移动最小二乘
移动指数窗口的最小二乘算法
移动指数窗口的最小二乘算法
移动指数窗口的最小二乘算法是一种用于时间序列预测的统计方法。
该方法使用指数加权移动平均来处理数据，以提高模型的准确性。
移动指数窗口的最小二乘算法能够动态地适应数据的变化，具有很强
的实时性和鲁棒性。
该算法的主要步骤如下：
1. 初始化模型参数，包括移动窗口大小、指数加权系数等。
2. 从时间序列数据中选择一个指定大小的移动窗口，在此窗口
内进行最小二乘回归分析，得出模型拟合参数。
3. 基于指数加权移动平均的方法修正模型预测值，使其更加接
近实际观测值，得到下一个时间点上的预测值。
4. 删除窗口最前面的数据，并添加新的观测值，重复以上步骤
进行下一轮预测。
该算法的核心思想是将过去观测值的权重随时间推移而递减，同
时加入最新的观测值，以自适应地反映出当前数据变化的趋势。
这使
得移动指数窗口的最小二乘算法能够更好地适应时间序列数据的变化，提高预测的精度和准确性。
值得注意的是，该算法的参数设置对结果影响较大，需根据实际
情况进行调整。
最小二乘法
最小二乘法设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1<x 2<…<x n,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。
根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。
最小二乘法是处理各种观测数据进行测量平差的一种基本方法。
如果以不同精度多次观测一个或多个未知量，为了求定各未知量的最可靠值，各观测量必须加改正数，使其各改正数的平方乘以观测值的权数的总和为最小。
因此称最小二乘法。
所谓“权”就是表示观测结果质量相对可靠程度的一种权衡值。
法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。
事实上，德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道，但迟至1809年才正式发表。
此后他又提出平差三角网的理论，拟定了解法方程式的方法等。
为利用最小二乘法测量平差奠定了基础。
最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中有广泛应用。
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计= a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和｀〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
最小二乘法的概念
最小二乘法1. 概念定义最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化方法，用于找到一组参数，使得观测数据与模型预测值之间的平方误差最小。
它通过对误差的平方和进行最小化来估计未知参数的值。
在最小二乘法中，我们假设存在一个线性模型来描述观测数据与未知参数之间的关系。
给定n个观测数据点(xi, yi)，其中xi是自变量，yi是因变量，我们可以将线性模型表示为：yi = β0 + β1 * xi + εi其中β0和β1是待估计的未知参数，εi是服从正态分布的随机误差。
我们的目标是找到最佳拟合线，使得所有数据点到该线的距离之和最小。
2. 重要性最小二乘法在统计学和数据分析中具有广泛应用，并且具有以下重要性：2.1 参数估计通过最小二乘法可以估计出线性回归模型中的未知参数。
这些参数对于理解和解释观测数据与自变量之间关系非常重要。
例如，在经济学中，可以使用最小二乘法来估计供需曲线、收入弹性等经济模型中的参数。
2.2 模型拟合最小二乘法可以用于拟合数据，并找到最佳拟合线或曲线。
通过最小化误差平方和，我们可以找到与观测数据最接近的模型。
这对于预测和预测未来数据点非常有用。
2.3 假设检验在统计推断中，最小二乘法还可以用于假设检验。
我们可以利用最小二乘估计的参数进行假设检验，以确定自变量与因变量之间是否存在显著关系。
2.4 模型诊断除了参数估计和模型拟合外，最小二乘法还可以用于诊断模型的适应性和有效性。
通过分析残差（观测值与预测值之间的差异），我们可以检查模型是否满足所假设的条件，并进行必要的修正。
3. 应用最小二乘法广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：3.1 线性回归分析线性回归是最常见的应用之一。
通过将观测数据与线性模型进行拟合，我们可以估计出自变量与因变量之间的关系。
线性回归可以用于预测、关联分析和因果推断等。
3.2 时间序列分析时间序列分析是对随时间变化的数据进行建模和预测的方法。
基于移动最小二乘拟合的数字图像相关应变测量
基于移动最小二乘拟合的数字图像相关应变测量
张金奎;李亚智;张丽;张小娟
【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2010(010)003
【摘要】为了应用数字图像相关方法得到可靠的位移场,本文提出应用移动最小二乘法对含噪声的位移场进行拟合,进而得到可靠的应变场.对原有的十字搜索算法进行了改进,实验表明改进后的搜索算法效率更高.用数字模拟实验验证了程序计算正确性,并说明能够应用该方法得到可靠的应变.并进行了复合材料板拉伸试验,复合材料平板实验计算结果和应变电测法得到的结果进行了对比,实验表明两种测量方法得到的结果相吻合.
