上海市十三校2015届高三第一次联考数学(理)试题含答案
2015年新课标1高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标1）一．选择题（共12小题）1．【2015新课标1】设复数z满足=i，则|z|=（）A．1B．C．D．2考点：复数求模．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：先化简复数，再求模即可．解答：解：∵复数z满足=i，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．点评：本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．2．【2015新课标1】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．解答：解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．点评：本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．3．【2015新课标1】设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解答：解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．【2015新课标1】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312考点： n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：概率与统计．分析：判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．解答：解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为=0.648．故选：A．点评：本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．5．【2015新课标1】已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．解答：解：由题意，=（﹣x0，﹣y0）•（﹣﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．点评：本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．6．【2015新课标1】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．解答：解：设圆锥的底面半径为r，则×2×3r=8，解得r=，故米堆的体积为××3×（）2×5=，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈22，故选：B．点评：本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．7．【2015新课标1】设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．解答：解：由已知得到如图由===；故选：A．点评：本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．8．【2015新课标1】函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z考点：余弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．解答：解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f （x）=cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，故选：D．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．9．【2015新课标1】执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由题意可得，算法的功能是求S=1﹣﹣≤t 时n的最小值，由此可得结论．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=1﹣﹣≤t 时n的最小值，再根据t=0.01，可得当n=6时，S=1﹣﹣=＞0.01，而当n=7时，S=1﹣﹣=≤0.01，故输出的n值为7，故选：C．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．10．【2015新课标1】（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：利用展开式的通项，即可得出结论．解答：解：（x2+x+y）5的展开式的通项为T r+1=，令r=2，则（x2+x）3的通项为=，令6﹣k=5，则k=1，∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30．故选：C．点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．11．【2015新课标1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1B．2C．4D．8考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．解答：解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．点评：本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．【2015新课标1】设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．专题：创新题型；导数的综合应用．分析：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．解答：解：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D点评：本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．二．填空题（共4小题）13．【2015新课标1】若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解解答：解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴，∴lna=0，∴a=1．故答案为：1．点评：本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．14．【2015新课标1】一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．解答：解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x﹣）2+y2=．故答案为：（x﹣）2+y2=．点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．15．【2015新课标1】若x，y满足约束条件．则的最大值为3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16．【2015新课标1】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（﹣，+）．考点：三角形中的几何计算．专题：综合题；创新题型；解三角形．分析：如图所示，延长BA，CD交于点E，设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，求出x+m=+，即可求出AB的取值范围．解答：解：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，∵BC=2，∴（x+m）sin15°=1，∴x+m=+，∴0＜x＜4，而AB=x+m﹣x=+﹣x，∴AB的取值范围是（﹣，+）．故答案为：（﹣，+）．点评：本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．三．解答题（共8小题）17．【2015新课标1】S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n}的通项公式：（Ⅱ）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和．