七年级数学下册8.1角的表示∠角号素材(新版)版
七年级数学上册6.2角什么是角？素材(新版)苏科版
什么是角？
难易度：★★
关键词：角
答案：
角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
【举一反三】
典例：角是（） A、两条直线组成的图形 B、两条射线组成的图形 C、两条线段组成的图形 D、两条有公共端点的射线组成的图形
思路引导：根据角的静态定义解答：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边． A、两条直线组成的图形有多种，例如一组平行线；B、两条射线组成的图形，有公共端点时才叫角；C、两条直线组成的图形有多种，例如一组平行线段；D、两条有公共端点的射线组成的图形，符合角的定义．故选D．
标准答案：D
1。
七年级数学下册 2.4《用尺规作角》典型例题素材 (新版)北师大版
《用尺规作角》典型例题例1 如图，已知AOB ∠，求作AOB B O A ∠='''∠．例2 如图，已知B O A AOB '''∠∠、，求作B O A AOB B O A '''∠+∠=''''''∠．例3 已知，如图，锐角AOB ∠，求作：β∠，使得AOB ∠-︒=∠2180β例4 任意画一个三角形，然后用尺规作它的3个内角的和，并且用量角器度量3个内角的和为多少．参考答案例1 分析：要作AOB B O A ∠='''∠，可以先作A O ''，在此基础上我们再来确定B O ''的位置．作法：（1）作射线A O ''．（2）以O 为圆心，以任意长为半径画弧交OA 于D ，OB 于E ．（3）以O '为圆心，以OE 为半径画弧交A O ''于D ．（4）以D '为圆心，以DE 为半径画弧和前弧交于E '点．（5）过E '作射线B O ''，则B O A '''∠就是所要求的角．说明：在进行第2步时，以“任意长为半径”，要注意这个“任意”要适当，否则就都会给作图带来不必要的麻烦．例 2 分析：我们可以先作出一个角等于AOB ∠，再在这个角的外边，以这个角的一边为边作一个角等B O A '''∠，这就作出了这两个角的和，这个过程可以简化成如下过程．作法：（1）作射A O ''''．（2）以O 为圆心任意长为半径画弧交OA 于E ，OB 于F ；再以O '为圆心同样长为半径画弧交A O ''于E '，B O ''于F '．（3）以O ''为圆心，以OE 为半径画弧交A O ''''于E ''．（4）以E ''为圆心，以EF 为半径画弧，于前弧交于D 点；再以D 点为圆心，以F E ''为半径画弧，交E ''、D 所同在的弧为F ''点．（5）作射线F O ''''，则B O A ''''''∠就是所求的角．说明：中间连结D O ''这一步直接省略即可．例3 分析：首先作出AOB ∠2，再求AOB ∠2的补角即是所求的角．作法：1．作AOB B O A ∠='''∠，2．以B O ''为始边作AOB C O B ∠='''∠3．反向延长射线A O ''到D '．β∠为图中所示的D O C '''∠例4 分析：首先根据题目叙述写出已知、求作，然后再作图． 解：已知：如图，已知三角形ABC ．求作：DOG ∠，使C B A DOG ∠+∠+∠=∠．作法：（1）作A DOE ∠=∠；（2）以OE 为一边，在A DOE ∠=∠的外部作B EOF ∠=∠；（3）以OF 为一边，在EOF ∠的外部作C GOF ∠=∠．DOG ∠就是所求作的角（如图）．用量角器量得︒=∠180DOG ．。
青岛版初中数学教材(新目录)