【总页数】6页(P686-691)
【作者】张金奎;李亚智;张丽;张小娟
【作者单位】西北工业大学航空学院,西安,710072;西北工业大学航空学院,西安,710072;西北工业大学航空学院,西安,710072;西北工业大学航空学院,西
安,710072
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
【相关文献】
1.基于数字图像相关法的应变测量理论误差分析 [J], 陈振英;陆皓;陈俊梅;李科林
2.基于数字图像相关性分析的局部应变测量 [J], 王世玉;席加豪;宋伟志
3.基于数字图像相关的光学引伸计应变测量精度研究 [J], 朱飞鹏;龚琰;白鹏翔;雷冬
4.数字图像相关技术在应力应变测量中的发展与最新应用 [J], 张顺庆;高晨家;张龙
5.基于局部位移场最小二乘拟合数字图像相关方法的剪切带应变测量 [J], 王学滨;侯文腾;董伟;杨梅;曹思雯
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python 移动最小二乘法
python 移动最小二乘法移动最小二乘法（Moving Least Squares，简称MLS）是一种数学优化技术，用于拟合数据点。
它通过在数据点之间移动一个窗口来拟合数据，从而得到一个平滑的曲线。
这种方法可以有效地处理噪声和异常值，提高拟合精度。
在Python中，可以使用numpy和scipy库实现移动最小二乘法。
以下是一个简单的示例：import numpy as npfrom scipy.optimize import curve_fit# 定义拟合函数，这里以二次多项式为例def func(x, a, b, c):return a * x**2 + b * x + c# 生成模拟数据x_data = np.linspace(0, 10, 100)y_data = 3 * x_data**2 + 2 * x_data + 1 + np.random.normal(0, 5, 100)# 使用curve_fit进行移动最小二乘拟合popt, pcov = curve_fit(func, x_data, y_data)# 输出拟合参数print("拟合参数：", popt)# 绘制原始数据和拟合曲线import matplotlib.pyplot as pltplt.plot(x_data, y_data, 'bo', label='原始数据')plt.plot(x_data, func(x_data, *popt), 'r-', label='拟合曲线')plt.legend()plt.show()在这个示例中，我们首先导入了`numpy`和`scipy.optimize`中的`curve_fit`函数。
然后，我们定义了一个二次多项式作为拟合函数。
接下来，我们生成了一些模拟数据，并使用`curve_fit`函数进行移动最小二乘拟合。
基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合
基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合示例文章篇一：哎呀呀，这题目可把我这个小学生难住啦！什么是移动最小二乘法呀？曲线曲面拟合又是什么东西？我一点儿都不明白！老师在课堂上讲这些的时候，我就像在听天书一样。
我看看周围的同学，有的皱着眉头，有的一脸迷茫，估计和我差不多。
我心里忍不住想：“这东西怎么这么难呀，难道是要故意为难我们吗？”我回家问爸爸妈妈，他们看着我，也是一脸无奈。
爸爸说：“孩子，这对爸爸来说也太复杂啦！”妈妈接着说：“宝贝，妈妈也搞不懂呢。
”后来在学校，我和同桌小明一起讨论。
我问他：“小明，你懂移动最小二乘法的曲线曲面拟合吗？”小明摇摇头说：“不懂，感觉像外星语言。
” 我们俩你看看我，我看看你，都忍不住笑了。
我就一直在想，这就好像是一个超级大的迷宫，我们怎么都找不到出口。
数学的世界有时候真的好奇怪呀，一会儿是简单的加减乘除，一会儿又冒出这么难的东西。
这移动最小二乘法的曲线曲面拟合，难道是数学王国里的大怪兽，专门来拦住我们前进的路？老师为了让我们明白，在黑板上画了好多图，讲了好多遍。
可我还是似懂非懂的。
我多希望能有一把神奇的钥匙，一下子就能打开这个知识的大门，让我清楚地看到里面到底是怎么回事。
我又去问班上的数学小天才小刚，我说：“小刚，你给我讲讲呗。
”小刚很耐心地跟我说：“其实吧，就是用一种特别的方法去把一些曲线和曲面弄明白。
” 我着急地问：“那到底怎么弄明白呀？”小刚挠挠头说：“哎呀，我也说不太清楚。
”我觉得吧，学习这个就像爬山，我们一直在努力往上爬，可这座山好高好高，爬得好累呀！但我可不会轻易放弃，我一定要弄明白这个移动最小二乘法的曲线曲面拟合到底是怎么回事！我相信，只要我一直努力，总有一天能征服这座知识的大山！示例文章篇二：哎呀呀，这题目可把我难住啦！什么是移动最小二乘法的曲线曲面拟合呀？对于我这个小学生来说，简直就像是外太空的神秘语言！老师在课堂上讲这个的时候，我看好多同学都一脸懵。
