2010届高三数学高考二轮专题复习：数列通项的求法(教案+习题+解析)

2010年高三数学第二轮专题复习——数列通项的求法

考纲要求：

1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）;

2. 能够依据数列的前几项归纳出其通项公式；

3. 会应用递推公式求数列中的项或.通项；

4. 掌握已知n n s a 求的一般方法和步骤.

考点回顾：

回顾近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考查，往往与等差、等比数列或者与数列其它知识综合考查.一般作为考查其他知识的铺垫知识，因此，如果这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的.

基础知识过关：数列的概念

1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常也叫做）.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，

其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为 . 数列的分类：

1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.

2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、数列.

数列的通项公式：

1.如果数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数 .

递推公式;

1.如果已知数列{}n a 的首项（或者前几项），且任意一项1n n a a -与（或其前面的项）之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法.

数列与函数的关系：

1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)……

答案：

数列的概念

1.顺序项序号首项 n a {}n a 数列的分类

1.有限无限

2.递增递减常摆动数列的通项公式

1.第n 项与它的序号n 之间的关系 n a =f(n) 解析式递推公式

1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系

1. 正整数集N*（或它的有限子集{}1,2,3,n ……）

高考题型归纳：

题型1.观察法求通项

观察法是求数列通项公式的最基本的方法，其实质就是通过观察数列的特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.

例1. 已知数列12，14，58-，1316，2932-

，61

64，…．写出数列的一个通项公式．

分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．

解析：先看符号，第一项有点违反规律，需改写为1

2--

，由此整体考虑得数列的符号规

律是{(1)}n -；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n

；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即

{23}n

-．所以数列的通项公式为

23(1)

2n n

n n a -=-．点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一

般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可.

题型2.定义法求通项

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2

a S =．求数列{}n a 的通项公式.

分析：对于数列{}n a ，已知是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可. 解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d

∵931,,a a a 成等比数列，∴

912

3a a a =，

即)8()2(1121

d a a d a +=+d a d 12

=? ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①

∵

255a S =

∴

211)4(24

55d a d a +=??+

…………②

由①②得：

531=a ，53=

d ∴

n a n 5353)1(53=?-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差（公比）后

再写出通项.

题型3.应用n S 与n a 的关系求通项

有些数列给出{

n a }的前n 项和n S 与n a 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，

两式做差，再利用

11n n n a S S ++=-导出1n a +与n a 的递推式，从而求出n a 。

例3. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足

1,)1(2≥-+=n a S n

n n ．求数列{}n a 的通项公式. 分析：由前n 项和

n S 与n a 的关系即可求得.

解析：由1121111=?-==a a S a

当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n

a a S S a -?+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+?-

,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a

11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?- ].)1(2[3

]

)2(1[2)

1(2

)]2()2()2[()1(21211

211--------+=----=-++-+--+=n n n n

n n n n n

经验证11=a 也满足上式，所以]

)1(2[32

12---+=n n n a

点评：利用公式

?≥???????-=????????????????=-21

1n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．

题型4.利用递推公式求通项

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等

比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列. 类型1 递推公式为

)(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为

)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例4. 已知数列

{}n a 满足

211=

a ，n n a a n n ++=+2

，求n a 。

解析：由条件知：

1)1(1121+-

=+=+=

-+n n n n n n a a n n

分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即

)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a

)

111()4131()3121()211(n n --+??????+-+-+-=

所以

n a a n 1

11-

211=

a ，n n a n 1

231121-=-+=∴

类型2 递推公式为

n n a n f a )(1=+

解法：把原递推公式转化为)(1

n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例5. 已知数列

{}n a 满足

321=

a ，n

n a n n

a 11+=+，求n a 。

解析：由条件知11+=+n n

a a n

n ，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘

之，即

1342312-??????????n n a a a a a a a a n n 1433221-??????????=n a a n 1

1=? 又

321=

a ，n a n 32

=∴

点评：由

n n a n f a )(1=+和1a 确定的递推数列{}n a 的通项可如下求得：

由已知递推式有1)1(--=n n a n f a ，

)2(---=n n a n f a ，???，12)1(a f a =依次向前代入，得

1)1()2()1(a f n f n f a n ???--=，

简记为

))((a k f a n k n -=∏=

)

1)(,1(0

=∏≥=k f n k ，这就是叠（迭）代法的基本模式。

类型3.递推式：

()n f pa a n n +=+1

解法：只需构造数列

{}n b ，消去()n f 带来的差异．

例6．设数列

{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .

