㊁少而精的反例计算训练,是提高运算能力的催化剂．４提升学生的思维品质良好的思维品质对学生的终身可持续性发展具有深远的影响．合理的思维练习对思维习惯的培养具有举足轻重的作用,而优质思维品质的形成,需有良好的思维习惯[２]．解题中,不少学生出现一听就会㊁一做就错的现象．深究其原因并非是偶然失误所致,而是这部分学生的思维品质尚未达到该阶段应有的水平．案例４㊀ 三角形的三边关系 的教学本章节对三角形的三边关系提出了一个规律:三角形的任意两边之和必然大于第三条边,而两边只差必然小于第三条边．不少学生在运用该规律时,往往只关注到其中一个条件,认为只要满足这两个条件中的一个,就能构成三角形．笔者发现,用正序教学法讲解后,学生依然会出现这个错误．为此,笔者以通过例教学法,引发学生进行思考与分析:问题㊀在草稿纸上以２．５c m,１．５c m,１c m为边画三角形．学生以小组合作学习的方式画图,最终每组呈现的结果都是:无法画出满足该条件的三角形．为此,笔者要求各组讨论:为什么无法以这三个数据构造一个三角形?学生经过讨论与分析后提出:虽然１．５＋２．５＞１,１＋２．５＞１．５,但是１＋１．５＝２．５,这与教材中所提到的 任意两条边相加都大于第三条边 的条件不相符．可见,１＋１．５＝２．５这个条件导致了无法画出三角形．学生在这个反例教学中,更进一步地认识到此规律的重要性与实施过程中的意义．通过这个案例,学生也深刻认识到数学学习需讲究周密性与严谨性,不能因为大部分条件能满足,就认为是可行的,而应掌握数学概念㊁定理或规律的内涵,深刻认识每一个字词句所代表的意义,才能做到灵活应用．思维品质的培养需要经历一个漫长的过程,而非一蹴而就的事．因此,教师应在教学中有意识㊁有计划地渗透数学思想,在润物细无声中长期训练学生的思维品质,让每一个学生都能在学习中获得良好的数学思维品质,为其终身可持续性发展奠定坚实的基础[３]．总之,反例教学是响应新课标 轻负高效 教育理念的新视角与思路．这种教学方式能让学生化被动为主动地参与学习,突破思维定式带来的弊端．于教师而言,反例法为教学开辟了新蹊径,启发了新的教学思路,让他们能从一个全新的角度去认识与看待数学事物．因此,反例教学不仅能促进师生的共同成长,还能有效地提升数学教学实效,为培养学生的数学能力与核心素养奠定基础．参考文献:[１]于浩．中学数学创新教法[M]．北京:学苑出版社,２００１．[２]施良方,崔允漷．教学理论:课堂教学的原理㊁策略与研究[M]．上海:华东师范大学出版社,１９９９．[３]阴国恩,梁福成,白学军．普通心理学[M]．天津:南开大学出版社,２００３:２３．Z１９。
反例及其在数学学习中的应用-毕业论文
---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印---摘要反例广泛应用于数学的学习当中．本文对反例的类型，作用和构造进行总结和研究，来加深对反例的思想和方法的认识与理解．本研究对反例的思想和方法的深入认识具有重要意义．通过采用文献法，文本分析法得出以下结论：根据证明不同类型的伪命题有不同的反例构造方法，并且给出相关的例题分析和求解过程．得到反例是证明伪命题和发现存在的错误的方法，构造反例是一项积极地创造性的思维活动．从而加深对反例的思想和方法有全面认识和深刻的理解．关键词反例作用构造类型Counterexample and its application in Mathematics LearningAbstract Counterexamples are widely used in mathematics learning. This paper summarizes and studies the types, functions and structures of counterexamples, to deepen the understanding and understanding of the thought and method of counterexample. This study is of great significance to the in-depth understanding of the thought and method of counterexample. By using the method of literature and text analysis, the following conclusions are drawn: According to proving that different