我心里就在想：“这东西难道比孙悟空的七十二变还难？” 我瞪大眼睛，努力想听明白，可那些复杂的公式和概念就像调皮的小猴子，在我脑子里上蹿下跳，就是不让我抓住它们。
基于移动最小二乘算法的曲线曲面拟合
基于移动最小二乘算法的曲线曲面拟合示例文章篇一：哎呀，我的天呐！这“移动最小二乘算法的曲线曲面拟合”到底是个啥呀？对于我这个小学生来说，简直就像外星来的神秘东西！我就先试着猜猜看，这是不是像我们画画的时候，想要把一条弯弯曲曲的线画得特别漂亮、特别准确的方法？比如说，画一个超级大的彩虹，得让每一段弧线都特别顺溜，不能有一点儿歪歪扭扭的。
那这个算法是不是就是帮我们找到怎么画才能最完美的秘诀呢？我们班的数学小天才小明，一听到这个题目就眼睛放光，他说：“这可有意思啦，就像搭积木，得找到最合适的积木块，才能搭出漂亮的城堡！”我一脸懵地问他：“那到底怎么找到那些合适的积木块呀？”小明却神秘兮兮地说：“你自己琢磨琢磨呗！”哼，这家伙，就知道卖关子！老师在课堂上讲这个的时候，我感觉自己就像在云里雾里飘着。
我看看同桌小花，她也是一脸的迷茫。
老师在黑板上写了好多好多的公式和图形，我的脑袋都快转不过来了。
我忍不住想：这难道比孙悟空的七十二变还难理解？后来我回家问了爸爸，爸爸说：“宝贝，这就像是给你做一件超级合身的衣服，得量好多好多的尺寸，然后才能裁剪出最合适的布片，让衣服穿在你身上美美的。
”我似懂非懂地点点头，可心里还是觉得不太明白。
再后来，我和小伙伴们一起讨论，大家你一言我一语的。
小红说：“我觉得这像拼图，得把那些小块小块的拼在一起，才能看出完整的图案。
”小刚却说：“不对不对，这更像是走迷宫，要找到正确的路才能走出去。
”我们争来争去，谁也说服不了谁。
经过这么多次的思考和讨论，我好像有点儿明白啦。
这移动最小二乘算法的曲线曲面拟合，不就是想办法让那些曲线和曲面变得整整齐齐、漂漂亮亮的嘛！虽然我现在懂得还不是很多，但我相信，只要我继续努力学习，总有一天能把它搞得清清楚楚！示例文章篇二：哎呀呀，我一个小学生，根本就不懂什么移动最小二乘算法的曲线曲面拟合呀！这听起来也太复杂啦！不过，我可以试着想象一下。
这就好像我在搭积木，要把一块块形状不同的积木拼在一起，变成一个漂亮的形状。
移动最小二乘法
移动最小二乘法2.1 移动最小二乘曲线拟合将拟合函数表述为如下形式：1()()()()()mT i i i f x p x a x p x a x ===∑, (3)其中a (x )=(a 1(x ), a 2(x ),…, a m (x ))T 为待定系数，p (x )=(p 1(x ), p 2(x ),…, p m (x ))T 为基函数向量，通常需要选择完备多项式基，例如二维情况线性基 p (x ) = (1, x , y )T (m =3) 二次基 p (x ) = (1, x , y , x 2, xy , y 2)T (m=6)为了得到较为精确的局部近似值，需使局部近似值f (x i )和节点值y i 之差平方带权最小，因此残差的离散加权L 2范式为：2211()[()]()[()()]n nT i i i i i i i J w x x f x y w x x p x a x y ===--=--∑∑, (4)其中n 是求解区域内的节点数，f (x )是拟合函数，w (x －x i )是节点x i 的权函数。
权函数应该是非负的，且随着2ix x -的增加单调递减，权函数还应该具有紧支性，即在支持域（x 的影响区域）内不等于0，在支持域之外全为0，一般选用圆形作为权函数的 支持域，半径记为r 。
常用的权函数是样条函数，记i s x x '=-，s s r'=，则三次样条函数形式如下：2323214432441()4413320 1.s s s s s s s s s ω⎧-+≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩(5)要求出待定系数a (x ),先要使J 取得最小值，先将（4）式写成矩阵形式：J = (Pa (x )－Y )T W (x ) (Pa (x )－Y ) 其中Y = (y 1, y 2,…, y n )T ,W (x ) = diag (w 1(x ), w 2(x ),…, w n (x ))，w i (x ) =()i w x x -.112111222212()()()()()()()()()m m n n m n p x p x p x p x p x p x P p x p x p x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 根据最小二乘原理求得待定系数为：a (x ) = A -1(x )B (x )Y其中A (x ) = P T W (x ) P , B (x ) = P T W (x )。
arma模型的最小二乘结构
