应用新展式法求非线性发展方程的精确解
一个新的广义非线性Schr-dinger方程的达布变换及其精确解
郑州大学硕士学位论文一个新的广义非线性Schr?dinger方程的达布变换及其精确解姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：***201105摘要本文主要研究—个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的达布变换及其精确解．文中共分四部分：第一部分主要介绍了孤立子理论的发展和现状以及Ｄａｒｂｏｕｘ变换的基本理论．第二部分首先给出一个新的耦合广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的Ｌａｘ对．然后引入Ｌａｘ对之间的规范变换，由此导出这个新的耦合广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的Ｄａｒｂｏｕｘ变换．第三部分主要研究Ｄａｒｂｏｕｘ变换的约化并给出这个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的达布变换．文中给出一个系统的代数算法求解此新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程．第四部分主要讨论Ｄａｒｂｏｕｘ的应用，以平凡解作为种子解，详细讨论利用Ｄａｒｂｏｕｘ变换得到这个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的Ⅳ－孤子解的算法．特别地，我们分别得到这个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的单孤子解和双孤子解．利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件，通过适当选择参数，给出这个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的单孤子解和双孤子解的图形．关键词：新的广义ＮＬＳ方程；Ｄａｒｂｏｕｘ变换；孤子解ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｍａｉｎａｉｍｏｆｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｐａｐｅｒｉｓｔｏｃｏｎｓｔｒｕｃｔａＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｏｒａｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄｉｔｓｅｘａｃｔｓｏｌｕ－ｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｒｅａｒｅｆｏｕｒｓｅｃｔｉｏｎｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｉｎｓｅｃｔｉｏｎ１，ｗｅｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｔｈｅｏｒｙａｎｄｃｕｒｒｅｎｔｓｉｔｕａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｙｏｆｔｈｅＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｉｎｓｅｃｔｉｏｎ２，ｗｅｆｉｒｓｔｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅＬａｘｐａｉｒｏｆａｃｏｕｐｌｅｄｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｏｒｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ．ＴｈｅｎａＤａｒｂｏｕｘｔｈｅｃｏｕｐｌｅｄｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｄｅ－ｒｉｖｅｄｗｉｔｈｔｈｅｈｅｌｐｏｆｔｈｅｇａｕｇｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅＬａｘｐａｉｒ．Ｉｎｓｅｃｔｉｏｎ３，ｔｈｅＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｏｒａｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｒｅｄｕｃｔｉｏｎｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ．ＡｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｌｇｅｂｒａｉｃｐｒｏｃｅｄｕｒｅｉｓｇｉｖｅｎｉｎｄｅｔａｉｌｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｉｎｔｈｅｆｉｎａｌｓｅｃｔｉｏｎ，ｗｅｄｉｓｃｕｓｓａｎａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｏｆｔｈｅＮ－ｓｏｌｉｔｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ．Ａｓａｌｌａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，ｗｅｏｂｔａｉｎｏｎｅ．