types of pseudo-propositions have different methods of constructing counterexamples, the process of analyzing and solving related examples is given. The method of getting counterexamples is to prove false propositions and to find the mistakes, it is an active and creative thinking activity to construct counterexample so as to deepen the comprehensive understanding and deep understanding of the thought and method of counterexample.Key words counterexample function structure types引言反例是证明伪命题、纠正错误和发现正确认识的最有效果的思想方法，是极具创造性的思维活动．一个问题的求解如果正面想走不通的话不妨尝试一下运用反例，有时会达到事半功倍的效果．反例方法的掌握和正确运用对于数学的学习有着极其重要的作用．通过对反例的研究可以加深对数学思想的理解，训练数学思维，从而有效地解决一些的数学问题，并为将来的数学教学工作奠定一定的理论基础，具有现实意义．正如我们所知道的，一个命题的正确与否必须经过严密的推证，而要否定一个命题，举出与结论相反的一个例子即可．著名科学家、哲学家波普曾说，知识成长的逻辑是“在猜想和反驳中成长着的”．一个错误认识被反驳不仅是可能的，而且也是一项最有效的标准和方法---- 反例．在数学史的历史长河中，数学探索和发现的过程中的有很多重大的课题与数学的猜想，能举出合适的反例来推翻假命题，与给出十分严格并且严谨证明给予肯定，二者之间的地位是相同的，都相当的重要．例如欧氏几何在成立之后的时间，有许多人都尝试对平行公理进行严格的证明，但最后结果都失败了．而高斯、黎曼等这些杰出的伟大数学家通过假设，利用对锐角与钝角的假设这种数学思想方法，最后成功彻底的推翻了“平行公理是可以证明的”这个一直被认为正确的错误猜想．这件事情让将近两千年的一大数学难题被完美的解决，这次事件对几何学甚至对整个数学领域的蓬勃发展作出了伟大的贡献．反例的作用不仅用以否定命题而且也是发现数学真理的一种重要手段[6]P40，正如美国当代数学家盖尔鲍姆所说：“数学发现也是朝着两个主要目标---- 提出证明和构造反例”．本研究通过对数学学习中反例的构造，类型及其作用来体现体现反例的重要性和加深对反例的思想和方法的理解．通过反例来进一步加强对概念的的理解，运用反例的构造这个方法来来加强对于数学学习中的基础知识进行掌握，所以找到合适的方法构造反例和选择合适的反例的类型才有利于证明伪命题和发现正确认识，从而加深对反例有深刻的理解．反例在数学学习中起着不可估量的作用．恰当地运用反例，对快速有效解题起着很大的作用，更有利于培养发散思维能力, 克服思维的片面性, 更好地理解数学概念，掌握数学方法．反例在数学学习中的应用在国内也是非常热门的话题，国内学者从不同角度阐述了反例的作用和意义．黄强联和马建珍认为反例可以促进逆向思维的培养和训练，在反例的学习中把握概念的之间的关系，促进新理论的产生[5]P1-3,[10]P40．杨丽宁、李艳萍、郭全生,唐玉玲和欧伯群，刘小松认为反例是一种创造性学习，它具有激发学习兴趣和培养创新意识和创新能力的作用[13]P79,[11]P183,[8]P111,0P70-71．李艳萍、欧伯群，刘小松和王俊青提出：学生往往因为有些概念，定理直观性不强导致学生不能够灵活运用，从而忽略了条件导致了错误的结果，而反例可以分清条件的必要性和充分性进而纠正错误[11]P182-183,0P69,[4]P8-11．曹玉升、巨泽旺，薛有奎、刘荣辉，王彦和王宏仁，陈鳎认为反例具有打破思维定式，加强对定理和概念的理解，提高教学效果[14]P121,[12]P50[7]P14[3]P115．曹玉升、郑俊艳和刘保福通过对反例的构造的研究，认为反例是纠正和反驳错误的方法，对于数学的概念，定理的理解具有强化作用[14]P121-122[6]P40[2]P167．杨丽宁则认为反例对于理论的证明，能够发现理论具有局限性，从而推动理论向前发展[13]P79．马世样通过对解析几何反例研究得出构造反例和给出证明是同样最重要的，也同样加深对概念理解[15]P75-76．