11-12学年高二数学课件：2.2.2 反证法(新人教版选修2-2)
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高中数学 2、2-2-2反证法 新人教A版选修1-2
因为AB⊥平面α，AC⊥平面α， a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两 条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只 能有已知直线的一条垂线相矛盾．
(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α 的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)那么AB、AC是两条相交 直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC， 因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，
2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛 盾可以是与 已知条件 矛盾，或与 假设 矛 盾 ， 或 与定义、公理、 定理 、 事实 矛盾等．
[例1] 求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面α 相交，则另一条也与平面α相交．
[证明] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而 要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面 两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α， 与题设矛盾．
求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°. [证明] 假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°， 即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°. 相加得∠A＋∠B＋∠C<180°. 这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A、∠B、∠C都小 于60°的假定不能成立，从而，一个三角形中，至少有一 个内角不小于60°.
1．反证法证明数学命题的四个步骤 第一步：分清命题的条件和结论； 第二步：做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的 假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为 真．
常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定 义或已被证明了的结论相矛盾；
4．反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原 理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指 “否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定 了假设”．反证法属于“间接证明方法”，书写格式易错 之处是“假设”错写成“设”．
(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α 的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)那么AB、AC是两条相交 直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC， 因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，
2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛 盾可以是与 已知条件 矛盾，或与 假设 矛 盾 ， 或 与定义、公理、 定理 、 事实 矛盾等．
[例1] 求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面α 相交，则另一条也与平面α相交．
[证明] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而 要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面 两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α， 与题设矛盾．
求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°. [证明] 假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°， 即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°. 相加得∠A＋∠B＋∠C<180°. 这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A、∠B、∠C都小 于60°的假定不能成立，从而，一个三角形中，至少有一 个内角不小于60°.
1．反证法证明数学命题的四个步骤 第一步：分清命题的条件和结论； 第二步：做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的 假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为 真．
常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定 义或已被证明了的结论相矛盾；
4．反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原 理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指 “否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定 了假设”．反证法属于“间接证明方法”，书写格式易错 之处是“假设”错写成“设”．
人教A版高中数学选修2-2.2反证法课件
人教A版高中数学选修2-2 .2反证法 课件
牛刀小试
用反证法证明(填空):在三角形的内角中,
至少有一个角大于或等于60 °
A
已知:∠A ,∠B ,∠C是△ABC的内角（如图）
求证:∠A ,∠ B ,∠ C中至少有一个角
大于或等于60 °
B
C
证明：假设所求的结论不成立，即
∠A_＜_ 60 ° ,∠ B__＜60 ° ,∠ C __＜60 °
牛顿说：“反证法是数学家最精当 的武器之一”。
英国数学家哈代也曾这样称赞它： “反证法是数学家最有力的一件武器， 比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的 让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外 乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把 全局拱手让给对方！”
探究1：掀起你的盖头来——认识反证法
反证法的定义：
在证明数学问题时，先假定命题结论的反面成立， 在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相 矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛 盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定 命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法。
---德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。
人教A版高中数学选修2-2 .2反证法 课件
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3.如果a>b>0，那么 a > b
证明: 假设 a 不大于 b
则 a< b 或 a= b 因为 a>0,b>0 所以
否定要全面
(1)若a< b ab
与 已 知 ab0 矛 盾
（ 2） 若 a= b a=b， 与 已 知 ab0 矛 盾
所以假设错误，故原命题 a b 成立
《2.2.2 反证法》课件1-优质公开课-人教B版选修2-2精品
3 与 a≤－2或 a≥－1 矛盾，故原命题成立.
用反证法证明唯一性命题
(1)在用反证法证明“两条相交直线有且只有一 个交点”时的反设为________． (2)求证：方程 2x＝3 有且只有一个根．
【证明】 小于零得
假设三个方程都没有实数根，ห้องสมุดไป่ตู้由判别式都
Δ1＝4a2＋44a－3<0， 2 2 Δ2＝a－1 －4a <0， Δ ＝2a2－4×－2a<0， 3 1 3 －2<a<2， 则a>1或a<－1， 3 －2<a<0，
3 解得－2<a<－1，
2．常见的几种矛盾 (1)与假设矛盾； (2)与 数学公理 、 定理、 公式、 定义或 已证明了的结论 矛 盾； (3)与 公认的简单事实 矛盾(例如，导出 0＝1,0≠0 之类 的矛盾).