解答：解：（I）由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3两式相减得a n+12﹣a n2+2（a n+1﹣a n）=4a n+1，即2（a n+1+a n）=a n+12﹣a n2=（a n+1+a n）（a n+1﹣a n），∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=﹣1（舍）或a1=3，则{a n}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1：（Ⅱ）∵a n=2n+1，∴b n===（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．18．【2015新课标1】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G ﹣xyz，求得A，E，F，C的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．解答：解：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，在菱形ABCD中，不妨设BG=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=，BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，可知AE=EC，又AE⊥EC，所以EG=，且EG⊥AC，在直角△EBG中，可得BE=，故DF=，在直角三角形FDG中，可得FG=，在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得EF=，从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣，0），E（1，0，），F（﹣1，0，），C（0，，0），即有=（1，，），=（﹣1，﹣，），故cos＜，＞===﹣．则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为．点评：本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题．19．【2015新课标1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，（Ⅱ）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．解答：解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，=﹣=563﹣68×6.8=100.6，所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为=100.6+68，（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12，当==6.8时，年利润的预报值最大．点评：本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．20．【2015新课标1】在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：创新题型；导数的综合应用．分析：（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y′=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=﹣．k1+k2=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．解答：解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y=可得：y′=，∴曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：y﹣a=，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．联立，化为x2﹣4kx﹣4a=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．∴k1+k2=+==﹣．当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，∴∠OPM=∠OPN．∴点P（0，﹣a）符合条件．点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．【2015新课标1】已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：创新题型；导数的综合应用．分析：（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0解出即可．（ii）对x分类讨论：当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．当x=1时，对a分类讨论：a≥﹣，a＜﹣，即可得出零点的个数；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类讨论：①当a≤﹣3或a≥0时，②当﹣3＜a＜0时，利用导数研究其单调性极值即可得出．解答：解：（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0，∴，解得，a=．因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．当x=1时，若a≥﹣，则f（1）=a+≥0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；若a＜﹣，则f（1）=a+＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函数h（x）的零点；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，而f（0）=，f（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（x）取得最小值=．若＞0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．若=0，即a=﹣，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，∴当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（x）在（0，1）内有一个零点．综上可得：当或a＜时，h（x）有一个零点；当a=或时，h（x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点．点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．22．【2015新课标1】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．考点：圆的切线的判定定理的证明．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．解答：解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°点评：本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．23．【2015新课标1】在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．解答：解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=ρ1﹣ρ2=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=．点评：本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．24．【2015新课标1】已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标1）一．选择题（共12小题）1．【2015新课标1】设复数z满足=i，则|z|=（）A．1B．C．D．22．【2015新课标1】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．3．【2015新课标1】设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 4．【2015新课标1】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3125．【2015新课标1】已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．6．【2015新课标1】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．【2015新课标1】设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．