通过对反例的类型的探讨，对意义和构造的分析和研究，从而对反例有全面认识和深刻理解．1 反例的定义数学思想方法有很多，作为特别常见的一种思想方法：反例．它体现了数学的发现、数学的化归、数学的猜想、数学的实验以及数学的归纳等数学思想．抽象的广泛普遍性与现实问题的特殊性被作为反例基础，面对具体问题的具体特点通常采取一种特殊的适合它的解决问题的方式．符合某个数学命题的条件的同时与该命题结论相反的例子就是反例．比如命题若p 则q ，那该命题的反例就是若p 则q ．在数学中，证明一个命题是否为真命题，必须在严格地遵守所列出的条件之下运用逻辑推理的方法和推导过程从进而推导出该命题结论．但是证明一个命题是伪命题，最有说服力而并且又简单，明了的操作方法就是列举反例，推翻伪命题．例如想要否定“两个虚数之积仍为虚数”，只要举出()()522=-+i i 即可．“以例外证明规律”，这句话被每个人都所熟知．通常的一个例外出现完全能够反对并且驳回任何一些具有规律或者具有普遍性的一些命题．通常情况下，一个假命题的拥有很多的反例，因此我们不需要举很多反例，只需取其中一个反例就足够证明假命题．反例在数学学习中具有无可比拟的作用是因为它具有直观、形象、生动等一系列特点．2 反例的类型反例的类型有基本形式的反例，关于充分条件假言判断反例，关于必要条件的假言判断和条件型反例[6]P40,[9]P103-105．（1）基本形式的反例数学命题有四种类型，全称肯定判断，全称否定判断，特称否定判断和特称肯定判断四种基本命题．其中全称肯定判断与特称否定判断可以互为反例，全称否定判断与特称肯定判断也互为反例[6]P40,[9]P103-105．如：有的数不是自然数（特称否定判断）与所有数都是自然数（全称肯定判断）互为反例．（2）关于充分条件假言判断反例即若p ，则q ．有前面的条件p 必有后面的结论q ，但是没有条件p ，不一定没有结论q ，这个时候我们可以举反例来说明即可．（3）关于必要条件的假言判断 即若p ，则q ．没有前者就没有后者，可举例有前者也没有后者．（4）条件型反例此类反例在条件发生变化的时候，结论不一定成立．当条件减少或者增加的的时候结论也会发生改变．例1 无界数列必为无穷大量．分析 找命题中的条件和结论，满足无界数列这个题设条件，但是却不满足这个结论．即数列是无界数列，但是无界数列并不能全部都满足无穷大的要求．反例 数列(){}n n ]11[ -+，随着n 变化，数列也随着变化，虽然是无界数列，但却不是无穷大量，故命题不真．这个例子就很好的证明了反例条件发生变化的时候，结论也会随之发生变化．3 反例的作用（1）反例能强化概念的理解反例在数学学习中有重要作用，例如在反驳某一个观点而使用反例，在潜移默化中忽视了它潜在的用处，反例能够强化概念的理解0P69-71,[2]P167,[4]P8-11,[6]P40,[13]P79．例2 }{n a 、}{n b 都是无界数列，则}{n n b a 为无界数列．分析 要得到两个无界数列乘积不为无界数列，即找到两个无界数列乘积为有界数列即可．由此想到另外一个无界数列与另一个无界数列的乘积为同一个常数即可．反例 设数列}{,3,31,2,211,1 ，：a n }{ ,31,3,21,2,1,1:n b ．这个例子很明显可以看出这两个例子都是无界数列，但是}{n n b a 结果是1，1，1，…，这为有界数列，这就与题意矛盾．故命题不真．在理解概念的时候不能仅限于了解表面的意思，很容易被一些说的很对的命题所迷惑，如何判断正确与否，这最关键的一点就是理解定义，概念．从定义概念入手，但是定义概念却更难理解，这时候反例的作用就体现出来了，借助反例迅速的对这些命题进行判断，当使用反例来进行命题判断的时候，这些概念和定义就会慢慢的被一步一步所理解进而转化为最易理解的部分．当遇到问题的时候按顺序来不行的时候，换一种方式反着来，思维转换，这或许是一种更好地学习新知识的方式．反例在不仅在数学分析中具有加强概念理解的作用，在线性代数和解析几何中同样也有加强概念理解的的作用．例如在线性代数中，在自然和社会科学中具有广泛的应用，而线性代数就是解决一系列问题的方法．但是运用线性代数，必须要理解他所描述的定义与概念，这时候反例就成为帮助理解概念最好的的工具．例3 自然数集是一个数域．分析 首先得了解自然数集是什么，自然数集：{} 7654321,,,,,,这样的数成为自然数，数域定义：设是由复数组成的一个集合.它包含0和1，如果在集合中任意取两个数并进行加减乘除四则运算所得到的结果仍然属于集合，即加减乘除是封闭的，那么就称为一个数域.