用反证法证明否定性命题
设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn ＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
《2.2.2 反证法》课件1
●三维目标 1．知识与技能 通过实例，体会反证法的含义． 2．过程与方法 了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题．
3．情感、态度与价值观 在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满 探索性和创造性． ●重点难点 重点：体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明 简单的命题． 难点：用反证法证明简单的命题，证明方法的选择．
(2013· 威海高二检测)已知 a， b， c∈(0,1)， 求证： 1 (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于 . 4
【思路探究】 “不能都大于”的含义为“至少有一个
小于或等于”其对立面为“全部大于”．
人教版高中数学选修1-2(A版)课件：第二章 2.2.2反证法 (共82张PPT)
天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
高中数学选修2-2精品课件3：2.2.2 反证法
¬p或¬q
用反证法证明存在性、唯一性命题
求证：方程2x＝3有且只有一个根． 【分析】 本题中“有且只有”含有两层含义：一层为“有” 即存在；另一层为“只有”即唯一性，证明唯一性常用反证 法． 【证明】显然x＝log23是方程的一根，假设方程2x＝3有两个根 b1、b2(b1≠b2)． 则2b1＝3,2b2＝3.两式相除，得2b1－b2＝1.
用反证法证明“至多”、“至少”类命题
设 f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1,1]，证明：b<－2 时，在其定 义域范围内至少存在一个 x，使|f(x)|≥12成立． 【分析】本题中,含有“至少存在一个”,可考虑使用反证法．
【证明】假设不存在 x∈[－1,1]使|f(x)|≥12. 则对于 x∈[－1,1]上任意 x，都有－12<f(x)<12成立.当 b<－2 时,其对称轴 x＝－b2>1， f(x)在 x∈[－1,1]上是单调递减函数，
2．若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面 情况一一驳倒，才能推断结论成立．
3．反证法的证题步骤
包括以下三个步骤： (1)作出否定结论的假设(反设)——假设命题的结论不 成立，即假定原命题的反面为真； (2)逐步推理，导出矛盾(归谬)——从假设和已知条件 出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； (3)否定假设，肯定结论(存真)——由矛盾结果，断定 假设不真，从而肯定原结论成立．
2.注意否定命题时,要准确无误． 3.用反证法证题时,必须把结论的否定作为条件使用,否则 就不是反证法.有时在证明命题“若p，则q”的过程中,虽然 否定了结论q,但是在证明过程中没有把“¬q”当作条件使 用,也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是 反证法．
4.用反证法证题,最后要产生一个矛盾命题,常见的主要 矛盾有： (1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结 论相矛盾； (2)与假设矛盾； (3)与已知条件矛盾； (4)与公认的简单事实矛盾． 矛盾是在推理过程中发现的,不是推理之前设计的．
用反证法证明存在性、唯一性命题
求证：方程2x＝3有且只有一个根． 【分析】 本题中“有且只有”含有两层含义：一层为“有” 即存在；另一层为“只有”即唯一性，证明唯一性常用反证 法． 【证明】显然x＝log23是方程的一根，假设方程2x＝3有两个根 b1、b2(b1≠b2)． 则2b1＝3,2b2＝3.两式相除，得2b1－b2＝1.