解析：设

B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得

[]12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n

??????+-=-=∴1

3323A B B A A ??

?==11

B A

1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故n n n b 32361?=?=-代

入（１）得

132--?=n a n

n 点评：（1）若)(n f 为n 的二次式，则可设

C Bn An a b n n +++=2

;(2)本题也可由1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得

2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为q pb b n n +=-1求之.

类型4 递推公式为n

n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。（或

1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）

解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1

+n q ，得：

q q a q p q a n n n n 1

11+?=++

引入辅助数列

{}n b （其中

n n n q a b =

），得：

q b q p b n

n 1

1+=+再应用类型3的方法解决。

例7. 已知数列

{}n a 中，

651=

a ,1

1)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

解析：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以1

2+n 得：1)2(32211

+?=?++n n n n a a 令n n

n a b ?=2，则1321+=+n n b b ,应用例7解法得：

n b )32(23-= 所以

n n

n n b a )

31(2)21(32-==

类型5 递推公式为

n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）

。

解法：先把原递推公式转化为

)(112n n n n sa a t sa a -=-+++

其中s ，t 满足?

?-==+q st p t s ，再应用前面类型3的方法求解。

例8. 已知数列

{}n a 中，11=a ,22=a ,

n n n a a a 313212+=

++，求n a 。

解析：由

n n n a a a 31

3212+=

++可转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++

即

n n n sta a t s a -+=++12

)(???????

-==+?3132st t s ?????-==?311t s 或?????=-

=131t s

这里不妨选用?????-==311t s （也可选用???

??=-=131t s ），则

)(31

112n n n n a a a a --=-+++{}n n a a -?+1是以首项为112=-a a ，公比为31-

的等比数列,所以1

1)31

(-+-=-n n n a a ,应用类型1的方法，

分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即

101)3

()31()31(--+??????+-+-=-n n a a 311)31

(11

+--=

-n

又11=a ，所以

1)31(4347---=

n n a .

点评：已知数列的递推公式求其通项公式，应用到的方法非常多，关键是要分析清楚所给出

的递推公式形式，然后选择合理的变形.

题型5.待定系数法求通项

求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.

例9.已知数列{}n a 满足

112356n

n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。分析: 本题解题的关键是把递推关系式1235n

n n a a +=+?转化为1152(5)n n n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列

{5}n

n a -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

解析：设11

52(5)n n n n a x a x +++?=+? ④

将1235n

n n a a +=+?代入④式，得12355225n n n n n a x a x ++?+?=+?，等式两边消去2n a ，得135525n n n x x +?+?=?，两边除以5n ，得35

2,1x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-

⑤

由1156510a -=-=≠及⑤式得50n n a -≠，则1

1525n n n

n a a ++-=-，则数列

{5}n n a -是以1151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n n n a -=+。

点评：待定系数法求解数列的通项公式同函数中用待定系数法球函数解析式类似，它要求必

须已知或者能够由条件判断出通项公式（解析式）的结构类型.

过关训练:

通项公式的求法

一、选择题

1．已知数列

…

,…,则

） A ．13项 B ．14项 C ．25项 D ．26项 2．设Sn 是数列{an}的前n 项和，且Sk+Sk+1=ak+1（k ∈N+），那么此数列是（） A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列

3．某油厂今年生产油5吨，计划以后每年比上一年增长16%，按照这个计划生产下去，大约经过（）年，可以使该厂的年产量达到今年的9倍.

A ．13

B ．14

C ．15

D ．16

4．在等差数列{an}中，前n 项和是Sn,若m>n,Sm=Sn,则下列式子正确的是（） A ．am=an B ．am+n=0 C ．

m n

S +=0 D ．Sm+n=0

5. 若数列{a n }满足112,0;2121, 1.

2n n n n n a a a a a +?

≤

若

167a =，则20a 的值为（）

A 67

B 57

C 37

D 17

6.若数列{an}满足1

122

1,2,(3*)n n n a a a a n n N a --===

≥∈且，则17a 等于（） A.1 B.2 C.