青岛版初中数学教材总目录七年级上册第1章基本的几何图形1.1 我们身边的图形世界1.2 几何图形1.3 线段、射线和直线1.4 线段的比较与作法第2章有理数2.1 有理数2.2 数轴2.3 相反数与绝对值第3章有理数的运算3.1 有理数的加法与减法3.2 有理数的乘法与除法3.3 有理数的乘方3.4 有理数的混合运算3.5 利用计算器进行有理数的运算第4章数据的收集、整理与描述4.1 普查和抽样调查4.2 简单随机抽样4.3 数据的整理4.4 扇形统计图第5章代数式与函数的初步认识5.1 用字母表示数5.2 代数式5.3 代数式的值5.4 生活中的常量与变量5.5 函数的初步认识第6章整式的加减6.1 单项式与多项式6.2 同类项6.3 去括号6.4 整式的加减第7章一元一次方程7.1 等式的基本性质7.2 一元一次方程7.3 一元一次方程的解法7.4 一元一次方程的应用七年级下册第8章角8.1 角的表示8.2 角的比较8.3 角的度量8.4 对顶角8.5 垂直第9章平行线9.1 同位角、内错角、同旁内角9.2 平行线和它的画法9.3 平行线的性质9.4 平行线的判定第10章一次方程组10.1认识二元一次方程组10.2二元一次方程组的解法10.3三元一次方程组10.4列方程组解应用题第11章整式的乘法11.1 同底数幂的乘法11.2 积的乘方与幂的乘方11.3 单项式的乘法11.4 多项式乘多项式11.5 同底数幂的除法11.6 零指数幂与负整数指数幂第12章乘法公式与因式分解12.1 平方差公式12.2 完全平方公式12.3 用提公因式法进行因式分解12.4 用公式法进行因式分解第13章平面图形的认识13.1 三角形13.2 多边形13.3 圆第14章位置与坐标14.1 用有序数对表示位置14.2 平面直角坐标系14.3 用方向和距离描述两个物体的相对位置八年级上册第1章全等三角形1.1 全等三角形1.2 怎样判定三角形全等1.3 尺规作图第2章图形的轴对称2.1 图形的的轴对称2.2 轴对称的基本性质2.3 轴对称图形2.4 线段的垂直平分线2.5 角平分线的性质2.6 等腰三角形第3章分式3.1 分式的基本性质3.2 分式的约分3.3 分式的乘法与除法3.4 分式的通分3.5 分式的加法与减法3.6 比和比例3.7 可化为一元一次方程的分式方程第4章数据分析4.1 加权平均数4.2 中位数4.3 众数4.4 数据的离散程度4.5 方差4.6 用计算器计算平均数和方差第5章几何证明初步5.1 定义与命题5.2 为什么要证明5.3 什么是几何证明5.4 平行线的性质定理和判定定理5.5 三角形的内角和定理5.6 几何证明举例八年级下册第6章平行四边形1.1 平行四边形及其性质1.2 平行四边形的判定1.3 特殊的平行四边形1.4 中位线定理第7章实数5.1 算术平方根5.2 勾股定理5.35.4 由边长判定直角三角形5.5 平方根5.6 立方根5.7 用计算器求平方根和立方根5.8 实数第8章一元一次不等式8.1 不等式的基本性质8.2 一元一次不等式8.3 列一元一次不等式解应用题8.4 一元一次不等式组第9章二次根式7.1 二次根式及其性质7.2 二次根式的加减法7.3 二次根式的乘除法第十章一次函数10.1 函数的图像10.2 一次函数和它的图像10.3 一次函数的性质10.4 一次函数与二元一次方程10.5 一次函数与一元一次不等式10.6 一次函数的应用第十一章图形的平移与旋转11.1 图形的平移11.2 图形的旋转11.3 图形的中心对称九年级上册第1章图形的相似1.1 相似多边形1.2 怎样判定三角形相似1.3 相似三角形的性质1.4 图形的位似第2章解直角三角形2.1 锐角三角比2.2 30°,45°,60°角的三角比2.3 用计算器求锐角三角比2.4 解直角三角形2.5 解直角三角形的应用第3章对圆的进一步认识3.1 圆的对称性3.2 确定圆的条件3.3 圆周角3.4 直线与圆的位置关系3.5 三角形的内切圆3.6 弧长及扇形面积的计算3.7 正多边形与圆第4章一元二次方程4.1 一元二次方程4.2 用配方法解一元二次方程4.3 用公式法解一元二次方程4.4 用因式分解法解一元二次方程4.5 一元二次方程根的判别式4.6 一元二次方程根与系数的关系4.7 一元二次方程的应用九年级下册（待变动）第5章对函数的再探索5.1 函数与它的表示法5.2 一次函数与一元一次不等式5.3 反比例函数5.4 二次函数8.5 物体的三视图5.5 二次函数2y ax=的图象和性质5.6 二次函数2=++的图象y ax bx c和性质5.7 确定二次函数的解析式5.8 二次函数的应用5.9 用图象法解一元二次方程第6章频率与概率6.1 频数与频率6.2 频数分布直方图6.3 用频率估计概率6.4 用树状图计算概率课题学习质数的分布第7章空间图形的初步认识7.1 几种常见的几何体7.2 棱柱的侧面展开图7.3 圆柱、圆锥的侧面展开图第8章投影与识图8.1 从不同的方向看物体8.2 盲区8.3 影子和投影8.4 正投影。