8．【2015新课标1】函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z9．【2015新课标1】执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．810．【2015新课标1】（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20C．30 D．6011．【2015新课标1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1B．2C．4D．812．【2015新课标1】设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）二．填空题（共4小题）13．【2015新课标1】若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=．14．【2015新课标1】一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．15．【2015新课标1】若x，y满足约束条件．则的最大值为．16．【2015新课标1】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．三．解答题（共8小题）17．【2015新课标1】S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．18．【2015新课标1】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE 丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．19．【2015新课标1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．20．【2015新课标1】在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）21．【2015新课标1】已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．选做题22．【2015新课标1】（2015春•从化市校级期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O 于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．23．【2015新课标1】在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．24．【2015新课标1】已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．。
2015届高三十三校联考试卷讲评
“出头鸟”。累致泱泱大国自然科学、 天文医学只见肇端、鲜见硕果。八成人 需要“出头鸟”，缘自对其领先之希冀； 九成人恐当“出头鸟”，缘自对社会环 境之忌惮。“出头鸟”匮乏，乃环境之 弊、创新之殇。圆梦中国必先遍育“出 头鸟”，育鸟必先茂林、丰羽。此非三 日之功，需日积月累潜移默化。
“出头鸟”应该两种说法：
创新会有风险； 中庸思想束缚； 缺少激创环境； 没有制度保障。 思辨：创新是指在学业、事业上的创新； 而不是搏出位；创新虽好，也需理性评估。
当下，各行业都涌现出很多敢于打破传统束 缚的人。然而，老话却说“枪打出头鸟”， 认为保持低调才能安身立命。 中国青年报社会调查中心对5035人进行的 一项调查显示，55.4%的受访者认为在现 实中很少有人愿做“出头鸟”。但78.8% 的受访者认为社会需要“出头鸟”。对于不 愿做“出头鸟”的原因，89.8%的受访者 指出“‘出头’意味着更多风险”。(10月 28日《中国青年报》)
是科研领域。核心技术、关键技术是 买不来的，需要自主创新，需要“出 头鸟”。没有高科技、没有“出头 鸟”，要想在国际竞争中站有一席之 地那是不可能的。愿我们国家有更加 完善的自主创新的体制机制，在全社 会形成勇于竞争和宽容失败的氛围， 人人敢冒风险，争当“出头鸟”。
春秋以降国人中庸为道，羞于恐于当
5．（3分）第⑧段指出民国学
术被高估的原因还在于学术界本 身脱离公众、不敢纠正常识性错 误（1分）， 对前文论述政治运动的影响和逆 反心态等原因作了补充（或构成 递进）（1分）， 使阐述更深入全面（1分）。
6．（5分）本文是对高估民国学术这一现象的 质疑与批判（1分）， 逻辑严密，有实证，有结论（1分）。 作者先客观界定民国学术的地位（1分）， 再从学术发展的阶段过程、政治运动的消极影 响、一些人的逆反心态和学术界本身负有的责 任等方面作多角度归因分析（1分）， 得出“民国学术总体上没有超越清朝，今天的 总体学术水平大大超越民国时期”的结论（1 分）。 论述过程中结合典型的实例，增强了说服力。 （1分） （前两点一点1分，后四设置义田（1分）救济族
上海高三数学第一次月考答案版.doc
上海高三数学第一次月考答案版(答案版)2015届高三数学第一次月考试卷2014. 09. 24时间120分钟满分150分一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1、设A 3,4,5 ,B a, 3, a 1 ,若A=B,则实数a=42、若y f x是函数y 2x 1的反函数，则f 1 ___________ 。
3、L A知全集U R,集合A xx2 3x 0 x2x 1,则Cu A= _________ . 3, 02xf(x) (a 1)4、当x〈0时，指数函数的值总大于1,则a的取值范围为. ( 2, 1) (1,2)5、若loga22 1,则a的取值范围是__________________________ . (0,) (1, ) 332 x y 5 0 x 16、“不等式组成立”是“不等式组成立”必要非充分条件.0 xy 42 y 47、若二次函数f(x) x2 ax 4在［T, 2］具有反函数，则实数a的范围是 a 2 或a 48、方程4 29、设xx 3 48 0的解为____________________. x=2上的奇函数，F (x) af (x) bg(x) 2,若f (x), g(x)都是R-7 F(4) 3,则卩(4) ______10、f (x) ax b与y g(x)的图像关于直线y=x对称,P(0, 1)与Q(2, 3)都在y=g(x)上。
贝!］a+b= __________ .11、若f(x) logax在［2, 4］上最大值与最小值之差为2,则实数a= ________________ = 2,2 2,且a 1)的图像恒过定点A,若点A在一次函数12.函数y loga(x 1) 1 (a 0y mx n的图像上，其中m 0, n 0,贝U12的最小值为mnl的取值范围14、设f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区1, 1 上,x 0 ax f x bx1 113 ,其中 a, b R,若 f20 x 1 2 2 x 1f ，则a 2b 的值为10_o、选择题（本大题共有4题，满分2015、设 A -4, 2, a 1, a, B 9, a 5, 1 a ，已知 A B29 ，求a(A) 3 (B) 10 (C) -3 (D)10 和 316、设命题 p:x x 20 0, q:21 0,则 p 是 q（A ）充分非必要（B ）必要非充分（C ）充要（D ）既非充117.记函数y f(x)的反函数为y f(x).如果函数y f(x)的图像过点0,1 ，那么 1函数y f A. (x)1 的图像过点［答］C. (0,0). D. (2,0).( A) (1, 1). B. (0,2).x2 2x 3x 018、函数f x 的零点个数为 (C ) x 0 2 lnxA) 0 B) 1 C) 2 D) 3二、解答题（本大题共有5题，满分19.（本题满分1213+ax+ 2•如果函数y 2,1上有意义，那么实数a解关于x的方程：log29 5 log23 2 2.解：原方程为9x 5 43x 2 3x x x 2 4 3x 3 0 ,则 3 13 3 0 x 0 或x 1经检验是x 1原方程的根。
上海市五校2015届高三第一学期联合教学质量调研数学(理)试卷及答案
2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷（理科）考生注意：1、本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分。
2、答题前，考生务必在试卷和答题纸的指定位置以及答题卡上准确填写学校、姓名、 考号等信息。
3、考试结束只交答题卡和答题纸。
