27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(很好,很全,很详细)

27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【学习目标】1.通过观察实验，使学生了解圆心角的概念.2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用．【主要概念】【1】圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．【2】圆心角、弧、弦之间的关系定理在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．【定理拓展】○1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分别相等○2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弧也分别相等综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．【经典例题】【例1】下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等【解析】根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的.【答案】B【例2】如图2，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图2A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶4【解析】作OE ⊥CD 于E ，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt △ODE 中，OD=2211+=2.在Rt △OEB 中，OB=22OE BE +=14+=5.∴OB ∶OD=5∶2.【答案】C【例3】半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF 等于( )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0【解析】∵AB 为直径，∴OE=0.∴OE ∶OF=0.【答案】D【例4】一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 【解析】41×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 【答案】90°【例5】弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.【解析】OD ⊥AB ，OD=DB=AD.设OD=x ，则AD=DB=x.在Rt △ODB 中，∵OD=DB ，OD ⊥AB,∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=22222=+++x x DB OD x.∴AB ∶BC=1∶2=2∶2. ∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 【答案】2∶2 90°【例6】如图6，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.图6(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.【分析】求圆环的面积不用求出OA 、OC ，应用等量代换的方法.事实上，OA 、OC 的长也求不出来.（1）证明：作OE ⊥AB 于E ，∴EA=EB ，EC=ED.∴EA －EC=EB －ED ，即AC=BD.（2）解：连结OA 、OC.∵AB=6 cm ，CD=4 cm ，∴AE=21AB=3 cm.CE=21CD=2 cm. ∴S 环=π·OA 2－π·OC 2=π（OA 2－OC 2）=π［（AE 2＋OE 2）－（CE 2＋OE 2）］=π（AE 2－CE 2）=π（32－22）=5π（ cm 2）.【例7】如图7所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图7【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA 、OB.∵OA=OB ，∴∠A=∠B.又∵AC=BD ，∴△AOC ≌△BOD.∴OC=OD.(1) (2)证法二：如图(2)，过点O 作OE ⊥AB 于E ，∴AE=BE.∵AC=BD ，∴CE=DE.∴OC=OD. 【例8】如图8，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.图8【分析】如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF ，构造直角三角形，问题就容易解决.【解】过O 作OF ⊥CD 于F ，连结CO.∵AE=6 cm ，EB=2 cm ，∴AB=8 cm.∴OA=21AB=4（cm ），OE=AE －AO=2（cm ）. 在Rt △OEF 中，∵∠CEA=30°，∴OF=21OE=1（cm ）. 在Rt △CFO 中，OF=1 cm ，OC=OA=4(cm)，∴CF=22OF OC =15(cm). 又∵OF ⊥CD ，∴DF=CF.∴CD=2CF=215（ cm ）.【例9】如图9，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E ，BF ⊥CD ，垂足为F ，我们知道EC 和DF 相等.若直线EF 平移到与直径AB 相交于P(P 不与A 、B 重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF ∥AB 时,情况又怎样?图9【分析】考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线.【解】当EF交AB于P时,过O作OM⊥CD于M,则CM=DM.通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF.当EF∥AB时,同理作OM⊥CD于M,可证四边形AEFB为矩形.所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF.【例10】如图10所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE 是否相等？为什么？图10【分析】欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.【解】弧A C=弧BE.原因如下：法一：连结AC，∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.法二：∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.【例11】如图11所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图11【分析】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE ＝∠BOF.【证明】∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.【例12】如图12，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图12【分析】应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.【解】在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.【例13】为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种).【解析】设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.【答案】根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可.【例14】如图14，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)图14【解析】因AD⊥BC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.【答案】（1）BE=CE；（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）∠ABC=∠ACB；（7）∠DBC=∠DCB；（8）∠ABD=∠ACD；（9）AD是BC的中垂线；（10）△ABD ≌△ACD ；（11）O 为△ABC 的外心等等.【例15】如图15，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上一点，AB=10 cm ，OP=5 cm ，PA=4 cm ，求⊙O 的半径.图15【分析】圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.【解】过O 作OC ⊥AB 于C ，连结OA ，则AB=2AC=2BC.在Rt △OCA 和△OCP 中，OC 2=OA 2－AC 2，OC 2=OP 2－CP 2，∴OA 2－AC 2=OP 2－CP 2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC ，∴CP=AB －PA －BC=1，AC=5.∴OA 2－52=52－1.∴OA=7，即⊙O 的半径为7 cm.【例16】⊙O 的直径为50 cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40 cm ，CD=48 cm ，求弦AB 和CD 之间的距离.【分析】（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)【解】（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图(1),作OG ⊥AB 于G ，交CD 于E ，连结OB 、OD.∵AB ∥CD ，OG ⊥AB ，∴OE ⊥CD.∴EG 即为AB 、CD 之间的距离.∵OE ⊥CD ，OG ⊥AB ，∴BG=21AB=21×40=20（cm ），DE=21CD=21×48=24（cm ）. 在Rt △DEO 中，OE=22DE OD -=222425-=7（cm ）.在Rt △BGO 中，OG=22BG OB -=222025-=15（cm ）.∴EG=OG －OE=15－7=8（cm ）.(2)（2）当AB 、CD 在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm ，OE=7 c m ，∴GE=OG ＋OE=15＋7=22（cm ）.综上所述，弦AB 和CD 间的距离为22 cm 或7 cm.【1】已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？【2】 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。