很显然，通过观察做减法时得到的结果有不属于这个集合的．所以结论不成立．反例 因为自然数是从0开始的正数，当取两个数4和3时，3和4作减法结果是1-，而1-不是自然数从而1-不属于集合p ，故可以得出结论自然数集不是一个数域．所以此命题不真．这就很好的反驳了这个命题，同样的也加深对于数域这个概念的理解，什么是数域，怎样判断是否是数域．（2）反例是推翻假命题的方法反例是一种方法，否定一个命题的有效方法之一就是构造一个反例．例4 若f 为周期函数，那么f 为周期函数．分析 如果这个命题反过来说：若f 为周期函数，则f 为周期函数．这个一眼就能明白，结论十分显然，毋庸置疑的．但是反过来就不行，这个时候能推翻这个假命题的方法只有寻找反例来反驳这个结论，推翻这个命题0p70-71．通过寻找周期函数f 受符号影响，而发生改变，来寻找反例．反例 设()⎩⎨⎧>-<≤≤-=ππππ2,sin 2,sin x x x x x x f 或，则()x f 是以周期为π的周期函数，但是()x f 却不是周期函数，产生矛盾，故此命题不真．在寻找反例的时候由于例题都具有普遍性，所以导致所找到的例题都能符合上面的假命题，所以在寻找反例来推翻假命题的时候要学会从概念出发，构造特殊的例题．这时假命题就不攻自破了，所以如何推翻假命题，最有效的证明方法就是构造反例．（3）反例是验证定理严密性的手段反例是验证定理严密性的必要手段，我们可以通过反例来研究定理是否严密，通过对命题条件的分析，再运用反例来阐述命题的结论未必正确0P70-71．例5 设{}n a ，{}n b 均为收敛数列．若存在正数0N ，使得当0N n >时有n n b a <，那 么n n n n b a ∞→∞→<lim lim ． 分析 收敛数列在存在上述条件的时候，也会有极限相等的情况，所以极限相等这个情况应当被考虑．因此便可找到与题设矛盾的反例．反例 设k a k 1=，kb k 3=(),...,2,1=k ，k k b a <，但0lim lim ==∞→∞→k k k k b a ，这与题设矛盾． 这就说明性质如果损失某些条件的话就会出现错误，一些定理都需要特定条件下才能够成立，如若忽略这一特定条件的话，结论可能会出现变化．这也就体现了反例能够验证命题定理的严密性，在特定条件下成立的定理或者性质，不能够随意更改而破坏其定理的严密性，结果导致定理出现错误而不被认可．但是运用反例就能验证严密性从而进行一定修改或者对其进行否定．通过这些反例的寻找和构造，这些反例也成为考察定理是否严密的的手段之一．（4）反例培养逆向思维和创新思维反例具有培养逆向思维和创新思维，具体表现在，在命题中，构造反例即证明逆命题不正确，则可以判定原命题错误0P70-71,[3]P115,[10]P40,[5]P1-3．要注意数学定义的互逆性[10]P40，每一个定理定义他都具有互逆性．当注意到思维不在单向性发展的时候，思维的深度广度就会提升，就更加容易创新．通过反例的学习和研究，证明逆命题是错误的，可以培养逆向思维和创新意识，每一次构造反例都是一次创新，培养逆向思考能力[10]P40．例6 若n αααα,...,,,321线性相关，则可以得到1α可以由线性表示．分析 若1α可以由n αααα,...,,,432线性表示那么n αααα,...,,,321，线性相关．很显然这个命题是正确的．对逆命题而言要证明是伪命题，只要能找到一组线性相关，并且其中某一项不能被其他项表示的数即可证明他是伪命题．反例 不妨设()211，=α，()1-12，=α，()11-3，=α，易知321,,ααα线性相关，一组不为0的数为1,1,0321===k k k 使得0332211=++αααk k k ，但是1α不能由32,αα线性表示，与题设矛盾．于是该命题为伪命题．通过对真命题的理解和分析，对于逆命题进行思考，通过逆向思考构造反例，能够增强逆向思维和创新思维0P70-71,[10]P40．4 反例的构造方法反例构造原则有简单性原则，直观性原则，直接性原则还有经验性原则．简单性原则是指理论或者逻辑的简单性，在认同以最大程度独立的初始假设为基础的情况下，简单的尽可能的解释事实．然后在假设成立的情况下面，找到与结论不同的反面例子，来解释想说明的结果．直观性原则是指通过一些具体的实例使得在实例的认识和学习当中能够取得在感性方面的认识，这体现了一种从感性过渡到理性的认识发展的规律，根据这一原则使得具体和抽象相结合，降低理解抽象的难度．直接性原则是指思想的直接性，在思维认识的初级阶段只能认识到感觉所呈现的内容，但它还没有触及到事物的本质，没有把握到概念的各个环节的联系和矛盾转化．