ｓｏｌｉｔｏｎａｎｄｔｗｏ－ｓｏｌｉｔｏｎｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｗｉｔｈｔｈｅａｉｄｏｆｔｈｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃａ，ｔｈｅｆｉｇｕｒｅｓｏｆｏｎｅ．ｓｏｌｉｔｏｎａｎｄｔｗｏ－ｓｏｌｉｔｏｎｗｅａｒｅｇｉｖｅｎｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｓｕｉｔａｂｌｙｃｈｏｓｅｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＡｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＮＬＳｅｑｕａｔｉｏｎ，Ｓｏｌｉｔｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｓ，ＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎＩＩ§１引言非线性科学是自２０世纪６０年代以来，在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为２０世纪自然科学的“第三次革命”．而孤立子理论作为非线性科学的一个重要分支，它既反映一类非常稳定的自然现象，又为非线性偏微分方程提供了求显式解的方法，因而受到物理学界和数学界的高度重视．在历史上，孤子和孤波的概念是从一维潜水槽中小振幅波的研究开始的，由于人们对自然现象的细心观察而发现了孤波．１８４４年，英国科学家Ｊ．Ｓ．Ｒｕｓｓｅｌｌ在他的《论波动》报告中，讲述了他１８３４年观察到的一种奇特的水波现象，认为这种孤立波的波动是流体力学方程的一个稳定解，但一直未能在理论上证明孤波的存在．直到１８９５年，荷兰著名数学家Ｋｏｒｔｅｗｅｇ和他的学生ｄｅＶｒｉｅｓ在对孤波进行全面分析后指出这种波可近似为小振幅的长波，并以此建立了浅水波运动方程，用行波法求出了与Ｒｕｓｓｅｌｌ描述一致的孤波解，孤立波的存在才得到普遍承认．起初人们认为虽然单个孤立波在行进中非常稳定，但在孤立波相互碰撞时，就可被撞得四分五裂，稳定波包将不复存在．但是，１９６５年，美国数学家Ｋｒｕｓｋａｌ和Ｚａｂｕｓｋｙ利用计算机通过计算详细研究了ＫｄＶ方程两波相互作用的全过程，惊奇地发现孤波在作用前后形状和速度保持不变而且具有弹性散射的性质，所以Ｋｒｕｓｋａｌ和Ｚａｂｕｓｋｙ又将这种稳定的孤波称为孤子．孤立子的高度稳定性和粒子性引起了人们对孤立子的极大兴趣．随着研究的深入，大批具有孤子解的非线性波动方程在物理的各个领域不断被揭示出，其中包括等离子体中的非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程、振子运动的Ｔｏｄａ链与二维流体流动的ＫＰ方程等，而且这些方程还具有其它许多共同的性质，例如它们都存在Ｌａｘ对与无穷守恒律，都存在等谱流与非等谱流，且相关的等谱方程族构成无穷维Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统等．随着对孤立子研究的深入，人们已发现一系列求孤立子方程精确解的方法，如反散射方法（［９］一［１０］），ＢｉｉｚＭｕｎｄ变换法（［１１］．［１２】，［３０】），Ｄａｒｂｏｕｘ变换法（［１３］－［１７］），Ｈｉｒｏｔａ双线性方法（［１８】．［１９】），Ｐａｉｎｌｅｖｄ分析法（［２０］），Ｌｉｅ对称方法（［２１】－［２２］），以及代数几何方法（［２３］－［２６］），非线性化方法（【２７】），齐次平衡法（【２８］－［２９］）等，其中Ｄａｒｂｏｕｘ变换方法是一１种简便而有效的方法．Ｄａｒｂｏｕｘ变换是１９世纪末法国数学家Ｇ．Ｄａｒｂｏｕｘ在研究线性Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ问题时提出的．１８８２年，Ｇ．Ｄａｒｂｏｕｘ研究了一个二阶线性常微分Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ方程（就是现在所谓的ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程）的特征值问题一≯２２＋让（ｚ）≯＝入砂，（１．１）其中ｕ（ｚ）是给定的函数，入是常数，称为普参数．Ｄａｒｂｏｕｘ发现下面的事实：设札（ｚ）和≯（ｚ，入）是满足（１．１）的两个函数，对任意给定的常数入ｌ，令咖＝多（ｚ，入）是方程（１．１）的一个解，≯１＝≯（ｚ，入１）是（１．１）当入＝入ｌ时的一个解，即≯１满足方程－砂１，ｚｚ＋ｕ（ｚ）≯ｌ＝Ａ１≯１，（１．２）则由覆（。
对偏微分方程求解方法的相关分析
对偏微分方程求解方法的相关分析偏微分方程作为非线性科学领域中的一项重要研究内容，方程自身具有较强的复杂性，大多数偏微分方程的精确性不高，方程的精确求解尚不完全，确保偏微方程求解方法的精确性，成为专家学者重点研究内容。
但是从过去的研究情况上来看，无法精确的求出偏微分方程解，相关的研究人员通过多年来的研究及实验，现总结出了以下三种研究方法，具体分析了偏微分方程的求解方法，确保了求解方法的合理性，有助于提升方程求解效果，提升了偏微分方程的精确性。
1 （2+1）维耗散长水波方程的孤波解方法1.1 双曲正切法双曲正切法函数是由Malfliet等人提出的一种非线性求解方法。
在90年代中期对该方法进行了改进，将计算机代数与双曲正切法有机的结合在一起，对非线性偏微分方程进行求解，提高了偏微分方程的精确性。
偏微分方程求解方法通过采用各种方法，将偏微分方程约化为常微分方程，在通过不同的方程求解方法来完成对偏微方程的孤立波解。
方程求解需要按照如下步骤执行：将偏微方程转换为常微分方程；在利用双曲正切法求解时，运用双曲正切函数将方程解进行组合和叠加；对常微分方程中的非线性代数方程组进行求解；利用吴消元法求解；将所获得的方程解带入到原方程式中进行验证。