D. 9872- 7.在数列{}n a 中，12211,5,n n n a a a a a ++===-，则1000a = （） A.5 B.-5 C.1 D.-1 8.已知数列{}n a 满足110,2n n a a a n +==+，则2010a =（）

A.2010?2009

B.2011?2010

C.2009?2008

D.2009?2009

9.已知数列{}{},n n a b 的通项公式分别为2,1n n a an b bn =+++，（a 、b 为常数）且a>b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

10.已知等差数列{}n a 的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项公式为（）

A.2n-5

B.2n-3

C.2n-1

D.2n+1

11.已知数列{}n a 的通项公式为2815n a n n =-+，则3 （）

A.不是数列{}n a 中的项

B.只是数列{}n a 中的第二项

C.只是数列{}n a 中的第六项

D.是数列{}n a 中的第二项或者第六项

12.已知12,n n a a +=-则数列{}n a 是（）

A.递增数列

B.递减数列

C.常数列

D.摆动数列

二、填空题

13. 已知数列{}n a 满足11a =

，n a =,n N *

∈２≤n ≤８）

，则它的通项公式n a ＝．

14.

已知数列{}n a 满足11a =，123123(1)n n a a a a n a -=++++- （n ≥2），则{}n a 的通项

15. 已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且22

11(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+== ，则它的通项公式n a ＝．

16. 若{}n a 中, 13a =,且21n n a a +=(n 是正整数),则数列的通项公式n a ＝．

三、解答题

17. 已知数列{}n a 前n 项和2

14--

-=n n n a S .

（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .

18. 数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。

19. 数列{}n a 满足23,5,21221+-==++n n a a a a n a =0，求数列{a n }的通项公式。

20. 已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项公式。

21. 已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.3

131+-=

+n n n a a a

（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a （4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？

22. 数列{n a }满足1221n n n a a -=+-(2)n ≥且481a =。求(1)1a 、2a 、3a (2)是否存在一个实数λ，使此数列{}2

n n a λ

+为等差数列？若存在求出λ的值及n a ；若不存在，说明理由。

答案与解析

一、选择题

1. 解：因为=n=13，则26项.

n a ＝

１，

1n = ，n ≥２

2. 解：因为Sk+1－Sk=ak+1，又已知Sk+Sk+1=ak+1，所以Sk=0,则a1=0,且a1+a2=0,a2=0,所以

an=0.所以数列为常数列. 答案:.C

3. 解：设经过n 年，则5(1+16%)n=45, 即(1+16%)n=9,两边取对数，nlg1.16=lg9，所以n=1

4.8. 答案：C.

4. 解：因为m>n,Sm=Sn ，则Sm=Sn+an+1+an+1+…+am,所以 an+1+an+1+…+am=0, 则an+1+am=0, 即a1+am+n=0,所以Sm+n=0. 答案：D.

5. 解：逐步计算，可得

a =

,21251,77a =-=31031,77a =-=46,7a =51251,...77a =-= 这说明数列{a n }是周期数列， 3.T =而20362=?+, 所以207

a =

答案：B

6.解：由已知123456111,2,2,1,,,22

a a a a a a =====

= 789101112111,2,2,1,,,22a a a a a a ======即n a 的值以6为周期重复出现，故171

a =.

答案：C.

7.解：由12211,5,n n n a a a a a ++===-，可得该数列为1，5，4，-1，-5，-4，1，5，4……。由此得10001a =-. 答案：D.

8.解：20102010200920092008211()()a a a a a =-+-++……（a -a ）+a =2?（2009+2008+……+2+1）=(20091)2009

2201020092

+??

=?.

答案：A.

9.解：设an+2=bn+1,所以（a-b ）n+1=0,因为a>b,n>0,所以（a-b ）n+1=0不成立。答案：A.

10.解：因为a-1,a+1,2a+3成等差，所以2（a+1）=(a-1)+(2a+3),则a=0,故d=（a+1）-（a-1）=2,首项11a =-，所以23n a n =-。答案：B.

11.解：设2815n a n n =-+=3，则n=2或者n=6.