各个概念之间是孤立的，分离的．经验性原则是指通过观察其外部特征，经过反复观察从而发现某种有规律的数学表象．数学实验通过数字运算，数据处理等通过一些有限实例获得一般性结论来验证某一种假设或者猜测．反例的构造方法有特例构造法，性质构造法，类比构造法，逆向思维法，极端性法，数量关系法，叠加法和图形法[2]P167,[6]P40,[7]P14,[9]P103-105． 4.1特例构造法特例构造法即利用特殊位置、特殊函数、特殊值、特殊不等式、特殊图形等特殊数学元素来构造反例的方法[2]P167,[6]P40,[7]P14,[9]P103-105,[14]P121-122．例7 若a a n n =∞→lim ，则必有a a n n =∞→lim ． 分析 若a a n n =∞→lim 则很容易得到a a n n =∞→lim ．这是显而易见的，但在此题当中条件和结论位置发生变化，则可以考虑到a a n n =∞→lim 极限随n 变化而不存在，但是a a n n =∞→lim 极限存在的情况，此时可以得到与结论不同的反例．反例 设()nn a 1-=，那么1lim n =∞→n a ，可是n n a ∞→lim 不存在． 这就是运用特例构造法中特殊函数来构造反例，通过构造特殊函数来简化对于伪命题的证明．4.2性质构造法性质构造法即根据反例自身性质与需求构造反例的的方法[9]P103-105． 例8 无穷大数列乘以任意有界数列仍是无穷大数列分析 找出题目中的条件，①满足无穷大数列②满足有界数列，考虑到在这两个条件下寻求特殊的数列使得结论无穷大数列乘以任意有界数列是有界数列，根据一个数列没有极限，则他不是无穷大数列这个性质来构造一个与命题结论相反的结论．反例 对有界数列⎩⎨⎧=-== 2 ,012 ,1k n k n a n ，无穷大数列n b n =，有⎩⎨⎧=-==⋅ 2 ,012 , k n k n n b a n n ，极限不存在，所以不是无穷大数列．这就与题设矛盾．则该命题不真．4.3类比构造法类比构造法即根据已知真命题或者假命题的特点和思维的方法进行改进，从而构造新的反例的方法[2]P167,[9]P103-105,[14]P121-122．例9 设B A 、为正定矩阵，则B A -正定．分析 类比：B A 、为正定矩阵，那么B A +正定．这道题种判定正定矩阵的依据是矩阵A的各阶主子式都为正．即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A 为正定矩阵，则011>a ,022211211>a a a a , 0333231232221131211>a a a a a a a a a ，又因为B A 、对称则B A -也对称，所以特别的当B A =的时候B A -为零矩阵，因此和上述结论矛盾．反例 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5221A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5111B 为正定矩阵，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-0110B A 为零矩阵，则不正定，故题设不真．4.4逆向思维构造法逆向思维构造法又可分为转换型逆向思维法，反转型逆向思维法．转换型逆向思维法是指换一种方法，改变角度思考问题来帮助解决问题．反转型逆向思维法是指从事物相反方向思考，从而产生构思的方法．例10 若N A M A =则N M =．分析 反过来说若N M =则N A M A =，命题成立．反之，满足A N A M A == ，但N M ≠．即可构造反例．反例 设{}a M =，{}b N =，{}b a A ,=，那么我们A N A M A == ,N M ≠． 运用反转型思维法，产生新想法．例11 有界数列必收敛．分析 这句话反过来说收敛数列必是有界数列，这是正确的．但是有界数列必收敛那就错了，直接找不收敛的有界数列比较困难，这时可以通过换一个角度进行思考，从周期函数下手，既满足有界，又解决了不收敛的这两个条件．反例 取n a n sin =)321(⋅⋅⋅=，，n ,显然该数列1≤n a ，则{}n a 为有界数列，但是}{n a ，不收敛因为他没有极限．运用转换型思维法便于构造出反例，从而证明伪命题．