例如，方程有解，需要按照公式进行求解：将利用齐次平衡法进行求解，得，n=1，。
其中，当b0时，所求出的方程解为，。
当b=0时，所求出的方程解为，当b0时，所求出的方程解为，。
1.2 投影Riccati法投影Riccati法主要是利用计算机来直接进行求解的过程，通过在Riccati方程中寻找NEEs的形式来求出新的孤波解，将这个解构成初等的函数多项式。
在利用投影Riccati法对偏微分方程进行求解时，需要按照以下步骤进行：针对已经给定的非现象发展方程，将方程中的自变量设置为X，t，做航波变换，会得出一个微分方程；对偏微分方程中的微分方程组进行求解，运用平衡最高阶导数项和非线性项进行求解。
非线性偏微分方程的BACKLUND变换
ｗ Ｔ Ｃ方法，扩展齐次平衡法，可积系统， Ｂ｛ｉｃｋｌｕｎｄ变换，Ｍｉｕｒａ变换
Ａｂｓｔｒａｃｔ（英文摘要）
Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｓｃｉｅｎｃｅ，ｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ｔｈｅ ｎａｔｕ－
ｒａｌ ｓｃｉｅｎｃｅｓ，ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ ｍａｎｙ ｏｔｈｅｒ ａｒｅａｓ，ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ－ ｉｎｇ ｎｏｎ．１ｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌｓ ａｒｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ．Ｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｍｏｄｅｌｓ，ｂｅｃｏｍｅ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｔｏｐｉｃ．Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍａｎｙ ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｏｎｅ ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｉｓ Ｂ｛ｉｃｋｌｕｎｄ ｔｒａｎｓ－ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｏｎ ｏｎｅ ｈａｎｄ，ｔｈｉｓ ａｐｐｒｏａｃｈ ｃｏｕｌｄ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｎｅｗ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｋｎｏｗｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎ，ａｎｄ ｏｂｔａｉｎ Ｍｕｌｔｉ—ｓｏｌｉｔｏｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｂｙ ｒｅｐｅａｔｅｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｏｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｈａｎｄ，ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ａｎｏｔｈｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｄｅｄｕｃｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｏｎｅ ｏｆ ｋｎｏｗｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｖｉａ ｔｈｅ ａｐｐｒｏａｃｈ．Ｔｈｕｓ Ｂ／ｉｃｋｌｕｎｄ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｓ ａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．
非线性方程的求解毕业论文
非线性方程的求解毕业论文题目(中文): 非线性方程的求解(英文): The Solution of Nonlinear Equations目录绪论 ..................................................................... ........................................................... 1 1 非线性方程的简介 ..................................................................... .. (1)1.1非线性方程的背景 ..................................................................... . (1)1.2非线性方程的概念 ..................................................................... ...................... 