人教版七年级数学下册8.1二元一次方程组导学案（集体备课）
集体备课导学案学段初中年级七年级学科数学单元第8单元课题8.1二元一次方程组课型新授主备学校初审人终审人主备人合作H日队课标依据掌握二元一次方程的概念。
教学目标1、使学生了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，能举例说明二元一次方程及其中的已知数和未知数；2、使学生理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。
教学重点1、二元一次方程（组）的含义；2、检验一对数是否是某个二元一次方程（组）的解。
教学难点检验一对数是否是某个二元一次方程（组）的解。
导学环节课堂流程时间任务驱动问题导学学法指导知识链接呈现目标2分小黑板呈现目标自主学习温故知新5分认真阅读课本88-89页，理解掌握以下概念1、一元一次方程：只含有___未知数，且未知数的次数都是___的方程。
ax=b（a#O）2、方程的解：能使方程等号两边相等的的值。
3、二元一次方程：方程中含有______未知数，并且_____________的次数都是—O一般式：ax+by二c（a乂0,b尹0）4、二元一次方程组：把具有__________的______二元一次方程用______合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
5、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的——未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程有个解。
6、二元一次方程组的解：一般地，二元一次让学生认真阅读方程的概念，一元次方程的概念及一元次方程解的概念。
方程组的两个方程的________,叫做二元一次方程组的解。
（能使方程组中两个方程等号两边都相等两个未知数的值。
）二元一次方程组有________个解。
互助释疑3分我的疑难问题。
小组内互相帮助解决.探究出招8分1、课本89业“探究”2、二元一次方程的一般式：ax+by=c（a尹0,b#0）用含x的式子表示y,y=_____________用含y的式子表示x,x=3、方程3x+2y=6,有_一个未知数，且未知数都是—次，因此这个方程是____元_____次方程。
人教版(2024新版)七年级数学上册课件：6.3 课时1 角的概念
∠1 ∠BCE
∠2 ∠BCA
∠3
∠4
∠BAC或 ∠BAE
∠BAD
∠5 ∠ABC
随堂练习
4.(1)0.25°等于多少分？等于多少秒？ (2)2 700″ 等于多少分？等于多少度？
解：(1)60′×0.25＝15′，60″×15＝900″， 即 0.25°＝15′＝900″；
(2)(610)′ ×2 700＝45′， (610)°×45＝0.75°， 即2 700″＝45′＝0.75°.
人教版 七年级(上册) 2024新版教材
6.3 课时1 角的概念
学习目标
1. 在现实情境中，认识角是一种基本的几何图形，理解 角的概念，学会角的表示方法. 2. 认识角的度量单位度、分、秒，会进行简单的换算和 角度计算. 3. 提高学生的识图能力，学会用运动变化的观点看问题.
新知探究
观察下面的实物，你发现这些实物能抽象出什么样的 几何图形？
新知探究
有公共端点的两条射线组成的图形叫作角， 这个公共端点是角的顶点， 这两条射线是角的两条边.