从这个两例子当中我们可以看出，数学命题都有其适用范围，证明数学命题并不是只有一种而是对应某种数学命题都有专门的与之对应的证明方法，在数分析中我们不要只关注一种方法而陷入死循环，相反的换一种思路，我们选择更合适证明数学命题方法可以更好的帮助我们解决数学问题，证明数学伪命题，从而实现思维层次的提升．4.5极端性构造法 反例的极端性法指的是抓住研究对象的极端性质加以研究，可以简化研究难度，化难为易，将繁琐变为简单，最终达到解决思想问题的解决．例如分式分母为零，一个三角形任意两条边互相平行等．在数列极限的应用中为了测试答案是否正确，我们可以采用极端性法构造反例来检验计算的结果．从而判断正确程度．例12 极限n n sin lim ∞→存在． 分析 在这道题的构造方法上．不妨令他的极限为a ，a n n =∞→sin lim ．满足命题条件，通过极端性构造法构造反例，并通过证明可知极限不存在．反例 令a n n =∞→sin lim ，由于 ()()()()1cos 1sin 211sin 11sin sin 2sin +=-+-++=-+n n n n n ，所以 ()()01cos 1sin 2lim sin 2sin lim =+=-+∞→∞→n n n n n ，故0cos lim =∞→n n ，那么 ()1cos 1lim sin lim 222=-==∞→∞→n n a n n ， 而n n n 22sin cos 2cos -=，取极限有102-=-=a ，产生矛盾，故命题不真．因此极限不存在．在这里运用极端性反证法，假设存在极限通过证明产生矛盾得出极限不存在．极端性的反证法也是构造反例的一种特殊的方法，在不知道命题是否成立的时候，不妨假设其成立，故而得出结论，从而证明命题为伪命题．4.6数量关系构造法在一些假命题当中，由于题目设定的关系，其中会隐含或者给定了某一些数量关系．当其中一部分数量关系被题设所满足的时候结论就成立了，另一部分数量关系被题设所满足的时候结论就不成立．那么在找反例的时候，在题设当中只要注意和讨论数量关系就简单找到反例．例13 设△ABC 的三边长分别为,c b a 、、且满足c c b b a a 111+=+=+，则△ABC 必定是正三角形．分析 找题设中数量关系，满足c c b b a a 111+=+=+的△ABC 的三边c b a 、、的数量关系有以下两类：①c b a ==②c b a ==1⎪⎭⎫ ⎝⎛====c a b b c a 1,1或．显然①题目所设定的条件满足并且结论成立；但②中同样题目设定的条件啊满足，但最终结论却与之相反．反例 取c b a ==1，特别地，取3,31,3===c b a ，这样满足题设条件，但是△ABC 不是正三角形，故此命题不真．4.7叠加构造法叠加法就是在原来的几个原有的反例上进行叠加所得到的新函数就是构造的反例．例14 两个周期函数的和也为周期函数．分析 这个命题极具迷惑性，都是周期函数那么和不一定是周期函数，例如()x x f sin =，()x x g αsin =都是R 上的周期函数，其中α为一个无理数，但是()()x x x g x f αsin sin +=+这时候我们可以让()()()x x x g x f x F αsin sin +=+= 若0>T 为()x F 的一个周期那么()()T x F x F +=这时候我们可以得到()()T x T x +++αsin sinx x T x T x T x T x αααααsin sin sin cos cos sin sin cos cos sin +=+++=这时我们可以得到只有1cos =T ，1T cos =α并且0=T 时等式两边成立．这与题意矛盾，所以()x F 不是周期函数．反例 ()x x f sin =，()x x g αsin =都是R 上的周期函数，其中α为一个无理数.两个周期函数的和为()()()x x x g x f x F αsin sin +=+=,只有当1cos =T ，1T cos =α并且0=T 时,才为周期函数,这与题设矛盾,故此命题不真.这是通过叠加构造法构造反例的例题中的一个，可以仿照这种方法来在别的伪命题当中尝试用叠加构造法来证明伪命题．4.8图形构造法图形法在解析几何和数学分析中运用比较广泛，需要图像来辅助我们了解结论的正确性．例15 函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x ，那么不存在函数使得与x x sgn 相同．分析 通过图像法画出图像可知，当0<x 时x x x -=sgn ，当0>x 时x x x =sgn ，当0=x 时，0sgn ==x x x ．反例 函数x x x sgn =．