2 2非线性方程求解的数值方法 ..................................................................... (3)2.1 二分法 ..................................................................... .. (3)2.1.1 二分法的思想 ..................................................................... . (3)2.1.2 二分法的推理 ..................................................................... . (3)2.1.3 二分法的应用 ..................................................................... . (4)2.2 牛顿迭代法 ..................................................................... (4)2.2.1 迭代法 ..................................................................... (4)2.2.2 牛顿迭代法 ..................................................................... . (6)2.3 改进牛顿迭代法 ..................................................................... .. (10)2.3.1 改进牛顿迭代法的背景 ......................................................................102.3.2 改进的法 ..................................................................... ........... 11 Newton3 牛顿迭代法和改进牛顿迭代法的应用 ....................................................................123.1 牛顿迭代法的应用...................................................................... . (12)3.2 改进牛顿迭代法的应用 ..................................................................... ............ 19 4 结束语 ..................................................................... ................................................. 22 参考文献 ..................................................................... ................................................. 23 致谢 ..................................................................... (24)I非线性方程的求解摘要非线性方程在实际问题中经常出现，很多熟悉的线性模型都是在一定的条件下由非线性问题简化得到的;非线性方程在科学与工程计算中的地位越来越重要,因此研究和探讨非线性方程求解的方法是非常有必要的。
物理学中的非线性方程
Fisher方程的一种求解方法 摘要： 本文利用Riccati方程映射法求解广义Fisher方程。首先求解n等于1和2的方程，在这基础上，利用幂变换求得方程在高次情况下的精确解，最后对所求得的解进行简单的讨论。本文所用的方法简单而初等，能够推广到其他一些高次方程的求解。
关键词：广义Fisher方程；Riccati方程映射法；幂变换；精确解 1 Fisher 方程 在相当长的一段时间里，非线性物理问题的研究都处于难以深入的境地。二十世纪六七十年代，计算机逐渐发展起来，人们利用现代工具有效的解决了一些问题，才实现了开启非线性物理学的大门。求解非线性动力学方程，长期以来都是物理学家和数学家研究的重要课题。随着研究方法不断地涌现和计算机代数系统的快速发展，非线性方程的解日趋丰富。1975—1978年，Aronson和Weinberger系统地研究了如下的非线性问题[1,2]
)(22ufxutu
， （1）
这里要求非线性函数)(uf满足如下的泛定条件 ]1,0[)(1Cuf，0)1()0(ff， （2）
在相应的限制下, 文献[1,2]给出了非线性方程（1）解的渐近行为已相当普遍和深人的讨论。所得重要结论之一表明, 在任意局域的初始扰动下, 方程（1）的解将发展成为具有确定波速的局域行波。这种性质的行波是耗散系统中的一种孤波。 非线性扩散方程（1）的研究具有广泛而深刻的物理背景。核反应中的中子增殖, 液晶等凝聚态物质中波动的传播, 成核相变中动态物理过程的描述, 生物物理中神经传导和种群遗传等问题均联系着方程（1）的研究。 方程（1）最简单的特殊形式是取非线性函数)1()(uuuf，这时方程（1）成为
)1(22uuxutu
， （3）
方程（3）是熟知的Fisher方程，下文将会给出求解过程。1936年Fisher提出该方程后，Kolmigoroff，Petrovski和Piscounoff对方程（2）进行过严格的探讨。半个多世纪以来，围绕Fisher方程有大量的工作出现，其中由Ablowitz和Zeppetella首次求得（2）式的孤波解[3]，受到他们的启发，Abdelkader考虑了广义的Fisher方程[4]