一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．已知(3,4)P -为角α终边上的一点，则cos()πα+= ．2．已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥ ，则b ＝________．3．已知集合}),2lg({2R x x x y x M ∈-==，{}N x x a = <，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是 ．4．已知幂函数()f x过点，则()f x 的反函数为1()fx -= ．5．若无穷等比数列n a {}满足：4)(lim 21=+++∞→n n a a a ，则首项1a 的取值范围为 ．6．若直线l a x y :10++=平分圆x y x y 222650+-++=的面积，则直线l 的倾斜角为 ．（用反三角函数值表示）7．已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为 ． 8．如图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象,其中5=AB ，那么()1f -=___________.9. 已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是 .10. 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点),2(0y M ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则=OM ．11. 在正ABC ∆中，D 是BC 上的点，若1,3==BD AB ，则=⋅ ． 12．已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足891011()()()()0f x f x f x f x +++=，则2014x 的值为 ．13．过点*1(2,0)()n N n-∈且方向向量为(2,1)的直线交双曲线224x y -=于,n n A B 两点，记原点为O ，n n OA B ∆的面积为n S ，则lim n n S →∞= ____ ____．14. 设1271a a a ≤≤≤≤ ，其中1357,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，246,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是____ ____．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.） 15．已知命题:12x α-≤，命题3:01x x β-≤+，则命题α是命题β成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件16．已知直线)(sin :1R x y l ∈=αα和直线c x y l +=2:2，则下述关于直线21,l l 关系的判断正确的是（ ）A. 通过平移可以重合B. 不可能垂直C. 可能与x 轴围成等腰直角三角形D. 通过绕1l 上某点旋转可以重合17．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）A ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦18. 设,a b R ∈ ，定义运算“∧ ”和“∨ ”如下：,,a a b a b b a b ≤⎧∧=⎨>⎩，,,b a ba b a a b ≤⎧∨=⎨>⎩．若正数,,,a b c d 满足4,4ab c d ≥+≤ ，则（ ） A ．2,2a b c d ∧≥∧≤ B ．2,2a b c d ∨≥∧≤C ．2,2a b c d ∧≥∨≥D ．2,2a b c d ∨≥∨≥三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .）19.（本题满分12分）第1小题满分7分，第2小题满分5分．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()()()cos ,sin m A B A B →=--，()cos ,sin n B B →=-，且35m n →→⋅=-．（1）求sin A 的值；（2）若5a b ==，求角B 的大小及向量BA 在BC方向上的投影．20.（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆E 长轴的一个端点是抛物线212y x =的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A 、B 是椭圆E 的左右端点，O 为原点，P 是椭圆E 上异于A 、B 的任意一点，直线AP 、BP 分别交y 轴于M 、N ，问ON OM ⋅是否为定值，说明理由．21.（本题满分14分）第1小题满分8分，第2小题满分6分． 等差数列{}n α的前n 项和236n S n π=，数列{}n β满足()7236n n πβ-=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①221111sin cos sin cos m αβαβ+-=； ②222222sin cos sin cos m αβαβ+-=； ③223333sin cos sin cos m αβαβ+-=；④224444sin cos sin cos m αβαβ+-=； ⑤225555sin cos sin cos m αβαβ+-=；⑥226666sin cos sin cos m αβαβ+-=． （1）求数列{}n α的通项公式，并从上述六个等式中选择一个，求实数m 的值；（2）根据（1）计算结果，将同学甲的发现推广为关于任意角θ的三角恒等式，并证明你的结论．22.（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 若函数()f x 在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （1）已知函数()sin()(,0)2f x x x R πϕϕ=+∈<<，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（3）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．23.（本题满分18分）第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n 可得到“n 边形数列”，记它的第r 项为(,)P n r ．1，3，6，10 1，4，9，16 1，5，12，22 1，6，15，28 （1）求使得(3,)36P r >的最小r 的取值； （2）试推导(,)P n r 关于n 、r 的解析式；（3）是否存在这样的“n 边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷答案 （理科）一、填空题1、352、、[)2,+∞ 4、2(0)x x ≥ 5、)8,4()4,0(⋃ 6、arctan 2π-7、1(,)2+∞ 8、2 9、1(,][1,)4-∞-⋃+∞ 10、32 11、21512、400913、8314二、选择题15、B 16、D 17、C 18、B 三、简答题19、（1）由3cos()cos sin()sin cos 5m n A B B A B B A ⋅=---==- …3分又0A π<<，则4sin 0sin 5A A >⇒= …6分（2）由sin sin sin sin a b b B A A B a =⇒==…7分 又4a b A B B π>⇒>⇒=…8分由余弦定理，得222352515c c c =+-⨯⨯⇒=或7-（舍） …10分 则BA −−→在BC −−→方向上的投影为cos cos 2BA B c B =⋅= …12分20、（1）根据条件可知椭圆的焦点在x 轴，且3a =， …2分 又12a c c -=⇒=，所以2225b a c =-=故椭圆E 的标准方程为22195x y +=． …6分 （2）设),(00y x P ，则22005945x y +=，且(3,0),(3,0)A B -又直线00:(3)3y PA y x x =++，直线00:(3)3y PB y x x =-- …10分 令0x = ，得：000033(0,),(0,)33y y OM ON x x -==+-故 ⋅220022009545599y x x x --===--为定值. …14分21、（1）当1n =时，136πα=…1分当2n ≥时，()221136361836n n n S S n n n ππππα-=-=--=-…3分∵当1n =时，1α适合此式 ∴数列{}n α的通项公式为1836n n ππα=-…5分选择②，计算如下：212πβ=…6分222222sin cos sin cos m αβαβ=+-＝22sin cos sincos12121212ππππ+-＝11sin 26π-＝34…8分 （2）由（1）知，(21)(72)36366n n n n πππαβ--+=+=， 因此推广的三角恒等式为223sincos sin cos 664ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …10分 证明: 22sincos sin cos 66ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin 6666ππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2222311sin cos sin sin cos sin 442θθθθθθθθ++- =2233cos sin 44θθ+＝34…14分22、（1）()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x -+=有解．