12.解：因为120n n a a +--=-<，所以数列为递减数列. 答案：B 二、填空题 13. 解：∵

0n a =

>， ∴2211n n a a --=，则有

22211a a -=，22321a a -=，…，22

11n n a a --=．

把以上各式两边相加，得2211n a a n -=-，∵11a =，∴2n a n =，

∵0n a >，∴

n a =

答案：n a =14. 解；本题考查的数列递推公式的求解

当n ≥2时，123123(1)n n a a a a n a -=++++- ＝11(1)n n a n a --+-（n ≥３）

? 1n n a na -=（n ≥３）?

n n a n a -=（n ≥３）?13211221n n n n n a a a a

a a a a a a ---= ＝

(1)311n n ?-???? ＝

n ，其中当n ＝２时211a a ==，答案：

n ． 15. 解：对所给的式子的左边分解因式得 11()[(1)]0n n n n a a n a na ++++-=，

∵ 10n n a a ++>，∴ 1(1)n n n a na ++=．

又∵11a =，故 121(1)21n n na n a a a -=-==== ，得公式n a ＝1n

．答案：n a ＝

16. 解:：∵2

1n n a a +=，∴ 0()n a n N *>∈，两边取对数，得1lg 2lg n n a a +=．

∴ {lg }n a 是以1lg lg3a =为首项，以２为公比的等比数列． ∴ 1

211

lg (lg )2

lg n n n a a a

--== ，∴ 1

()n n a n N -*=∈．

答案： 1

23()n n a n N -*=∈ 三、解答题

17. 解：（1）由2

14--

-=n n n a S 得：1

112

14-++-

-=n n n a S

于是)21

21()(12

11--++-

+-=-n n n n n n a a S S 所以1112

-+++-=n n n n a a a n n n a a 2

1211+=?+. 上式两边同乘以1

+n 得：22211+=++n n n n a a

由12

412

1111=?-

-==-a a S a .于是数列{}

n n a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n 2)1(222=-+=12

-=?n n n

18. 解：由0731=-++n n a a 得3

311+-=+n n a a

设a )(311k a k n n +-=++，比较系数得373=--k k 解得47

-=k

∴{47-n a }是以31-为公比，以43

471471-=-=-a 为首项的等比数列

∴1)3

1(4347--?-=-n n a 1

)31(4347--?-=?n n a

19. 解：由02312=+-++n n n a a a 得0)(2112=---+++n n n n a a a a 即）n n n n a a a a -=-+++112(2，且32512=-=-a a ∴}{1n n a a -+是以2为公比，3为首项的等比数列 ∴1123-+?=-n n n a a

利用逐差法可得112111)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=-++ =223232

3021

+?++?+?-- n n

=2)1222

(321

+++++?-- n n

=22

1213+--?

=123-?n

∴1231-?=-n n a

20. 解法一：由025312=+-++n n n a a a ，得

)(3

112n n n n a a a a -=

-+++，且a b a a -=-12。

则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，

为公比的等比数列，于是 11)3

)((-+-=-n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1???=代入，得

a b a a -=-12，

)32

()(23?-=-a b a a ，

234)3

()(?-=-a b a a ，

???

21)3

)((---=-n n n a b a a 。

把以上各式相加，得

])3

2()32(321)[(21-+???+++-=-n n a b a a )(3

21)32(11

a b n ---=-。

a b b a a a b a n n n 23)3

)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。

解法二：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：

02532=+-x x 。 3

2,121=

=x x , ∴1

11--+=n n n Bx Ax a 1)3

2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是

?-=-=???

??+=+=)(32332b a B a b A B A b B

A a 故1

)

32)((323--+-=n n b a a b a 21. 解：作特征方程.3

13+-=

x x x 变形得,025102=+-x x 特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部分解答.

(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a

∴λ

λr p r

n a b n --+-=

)

1(11 51131

)1(531?-?-+-=

n ,8

21-+

-=n 令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在，当n ≤4，N ∈n 时，5

51--=

n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,8

1)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=

λλ

令,0=n b 则.7n n ?-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,743

558

1111

∈++=+-+

=+=

n n n n b a n

n λ (4)、显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，51=a 时

，

数

列

}

{n a 是存在的，当

1=≠λa 时，则有

.N ,8

51)1(111∈-+-=--+-=

n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,11351∈--=

n n n a 且n ≥2.