同样的在解析几何图形构造法对于概念的理解也是非常有促进作用的．例16 共面的三矢量当中共线的两矢量一定存在．分析 三矢量当中，其中两矢量满足是共线的这个条件，那么一定是共面的这三个矢量，通过画图可知，在一个三角形当中，结论显然是错误的.反例 在三角形ABC 中,,三向量共面，但是这三个向量之间两两互不共线．这个例子就很好的反映了共线和共面之间的关系，明确了共线是共面但是共面不一定是共线的概念[15]P75-76．5．反例适用范围及运用注意点反例并不是可以超越题设限定，随意创作的，它需要注意反例对于题设的证明是否适当，它应当简单并且可以说明数学问题，避免超出认知范围反而提高解题难度，不便于问题的解决．一般来说呢，数学命题的证明是通过正面来直接证明的，反例只是用来加深对于关键词的理解和印象，方便用来加深理解知识的手段．它毕竟只是一种辅助性的学习手段，不是学习的主要内容，所以反例是学习知识的重要组成部分，但是不用要求太高，要注明确反例的主次程度．不可忽视也不能过于强调，以免主次颠倒，忽视主要知识点的学习．反例也不可过多的使用，一两个反例的使用可以加强对于知识点的理解和概念的理解[4]P8-11．反例的运用可以使思维得到质的飞跃，纠正命题的错误，加强是非判断的能力．反例方法有以下适用范围：（1）无法一眼看出真假又难以从正面获证（解）的命题；（2）明显与已知事实相悖的命题；（3）题设中有“任何”、“一定”、“必”、“都”等全称肯定判断词的命题；（4）题设中有“任何都不”、“一定都不”、“必不”、“全都不”等全称否定判断词的命题；（5）题设中有“存在”、“至少”、“至多”等特称肯定判断词的命题；（6）题设中有“不存在”、“不一定”、“不都”等特称否定判断词的命题.结论经过本论文的研究，我们通过对反例的类型，作用以及构造等方面进行总结和研究，加深了我们对于反例的思想和方法的理解，同时也认识到反例和证明之间具有相同的历史地位．反例作为证明伪命题，取得正确认识和纠正错误方面有不可替代的作用．根据伪命题当中不同反例的类型给出不同的构造方法并且给出相关的例题分析和求解过程．得到反例是证明伪命题和发现存在错误的方法．通过一系列研究之后从而能够对反例的思想和方法有全面认识和深刻的理解，并且更熟练的运用反例进行伪命题的证明．。
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反刍式学习在数学中的应用
反者，道之动。―――――《道德经》四十章
《现代汉语词典》里说到“反刍”的语义是：偶蹄类的某些动物
把粗粗咀嚼后咽下去的食物再反回到嘴里细细咀嚼，然后再咽下去。
通称倒嚼。以此比喻对过去的事物反复地追忆、回味。借鉴于此，反
刍式学习是一种着眼于学生最近发展区，让学生自主反思的学习方
法。在数学教学过程中，多种学习方式围绕反刍式学习开展，将是一
种很高效的学习方式。现在笔者以七年级下册数学《实数》一章为例
来探讨。
一、 着眼于大局，串起各要点，统一把握，这是开始。
着眼于大局是要与学生分享的其中一的种学习方式。反刍式学习
的主体有两个，一是教师，二是学生。对于老师来说，《实数》这一
章包含有平方根、算术平方根、立方根、无理数等，老师要思考的是
如何通过什么方式才能让学生简单而有趣地掌握《实数》的内容。于
是我设置一个“引桥”内容，把所学的知道都串起来。
引桥一：
0.1²= 0.2²= 1²= 2²= 3²= 4²= 5²= 6²= 7²= „„ 13²=
引桥二：
（－0.1）²= （－0.2）²= （－1）²= （－2）²= （－3）²=
（－4）²= （－5）²= （－6）²= （－7）²= „„ （－13）²=
对于以上这两题，学生都可以很快地完成，然后接着通过介绍逆向
思维①来引入算术平方根和平方根。
①逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一
种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进
行探索，树立新思想，创立新形象。当大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时，而你却
独自朝相反的方向思索，这样的思维方式就叫逆向思维。人们习惯于沿着事物发展的正方向
去思考问题并寻求解决办法。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，
倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化。