用反证法证明“至多”、“至少”类命题
设 f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1,1]，证明：b<－2 时，在其定 义域范围内至少存在一个 x，使|f(x)|≥12成立． 【分析】本题中,含有“至少存在一个”,可考虑使用反证法．
【证明】假设不存在 x∈[－1,1]使|f(x)|≥12. 则对于 x∈[－1,1]上任意 x，都有－12<f(x)<12成立.当 b<－2 时,其对称轴 x＝－b2>1， f(x)在 x∈[－1,1]上是单调递减函数，
2．若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面 情况一一驳倒，才能推断结论成立．
3．反证法的证题步骤
包括以下三个步骤： (1)作出否定结论的假设(反设)——假设命题的结论不 成立，即假定原命题的反面为真； (2)逐步推理，导出矛盾(归谬)——从假设和已知条件 出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； (3)否定假设，肯定结论(存真)——由矛盾结果，断定 假设不真，从而肯定原结论成立．
2.注意否定命题时,要准确无误． 3.用反证法证题时,必须把结论的否定作为条件使用,否则 就不是反证法.有时在证明命题“若p，则q”的过程中,虽然 否定了结论q,但是在证明过程中没有把“¬q”当作条件使 用,也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是 反证法．
4.用反证法证题,最后要产生一个矛盾命题,常见的主要 矛盾有： (1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结 论相矛盾； (2)与假设矛盾； (3)与已知条件矛盾； (4)与公认的简单事实矛盾． 矛盾是在推理过程中发现的,不是推理之前设计的．
2.2.2反 证 法
证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，
设α，β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α<β，又因为函 数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)，与f(α)＝0＝f(β)矛 盾． 所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实根．
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆
用反证法证明“至少”、“至多”等存在性 问题 若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π ，b＝y2－2z
2 π π ＋ ，c＝z2－2x＋ ，求证：a，b，c中至少有一个大于0. 3 6
证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a ＋b＋c≤0. π π π 2 2 2 而a＋b＋c＝x －2y＋2＋y －2z＋3 ＋z －2x＋6 ＝ (x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
∵π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， ∴a＋b＋c>0， 这与a＋b＋c≤0矛盾． 因此，a，b，c中至少有一个大于0.
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跟踪训练 2．已知：x，y>0，且x＋y>2.
1＋x 1＋y 中至少有一个小于2. 求证： ，
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证明：假设p＋q>2，那么p>2－q， ∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3. 将p3＋q3＝2代入得6q2－12q＋6<0， 即6(q－1)2<0， 由此得出矛盾． ∴p＋q≤2. 点评：当命题“结论反面”比“结论”更为明确具体时， 宜用反证法． 金品质•高追求 我们让你更放心！
《反证法》人教版高中数学选修1-2PPT课件(第2.2.2课时)
知识要点
反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形.
知识要点
用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.
矛盾
所以 _假__设__不__成__立 ,即求证的命题正确. 命题成立
l3
P
l1
l2
知识要点
反证法的步骤 一、提出假设 假设待证命题不成立，或是命题的反面成立. 二、推理论证 以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论. 三、得出矛盾 这与“......”相矛盾. 四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立.
∴ ∠ 1 =∠ 2 =∠3(两直线平行，同位角相等) ∴ l 3∥ l2（同位角相等，两直线平行 ） 归纳
l1
l１
l2
P 2
l1
3
请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点.
新知探究
结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？
思考
由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件 矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
知识要点
宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
第2章-2.2.2 反证法
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数学[新课标· 选修2-2]
用反证法证明否定性命题
设{an}是公比为 q 的等比数列．设 q≠1，证明：数 列{an＋1}不是等比数列．
【思路探究】
假设{an＋1}是等比数列，任取连续三项，
利用等比中项构建方程，推出含公比的方程无解或公比为 1.
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A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c都是偶数 C．a、b、c中至少有两个偶数 D．a、b、c都是奇数或至少有两个偶数
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【解析】 “恰有一个偶数”的否定是“一个也没有或至 少有两个”．
【答案】 D
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应用反证法常见的“结论词”与“反设词” 当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易 入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的 “结论词”与“反设词”如下：
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结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个
反设词 一个也没有 至少有两个 至多有n－1个 至少有n＋1个
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用反证法证明“至多”、“至少” 类 问题
(2013· 威海高二检测)已知a，b，c∈(0,1)，求证： 1 (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于4.
【思路探究】 “不能都大于”的含义为“至少有一个小 于或等于”其对立面为“全部大于”．
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用反证法证明否定性命题
设{an}是公比为 q 的等比数列．设 q≠1，证明：数 列{an＋1}不是等比数列．
【思路探究】
假设{an＋1}是等比数列，任取连续三项，
利用等比中项构建方程，推出含公比的方程无解或公比为 1.