∴当1

51--=

n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在. 于是知：当1a 在集合3{-或

,:1

5N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在. 22. 解：(1)由4a =43221a +-=81 得3a =33；又∵3a =32221a +-=33得2a =13；

又∵2a =2

1221a +-=13，∴1a =5

(2)假设存在一个实数λ，使此数列{

}2n n

a λ

+为等差数列即1122n n n n a a λλ--++-= 122n n n a a λ---= 212n n

λ--= 112n λ

+- 该数为常数

∴λ=1-即

{}

为首项1

=，d=1的等差数列

∴

=2+(1)1

n-?=n+1 ∴

a=(1)21

n+?+

求数列通项专题高三数学复习教学设计

假如单以金钱来算,我在香港第六、七名还排不上,我这样说是有事实根据的.但我认为,富有的人要看他是怎么做.照我现在的做法我为自己内心感到富足,这是肯定的. 求数列通项专题高三数学复习教学设计海南华侨中学邓建书课题名称求数列通项（高三数学第二阶段复习总第1课时）科目高三数学年级高三（5）班教学时间 2009年4月10日学习者分析数列通项是高考的重点内容必须调动学生的积极让他们掌握！教学目标一、情感态度与价值观 1. 培养化归思想、应用意识. 2.通过对数列通项公式的研究体会从特殊到一般又到特殊的认识事物规律培养学生主动探索勇于发现的求知精神二、过程与方法 1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式三、知识与技能 1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力； 2. 在领会函数与数列关系的前提下渗透函数、方程的思想教学重点、难点 1.重点：用递推关系法求数列通项公式 2.难点：（１）递推关系法求数列通项公式（２）由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足若不满足必须写成分段函数形式；若满足

则应统一成一个式子. 教学资源多媒体幻灯教学过程教学活动1 复习导入第一组问题：数列满足下列条件求数列的通项公式（1）；（2）由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项第二组问题：[学生讨论变式] 数列满足下列条件求数列的通项公式（1）；（2）；解题方法：观察递推关系的结构特征可以利用"累加法"或"累乘法"求出通项（3）解题方法：观察递推关系的结构特征联想到"？=？)" 可以构造一个新的等比数列从而间接求出通项教学活动2 变式探究变式1：数列中求思路：设由待定系数法解出常数

高三数学二轮复习教学案一体化：函数的性质及应用(2)

专题1 函数的性质及应用（2）高考趋势 1.函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想．在江苏高考文理共用卷中，函数小题（不含三角函数）占较大的比重，其中江苏08年为3题，07年为4题． 2.函数的图像往往融合于其他问题中，而此时函数的图像有助于找出解决问题的方向、粗略估计函数的一些性质。另外，函数的图像本事也是解决问题的一种方法。这些高考时常出现。图像的变换则是认识函数之间关系的一个载体，这在高考中也常出现。通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质。在定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。在上述性质中，知道信息越多，则解决问题越容易。考点展示 1. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是 B 2. 函数x y 1=的图像向左平移2个单位所得到的函数图像的解析式是 21 +=x y 3. 函数 )(x f 的图像与函数2)1(2---=x y 的图像关于 x 轴对称，则函数 )(x f 的解析式是 2)1(2+-x 4. 方程22 3x x -+=的实数解的个数为 2 5. 函数)1(x f y +=的图像与)1(x f y -=的图像关于 x=0 对称函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题，大致有两类：一类是同一个函数图象自身的对称性；一类是两个不同函数之间的对称性。定理1 若函数y=f(x) 对定义域中任意x 均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线2 a b x += 对称。定理2 函数()y f a x ω=+与函数()y f a x ω=-的图象关于直线2b a x ω -=对称特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线2 b a x -= 对称。 6. 函数2 1()2 f x x x =-+定义域为[]n m ,，值域为[]n m 2,2，m n <，则m n += -2 样题剖析例1. 已知R 上的奇函数)(x f 在),0[+∞上是单调递增函数，且2)3(=f ,若函数)(x f 的图像向右平移1个单位后得到函数)(x g 的图像，试解不等式： 02 )(2 )(>+-x g x g ),4()2,(+∞--∞ 变式：若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是（-2，2）．例2. 已知函数x b b ax x f 22242)(-+-=，R b a a x x g ∈---=,,)(1)(2 其中（1）当b=0时，若)(x f 在),2[+∞上单调递增，求a 的取值范围；1≥a （2）求满足下列条件的所有实数对),(b a ：当a 为整数时，存在0x ，使得)(0x f 是)(x f 的最大值， )(0x g 是)(x g 的最小值。（2224b b a -+=2)1(5--=b ，502≤