天津市南开中学2015届高三第一次月考数学(理)试题

天津市南开中学2015届高三第一次月考 数学试卷（理科） 考试时间：120分钟

Ⅰ卷 一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡，每小题5分，共60分）

1. 设集合419,AxxxR，0,3xBxxRx，则AB( ).

A., (3,2) B. 5(3,2][0,]2 C. 5(,3][)2， D. 5(,3)[)2， 2. 函数2()ln(1)fxxx的零点所在的一个区间是（ ）. A., (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 3. 设奇函数()fx在+（0，）上为增函数，且(1)=0f，则不等式()()0fxfxx的解集为（ ）. A., (1,0)(1,) B. (,1)(0,1)

C. (,1)(1,) D. (1,0)(0,1) 4. 下面不等式成立的是（ ）. A., 322log2log3log5 B. 322log2log5log3

C. 232log3log2log5 D. 223log3log5log2 5. 已知实数,xy满足，则下列关系式恒成立的是（ ）.

A., 221111xy B. 22ln(1)ln(1)xy C. sinsinxy D. 33xy

6. 若函数()yfx的值域是1[,3]2，则函数1()()()Fxfxfx的点值域是（ ）. A., 1[,3]2 B. 10[2,]3 C. 510[,]23 D. 10[3,]3 7. 函数212log(56)yxx的单调增区间为（ ）.

A., 5(,)2 B. (3,) C. 5(-,)2 D. (-,2) 8. 在R上定义的函数()fx是偶函数，满足()=(8)fxfx，且对任意的12,[0,4]xx，1212

()()0fxfxxx

，则（ ）.

A., (18)(35)(5fff B. (35)(18)(5fff C. (35)(57)(18)fff D. (57)(18)(3fff 9. 直线4yx与曲线3yx在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）. A., 22 B. 42 C. 2 D. 4 10. 设32:()2pfxxxmx在内(1,)单调递增，:1qm，则p是q的（ ）. A., 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

11. 设函数121()log()2xfxx，2121()log()2xfxx的零点分别为12,xx，则（ ）.

A., 1201xx B. 12=1xx C. 1212xx D. 122xx 12. 设()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，2()fxx，若对任意的[,2]xtt，不等式()2()fxtfx恒成立，则实数t的取值范围是（ ）. A., [2,) B. [2,) C. (0,2] D. [2,1][2,3]

Ⅱ卷（讲答案写在答题纸上，在试卷上作答无效） 二、填空题：（每小题5分，共30分）

13. 曲线33yxx在点(1,3)处的切线方程为__________.210xy

14. 不等式211xx的解集是__________.(0,2) 15. 函数3()sin1()fxxxxR，若()2fa，则()fa的值为__________.0 16. 方程223xx的实数解的个数为__________.2 17. 函数log(3)1(0,1)ayxaa且的图象恒过定点A，若点A在直线10mxny上，其中0mn，则12mn的最小值为__________.8

18. 设函数()fx在R上存在导数()fx，对任意的xR，有2()()fxfxx，且在 (0,)上()fxx，若(2)()22fafaa，则实数a的取值范围为

__________.(-,1] 三、 解答题（每小题15分，共60分） 19. 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分。现从该箱中任取3个球（无放回，且每球取到的机会均等），记随机变量X为取出3球所得分数之和。 （Ⅰ） 求X的分布列；

（Ⅱ） 求X的数学期望()EX。 解：（Ⅰ）由题可知X的取值为：3、4、5、6. 35395(3)42CPxC; 215439

20(4)42CCPxC;

125439

15(5)42CCPxC; 34392(6)42CPxC

故所求X的分布列为 X 3 4 5 6

P 542 20104221 155

4214 21

4221

（Ⅱ）所求X的数学期望()EX为：5105113()=3+4+5+6=422114213EX

20. 设函数3()3(0)fxxaxba。 （Ⅰ） 若曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为8y，求,ab的值； （Ⅱ） 求函数()fx的单调区间与极值。 解：（Ⅰ）3()3(0)fxxaxba 2()33fxxa。曲线()yfx在点(2,(2))f处与直线8y相切。(2)03(4)04(2)086824faafabb

（Ⅱ） 22()333()(0)fxxaxaa， 当0a时，()0fx，函数()fx在(,)上单调递增，此时函数()fx没有极值点。 当0a时，令()0fx，解得=xa。当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表： x (,)a a (,)aa a (,)a ()fx + 0 - 0 + ()fx 极大值 极小值

所以()fx的单调递增区间是(,)a，(,)a；单调递减区间是(,)aa 此时()=()2fxfaab最大值，()=()2fxfaab最小值。

21. 已知3x是函数2()ln(1)10fxaxxx的一个极值点。 （Ⅰ） 求a； （Ⅱ） 求函数()fx的单调区间；

（III） 若直线yb与函数()yfx的图象有3个交点，求b的取值范围。 解：（Ⅰ） ()2101afxxx，(3)61004af，因此16a。 当16a时，162(3)(1)()210=11xxfxxxx，由此可知，当(1,3)x时，()fx单调递减，当(3,)x时，()fx单调递增，所以当16a时，3x是函数2()ln(1)10fxaxxx的一个极值点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()16ln(1)10,(1,)fxxxxx，所以2(3)(1)()1xxfxx。 当-(3,)x（1，1）时，()0fx， 当(1,3)x时，()0fx， 所以函数()fx的单调增区间是-,(3,)（1，1），函数()fx的单调减区间是(1,3)。 （III）直线yb与函数()yfx的图象有3个交点；等价于()fxb有3个实数根，即()0fxb有3个实数根；此时，函数()fxb的图象与x轴有3个不同的交点，

令2()()16ln(1)10xfxbxxxb，则2(3)(1)()(1)1xxxxx，令()0x，解得3x或1x，列表如下：

x -（1，1）

1 (1,3) 3

(3,)

()x + 0 - 0 +

()x 极大值 极小值 (1)为极大值，(3)为极小值。

为使函数()yx的图象与x轴有3个不同的交点，必须()yx的极大值大于零极小值

小于零，即(1)0(3)0，可化简为16ln29032ln2210bb，解得16ln2932ln221bb



32ln22116ln29b

22. 设()(1)xfxeax。 （Ⅰ） 若0a，()0fx对一切xR恒成立，求a的最大值； （Ⅱ） 设()()xagxfxe，且112212(,),(,)()AxyBxyxx是曲线()ygx上任意两点。若对任意的1a，直线AB的斜率恒大于常熟m，求m的取值范围；

（III） 是否存在正整数a，使得13(21)()1nnnnenane对一切正整数n均成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由。， 解：（Ⅰ）0a时，()xfxea，令()0fx，解得lnxa。因为lnxa时，()0fx，

()fx单调递减；lnxa时，()0fx，()fx单调递增。所以min()(ln)fxfa

。由(ln)0fa，有ln(ln1)0aeaa，ln0a，01a，即a的最大值是1. （Ⅱ）设12,xx是两个任意实数，且12xx，则有21212121()()AByygxgxkmxxxx，

2121()()gxgxmxmx，即2211()()gxmxgxmx。

设()()hxgxmx，则()hx在R上单调递增，故()()0hxgxm，即对任意1a，对任意实数x，()mgx恒成立。又()(1)xxagxeaxe，

2()()2()()2(1)1xxxx

aagxeaeaaaaee，当1a时，

min()3gx，故3m。

（III）存在，a的最小值为2.