即sin()sin()2cos sin 0x x x ϕϕϕ-+++==有解 …2分 因0sin 02πϕϕ<<⇒>，得cos 0()2x x k k Z ππ=⇒=+∈()f x ∴为“局部奇函数”． …4分 （2）存在实数x 满足()()0f x f x -+=，即2220xx m -++=在[1,1]-有解令12,[1,1][,2]2xt x t =∈-⇒∈，则12m t t -=+在1[,2]2t ∈上有解 …7分因为1()g t t t =+在1[,1]2上递减，在[1,2]上递增，5()2,2g t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦522,2m ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，故5,14m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦…10分（3）存在实数x 满足()()0f x f x -+=，即2442(22)260x x x x m m --+-++-=在x R ∈有解 令22,[2,)x x t x R t -=+∈⇒∈+∞，且2442xx t -+=-从而22g()2280t t mt m =-+-=（*）在[2,)t ∈+∞上有解 …12分1.︒ 若(2)0g ≤，即11m -≤*）在[2,)t ∈+∞上有解2.︒ 若(2)0g >，即1m <或1m >+*）有解，则2244(28)021(2)0m m m m g ⎧∆=-->⎪>⇒+≤⎨⎪>⎩综上，所求m的取值范围为[1 ． …16分23、（1）(1)(3,)122r r P r r +=+++= …3分 由题意得(1)362r r +>, 所以，最小的9r =. …5分（2）设n 边形数列所对应的图形中第r 层的点数为r a ，则12(,)r P n r a a a =++⋅⋅⋅+ 从图中可以得出：后一层的点在2n -条边上增加了一点,两条边上的点数不变 则12r r a a n +-=-，11a =得{}r a 是首项为1公差为2n -的等差数列 则(,)[2(1)(2)]2r P n r r n =+--.（或(2)(1)2n r r r --+等） … 12分 （3）2(,1)(,)(2)21P n r P n r n r r ++=-++ …14分 显然3n =满足题意， …15分而结论要对于任意的正整数r 都成立，则2(2)21n r r -++的判别式必须为零 所以44(2)0n --=，得3n =故满足题意的数列为“三角形数列”. …18分。
2025届上海市12校联考高三第一次模拟考试数学试卷含解析
2025届上海市12校联考高三第一次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ）A ．(625,)+∞B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64)2．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ）A ．1eB ．1eC ．12eD ．21e 3．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定4．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 5．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）6． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A ．75B ．65C ．55D ．457．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ） A ．12B ．22C ．32D ．2238．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-9．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直12．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(新课标Ⅱ-3)2015届高三数学上学期第一次月考试题 理
〔新课标Ⅱ-3〕2015届高三数学上学期第一次月考试题 理一、选择题：第小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．集合{|0},{||2,},A x x B y y y Z =≥=≤∈如此如下结论正确的答案是( ) A ．A B φ=B ．()(,0)R C A B =-∞C ．[0,)AB =-∞D ．(){2,1}R C A B =--2．复数Z123sin 23cos i +=和复数Z237sin 37cos i +=，如此Z1·Z2 〔 〕A ．i 2321+B ．i 2123+C ．i 2321-D ．i 2123- 3．如下说法中，正确的答案是〔 〕A ． 命题“假设a b <，如此22am bm <〞的否命题是假命题.B ．设,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，如此“l β⊥〞是 “αβ⊥〞 成立的充分不必要条件.C ．命题“存在2,0x R x x ∈->〞的否认是“对任意2,0x R x x ∈-<〞. D ．x R ∈，如此“1x >〞是“2x >〞的充分不必要条件.4．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高〔单位：厘米〕数据绘制成频率分布直方图〔如右图〕。
由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为( ) A ．20 B ．25 C ．30 D ．355. 变量,x y 满足约束条件，如此3z x y =+的最小值为 ( )A．12B．11C． 8 D．-16. 如下函数中，既是偶函数，又在区间〔1,2〕内是增函数的为 ( ) A．y=cos2x， x∈R B．y=log2|x| ， x∈R且x≠0C．2xx eey --=， x∈R D． y=3x+1， x∈R7．设,αβ是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的答案是( )A．假设,lααβ⊥⊥，如此lβ⊂ B．假设//,//lααβ，如此lβ⊂C．假设,//lααβ⊥，如此lβ⊥ D．假设//,lααβ⊥，如此lβ⊥8．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一局部几何体，余下的几何体的三视图〔如下列图〕，如此余下局部的几何体的外表积为〔〕A．532323++ππ＋1B．523323++ππ＋1C．53233++ππD．52333++ππ9．如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点,如此此点取自阴影局部的概率是〔〕A ．21π-B ．112π-C ．2πD ．1π10．平面向量a 与b 的夹角为60°，1||),0,2(==b a ,如此|2|b a +等于( )AB ．C ．4D ．1211．函数()x f 在[)+∞,0上是增函数，()()x f x g -=，假设()()1lg g x g >，如此x 的取值范围是( )A ．〔0,10〕B ．()+∞,10C ．⎪⎭⎫⎝⎛10,101 D ．()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,10101,012．函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时()()xf x f x '<-成立〔其中()()f x f x '是的导函数〕，假设a =，(1)b f =，2211(log )(log )44c f =如此,,a b c 的大小关系是 〔 〕 A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．a c b >>二、填空题：本大题共4小题，每一小题5分，共20分。
东北三省四市教研联合体2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
x2 x 1 0 ，则 p q 为真命题
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
4、执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（