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A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c都是偶数 C．a、b、c中至少有两个偶数 D．a、b、c都是奇数或至少有两个偶数
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【解析】 “恰有一个偶数”的否定是“一个也没有或至 少有两个”．
【答案】 D
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应用反证法常见的“结论词”与“反设词” 当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易 入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的 “结论词”与“反设词”如下：
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结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个
反设词 一个也没有 至少有两个 至多有n－1个 至少有n＋1个
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用反证法证明“至多”、“至少” 类 问题
(2013· 威海高二检测)已知a，b，c∈(0,1)，求证： 1 (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于4.
【思路探究】 “不能都大于”的含义为“至少有一个小 于或等于”其对立面为“全部大于”．
(人教A版)数学【选修2-2】2-2-2《反证法》ppt课件
规律技巧 用反证法证明“至多”“至少”型命题，可减 少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什 么，避免出现错误．需仔细体会“至多有一个”“至少有一 个”的含义.
三 用反证法证明否定性命题 【例3】 求证抛物线上任取四点所组成的四边形不可能
是平行四边形．
已知：如图所示，A，B，C，D是抛物线y2＝2px(p>0)上的 任意四点，其坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4， y4)．连接AB，BC，CD，DA.
答案 D
3．求证：如果a>b>0，那么n
n a>
b(n∈N，且n>1)．
证明 假设n a不大于n b，则n a＝n b，或n a<n b.
当n a＝n b时，则有a＝b. 这与a>b>0相矛盾．
当n
n a<
b时，则有a<b，
这也与a>b相矛盾．
所以n
a>
b.
4．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋
求证：四边形ABCD不可能是平行四边形． 【分析】 解答本题的关键在于通过假设，根据平行四边 形对边所在直线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从 而肯定原命题正确．
【证明】 由题意得，直线AB的斜率为 kAB＝xy22－－xy11＝y12＋py2，同理kBC＝y32＋py2， kCD＝y42＋py3，kDA＝y12＋py4. 假设四边形ABCD为平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kDA. 即有yy23＋ ＋yy12＝ ＝yy31＋ ＋yy44， ，① ② 由①－②，得y1－y3＝y3－y1，
π 2
，b＝y2－2z＋
π3，c＝z2－2x＋6π.
高中数学 第2章 推理与证明 2.2.2 反证法课件 a选修12a高二选修12数学课件
至少有2个 至多有0个，即一个也没有
第二十页，共三十一页。
◎变式训练(xùnliàn)
3．已知 x，y＞0，且 x＋y＞2.
求证：1＋y x，1＋x y中至少有一个小于 2. 证明 假设1＋y x，1＋x y都不小于 2， 即1＋y x≥2，1＋x y≥2， ∵x＞0，y＞0，∴1＋x≥2y，1＋y≥2x， ∴2＋x＋y≥2(x＋y)， 即 x＋y≤2，与已知 x＋y＞2 矛盾， ∴1＋y x，1＋x y中至少有一个小于 2.
No 基本定理。提示 (1)假设命题结论的反面(fǎnmiàn)是正确的。(2)证明 假设结论不成立，则有
两种可能：无交点或不止一个交点．。x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数根．。至多有 n个(即x≤n∈N*)。n个不都是(即至少有1个不是)
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一个
至多 至少
不
至少
某
设 ≠≤ ≥
都
也没
n－1 n＋1
有
个个
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课堂探究案·素养提升
题型一 用反证法证明(zhèngmíng)否定性命题
例1 已知非零实数 a，b，c 成等差数列且 a≠c，求
证：1a，1b，1c不可能成等差数列．
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⇒
－32＜a＜12 a＞13或a＜－1 －2＜a＜0
∴
－
3 2
＜a＜－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以假设不成立，故原
结论成立．
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方法技巧 (1)反证法的原理是“正难则反”，即如果正面证明有困 难时，或者(huòzhě)直接证明需要分多种情况而反面只有 一种情况时，可以考虑用反证法． (2)“至多”、“至少”、“都”等词语的否定形式