耦合Schr(o)dinger-Boussinesq方程组的显式精确解
摘
要： 耦合 Ｓ ｃ ｈ ｒ ６ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ — Ｂ ｏ ｕ ｓ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｑ方 程组广泛 应用于激 光物理 、 等 离子体物 理等领 域的 一些具体 物理过
程， 如Ｌ ａ ｎ ｇ ｍｕ ｉ ｒ 场的振 幅、 电磁 波强 度 以及 调 幅 的 不 稳 定 性 等 ， 本文通过 推广的 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 椭 圆函数展开 法 ， 借 助 Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ软 件 ， 求 出 了耦 合 Ｓ ｃ ｈ ｒ ６ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ — Ｂ ｏ ｕ ｓ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｑ方 程 组 一 系 列新 的 Ｊ ａ ｏ ｃ ｏ ｂ ｉ 椭 圆 函 数 复 合 形 式 的精
第３ １ 卷
第 １ 期
Hale Waihona Puke 广西师 范大 学 学报 ： 自然 科学 版
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｘ ｉ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ： Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ
—
ｃ ｎ ￥
ｄ ｎ ￥
（ ３ ）
其中Ｐ 、 ｑ 、 ， ． 、 ｚ 为保证 分母 不为零 的任 意常 数 ， 函数 、 厂 、 ｇ、 ｈ满 足下 列 约束关 系 ：
ｆ Ｐ 一一ｑ ｇ ＾ ＋珊 ＋ｌ ｍ 。 ｆ ｇ ， 尸＝ｐ ｇ ｈ ＋ ＋ｌ ｅ ｇ ，
Ｉ ｇ 一一 一ｇ ＋ｚ （ 。 一１ ） ｅ ｆ， ｈ 一 一 。 一ｒ （ 。 一１ ） ｅ ｆ －ｑ ｅ ｇ， …
这 里“ ” ’ 表示 ｄ ／ ｄ ￥ ， 其中 ｍ为 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 椭 圆函数 的模数 （ 一般 Ｏ ≤ ｍ≤ １ ） ， 同时 、 厂 、 ｇ 、 ｈ具 有下 列 ４ 种 形式 的 关 系式 ：
非线性方程数值解法及其应用
非线性方程数值解法及其应用摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。
本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。
是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。
我将从二分法、Steffensen加速收敛法、Newton迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。
关键字：非线性方程;二分法；Steffensen加速收敛法；代数Newton法；弦截法一、前言随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。
科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。
因此经常需要求非线性方程 f(x) = O的根。
方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。
由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则f(x) = O在开区间(a,b)内至少有一个实根。
这时称[a,b]为方程f(x) = O的根的存在区间。
本文主要是对在区间[1.2]的根的数值解法进行分析，介绍了非线性方程数值解法的四种方法，从而得到在实际问题中遇到非线性方程根的求解问题的解决方法。
二、非线性方程的数值解法1、二分法二分法的基本思想是将方程根的区间平分为两个小区间，把有根的小区间再平分为两个更小的区间，进一步考察根在哪个更小的区间内。
如此继续下去，直到求出满足精度要求的近似值。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则[a,b]是方程f(x)=O 的根的存在区间，设其内有一实根，记为。
取区间[a,b]的中点，并计算，则必有下列三种情况之一成立：(1)= O,就是方程的根；(2)f(a)·f()<O，方程的根位于区间[a,]之中，此时令，；(3)f()·f(b)<O，方程的根位于区间[,b]之中，此时令。
Boussinesq方程的精确解及其应用
６ （ ＋ ｕｕ ＋３ ． Ｍ） ３ ｕｕ
把Ｕ ｕ
，ｘ （ 代入 （ ）得 Ｕｘ，Ｕ） ｘ ８ ＋ｕ ＋６ “ ＋３ ＋４ ， 一 十 Ｍ ｕ２ ， ＋６ （ ＋３ ＋３ ｕ ｕ） Ｍｕ ｕｕ ＝０
（） ９
Ｍ ¨ 一ｕ 一 ＋
近几年， 人们对非线性发展方程 的精确解很感兴趣 ， 这是因为精确解能够很好地描述非线性物理现象 ， 如流体动力学中的波现象和光纤维现象． 关于精确解的求法是 目前孤立子理论的一个重要研究方向， 比如有