两条射线 ——角的边 公共端点——角的顶点
新知探究
角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的. 终边 B
O
始边 A
如果射线OB继续旋转，还会形成什么角呢？
新知探究
一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时， 所成的角叫作平角.
随堂练习
4.(3)计算：180°－79°19′；
解：(3)180°－79°19′ =（179°+60′）－（79°+19′） =（179°－79°）+（60′－19′） =100°+41′ =100°41′.
B
O
数学人教版七年级上册角(第一课时)
4.3角（第一课时）教学目标：(1)掌握角的静态定义以及动态定义.(2)掌握角的三种表示方法.(3)通过类比,使学生理解和掌握角的度量单位,并能进行单位换算.学情分析角这一节知识是建立在射线、线段等相关知识的基础上.学生在小学时对角已经有了粗浅的知识,可以从实物中发现一些角,并且初步了解角的分类,知道有锐角、钝角以及平角等.初中阶段学生开始对角进行严格的定义,准确地度量角的大小,比较角的大小;高中阶段还要对角进行推广,进而学习孤度制和三角函数,从而对于角的认识层次不断螺旋式上升.角的概念、角的表示方法、角的度量以及比较角的大小,这一部分是建立有关角的知识体系的基础,在学生学习角的过程中,起到了承上启下的作用.本节在已有的知识基础上,学生将进一步地认识角,理解角的静态和动态两种描述方法以及角的几种表示方法和角的度量.本节课以适当的实例帮助学生理解角的概念,让学生发现生活中还有哪些物体具有角的形象.学生在小学没有涉及过角的表示,初一阶段学生是第一次用数学符号语言对角进行表示,学生需要一个感知、体会、辨析和运用的过程,所以角的表示以及角的度量是本节课的重点.教学中对角的呈现方式多种多样,根据角的不同选取适当的表示方法.之后又介绍了角的度量,并且进行了角度的换算,最后以钟表问题让学生掌握钟表时针、分针、秒针所形成的夹角,从而也让学生再次掌握角度的单位换算.教学重点:角的表示和角的度量单位换算教学难点:角的度量单位换算教学过程：1．从实际背景中感知角的形象在我们日常生活中,角无处不在.通过观察钟表时针与分针所成的角、楼梯的拐角等实例引出今天课题.在小学我们学过角,从这节课开始我们还要更深入、更具体地研究角.问题1 通过观察以上图形,你找出关于角的图形吗?过程:学生观察生活中的图片从而找到记忆中的角.设计意图:通过学生观察,展现学生现有的对角的理解水平.问题2 根据小学对角的认识,你能任意画一个角的图形吗?设计意图:通过学生动手画角,让学生积极参与活动,调动学生的积极性,利用实物投影展示学生的作品.2．抽象出角的定义问题3 你能给出角的一个定义吗?定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边.设计意图:通过活动给出定义,有利于培养学生的抽象概括能力.问题4 你能否说出角的构成元素及其位置关系吗?重点强调:(1)构成角的两个要素是顶点和两边.(2)每个角都有两条边,这两条边是射线.(3)角的两边有公共端点.设计意图:引导学生观察并归纳角的共同点,培养学生思考问题的科学性和严谨性.问题5 角的边画出部分越长,角就越大吗?角的大小与什么有关?设计意图:通过提问,再次让学生明白角的两边不是线段而是射线,射线是可以无限延伸的.3．探究角的表示问题6 在实际应用中如何来表示一个角呢?角的表示符号“∠”角的表示方法一般有三种:1、用三个大写字母或用一个大写字母.问题7 能把∠ BOC记作∠O吗?为什么?注意:用三个大写字母表示时,中间字母是顶点字母;用一个大写字母表示时,这个字母是顶点字母,且顶点处只能有一个角.2、用一个数字加弧线表示.并在角的内部靠近角的顶点处画一弧线.3、用一个希腊字母加弧线表示.并在角的内部靠近角的顶点处画一弧线. 问题8 能把∠AOB记作∠1吗?为什么?注意:用一个数字或一个希腊字母表示角时必须在图上标出才可使用,且一般用于表示单独的角.设计意图:学生熟悉角的几种表示方法,并且掌握每一种方法需要注意的事项. 