arma模型的最小二乘结构arma模型是一种常用的时间序列分析方法，它可以通过最小二乘法来估计模型的参数，从而预测未来的数据趋势。
在时间序列分析中，我们经常面临的问题是如何预测未来的数据。
arma模型可以帮助我们解决这个问题。
arma模型是由自回归(AR)和移动平均(MA)两个部分组成的，它可以用来描述时间序列数据的自相关性和平均值。
我们来了解一下arma模型的结构。
arma模型的一般形式为ARMA(p, q)，其中p表示自回归部分的阶数，q表示移动平均部分的阶数。
AR部分描述了当前观测值与过去观测值之间的关系，而MA部分描述了当前观测值与过去观测误差之间的关系。
在arma模型中，最小二乘法用于估计模型的参数。
最小二乘法是一种常见的参数估计方法，它通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和来确定模型的参数值。
通过最小二乘法，我们可以得到arma模型的最优参数估计，从而得到更准确的预测结果。
最小二乘法的原理是找到一组参数值，使得模型预测值与观测值之间的残差平方和最小。
在arma模型中，我们需要同时估计AR部分和MA部分的参数。
对于AR部分，我们可以使用自相关函数(ACF)和偏自相关函数(PACF)来确定p的值。
ACF和PACF可以帮助我们理解时间序列数据的自相关性和部分自相关性，从而确定AR部分的阶数。
对于MA部分，我们可以使用残差的自相关函数来确定q的值。
在实际应用中，我们可以使用统计软件包来实现arma模型的最小二乘估计。
例如，R语言中的"stats"包和Python语言中的"statsmodels"包都提供了arma模型的估计函数。
我们只需要提供时间序列数据和模型阶数的初步估计，软件包就可以帮助我们估计模型的参数，并进行预测。
总结起来，arma模型是一种常用的时间序列分析方法，它可以通过最小二乘法来估计模型的参数，从而实现对未来数据的预测。
最小二乘法通过最小化残差平方和来确定模型的参数值，从而得到更准确的预测结果。
计算方法课件-第五章 曲线拟合的最小二乘法
max
1i N
( xi
)
yi
i 1
的大小来衡量拟合曲线的优劣。均方误差和最大偏差
较小的拟合曲线为较优的拟合曲线。
2.在解决实际问题时，有时通过观察选择多个函数类
型进行计算、分析、比较，最终获得较好的数学模型； 有时把经验公式作为数学模型，只是用最小二乘法来 确定公式中的待定常数。
Remark 3.当拟合曲线(x)中的待定常数是线性形式时，可直
值点。
问题：二次函数Q＝f(x1,x2,…,xn)是否存在最小值？
若最小值存在，如何求出该最小值点？
2.最小二乘解的存在唯一性
引理1：设n元实函数f(x1,x2,…,xn)在点P0(a1,a2,…,an)
的某个邻域内连续，且有一阶及二阶连续的偏导数，如
果 (1) (2)矩阵
f
0
(k 1,2,, n)
(m , 1 )
(0,m ) c0 (0, b)
(1,m
)
c1
(1,
b)
(m
,m
)
cm
(m
,
b)
n
(k ,j ) k (xi )j (xi ), i0
n
(k ,b) k (xi )yi i0
Remark
1.同一问题可以有不同的拟合曲线，通常根据均方误
差 N [ (xi 和) 最yi大]2 偏差
c00
(
x1
)
c11
(
x1
)
c00 (xn ) c11(xn )
cmm (x0 ) y0 cmm (x1) y1
cmm (xn ) yn
明显该方程组无解，是矛盾方程组，可以寻 求其在最小二乘意义下的解。对应的正规方程 组为
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moving least-squares surfaces
moving least squares (mls) approximation
implicit surface definition using a projection operator idea: locally approximate surface with polynomial
compute reference plane compute weighted leastsquares fit polynomial
Gaussian used for locality
moving least-squares surfaces
moving least squares (mls) approximation
Advantage
Exact surface normal Simple, efficient projection operators
ADAMSON A., ALEXA M.: Approximating and intersecting surfaces from points. In Proceedings of the Eurographics Symposium on Geometry Processing (June 2003)
Define the normal