ｔ ｈ函数 法 、ｉｅｃｓ ｅ法 、ａｏｉ 圆 函数 展 开 法 ＇ 齐 次 平 衡 法 和 Ｂｃｌｎ ａ ｎ ｓ ２ｏｉ ｎ ｎ Ｊｃｂ 椭 、 ａｋｕｄ变换 ， ．本 文 首 先将 在 行波变 换 ＝ｋｘ—ｃ）下 的 Ｊｃｂ 椭 圆 函数 展 开法 推广 到范 围非 常广泛 的一 般 函数变换 ＝ｈ ｘｔ 进 （ ｔ ｏａｉ （， ）下
李文清 孟红丽 ，
（． １河南工程 学院 数理科 学系， 河南 郑州 ４ １９ ；． ５ １１２ 安阳工学院 理 学部 ， 河南 安阳 ４ ５０ ） ５００
摘 要： 将在行波 变化下的 Ｊｃｂ 椭 圆函数展 开法推广 到 范围非常广 泛的一般 函数 变换 下进行 ， 用这一 方法求 ｏａｉ 利
Ｍ ）＝∑ 以 （ ｓ
（） ４
称 多项式 中 ｓ 的最高 次数 为 “ ）的 阶数 ， 作 ０ （ ） 这一 方法 被称作 Ｊｃｂ椭 圆正 弦 函数 展 开法 ， （ 记 （ ） ． ａｏｉ 类
似的， Ｊｃｂ椭 圆余弦函数展开法和第三类 Ｊｃｂ椭 圆函数展开法． 有 ａｏｉ ａｏｉ 注意若在一项中出现不同的 Ｊｃｂ椭 ａｏｉ 圆函数的乘积， 则阶数为其和． 例如 Ｏ ｓ ） （ ） （ ） （ｎ（ ｃ ）：ｉ ＋ 其 中 ｓ ， ４和 ｄ ＋ ， ｃ ， 凡 分别是第一类 （ 正弦） 第二类（ ， 余弦） 和第三类 Ｊｃｂ 椭圆函数． ａｏｉ
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Theexp(−ϕ(ξ))-expansionMethodappliedtoNonlinearEvolutionEquations
Mei-meiZhao∗†,Chao-LiSchoolofMathematicsandStatistics,LanzhouUniversityLanzhou,Gansu730000,P.R.ofChina
AbstractByusingexp(−ϕ(ξ))-expansionmethod,wehaveobtainedmoretravellingwavesolu-tionstothemKdVequation,theDrinefel’d-Sokolov-Wilsonequations,theVariantBoussinesqequationsandtheCoupledSchr¨odinger-KdVsystem.Theproposedmethodalsocanbeusedformanyothernonlinearevolutionequations.
Keywordsexp(−ϕ(ξ))-expansionmethod,Homogeneousbalance,Travellingwavesolu-tions,Solitarywavesolutions,MKdVequation,Drinefel’d-Sokolov-Wilsonequations,VariantBoussinesqequations,CoupledSchr¨odinger-KdVsystem.
1IntroductionItiswellknownthatnonlinearevolutionequationsareinvolvedinmanyfieldsfromphysicstobiology,chemistry,mechanics,etc.Asmathematicalmodelsofthephenomena,theinves-tigationofexactsolutionstononlinearevolutionequationsrevealstobeveryimportantfortheunderstandingofthesephysicalproblems.Understandingthisimportance,duringthepastfourdecadesorso,manymathematiciansandphysicistshavebeingpaidspecialattentiontothedevelopmentofsophisticatedmethodsforconstructingexactsolutionstononlinearevo-lutionequations.Thus,anumberofpowerfulmethodshasbeenpresentedsuchastheinversescatteringtransform[1],theB¨acklundandtheDarbouxtransform[2-5],theHirota[6],thetrun-catedpainleveexpansion[7],thetanh-founctionexpansionanditsvariousextension[8-10],theJacobiellipticfunctionexpansion[11,12],theF-expansion[13-16],thesub-ODEmethod[17-20],thehomogeneousbalancemethod[21-23],thesine-cosinemethod[24,25],therankanal-ysismethod[26],theansatzmethod[27-29],theexp-functionexpansionmethod[30],Algebro-geometricconstructionsmethod[31]andsoon.Inthepresentpaper,weshallproposedanewmethodwhichiscalledexp(−ϕ(ξ))-expansionmethodtoseektravellingwavesolutionsofnonliearevolutionequations.the
∗CorrespondingAuthor.
†E-mailaddress:yunyun1886358@163.com(M.Zhao).