问题9 将图中的角用不同的方法表示出来,并填写下表.设计意图:学生进一步掌握角的各种表示方法.问题10 如图,回答下列问题.(1)∠ABD与∠ABC是同一个角吗?(2)图中能用一个大写字母表示的角有哪几个?(3)以点A为顶点的角有哪几个?设计意图:学生能够掌握对于复杂的图形该如何表示一个角.4．探究角的第二定义创设情境:教师用几何画板展示射线绕其端点旋转.问题11 你能根据旋转给出角的一个定义吗?设计意图:角的旋转观点是学生比较难理解的地方因此用几何画板展示,让学生直观地看到角的形成,使学生更易概括出角的动态定义.定义:角是一条射线绕其端点旋转所形成的图形.射线OA叫做角的始边,射线OB 叫做角的终边.师生活动:教师用几何画板展示角的形成过程,学生仔细观察.问题12 从角的第二定义出发,旋转射线OA可以得到哪些特殊角?设计意图:教师用几何画板展示平角、周角形成过程.学生通过几何画板的展示更加直观体会平角和周角的概念.问题13 线段有长度,可以用尺子去度量,角有大小,用什么去度量角呢?角的度量单位又是什么呢?它们之间有什么怎么的运算关系呢?把一个周角360等分,每一份就是1度的角,记作1°.把1度的角60等分,每一份叫做1分的角,记作1′.把1分的角60等分,每一份叫做1秒的角,记作1″.以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.如∠α的度数是48度56分37秒,记作∠α=48°56′37″.设计意图:学生掌握角的度量以及角度的换算.问题14 填空1、度、分、秒之间的转换1°=_______′ 1′=_________″ 1°=__________″1′=______ ° 1″=_________ ′ 1″= __________ °2、单位转换例1：把5.38°化成度分秒表示。
苏科版(2024)七年级数学上册第六章课件：6.2.1 角的概念与度量
例1 计算： （1）72°＋18°； （2）150.5°－132°12′； （3）2×72°45′
解：（1）72°＋18°=90°； （2）150.5°－132°12′=150°30′-132°12′=18°18′； （3）2×72°45′=144°+1°30′=145°30′
1.如图，时钟的时针OA、分针OC、秒针OB一共形成了多少个角？ 请分别表示这些角并写出它们之间的数量关系。
注:顶点的字母必须写在中间 如∠AOB 或∠BOA ； (2)角也可用一个大写字母表示． 如∠O；
但是
但是 当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用一个 大写字母表示．
如图：
A
C
∠O
O
B
角的表示
(3)角还可用一个数字(或希腊字母)表示，并在角的内部靠近 角的顶点处画一弧线，写上数字 (或希腊字母)．
解：（1）180°-36°15′=143°45′； （2）54°14′+35°46′=90°； （3）15°18′÷3=5°6′
角的定义及表 示方法
角的定义：有公共端点的两 条射线组成的图形叫做角
角的表示方法
角
角的分 锐角 直角 钝角
类 平角、周角
角的大小比较
度量法 叠合法
解：形成了三个角， 分别是：∠AOB、∠BOC、∠AOC 数量关系：∠AOB+∠BOC=∠AOC
B
A
C
O
2. 0.75°等于多少分？78°54′等于多少度？
解：0.75°=45′ 78°54′=78.9°
3.计算： （1）180°-36°15′；（2）54°14′+35°46′；（3）15°18′÷3
苏科版 七年级(上册) 2024新版教材
角的概念(新版)人教版七年级数学上册ppt
A. 90°
B. 75°
C. 120°
D. 105°
9. 若时钟上的分针走了10分钟，则分针旋转了（ D ）
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 60°
三级检测练
一级基础巩固练
10. 如图，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角
°.
（图中所有的角均指小于平角的角）.
75
度；
5°=120°30′.