This constrained minimization problem is solved by one of the eigenvectors of the covariance matrix W(x)
The basic projection procedure
Propagation of Orientation
Tilo Ochotta, Carlos Scheidegger : A Unified Projection Operator for Moving Least Squares Surfaces.(2007)
Levin’s mls
Poor reference frame Cannot define sharp feature
移动最小二乘方法综述
ALEXA M., BEHR J., COHEN-OR D.,FLEISHMAN S., LEVIN D., SILVA C. T.:Point set surfaces. In IEEE Visualization 2001(October 2001), pp. 21–28.
MLS surface & Zero-set
Signed distance function
Zero-set of 3d scalar field
• Alexa, M., Adamson, A., 2004. On normals and projection
operators for surfaces defined by point sets. In: Proc. of Symp. on Point-Graphics 04.pp. 149–155.
Advantage
Simple representation Local fitting & Smooth manifold surface Noise reduction Upsampling & Downsampling
Disadvantage
Hard computation Over-smooth Plane fit & unstable high curvature
Algebraic sphere
Fitting Algebraic Spheres Without Normals
Fitting Spheres to Points with Normals
Implicit surface definition
’almost’ orthogonal projection
implicit surface definition using a projection operator idea: locally approximate surface with polynomial
compute reference plane compute weighted leastsquares fit polynomial
An ’almost’ orthogonal projection
Experiment Result
basic projection points 34834 0.001 10 steps Slow Neighbour k 30 50
Amenta, N., Kil, Y., 2004. Defining point-set surfaces. In: Proc. of ACM SIGGRAPH 04.
பைடு நூலகம்
The Unified Projection Operator
谢谢
Advantage
Key
Algebraic sphere fitting, rather than a plane.
low sampling rates and high curvature. approximate or interpolate reliable estimate of the mean curvature an novel normal estimation
Reason
Two step & optimization in two different space there is no chance for the second stage to correct (or adequately compensate for) the problems generated by the first stage
Advantage
explicit definition energy function e and vector field n upsampling
Extremal surface
Finding surface point
GUENNEBAUD G., GROSS M.: Algebraic point set surfaces. ACM Transactions on Graphics (SIGGRAPH 2007 Proceedings)
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