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http://www.paper.edu.cn mainidearsoftheproposedmethodarethatthetravellingwavesolutionsofanonliearevo-lutionequationcanbeexpressedbyapolynomialinexp(−ϕ(ξ)),whereϕ(ξ)satisfiesODE(seeEq.(5)insection2),ξ=x−Vt,thedegreeofthepolynomialcanbedeterminedbycon-sideringthehomogeneousbalancebetweenthehighestorderderivativesandnonlineartermsappearinginagivennonliearevolutionequation,andthecoefficientsofthepolynomialfromtheprocessofusingtheproposedmethod.Itwillbeseenthatmoretravellingwavesolutionsofmanynonlinearevolutionequationscanbeobtainedbyusingtheexp(−ϕ(ξ))-expansionmethod.Thepaperisorganizedasfollows:Insection2,wewillrecalltheexp(−ϕ(ξ))-expansionmethod.Insection3,wewillillustratethemethodindetailwiththemKdVequation,theDrinefel’d-Sokolov-Wilsonequations,thevariantBoussinesqequationsandtheCoupledSchr¨odinger-KdVsystem.Insection7,thefeaturesoftheexp(−ϕ(ξ))-expansionmethodwillbebrieflysummarized.
2Descriptionoftheexp(−ϕ(ξ))-expansionmethodInthefollowing,wewilloutlinethemainstepsofexp(−ϕ(ξ))-expansionmethod.Consideranonlinearequation,sayintwoindependentvariablexandt,isgivenby
P(u,ut,ux,utt,uxt,uxx,...)=0,(1)whereu=u(x,t)isanunknownfunction,Pisapolynomialinu=u(x,t)anditsvariouspartialderivatives,inwhichthehighestorderderivativesandnonlineartermsareinvolved.Step1Combiningtheindependentvariablexandtintoonevariableξ=x−Vt,wesupposethat
u(x,t)=u(ξ),ξ=x−Vt,(2)thetravellingwavevariable(2)permitsusreducingEq.(1)toanODEforu=u(ξ)P(u,−Vu,u,V2u,−Vu,u,...),(3)Step2SupposethatthesolutionofODE(3)canbeexpressedbyapolynomialinexp(−ϕ(ξ))asfollows
u(ξ)=αm(exp(−ϕ(ξ)))m+...,(4)whereϕ(ξ)satisfiestheODEintheformϕ(ξ)=exp(−ϕ(ξ))+µexp(ϕ(ξ))+λ,(5)thesolutionsofODE(5)areWhenλ2−4µ>0,µ=0,
ϕ(ξ)=ln(−λ2−4µtanh(√λ2−4µ2(ξ+C1))−λ2µ),(6)2
http://www.paper.edu.cn Whenλ2−4µ>0,µ=0,ϕ(ξ)=−ln(λexp(λ(ξ+C1))−1),(7)Whenλ2−4µ=0,µ=0,λ=0,ϕ(ξ)=ln(−2(λ(ξ+C1)+2)λ2(ξ+C1)),(8)Whenλ2−4µ=0,µ=0,λ=0,ϕ(ξ)=ln(ξ+C1),(9)Whenλ2−4µ<0,
ϕ(ξ)=ln(4µ−λ2tan(√4µ−λ22(ξ+C1))−λ2µ),(10)αm,...,V,λandµareconstantstobedeterminedlater,αm=0,theunwrittenpartin(4)isalsoapolynomialinexp(−ϕ(ξ)),butthedegreeofwhichisgenerallyequaltoorlessthanm−1,thepositiveintegermcanbedeterminedbyconsideringthehomogeneousbalancebetweenthehighestorderderivativesandnonlieartermsappearinginODE(3).Step3Bysubstituting(4)intoEq.(3)andusingtheODE(5),collectingalltermswiththesameorderofexp(−ϕ(ξ))together,thelefthandsideofEq.(3)isconvertedintoanotherpolynomialinexp(−ϕ(ξ)).Equatingeachcoefficientofthispolynomialtozero,yieldsasetofalgebraicequationsforαm,...,V,λandµ.Step4Assumingthattheconstantsαm,...,V,λ,andµcanbeobtainedbysolvingthealgebraicequationsinstep3,sincethegeneralsolutionsofODE(5)havebeenwellknownforus,thensubstitutingαm,...,V,andthegeneralsolutionsofEq.(5)into(4).wehavemoretravellingwavesolutionsofnonliearevolutionequation(1).Inthesubsequentsectionswewillillustratetheproposedmethodindetailwithvariousnonliearevolutionequationsinmathematicalphysics.