若时钟上的分针走了10分钟，则分针旋转了（ ）
（2）下午4点25分时，钟面上时针与分针所成的角等于 把一个周角360等分，每一份就是1度.
解：（1）能用一个大写字母表示的角有∠C，∠B.
②如果线段AB=BC，则B是线段AC的中点；
17.5 °. ∠2、∠3的度数弄丢了，身边没有量角器，只知道
把一个周角360等分，每一份就是1度.
1°=60′
1′=60″
7. （例2）（1）用度、分、秒表示48.26°；
（2）用度表示37°24′36″.
解：（1）48.26°＝48°＋0.26×60′＝48°15′＋ 0.6×60″＝48°15′36″. （2）根据1°＝60′，1′＝60″得36″÷60＝0.6′， 24.6′÷60＝0.41°， 所以37°24′36″用度来表示为37.41°.
的图形是（ D ）
11. 如图，写出符合下列条件的角.（图中所有的角 均指小于平角的角）.
（1）能用一个大写字母表示的角； （2）以点A为顶点的角.
解：（1）能用一个大写字母表 示的角有∠C，∠B. （2）以点A为顶点的角有∠CAB， ∠CAD和∠DAB.
二级能力提升练
初中数学_8.1定义与命题教学设计学情分析教材分析课后反思
鲁教版数学七年级下册8.1定义与命题（二）课后反思济宁市任城区唐口中学我上课的内容是鲁教版七年级下册8.1定义与命题第二节课。
这节课分两个课时，本节为第二课时。
是初中数学的重要内容之一。
本节课是学生第一次接触推理证明，它为学生学习后面的各种几何证明奠定了基础。
因此本节课在教材中具有非常重要的作用。
通过本节课的学习让学生掌握初中阶段必备的基础证明知识，锻炼他们的观察，语言表达能力，以及进一步发展逻辑思维。
本节课的教学目标为：一.知识与技能1.命题的组成：条件和结论.2.命题的真假.二.过程与方法1.能够分清命题的题设和结论.会把命题改写成“如果……，那么……”的形式；能判断命题的真假.2.通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法.3.通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.三.情感态度与价值观通过举反例的方法来判断一个命题是假命题，说明任何事物都是正反两方面的对立统一体.我在教学中，让学生通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
先让学生了解命题的概念，怎样判断一个句子是命题，这个环节教师让学生们小组讨论完成并及时展示。
教师再出示命题的基本形式，让学生们观察得出命题的基本特征并说出命题的题设与结论。
学生们掌握命题之后老师出示例题解析，一个命题在不完整的情况下应该怎样变成命题的基本形式“如果。
那么。
”再说出每一个命题的题设与结论。
在学生们掌握了怎样分析命题的题设与结论之后，老师让学生们自主完成做一做，小组内讨论后教师让学生们自由的展示，不对的其他学生补充。
然后学生们完成考考你进一步巩固学生的知识掌握情况，并体会数学与生活的紧密联系，感悟数学的价值，激发学生学好数学、用好数学的愿望和信心。
课堂练习有个别同学会做错，做错点在于对判断还把握不够到位，还有少数同学对命题的基本形式理解产生混乱，一部分命题不知道如何找到题设与结论。
由此我强调命题就是“如果……那么……”的句式。
七年级数学下册 2.4 用尺规作角“玩”工具“学”数学素材 (新版)北师大版
“玩”工具“学”数学刻度尺、三角板、量角器是学生如影随形的作图工具，殊不知现在成了中考考场上的“道具（考查载体）”.它们的组合、摆拼变化多端，使图形千变万化，蕴藏着丰富的数学知识，这道漂亮的风景随着课改悄然呈现，给冰冷的中考考场添了“一抹春色”，当下依然耀人耳目.一、以直尺和三角板为载体例1 如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是【】A.30°B.25°C.20°D.15°解析：如图，由AB∥DC，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠3=∠1=20°.而∠2+∠3=45°，所以∠2=45°-∠3=45°-20°=25°，答案选B.