）
A． 20 C． 40
B． 30 D． 50
D． 1,3 ）
D．第四象限
5、将函数 f x cos2x 的图象向右平移 个单位后得到 4
函数 g x ，则 g x 具有性质（ ）
A．最大值为 1，图象关于直线 x 对称 2
2
15 B．
2
5 C．
2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）
13 、设随机变 量 服 从正 态分 布 1, 4 ， 若
a1
a
．
6
14、设 a
2
2xdx ，则 ax
1
的展开式中常数项为
．
1
x
15 D．
2 2a 5 ， 则
15、在直角梯形 CD 中， D// C ， C 90 ，
1 C．
6
1 D．
4
11 、 若 G 是
C 的重心， a ， b ， c 分别是角 ， ， C 的对 边，若
3
aG bG
cG C 0，则角
3
（）
A．90
B．60
12、已知数列 an 中， an 0 ，a1 1，an 2
C．45
1 ，a100 an 1
a96 ，则 a2014
D．30 3a （ ）
5 A．
确定 x ， y ， p ， q 的值，并补全频率分布直方图；
为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这 100 名网购者调查显示：
购物金额在 2000 元以上的网购者中网龄 3 年以上的有 35 人，购物金额在 2000 元
上海市十二校2015届高三12月联考数学(理)试题及答案
上海市十二校2015届高三12月联考数学（理）试题学校：上海市朱家角中学学校：三林中学 南汇一中 2014年12月一、填空题 （本大题满分56分，每题4分）1．设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B =_______.2. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =9，246a a a ++=15，则=+43a a ．3．在行列式3541113a --中，元素a 的代数余子式值为 ．4. 如果函数⎩⎨⎧<>-=)0( )()0( 32 x x f x x y 是奇函数，则=-)2(f5．设()f x 的反函数为1()f x -，若函数()f x 的图像过点(1,2)，且1(21)1f x -+=，则x = ．6．方程cos2x+sinx=1在),0(π上的解集是_______________．7.1，则此三棱锥的体积为 ． 8. 函数()x x x f 2cos 222cos 3-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围是 ．92==， 与的夹角为3π，则+在上的投影为 ． 10. 在锐角ABC ∆中，角B 所对的边长10=b ，ABC ∆的面积为10，外接圆半径13=R ，则AB C ∆的周长为 ．11. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比为)0(>q q ，前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→nn n S S ，则公比q的取值范围是 ． 12．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，若()(3)g x f x =在(0 )3π，上是增函数，则ω的最大值 ．13. 记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+，若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为 ．14．若平面向量i a )4,3,2,1(1==i 且)3,2,1(01==⋅+i a a i i 32a a +++可能的值有 个．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15． 设,p q 是两个命题，1:0,:|21|1,x p q x p q x+≤+<则是 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件16. 数列{a n }中，已知S 1 =1， S 2=2 ，且S n +1－3S n +2S n －1 =0(2≥n ，n ∈N*)，则此数列为（ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．从第二项起为等差数列 D ．从第二项起为等比数列17.关于函数31)212()(x x f x x⋅-=和实数n m 、的下列结论中正确的是（ ）A ．若n m <<-3，则)()(n f m f <B ．若0<<n m ，则)()(n f m f <C ．若)()(n f m f <，则22n m < D ．若)()(n f m f <，则33n m < 18. 函数()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1x x x kx x f ,下列关于函数()[]1+=x f f y 的零点个数的判断正确的是（ ）A ．无论k 为何值,均有2个零点B ．无论k 为何值,均有4个零点C ．当0k >时,有3个零点；当0k <时,有2个零点D ．当0k >时,有4个零点；当0k <时,有1个零点三、简答题 (本大题满分74分)19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分6分. 如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，⊥SA 平面ABCD ，AB=3，SA=4 （1）求直线SC 与平面SAB 所成角；（2）求SAB ∆绕棱SB 旋转一圈形成几何体的体积。
上海市十三校2015届高三12月联考试题
上海市十三校2015届高三12月联考试题高三2010-12-16 20:57上海市十三校2015届高三12月联考试题4．考试时间150分钟。
试卷满分150分。
一、阅读（80分）（一）阅读下文，完成第1-6题。
（16分）①万众瞩目的上海世博会吉祥物突出的亮点就是一个“宝”字——而称之为“海宝”，除了设计者表达浓缩的主题和意蕴外，自然让人联想到“海内外世界级国宝汇聚上海的海量展示”。
尤其法国奥赛博物馆所藏、为安全起见分别用七架飞机运抵的罗丹雕塑（（青铜时代））、盎塑油画《晚钟））等七件珍宝，以及首次盘出国门的丹麦哥本哈根“美人鱼”铜像、人类第一次光顾另一天体的俄罗斯月球车，世界级珍稀动物亚达伯拉象龟等爆出的热门，把探宝炒成本届世博的最大看点。
②对国宝的认识和认知，中国人有独到的鉴别力，所谓慧眼却也每受片面视角的困惑。
言其独到，经典例证是楚人卞和能从一块凡常不过的璞石申看出至宝，终使“和氏璧”传世。
今年早些时候，亦有人大代表从藏于江浙的元人黄公望半幅《富春山居图》中，“读”出一条含金量极高的提案：冀与藏诸彼岸台北博物馆的另外半幅合成完璧。
夙愿若成，当使一幅少为人知的传统国画升格为顶尖级“国宝”。
③而言其片面，是因国人更习惯于赏读那种精美绝伦的物质形态、或以精美绝伦的物质形态为载体而看得见摸得着的精神文化瑰宝。
诚若清高宗有幸莅临本届世博，见到塞尚的（（咖啡壹边的妇女》，必以积习加盖一方“乾隆御览之宝”为幸事；而对无形之宝，尤其诸多虽有形而似“无价”之宝，却无从着眼，或看“走眼”。
④譬如形似“冰壶”的芬兰馆之“鱼鳞外墙”，是回收利用的废旧标签和塑料边角；西班牙馆的立面以不作任何染色的天然藤条编席为之；瑞士馆的红色幕帷，也主要由大豆纤维制作。
以寻常眼光去看，岂不等同无价无用的弃物？乃至加拿大馆竞禁止摆放大型展品，这与国人心目中的“国宝观”——乃至藏宝之包装也需镶金嵌玉、富丽堂皇才见隆重——以致史上留下过“买椟还珠”的极端案例而大相径庭。
上海市十三校2015届高三第一次联考物理试题 Word版含解析