例 2 小明将两把直尺按下图叠放，使其中的一把直尺的一个顶点恰好落在另一把直尺的边上，则∠1+∠2= 度.解析：如图，过点E作EF∥AB，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠1＝∠4．因为AB∥DC，所以EF∥DC，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠2＝∠3．所以∠1＋∠2＝∠3＋∠4．而∠3＋∠4＝90°，所以∠1＋∠2＝90°．故填“90°．二、以直尺和量角器为载体例3 如图，直尺一边AB与量角器的零刻度线CD平行，若量角器的一条刻度线OF的读数为70°，OF与AB交于点E，那么∠AEF= 度.解析:由题意知，∠COF=70°.因为AB∥CD，根据“两直线平行，同位角相等”，得∠AEF=∠COF=70°.故填“70”.小结：解答此类以身边数学工具为载体的平行线问题，要在了解这些数学工具的性质（如刻度尺是一个长方形，它的两组对边分别平行，四个角都是直角；一副三角板有两个，其中一个是等腰直角三角形，它的三个内角分别为45°，45°，90°，另一个三角形的三个内角分别为30°，60°，90°）和用法（如会使用量角器量角）的基础上，灵活应用平行线的判定和性质解决问题.快乐体验：如图，把一块三角板的直角顶在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是【】A.32°B.58°C.68°D.60°答案“玩”工具“学”数学B。
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1
∠角号
在数学中，要研究各种各样的数和形．数和形的概念，是从天上掉下来的吗？不是．是
人们头脑里固有的吗？也不是．它们是从社会实践中得来的．
人类的祖先从开始制造工具起，就脱离了动物界，对千奇百怪的“形”有了一定的认
识．比如说，当古人们观察到人的大小腿间，或者上下臂之间，形成了一个角度，这种形象
在头脑里反复了无数次，就可能会产生出角的蒙昧概念．据考证，在很多语言中，角的边常
用“臂”或“股”字代表．
随着社会的不断进步，人们终于从各种角的形象中，抽象出它的本质概念：由一点出发
的两条射线所组成的图形叫做角．“角”用符号“∠”表示，读作“角”．
角是几何里最简单的图形之一．用“∠”和三个大写字母联合起来，能形象地表示一个
角，方法是这样的：
在角的两边上各取一个点并用字母表示，把表示顶点的字母放在中间，如图1中的角，
可记作：∠AOB或∠BOA．
为了方便，角也可以用小写的希腊字母α，β，γ，„或者用阿拉伯数字表示，要把
字母或数字写在角的内部靠近顶点的地方，如图2所示．
如图3，角也可以看作一条射线以O为中心，从OA位置旋转到OP位置而形成的．这里
既要考虑OP的旋转方向，又要考虑旋转的角度大小．通常规定逆时针方向为正，顺时针方
向为负．OP绕点O可以任意旋转，几周都行，其旋转量称为OA和OP形成的角．正方向旋
转形成的角称为正角，负方向旋转形成的角叫做负角．OA为始边，OP为终边，因终边旋转
不受限制，其差为2π的整数倍，所以终边处在任何一个位置都表示无穷个角．如果其中一
个角为α，所有与α终边相同的角，连同α在内，可以记作：
2kπ＋α 或k·360°＋α （k为整数）．
2
把平面上的角推广到空间时，其相应的图形是二面角．
在图4中，给出平面上的∠AOB，如果把顶点O改为直线AB，把OA和OB这两条边分别
改为半平面P和Q，得到的图形是二面角．
如图5中，设二面角的棱是AB，两个面是P，Q，那么这个二面角用符号“P—AB—Q”
表示．
如何度量这个二面角的大小呢？
以二面角棱上的任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，由这两条射线构
成的一个平面上的角，叫做二面角的平面角．如图（5）中，∠MON就是二面角“P—AB—Q”
的平面角．
一个二面角的大小，可以用它的平面角来度量，这种方法非常巧妙．
同样，空间两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角，都是通过平面几何中的角来
定义的．因而，它们都可以看作是平面几何中角的概念在空间的拓广．
选自《数学符号史话》一书