上海市十三校2015年高考一模物理试卷一．单项选择题.（共16分，每小题2分，每小题只有一个正确选项．）3．（2分）（2015•上海一模）图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至A 点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中（）5．（2分）（2015•上海一模）如图，质量m A ＞m B 的两个物体A 、B 叠放在一起，在竖直向上的力F 作用下沿竖直墙面向上匀速运动．现撤掉F ，则物体A 、B 在沿粗糙墙面运动过程中，物体B 的受力示意图是（ ）B6．（2分）（2015•上海一模）一质点沿x 轴做直线运动，其v ﹣t 图象如图所示．质点在t=0时位于x=4m 处，开始沿x 轴正向运动．当t=8s 时，质点在x 轴上的位置为（ ）7．（2分）（2015•上海一模）一定质量的理想气体经历如图所示的状态变化，变化顺序由a→b→c→a，ab线段延长线过坐标原点，bc线段与t轴垂直，ac线段与V轴垂直．气体在此状态变化过程中（）二．单项选择题.（共24分，每小題3分，每小题只有一个正确选项．）9．（3分）（2015•上海一模）在xoy平面内有一沿x轴正方向传播的简谐横波，波速为1m/s，振幅5cm，频率为2.5Hz，在t=0时刻，P点位于其平衡位置下方最大位移处，则距P点为0.2m的Q点（）=0.4s相隔为10．（3分）（2015•上海一模）做单向直线运动的物体，关于其运动状态下列情况可能的是11．（3分）（2015•上海一模）光滑直杆AB和BC按如图所示连接，A、C处与竖直墙用铰链连接，两杆在B点也用铰链连接，杆及铰链的质量与摩擦都不计．ABC构成一直角三角形，BC与墙垂直，将重力为G、可视为质点的物块P从A点静止释放，则物块从A运动到B的过程中（）12．（3分）（2015•上海一模）如图所示，一定质量的空气被水银封闭在静置于竖直平面的U型玻璃管内，右管上端开口且足够长，右管内水银面比左管内水银面高H，现沿管壁向右管内加入长度为H的水银，左管水银面上升高度h，则h和H的关系有（）13．（3分）（2015•上海一模）如图，质量相同的两小球a，b分别从斜面顶端A和斜面中点B沿水平方向被抛出，恰好均落在斜面底端，不计空气阻力，则以下说法正确的是（）t==，因此初速度之比=14．（3分）（2015•上海一模）两电荷量分别为q1和q2的点电荷放在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图所示，其中A、N两点的电势为零，ND段中C点电势最高，则下列说法不正确的是（）15．（3分）（2015•上海一模）某带电物体沿一绝缘的倾斜轨道向上运动，运动过程中所带电量不变．若空间存在匀强电场，已知物体经过A点时动能为30J，后经过B点时动能减少10J，而重力势能增加了30J，电势能减少了35J．当它继续向上运动到速度为零时，在整个16．（3分）（2015•上海一模）如图，水平地面上有一固定光滑斜面AB，其底端B点与半径为R的四分之一圆弧光滑连接，圆弧的端点C与圆心在同一水平线上，M、N为C点正上方两点，距离C点分别为2R和R，现将一小球从M点静止释放，小球在AB上能到达最高处D点距水平面的高度为2R，接着小球沿斜面滑下返回进入圆弧轨道，若不考虑空气阻力，则（）三．多项选择题（共16分，每小题4分．）18．（4分）（2015•上海一模）A、B两列波在某时刻的波形如图所示，经过t=2T A时间（T A 为波A的周期），两波仍出现如图波形，则两波的波速之比v A：v B可能是（）=故有：19．（4分）（2015•上海一模）有一物体由某一固定的长斜面的底端以初速度v0沿斜面上滑，斜面与物体间的动摩擦因数μ=0.5，其动能E k随离开斜面底端的距离s变化的图线如图所示，g取10m/s2，不计空气阻力，则以下说法正确的是（）所以：kg、物体向上时的加速度：m/s 物体的初速度：s向下运动的时间：st=20．（4分）（2015•上海一模）如图，轻杆长为L，一端铰接在地面上可自由转动，一端固定一质量为m的小球（半径可忽略），一表面光滑的立方体物块（边长为a，且a远小于杆长L）在水平外力F作用下由杆的小球一端沿光滑地面以速度v0向左做匀速直线运动，并将杆顶起．下列哪些说法是正确的（）r==四．填空题.（20分，每小题4分）21．（4分）（2015•上海一模）已知地球半径为R，地球自转周期为T，同步卫星离地面的高度为H，万有引力恒量为G，则同步卫星绕地球运动的线速度为地球的质量为．v=；由万有引力提供向心力得：，整理得，故答案为：；22．（4分）（2015•上海一模）如图，质量分别为4m和m的两个小球A、B固定在一根轻质直角尺的两端，AC、BC的长度分别为2L和L，在AC段的中点O处有光滑的固定转动轴，直角尺可绕转轴O在竖直平面内转动，开始时直角尺的AC部分处于水平位置．若要使AC部分保持水平，则需在小球B上施加的外力F的大小至少为mg，撤去外力后，让该系统由静止开始自由转动，不计空气阻力，当直角尺AC部分转到竖直方向时，小球A的速度大小v A=．==LLF=v；故答案为：，23．（4分）（2015•上海一模）如图所示，竖直平面内有两个水平固定的等量同种负点电荷，A、O、B在两电荷连线的中垂线上，O为两电荷连线中点，AO=OB=L，将一带正电的小球由A点静止释放，小球可最远运动至O点，已知小球的质量为m、电量为q．若在A点给小球一初速度，则小球向上最远运动至B点，重力加速度为g．则AO两点的电势差U AO=，该小球从A点运动到B点的过程中经过O点时速度大小为2．V=2故答案为：；．24．（4分）（2015•上海一模）两端封闭的粗细均匀玻璃管内有两部分气体A和B，中间用一段水银隔开，当水平放置且处于平衡时，温度均为27℃，如图a所示．现先将玻璃管缓慢转至竖直方向（A在下方），再将整根玻璃管置于温度为87℃的热水中，如图b所示，气体最终达到稳定状态，则稳定后与图a中的状态相比，气体A的长度减小（选填“增大”，“减小”或“不变”）；若图a中A、B空气柱的长度分别为L A=20cm，L B=10cm，它们的压强均为75cmHg，水银柱长为L=25cm，则最终两部分气体A、B的体积之比V A：V B=3：2．==25．（4分）（2015•上海一模）如图，某品牌汽车为后轮驱动，后轮直径为d，当汽车倒车遇到台阶时，两个后轮可同时缓慢倒上的台阶的最大高度为h，假设汽车轮胎和台阶的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且忽略轮胎的形变，不计前轮与地面的摩擦．则后轮与台阶的滑动摩擦系数为；若该车缓慢倒上两个高度分别为h1和h2（h1＜h2）的台阶，当后轮刚离开地面时，台阶对后轮的作用力分别为F1和F2，则F1大于F2．（选填“大于”、“小于”或“等于”）=故答案为：五．实验题（共24分．答案写在题中横线上的空白处或括号内．）26．（4分）（2015•上海一模）某同学为验证系统机械能守恒定律，采用如图所示的实验装置．将气垫导轨调节水平后在上面放上A、B两个光电门，滑块通过一根细线与小盘相连．测得滑块质量M，小盘和砝码的总质量m，滑块上固定的挡光片宽度为d．实验中，静止释放滑块后测得滑块通过光电门A的时间为△t A，通过光电门B的时间为△t B．（1）实验中，该同学还需要测量A、B两光电门之间的距离s；（2）实验测得的这些物理量若满足表达式mgs=（M+m）[（）2﹣（）2]即可验证系统机械能守恒定律．（用实验中所测物理量相应字母表示）==（﹣（）﹣（（﹣（）27．（6分）（2015•上海一模）某同学用如图（a）所示的实验装置描绘电场的等势线．①在平整的木板上钻两个洞，固定两个圆柱形电极，然后依次铺放白纸、复写纸、导电纸，导电纸有导电物质的一面向上，用图钉将它们固定好．②用粗铁丝制成一圆环形电极，将其用金属夹也固定在木板上，连接电源和电极．③在导电纸上做出中央电极和圆环形电极上任意一点的连线，在连线上取间距相等的三个基准点A、B、C；④将连接电压传感器的两个探针分别拿在左、右手中，用左手中的探针跟导电纸上的某一基准点接触，然后用右手中的探针在导电纸平面上找若干个与基准点的电势差为零的点，用探针把这些点一一压印在白纸上，照此方法，可以画出与这些基准点电势相等的等势线．请回答以下问题：（1）该实验装置模拟的是孤立负点电荷产生的电场的等势线；（2）请在图（b）中画出经过A点的等势线．（3）已知A点电势φA=﹣5V，C点电势φC=5V，则B点的电势φB AA．大于0B．等于0C．小于0D．无法确定．28．（6分）（2015•上海一模）（1）在“研究平抛物体运动”的实验中，得到平抛小球的运动轨迹，在轨迹上取一些点，以平抛起点O为坐标原点，测量它们的水平坐标x和竖直坐标y，图2中y﹣x2图象能说明平抛小球的运动轨迹为抛物线的是C（2）另一位同学做实验时，利用频闪照片得到如图1所示小球的轨迹，在装置的后面竖直放置一块贴有方格纸建立好坐标系的木板，然后在方格纸上记录了小球某次平抛运动途经的三个位置a、b、c如图2所示．该同学取下方格纸后，并记录如图2所示水平x方向和竖直y方向了，已知小方格的边长L=10cm，则小球平抛运动的初速度v0=2m/s，小球水平抛出点的坐标为（10cm，18.75cm）．y=，因初速度相同，则小球平抛运动的初速度为：点竖直方向上的分速度为：，t=29．（8分）（2015•上海一模）为了研究人们用绳索跨山谷过程中绳索拉力的变化规律，同学们设计了如图（a）所示的实验装置，他们将不可伸长轻绳的两端通过测力计（不及质量及长度）固定在相距为D的两立柱上，固定点分别为M和N，M低于N，绳长为L（L＞D）．他们首先在绳上距离M点10cm处（标记为C）系上质量为m的重物（不滑动），由测力计读出绳MC、NC的拉力大小T M和T N，随后改变重物悬挂点的位置，每次将M到C点的距离增加10cm，并读出测力计的示数，最后得到T M、T N与绳MC长度之间的关系曲线如图所示，由实验可知：（1）曲线Ⅰ中拉力最大时，C与M点的距离为100cm，该曲线为T N（选填：T M 或T N）的曲线．（2）若用一个光滑的挂钩将该重物挂于绳子上，待稳定后，左端测力计上的示数为 4.3N．（3）两立柱的间距D与绳长L的比值约为0.93．（保留2位小数，取g=10m/s2）0.93六、计算题（共50分）30．（10分）（2015•上海一模）如图所示，竖直放置、开口向上的圆柱形气缸内有a、b两个质量均为m的活塞，可以沿气缸壁无摩擦上、下滑动．a是等厚活塞，b是楔形活塞，其上表面与水平面夹角θ．两活塞现封闭着初始温度T0的A、B两部分气体并保持静止，此时A气体体积V A=2V0，B气体体积V B=V0．已知图中气缸横截面积S，外界大气压p0．求：（1）此时A、B两部分气体的压强？（2）缓慢升高A、B两部分气体温度，求温度升高△T过程中，a活塞移动的距离？=====；31．（12分）（2015•上海一模）在如图所示的竖直平面内，倾斜轨道与水平面的夹角θ=37°，空间有一匀强电场，电场方向垂直轨道向下，电场强度E=1.0×104N/C．小物体A质量m=0.2kg、电荷量q=+4×10﹣5C，若倾斜轨道足够长，A与轨道间的动摩擦因数为μ=0.5，现将物体A置于斜面底端，并给A一个方向沿斜面向上大小为v0=4.4m/s的初速度，A在整个过程中电荷量保持不变，不计空气阻力（取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：（1）物体A回到出发点所用的时间？（2）若A出发的同时，有一不带电的小物体B在轨道某点静止释放，经过时间t=0.5s与A 相遇，且B与轨道间的动摩擦因数也为μ=0.5．求B的释放点到倾斜轨道底端的长度s？=11m/s s==而言：32．（14分）（2015•上海一模）如图所示，水平地面上有一质量不计的支架ABCD，BD面光滑，倾角为37°，支架可绕固定转轴A无摩擦自由转动，CA⊥AB，BC=CD=0.75m．在距离支架底端B为PB=3m处的P点有一静止物块，质量为m=2kg，现对物块施加一个与水平方向成θ=53°的恒力F，物块向右开始做加速运动，当物块到达支架底端B后恰好可以沿支架向上匀速运动，己知物体与水平地面间的动摩擦因数μ=0.45，不计空气阻力和转折点B 处能量损失．（取g=10m/s2，sin37°=0.6，sin53°=0.8）求：（1）恒力F的大小？（2）若到达B点时撤去恒力F，物块沿支架向上运动过程中，支架是否会翻倒？若不翻倒请通过计算说明？若翻倒，则物块经过B点后再经历多久支架将翻倒？（3）为保证物块冲上支架而不翻倒，试求恒力F在物块上的作用距离s的范围？=10Lm==Lm==0.75m33．（14分）（2015•上海一模）如图（a），长为L的光滑斜面AB与高台边缘光滑相接，BC 为一竖直墙，将小球从斜面AB的顶端静止释放，小球到达斜面底端后恰能无能量损失地从高台边缘水平飞出．高台底部有另一足够长的斜面CD．调节斜面AB的倾角α与斜面CD 的倾角β，使小球从斜面AB顶端静止释放后，恰能垂直击中斜面CD．不计空气阻力，重力加速度为g，α、β为锐角．求：（1）小球在空中飞行时间t（用α、β和L表示）？（2）某一研究小组取长为L=0.5m的斜面AB进行实验，实验中发现改变斜面AB的倾角α后，为了使从AB顶端静止释放的小球还能垂直击中斜面，只需对应地调整斜面CD的倾角β．多次实验并记录每次α与β的数值，由实验数据得出图（b）所示拟合直线．请问此坐标系的横轴表示什么？试求竖直墙BC的高度h（取g=10m/s2）？（3）在第（2）问中，该研究小组发现，小球每次垂直打在CD上的落点与竖直墙BC的距离S随α和β的改变而不同．试求小球在CD上的落点离竖直墙的最大距离S m？此时倾角α与β各为多大？t==得到关于与的关系式，对应图象横轴表示，对应图象横轴表示，此时=arccot）此坐标系的横轴表示；。
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高三学科测试
数学试题（理科）
考斯时间 120分钟 满分150分
一、填空题：（本大题56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，
每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、已知集合1{|0},{|12}1xAxBxxx，则BCA
2、椅子tan2，则sin3cossincos
3、在复平面中，复数2(1)(3iii是虚数单位）对应的点在第 象限
4、函数2sin3fxx的最小正周期是
5、已知函数22(2)2xxfxfxx，则2(log3)f
6、已知351loglog2014fxaabx，若12015()20142014f，则(2014)f
7、满足2arccos()arccos(2)xx的实数x的取值范围是
8、设na是(1)(2,3,4,)nxn的展开式中x的一次项的系数，若11(1)nnnnaba，则nb的最小
值是
9、若存在整数x使221xxmx成立，则实数m的取值范围是
10、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加，那么不同
的发言顺序的种数为 （用数字作答）
11、已知函数2(0)fxxkxkk，若当34x时，fx能取到最小值，则实数k的
取值范围是
12、已知数列na中，1112,1nnaaa，若k是5的倍数，且2ka，则k
·2·
13、如果一个正整数能表示为连个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，则区间
1,200
内的所有“神秘数”之和为
14、已知0m，1712m，直线1:lym与函数2logyx的图象从左至右相交于点,AB，
直线24:1lym与函数2logyx的图象从左至右相交于点,CD，记线段AC和BD在x轴上的
投影程长度分别为,ab，当m变化时，ba的最小值是
二、填空题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应
编号上，Ian高代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15、设z表示复数z的共轭复数，则与“复数z为实数”不等价的说法是（ ）
A．zz B．20z C．0zz D．0(lmzlmz表示复数z的虚部）
16、在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，则“coscosaAbB”是“ABC是以
,AB
为底角的等腰三角形”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
17、函数43xgx的图象可看成将函数3xfx的图象（ ）
A．向左平移3log4个单位得到 B．各点纵坐标不变，横坐标伸长的原来的4倍得到
C．向右平移3log4个单位得到 D．各点纵坐标不变，横坐标缩短的原来的14倍得到
18、如图所示，医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，开始输液时，滴管为匀速滴下液体（滴管
内液体忽略不计），设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当0x时，
13h
如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则函数()hfx的大致图象为（ ）
三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
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域内写出必要的步骤。
19、（本小题满分12分）
已知二次函数223fxmxx，若不等式0fx的解集为(1,)n
（1）解关于x的不等式：224(1)1xxnmx；
（2）是否存在实数(0,1)a，使得关于x的函数1()4(1,2)xxyfaax的最小值为-4？
若存在，求a的值；若不存在，说明理由。
20、（本小题满分12分）
某同学用“五点法”画函数sin()(0,)2fxAwxw在某一个周期的图象时，列表
并填入的部分数据如下表：
x
1
x 13 2x 3x
10
3
wx
0
2
3
2
2
sin()Awx
0 3 0 3 0
（1）请写出上表的123,,xxx，并直接写出函数的解析式；
（2）设3(1)gxfxfx，当0,4x时，求gx的单调增区间。
21、（本小题满分12分）
某环境保护部门对某处的环境状况用“污染质素”来检测，据测定，该处的“污染指数”与附近
污染源的强度和距离之比成正比，比例系数为常数(0)kk，现已知相距36km的,AB两家化工厂
（污染源）的污染强度分别为1和a，它们连线段上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该
处的污染指数之和，设ACxkm。
（1）试将y表示为x的函数，指出其定义域；
（2）当6x时，C处的“污染指数”最小，试求B化工厂的污染强度a的值。
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22、（本小题满分16分）
已知数列na的各项均为正数，记12231(),()kkAkaaaBkaaa
342()kCkaaa
（1）若113(5)nnna，求lim()nBn；
（2）若121,5aa，且对任意kN，()Bk都是()Ak与()Ck的等差中项，求数列na的通
项公式；
（3）已知命题：“若数列na是公比为q的等比数列，则对任意kN，(),(),()AkBkCk都是公
比为q的等比数列”是真命题，试写出该命题的逆命题，判断真假，并证明。
23、（本小题满分18分）
已知M是满足下列条件的集合：①0M;②若,xyM，则xyM；③若xM且0x，
则1Mx；
（1）判断13M是否正确，说明理由；
（2）证明：“xZ”是“xM”的充分条件，其中Z是正整数数集；
（3）证明：若,xyM，则xyM
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